7.5 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理
1.理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程;(重点) 2.能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明.(难点)
一、情境导入 星期天,小明和几位同学一起做作业时,其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了.小明将两个角和剩余的一个角放在一起,发现这三个角之和是一个平角.我们知道一个平角是180°,即这个三角形的三个内角之和为180°,那其他的三角形也是这样吗?如何证明呢?
下面让我们一起进入本节的学习,一起探究如何证明三角形的内角和等于180°.
二、合作探究
探究点一:三角形内角和定理
在△ABC 中,如果∠A=1
2∠B =1
2
∠C ,求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度?
解析:这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题,由已知得∠B =∠C =2∠A.因此
可以先求∠A ,再求∠B 、∠C.
解:∵∠A=12∠B =1
2∠C(已知),∴∠B =∠C=2∠A(等式的性质).∵∠A+∠B+∠C
=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠A +2∠A+2∠A=180°(等量代换).∴∠A=
36°,∠B =72°,∠C =72°.
方法总结:求三角形内角度数时,要充分利用各角之间的关系,用其中一个角表示另外两个角,再借助三角形的内角和定理构建方程.
探究点二:三角形内角和定理的证明
已知:如图,在△ABC 中.
求证:∠A+∠B+∠C=180°. 解析:要证明三角形的内角和是180°,需要从涉及180°角的知识去考虑,涉及180°角的知识有:①平角;②邻补角;③两直线平行下的同旁内角.可从这三个方面分别考虑,
添加辅助线.
证明:证法1:(如图①)过点A作PQ∥BC,则∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换).
证法2:(如图②)过点C作CE∥AB,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠B+∠BCE =180°(两直线平行,同旁内角互补).∵∠BCE=∠BCA+∠1,∴∠B+∠BCA+∠1=180°(等量代换),∴∠B+∠BAC+∠A=180°(等量代换).
证法3:(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC,RP∥AB,交AB于Q,交AC于R,则∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,同位角相等).∠A=∠BQ P=∠QPR(两直线平行,同位角相等,内错角相等).∵∠1+∠2+∠QPR=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
方法总结:三角形内角和定理的证明方法很多,但指导思想都是通过添加辅助线,利用平行线的性质,把三角形三个内角集中起来.
探究点三:三角形内角和定理的应用
如图,已知五边形ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗?你能运用三角形的内角和定理证明吗?
解析:我们可以通过先添加辅助线将五边形分割成几个三角形,再利用三角形的内角和定理进行证明.
解:五边形的内角和等于540°.证明如下:如图,连接AC,AD.由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠B=180°,∠3+∠4+∠5=180°,∠6+∠7+∠E=180°,∴∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠E=540°.又∵∠1+∠5+∠7=∠BAE,∠2+∠3=∠BCD,∠4+∠6=∠CDE,∴∠BAE+∠B+∠BCD+∠C DE+∠E=540°.∴五边形的内角和等于540°.
方法总结:求多边形的内角和时,通常利用一个顶角与其他顶角的连线将其分割成几个三角形,转化为三角形的内角和来解决.
三、板书设计
三角形内,角和定理)
??
?
??定理:三角形的内角和等于180°
定理的证明:作平行线,将三个内
角拼成一个平角
定理的应用
通过自主探究与合作交流的学习方式,使学生形成一定的逻辑思维能力和推理能力;用多种方法证明三角形内角和定理,培养学生一题多解的能力;对比过去撕纸等探索过程,体会几何证明的严密性和数学的严谨性,培养学生的逻辑推理能力.
4.4一次函数的应用
第1课时确定一次函数的表达式
1.会确定正比例函数的表达式;(重点)
2.会确定一次函数的表达式.(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗?你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢?学习了本节的内容,你就知道了.
二、合作探究
探究点一:确定正比例函数的表达式
求正比例函数y=(m-4)m2-15的表达式.
解析:本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:由正比例函数的定义知m2-15=1且m-4≠0,∴m=-4,∴y=-8x.
方法总结:利用正比例函数的定义确定表达式:自变量的指数为1,系数不为0.
探究点二:确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程即可求出待定系数k和b的值,再代回原设即可.
解:设一次函数的表达式为y =kx +b ,根据题意得,
∴?????5=b ,-5=2k +b.解得?
????k =-5,b =5.∴一次函数的表达式为y =-5x +5. 方法总结:“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y =kx +b 中有两个待定系数k 、b ,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B 为一次函数的
图象与y 轴的交点,且OA =2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA 的长,从而可以求出点B 的坐标,根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:设正比例函数的表达式为y 1=k 1x ,一次函数的表达式为y 2=k 2x +b.∵点A(4,3)是它们的交点,∴代入上述表达式中,得3=4k 1,3=4k 2+b.∴k 1=3
4,即正比例函数的表达
式为y =34x.∵OA =32+42
=5,且OA =2OB ,∴OB =52.∵点B 在y 轴的负半轴上,∴B 点的
坐标为(0,-52).又∵点B 在一次函数y 2=k 2x +b 的图象上,∴-5
2=b ,代入3=4k 2+b 中,
得k 2=118.∴一次函数的表达式为y 2=118x -5
2
.
