人教a版必修1学案：3.2函数模型及其应用(含答案)

3.2 函数模型及其应用

【入门向导】 想一想？

杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪的事．一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整的一个月(30天)内，我每天给你10万元，而你第一天只需给我1元钱，第二天给我2元钱，每天给我的钱是前一天的两倍．杰米非常高兴，他同意订这样的合同．

同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示公式：20＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n

1－2

)

幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？

一般地，对于指数函数y ＝a x (a >1)和幂函数y ＝x n (n >0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x >x 0时，就会有a x >x n .

同样地，对于对数函数y ＝log a x (a >1)和幂函数y ＝x n (n >0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增长，log a x 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但是由于log a x 的增长慢于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x >x 0时，就会有log a x

综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)、y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x 0，当x >x 0时，就会有log a x

常见的数学模型有哪些？

利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的，具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题．下面是几种常见的数学模型：

1．一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；

2．反比例函数模型：f (x )＝k x

＋b (k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)；

注意 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．

4．指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)；

5．对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m 、n 、a 为常数，a >0，a ≠1)；

说明 随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．

6．幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)；

7．分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．

函数应用举例

函数应用题是函数知识的综合运用，涉及到的知识面很广，这里主要对一、二次函数及分段函数的应用举例分析，希望能对同学们有所帮助．

一、建立函数解析式，解决几何问题

例1 现有100米长的篱笆材料，利用一面长度够用的墙作为一边，围成一个矩形的猪圈，问此矩形的长、宽各为多少时，猪圈的面积最大？最大为多少？

分析 如图要求出矩形的面积就要知道矩形长与宽，篱笆材料的长共为100米，因此可假设宽为x 米，则矩形的长就可以表示出来，这样就可以得到面积S 关于x 的解析式．

解 如右图，设矩形猪圈的宽为x 米，则长为(100－2x )米，

于是S ＝x (100－2x )

＝－2x 2＋100x

＝－2(x －25)2＋1 250(0

这是二次函数的一部分，由二次函数的性质可得当x ＝25(米)时，面积S 最大，最大值为1 250(平方米)，此时矩形的长为100－2×25＝50(米)．

答 当矩形的长与宽分别为50米、25米时，面积最大，最大为1 250平方米．

二、由表格确定函数解析式，解决实际问题

例2 某公司今年一月份推出一种新产品，成本价为每件492元，经试销调查，销售量与

由此可知，通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．试问：销售价定为多少时，一月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．

分析 首先要根据表格确定销售量y 与销售价格x 的关系式，进一步才能确定利润． 解 由题意及表格可得当x ＝650时，y ＝350；

当x ＝800时，y ＝200.

将它们代入y ＝kx ＋b ，

可得????? 350＝650k ＋b ，200＝800k ＋b .解得?

????

k ＝－1，b ＝1 000. 即销售量y 与销售价格的关系式为

y ＝－x ＋1 000(0≤x ≤1 000)．

设一月份的利润为P ，则由题意可得

P ＝y (x －492)＝(－x ＋1 000)(x －492)

＝－x 2＋1 492x －492 000

＝－(x －746)2＋64 516(0≤x ≤1 000)．

这是二次函数的一部分，由二次函数的性质可得

当x ＝746(元/件)时，

利润最大，最大值为64 516(元)，

此时的销售量为y ＝254(件)．

答 销售价定为746元时，一月份利润最大，最大利润为64 516元，此时的销售量为254件．

三、分段函数的应用

例3

(1)

(2)张某的月工资为2 400元，则他应交纳多少的公积金．

分析 本题意为工资中要扣除公积金，由表可得分了四段，每一段交纳的方式不相同，因此我们一段一段地来分析．

解 (1)当0

即y ＝x ；

当1 000

交纳超过1 000元的部分的5%，

即y ＝1 000＋(x －1 000)(1－0.05)＝0.95x ＋50.

同理可得当2 000

交纳公积金后实得y ＝0.9x ＋150；

当x >3 000时，交纳公积金后实得y ＝0.85x ＋300.

所以所求函数的表达式为

y ＝????? x ， 03 000.

