第1章 随机变量及其概率
1,写出下列试验的样本空间:
(1) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次,记录
投掷的次数。
(2) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次,
记录投掷的次数。
(3) 连续投掷一枚硬币直至正面出现,观察正反面出现的情况。 (4) 抛一枚硬币,若出现H 则再抛一次;若出现T ,则再抛一颗骰
子,观察出现的各种结果。
解:(1)}7,6,5,4,3,2{=S ;(2)},4,3,2{ =S ;(3)},,,,{ TTTH TTH TH H S =;(4)}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2,设B A ,是两个事件,已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ,求
)])([(),(),(),(___
___
AB B A P AB P B A P B A P ??。
解:625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ,
375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ,
875.0)(1)(___
--=AB P AB P ,
5
.0)(625.0)])([()()])([()])([(___
=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P
3,在100,101,…,999这900个3位数中,任取一个3位数,求不包含数字1个概率。
解:在100,101,…,999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??,所以所求得概率为
72.0900
648
=
4,在仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中,任取一个三位数。(1)求该数是奇数的概率;(2) 求该数大于330的概率。
解:仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。(1)该数是奇数的可能个数为
48344=??个,所以出现奇数的概率为
48.0100
48
= (2)该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?,所以该数大于330的概率为
48.0100
48
=
5,袋中有5只白球,4只红球,3只黑球,在其中任取4只,求下列事件的概率。
(1)4只中恰有2只白球,1只红球,1只黑球。 (2)4只中至少有2只红球。 (3)4只中没有白球。
解: (1)所求概率为338
4
12
1
31425=C C C C ;
(2) 所求概率为16567
4952014
124418342824==++C C C C C C ; (3)所求概率为165
7
495354124
7=
=C C 。
6,一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单,设每张提货单分发给每一销售点是等可能的,每一销售点得到的提货单不限,求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。
解:根据题意,)(M n n <张提货单分发给M 个销售点的总的可能分法有n M 种,某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的可能分法有
k n k n M C --)1(种,所以某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率为
n
k
n k
n M M C --)1(。
7,将3只球(1~3号)随机地放入3只盒子(1~3号)中,一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子,称为一个配对。 (1)求3只球至少有1只配对的概率。 (2)求没有配对的概率。
解:根据题意,将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3!=6种:123,132,213,231,312,321;没有1只配对的放法有2种:312,231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 (2)没有配对的概率为3
162=;
(1)至少有1只配对的概率为3
2311=-。
8,(1)设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ,求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ?,
)|(),|(AB A P B A AB P ?.
(2)袋中有6只白球,5只红球,每次在袋中任取1只球,若取到白球,放回,并放入1只白球;若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次,求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解:(1)由题意可得7.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ,所以
313.01.0)()()|(===
B P AB P B A P , 5
1
5.01.0)()()|(===A P AB P A B P , 75
)()()()]([)|(=?=??=
?B A P A P B A P B A A P B A A P ,
7
1
)()()()]([)|(=?=??=
?B A P AB P B A P B A AB P B A AB P ,
1)
()
()()]([)|(===
AB P AB P AB P AB A P AB A P 。
(2)设)4,3,2,1(=i A i 表示“第i 次取到白球”这一事件,而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为4321A A A A ,它的概率为(根据乘法公式)
)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =
0408.020592
840124135127116==???=。
9,一只盒子装有2只白球,2只红球,在盒中取球两次,每次任取一只,做不放回抽样,已知得到的两只球中至少有一只是红球,求另一只也是红球的概率。
解:设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A ,“另一只
也是红球”记为事件B 。则事件A 的概率为
6
5
314232422)(=?+??=A P (先红后白,先白后红,先红后红)
所求概率为
51
6
53142)()()|(=?