方法总结:根据图象确定一次函数的表达式的方法:从图象上选取两个已知点的坐标,
然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x 与售价y 的关系如下表所
示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
解析:从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解:由表中信息,得y =(8+0.4)x =8.4x ,即售价y 与数量x 的函数关系式为y =8.4x.
当x =2.5时,y =8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
三、板书设计
确定一次函数表达式?
???
?正比例函数y =kx (k≠0)一次函数y =kx +b (k≠0)
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达
式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.
2.2 平方根 第1课时 算术平方根
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根;(重点) 2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根;(重点) 3.了解算术平方根的性质.(难点)
一、情境导入
上一节课我们做过:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长
为a 的大正方形,那么有a 2
=2,a =________,2是有理数,而a 是无理数.在前面我们学
过若x 2
=a ,则a 叫做x 的平方,反过来x 叫做a 的什么呢?
二、合作探究
探究点一:算术平方根的概念
【类型一】 求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根:
(1)64;(2)214
;(3)0.36;(4)412-402
.
解析:根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根,只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可.
解:(1)∵82
=64,∴64的算术平方根是8;
(2)∵(32)2=94=214,∴214的算术平方根是32;
(3)∵0.62
=0.36,∴0.36的算术平方根是0.6;
(4)∵412
-402
=81,又92
=81,∴81=9,而32
=9,∴412
-402
的算术平方根是3.
方法总结:(1)求一个数的算术平方根时,首先要弄清是求哪个数的算术平方根,分清求81与81的算术平方根的不同意义,不要被表面现象迷惑.
(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算,因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用.
【类型二】 利用算术平方根的定义求值
3+a 的算术平方根是5,求a 的值.
解析:先根据算术平方根的定义,求出3+a 的值,再求a.
解:因为52
=25,所以25的算术平方根是5,即3+a =25,所以a =22. 方法总结:已知一个数的算术平方根,可以根据平方运算来解题.
探究点二:算术平方根的性质
【类型一】
解析:首先根据算术平方根的定义进行开方运算,再进行加减运算. 解:49+9+16-225=7+5-15=-3.
方法总结:解题时容易出现如9+16=9+16的错误.
【类型二】
已知x 3(y -2)2
=0,求x -y 的值.
解析:算术平方根和完全平方式都具有非负性,即a ≥0,a 2
≥0,由几个非负数相加和为0,可得每一个非负数都为0,由此可求出x 和y 的值,进而求得答案.
解:由题意可得x -1=0,y -2=0,所以x =1,y =2.所以x -y =1-2=-1. 方法总结:算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性,即a ≥0,|a|≥0,a 2
≥0,当几个非负数的和为0时,各数均为0.
三、板书设计
算术平方根???概念:非负数a 的算术平方根记作
a 性质:双重非负性???a≥0,
a ≥0
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念的形成
过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有帮助的.概念教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化.
4.4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式
1.会确定正比例函数的表达式;(重点) 2.会确定一次函数的表达式.(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗?你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢?学习了本节的内容,你就知道了.
二、合作探究
探究点一:确定正比例函数的表达式
求正比例函数y =(m -4)m 2
-15的表达式.
解析:本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:由正比例函数的定义知m 2
-15=1且m -4≠0,∴m =-4,∴y =-8x.
方法总结:利用正比例函数的定义确定表达式:自变量的指数为1,系数不为0. 探究点二:确定一次函数的表达式
【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:先设一次函数的表达式为y =kx +b ,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x =0时,y =5;当x =2时,y =-5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程,通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值,再代回原设即可.
解:设一次函数的表达式为y =kx +b ,根据题意得,
∴?????5=b ,-5=2k +b.解得?
????k =-5,b =5.∴一次函数的表达式为y =-5x +5.
方法总结:“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y =kx +b 中有两个待定系数k 、b ,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B 为一次函数的
图象与y 轴的交点,且OA =2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA 的长,从而可以求出点B 的坐标,根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:设正比例函数的表达式为y 1=k 1x ,一次函数的表达式为y 2=k 2x +b.∵点A(4,3)是它们的交点,∴代入上述表达式中,得3=4k 1,3=4k 2+b.∴k 1=3
4,即正比例函数的表达
式为y =34x.∵OA =32+42
=5,且OA =2OB ,∴OB =52.∵点B 在y 轴的负半轴上,∴B 点的
坐标为(0,-52).又∵点B 在一次函数y 2=k 2x +b 的图象上,∴-5
2=b ,代入3=4k 2+b 中,
得k 2=118.∴一次函数的表达式为y 2=118x -5
2
.
方法总结:根据图象确定一次函数的表达式的方法:从图象上选取两个已知点的坐标,
然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x 与售价y 的关系如下表所
示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
解析:从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解:由表中信息,得y =(8+0.4)x =8.4x ,即售价y 与数量x 的函数关系式为y =8.4x.当x =2.5时,y =8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
三、板书设计
确定一次函数表达式?
????正比例函数y =kx (k≠0)
一次函数y =kx +b (k≠0)
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达
式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.