(2)张某的月工资为2 400元，

则他实得y ＝2 400×0.9＋150＝2 310(元)，

因此他交纳的公积金为2 400－2310＝90(元)．

答 张某应交纳公积金90元．

函数模型建立过程中的常见错误

解答函数应用问题时，要分四步进行：

第一步：阅读、理解；

第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题；

第三步：解答数学模型，求得结果；

第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．

而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输”．

一、忽视实际意义出错

例4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x (件)时的成本函数为y ＝10＋2x ＋2x 2(万元)，若售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？

错解 设该企业所能获取的最大利润为z (万元)，则

z ＝20x －(10＋2x ＋2x 2)，

即z ＝－2x 2＋18x －10＝－2(x －4.5)2＋30.5，

故z 的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．

剖析 同学们，你认为以上解答出现了什么问题？应该怎样进行修正呢？题目中的条件已经暗示了x 为自然数，而该错解中却是在x ＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．

正解 设该企业所能获取的最大利润为z (万元)，

则z ＝20x －(10＋2x ＋2x 2)(x ∈N )，

即z ＝－2x 2＋18x －10＝－2(x －4.5)2＋30.5，

故当x ＝4或5时，z 取最大值30，

即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．

二、因读题不精而出错

例5 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：

①甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；

②甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；

③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；

④当甲、乙运动了3小时后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处．

其中正确的说法是()

A．③B．①②③C．①③④D．②③④

错解①和③一定是一对一错，经分析，③是对的；对于②，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故②错误；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为5＋3×4＝17(km)，故④错误．故选A.

剖析错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于④，乙的位移计算错误．

正解①和③一定是一对一错，经分析③是对的；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5小时，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以④正确．故选D.

点评对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景．

三、因主观性太强而致错

例6 如图所示，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播．若D是DFE与x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是()

错解观察图1可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B.

剖析本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．

正解从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函

数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.

点评 函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反．

错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望同学们能知道怎样远离错误．

求解实际问题四策略

实际问题一般文字叙述较长、背景新颖、涉及知识面广．很多同学在应用题面前束手无策，有的读不懂题意、有的不会分析．这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同学们的学习有所帮助．

一、抓常规，乱中找序

实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓住它，就在纷乱的条件中找到了“头序”，问题就能迎刃而解．

例1 某商店将每个进价为10元的商品，按每个18元销售时，每天可卖出60个．经调查，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？

分析 “总利润＝销售量×单个利润”这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售价为x 元，每日利润为y 元．

解 若x ≥18(即提价)，销售量为60－5(x －18)，单个利润为x －10，那么每日利润为y ＝[60－5(x －18)](x －10)＝－5(x －20)2＋500，显然当售价定为每个20元时，利润最大，其最大利润为500元．

若x <18(即降价)，销售量为60＋10(18－x )，单个利润为x －10，那么每日利润为y ＝[60＋10(18－x )](x －10)＝－10(x －17)2＋490，显然当售价定为每个17元时，利润最大，其最大利润为490元．

比较知，商品售价定为每个20元，每日利润最大．

二、抓重点，以纲带目

实际问题的一大特点是：信息量大、文字叙述较长，有时还会出现很多数据，面对这些信息要善于找主要矛盾，抓重点，以纲带目．

例2 某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最高限量a 立方米，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c 元；若用水量超过a 立方米，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b 元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．

分析 抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一重点，想到用分段函数表示用水量与水费之间的函数关系．

解 设用水量为x 立方米，支付费用为y 元，则

y ＝?

????

8＋c (0≤x ≤a )，8＋b (x －a )＋c (x >a )， 由0

因此，第二、三两月的用水量超过最高限量．

由?

????

8＋b (15－a )＋c ＝19，8＋b (22－a )＋c ＝33，得b ＝2且2a ＝c ＋19. 再分析限量a ，若a <9，由8＋2(9－a )＋c ＝9，得

2a ＝c ＋17与2a ＝c ＋19矛盾，因此a ≥9.

此时，由8＋c ＝9，得c ＝1，所以a ＝10.

故a ＝10，b ＝2，c ＝1.