==A P AB P A B P
10,一医生根据以往的资料得到下面的讯息,他的病人中有5%的人以为自己患癌症,且确实患癌症;有45%的人以为自己患癌症,但实际上未患癌症;有10%的人以为自己未患癌症,但确实患了癌症;最后40%的人以为自己未患癌症,且确实未患癌症。以A 表示事件“一病人以为自己患癌症”,以B 表示事件“病人确实患了癌症”,求下列概率。
(1))(),(B P A P ;(2))|(A B P ;(3))|(A B P ;(4))|(B A P ;(5))|(B A P 。 解:(1)根据题意可得
%50%45%5)()()(=+=+=B A P AB P A P ; %15%10%5)()()(=+=+=A B P BA P B P ;
(2)根据条件概率公式:1.0%
50%
5)()()|(===A P AB P A B P ; (3)2.0%
501%
10)()()|(=-==A P A B P A B P ;
(4)17
9
%151%45)()()|(=-==B P B A P B A P ; (5)3
1
%15%5)()()|(===
B P AB P B A P 。
11,在11张卡片上分别写上engineering 这11个字母,从中任意连抽6张,求依次排列结果为ginger 的概率。
解:根据题意,这11个字母中共有2个g ,2个i ,3个n ,3个e ,1个r 。从中任意连抽6张,由独立性,第一次必须从这11张中抽出2个g 中的任意一张来,概率为2/11;第二次必须从剩余的10张中抽出2个i 中的任意一张来,概率为2/10;类似地,可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为
924013326403661738193102112==?????;或者92401
6
11
1
11311131212=A C C C C C C 。
12,据统计,对于某一种疾病的两种症状:症状A 、症状B ,有20%的人只有症状A ,有30%的人只有症状B ,有10%的人两种症状都有,其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人,求 (1)该人两种症状都没有的概率; (2)该人至少有一种症状的概率;
(3)已知该人有症状B ,求该人有两种症状的概率。
解:(1)根据题意,有40%的人两种症状都没有,所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201=---; (2)至少有一种症状的概率为%60%401=-;
(3)已知该人有症状B ,表明该人属于由只有症状B 的30%人群或者两种症状都有的10%的人群,总的概率为30%+10%=40%,所以在已知该人有症状B 的条件下该人有两种症状的概率为4
1
%10%30%10=+。
13,一在线计算机系统,有4条输入通讯线,其性质如下表,求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线 通讯量的份额
无误差的讯息的份额
1 0.4 0.9998
2 0.
3 0.9999 3 0.1 0.9997 4
0.2
0.9996
解:设“讯号通过通讯线i 进入计算机系统”记为事件)4,3,2,1(=i A i ,“进入讯号被无误差地接受”记为事件B 。则根据全概率公式有
9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)|()()(4
1?+?+?+?==∑=i i i A B P A P B P
=0.99978
14,一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法,对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果;而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎,问一名被检验者经检验,认为他没有关节炎,而他却有关节炎的概率。 解:设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A ,“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B 。根据全概率公式有 %1.12%4%90%85%10)|()()|()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P , 所以,根据条件概率得到所要求的概率为 %06.17%
1.121%)
851%(10)(1)|()()()()|(=--=-==
A P
B A P B P A P A B P A B P 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
15,计算机中心有三台打字机A,B,C ,程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1,打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了,求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少?
解:设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ,“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3
1=?+?+?==∑=i i i N M P N P M P ,
根据Bayes 公式,该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为
24.0025.001
.06.0)()|()()|(111=?==
M P N M P N P M N P ,
60.0025.005
.03.0)()|()()|(222=?==
M P N M P N P M N P ,
16.0025
.004
.01.0)()|()()|(333=?==
M P N M P N P M N P 。
16,在通讯网络中装有密码钥匙,设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的,而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解:设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A ,“一讯息是可信的”记为事件B 。根据Bayes 公式,所要求的概率为
%9947.99%
1.0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(=?+??=+==
B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P
17,将一枚硬币抛两次,以A,B,C 分别记事件“第一次得H ”,“第二次得H ”,“两次得同一面”。试验证A 和B ,B 和C ,C 和A 分别相互独立(两两独立),但A,B,C 不是相互独立。 解:根据题意,求出以下概率为
21)()(=
=B P A P , 21
21212121)(=?+?=C P ; 412121)(=?=AB P , 412121)()(=?==CA P BC P ,41
2121)(=?=ABC P 。
所以有
)()()(B P A P AB P =,)()()(C P A P AC P =,)()()(C P B P BC P =。
即表明A 和B ,B 和C ,C 和A 两两独立。但是
)()()()(C P B P A P ABC P ≠
所以A,B,C 不是相互独立。
18,设A,B,C 三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6,设A,B,C 各在离球门25码处踢一球,设各人进球与否相互独立,求(1)恰有一人进球的概率;(2)恰有二人进球的概率;(3)至少有一人进球的概率。
解:设“A,B,C 进球”分别记为事件)3,2,1(=i N i 。 (1)设恰有一人进球的概率为1p ,则
}{}{}{3213213211N N N P N N N P N N N P p ++=
)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= (由独立性) 6.03.05.04.07.05.04.03.05.0??+??+??=
29.0=
(2)设恰有二人进球的概率为2p ,则
}{}{}{3213213212N N N P N N N P N N N P p ++=
)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= (由独立性) 6.03.05.06.07.05.04.07.05.0??+??+??= 44.0=
(3)设至少有一人进球的概率为3p ,则
}{13213N N N P p -=)()()(1321N P N P N P -=4.03.05.01??-=94.0=。
19,有一危重病人,仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH +血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟,将所需的血全部输入病人体内需要2分钟,医院只有一套验血型的设备,且供血者仅有40%的人具有该型血,各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
解:根据题意,医院最多可以验血型4次,也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH +型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH +型血的概率是多少?因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4;
第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24; 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144; 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864; 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
20,一元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5按先串联再并联的方式连接,设元件的可靠性均为p ,试求系统的可靠性。 解:设“元件i 能够正常工作”记为事件)5,4,3,2,1(=i A i 那么系统的可靠性为
)()()()}()(){(5432154321A A P A P A A P A A A A A P ++=??
)()()()(543215435421321A A A A A P A A A P A A A A P A A A P +---
)()()()()()()()()()()()(542132154321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P --++=
)()()()()()()()(54321543A P A P A P A P A P A P A P A P +-
534322p p p p p p p +---++= 543222p p p p p +--+=
21,用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4,0.6。今独立地对一产品进行了3次检验,结果是2次检验认为含有杂质,而一次检验认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率。(注:本题较难,灵活应用全概率公式和Bayes 公式)
解:设“一产品真含有杂质”记为事件A ,“对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质,而1次检验认为不含有杂质”记为事件B 。则要求的概率为)|(B A P ,根据Bayes 公式可得
)
|()()|()()
|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=
又设“产品被检出含有杂质”记为事件C ,根据题意有4.0)(=A P ,而且8.0)|(=A C P ,9.0)|(=A C P ,所以
384.0)8.01(8.0)|(223=-??=C A B P ;027.09.0)9.01()|(223=?-?=C A B P
故,
9046
.01698
.01536
.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(==?+??=+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
(第1章习题解答完毕)
第2章
随机变量及其分布
1,设在某一人群中有40%的人血型是A 型,现在在人群中随机地选人来验血,直至发现血型是A 型的人为止,以Y 记进行验血的次数,求Y 的分布律。
解:显然,Y 是一个离散型的随机变量,Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血,因
此有
116.04.0)4.01(4.0}{--?=-?==k k k Y P , ( ,3,2,1=k )
上式就是随机变量Y 的分布律(这是一个几何分布)。
2,水自A 处流至B 处有3个阀门1,2,3,阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开,以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数,求X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解:X 只能取值0,1,2。设以
)
3,2,1(=i A i
记第
i
个阀门没有打开这一事件。则
)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ?=?==
)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=,
类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X
P ,
416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述,可得分布律为
3,据信有20%的美国人没有任何健康保险,现任意抽查15个美国人,以X 表示15
个人中无任何健康保险的人数(设各人是
否有健康保险相互独立)。问X 服从什么分布?写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率:(1)恰有3人;(2)至少有2人;(3)不少于1人且不多于3人;(4)多于5人。 解:根据题意,随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2),分布律为
15,2,1,0,8.02.0)(1515 =??==-k C k X P k k k
。
(1),
2501.08.02.0)3(123315=??==C X P
(2)8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X
P ;
(3)6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ;
(4))2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X
P
0611.0)0()1(==-=-X P X P
4,设有一由n 个元件组成的系统,记为][/G n k ,这一系统的运行方式是当且仅当n 个元件中至少有
k )0(n k ≤<个元件正常工作时,系统正常工作。现有一][5/3G 系统,它由相互独立的元件组成,设
每个元件的可靠性均为0.9,求这一系统的可靠性。
解:对于][5/3G 系统,当至少有3个元件正常工作时,系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X
服从二项分布B(5, 0.9),所以系统正常工作的概率为
99144
.01.09.0)(5
3
55
53
=??==∑∑=-=k k k k
k C
k X P
5,某生产线生产玻璃制品,生产过程中玻璃制品常出现气泡,以至产品成为次品,设次品率为0.001,现取8000件产品,用泊松近似,求其中次品数小于7的概率。(设各产品是否为次品相互独立) 解:根据题意,次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001),所以
∑=-?=≤=<6
080008000999.0001.0)6()7(k k
k k C X P X P
3134
.0!8!)001.08000(6
8
6
0001.08000==?≈∑∑=-=?-k k k k k e k e (查表得)。
6,(1)设一天内到达某港口城市的油船的只数X~)10(π,求}15{>X P
(2)已知随机变量X~)(λπ,且有5.0}0{=>X P ,求}2{≥X P 。
解:(1)0487.09513.01}15{1}15{=-=≤-=>X P X
P ;
(2)根据5.01}0{1}0{=-==-=>-λe X P X
P ,得到2ln =λ。所以
1534
.02/)2ln 1(5.01}1{}0{1}2{≈-=--==-=-=≥-λλe X P X P X P 。
7,一电话公司有5名讯息员,各人在t 分钟内收到讯息的次数
)2(~t X π(设各人收到讯息与否相互独
立)。(1)求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。(2)求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。(3)写出在一给定的一分钟内,所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解:在给定的一分钟内,任意一个讯息员收到讯息的次数)2(~πX 。
(1)1353
.0}0{2≈==-e X
P ;
(2)设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示,则Y~ B(5, 0.1353),所以
00145
.0)1353.01(1353.0}4{445=-?==C Y P 。
(3)每个人收到的讯息次数相同的概率为
()∑∑∞=-∞=-???