三、抓概念，深入理解

实际问题一般都会伴有新概念、新术语的产生，面对这些新概念、新术语，我们必须抓住它们，通过对它们的全面分析，使我们能准确地把握题意，从而进行正确求解．

例3 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为

R (x )＝5x －x 22

(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． 则年产量为多少时，工厂所得利润最大？

解 当0≤x ≤5时，L (x )＝4.75x －x 22

－0.5， 当x ＝4.75时，L (x )max ＝10.781 25万元．

当x >5时，L (x )＝12－0.25x 为减函数，

此时L (x )<10.75(万元)．

∴生产475台时利润最大．

四、用草图，显现关系

例4 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台，B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．

(1)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？

(2)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．

解 画一个草图，如图所示，设从甲地运x 台到A 地，那么甲地的另12－x 台运往B 地．由

于A 地购10台，因此，尚需从乙地运去10－x 台，乙地的另6－(10－x )台运往B 地．设总运费为y ，

则y ＝400x ＋800(12－x )＋300(10－x )＋500[6－(10－x )]

＝－200x ＋10 600.

(1)由y ≤9 000，即－200x ＋10 600≤9 000，得x ≥8.

由于甲地有12台，A 地需要10台，因此有三种调运方案，即从甲地运8台、9台或10台到A 地．

(2)由于y ＝－200x ＋10 600为减函数，又8≤x ≤10，因此，当x ＝10时，运费最低，最低运费为8 600元.

函数应用问题中的创新考点分析

新课标加大了对应用问题的考查，近几年各类考试中函数的应用问题也正悄然变化，对情境文字与图形的结合的考查增多，下面举例说明．

考点一看图计算

1．(广州模拟)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)

图1图2

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元) 解(1)设A产品的利润y1(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y1＝ax＋b(a≠0)，由x＝1，y1＝0.25和x＝1.8，y1＝0.45，得

a＋b＝0.25,1.8a＋b＝0.45，

∴a＝0.25，b＝0，∴y1＝0.25x.

设B产品的利润y2(万元)与投资x(万元)之间的关系式为

y2＝k x(k≠0)，

由x＝4，y2＝2.5，得k＝1.25.

∴y2＝1.25 x.

所以A、B两种产品利润与投资的函数关系式分别为

y1＝0.25x，y2＝1.25 x.

(2)设将10万资金投资B产品x万元，A产品(10－x)万元，则利润y＝0.25(10－x)＋1.25 x.

令t＝x，∴x＝t2.

∴y＝－0.25t2＋1.25t＋2.5＝－0.25(t2－5t)＋2.5

＝－0.25(t－2.5)2＋4.062 5.

又0≤x≤10，∴t∈[0，10]．

∴当t＝2.5时，

即x＝6.25时，

y取得最大值y max＝4.062 5,10－6.25＝3.75.

所以，当投资A产品约4万元，B产品约6万元时，

所获利润最大，最大利润约为4万元．

点评图象信息题是由图象给出数据信息，探求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的目的．这类问题考查收集、整理与加工信息的能力，解决这类问题的一般步骤是：(1)观察图象，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；(3)选择恰当的数学工具，通过建模来加以解决；(4)要注意检验，去伪存真，尤其是实际问题，答案要符合实际．

考点二几何图形与应用问题的交汇

2．(上海高考)某人定制了一批地砖．每块地砖(如图1)是边长为0.4 m的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比为3∶2∶1.若将此种地砖按如图2所示的形式辅设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形．

(2)E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

(1)证明图2是由四块图1所示的地砖绕点C按顺时针连续三次旋转90°后得到的，△CFE为等腰直角三角形，所以四边形EFGH是正方形．

(2)解设CE＝x，则BE＝0.4－x，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料每平方米的价格依次为(单位：元)3a,2a，a，

W＝1

2x

2·3a＋1

2×0.4×(0.4－x)×2a＋[0.16－

1

2x

2－1

2×0.4×(0.4－x)]a＝a(x

2－0.2x＋0.24)

＝a[(x－0.1)2＋0.23]，0

由a>0，当x＝0.1时，

W有最小值，即总费用最省．

所以当CE＝CF＝0.1 m时，

总费用最省．

点评本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题，考查对实际问题的理解以及解决应用问题的能力．