?
??=???? ?
?051005
2
!32!2k k k k k e k e
8,一教授当下课铃打响时,他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内,以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概率密度为
??
?≤≤=他
其100
)(2
x kx x f , (1)确定k ;(2)求}3
1
{≤X
P ;(3)求}2141{
≤≤X P ;
(4)求}3
2
{>X P 。 解:(1)根据3
)(11
2k
dx kx dx x f =
==
??+∞
∞
-,得到3=k ; (2)271313}31{3
3
/10
2
=??? ??==≤?dx x X P ;
(3)64741213}2141{3
3
2
/14/12
=??? ??-??? ??==≤≤?dx x X P ;
(4)27193213}32{3
1
3
/22
=??? ??-==>?dx x X P 。
9,设随机变量X 的概率密度为??
?≤≤=他
其1000
003.0)(2
x x x f ,求t 的方程0
4522
=-++X Xt t
有实根的概率。
解:方程04522
=-++X Xt t 有实根表明0)45(442≥--=?X X ,即0452≥+-X X ,
从而要求
4≥X 或者1≤X 。因为
001.0003.0}1{1
2
==≤?dx x X P , 936.0003.0}4{10
4
2==≥?dx x X P
所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
10,设产品的寿命X (以周计)服从瑞利分布,其概率密度为
??
???≥=-他
其00100
)(200/2x e x x f x
(1) 求寿命不到一周的概率; (2) 求寿命超过一年的概率;
(3) 已知它的寿命超过20周,求寿命超过26周的条件概率。
解:(1)00498.01100}1{200/11
200
/2≈-==<--?
e dx e x X
P x ; (2)000001.0100}52{200/270452
200
/2≈==>-+∞
-?e dx e x X P x ;
(3)25158.0100100}
20{}
26{}2026{200/27620
200/26
200
/22≈==
>>=
>>-∞
+-+∞
-??e dx e x dx e x X P X P X X P x x 。
11,设实验室的温度X (以
C
计)为随机变量,其概率密度为
??
???≤≤--=他其210)4(91
)(2x x x f
(1) 某种化学反应在温度X >1时才能发生,求在实验室中这种化学反应发生的概率。
(2) 在10个不同的实验室中,各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的,以Y 表示10个实
验室中有这种化学反应的实验室的个数,求Y 的分布律。
(3) 求}2{=Y
P ,}2{≥X P 。
解:(1)?=
-=>2
12275
)4(91}1{dx x X
P ; (2)根据题意)27
5
,
10(~B Y
,所以其分布律为
10,2,1,0,2722275)(1010 =?
?
? ?????? ???==-k C k Y P k
k k
(3)
2998.02722275)2(8
2
2
10=??? ?????? ???==C Y P ,
5778.0)1()0(1)2(==-=-=≥Y P Y P Y P 。
12,(1)设随机变量Y 的概率密度为
??
?
??≤<≤<-+=他
其100102.02
.0)(y y Cy
y f
试确定常数C ,求分布函数)(y F ,并求}5.00{≤≤Y P ,}1.0|5.0{>>Y Y P 。
(2)设随机变量X 的概率密度为
??
?
??≤≤<<=他其422008/8/1)(x x x x f
求分布函数)(x F ,并求}31{
≤≤x P ,}3|1{≤≥X X P 。
解:(1)根据2
4.0)2.0(2.0)(11
1
C
dy Cy dy dy y f +
=++==
???-+∞
∞
-,得到2.1=C 。 110011)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(01
1
00
101≥<≤<≤--????????
??++++==??????---∞-y y y y dy y dy dy y dy dy dy y f y F y y
y
11001112.02.06.0)1(2.002
≥<≤<≤--??
????+++=y y y y y y y 25.02.045.0)0()5.0(}0{}5.0{}5.00{=-=-=≤-≤=≤≤F F Y P Y P Y P ;
7106
.0
226
.0
1
45
.0
1
)1.0(
1
)5.0(
1
}1.0
{
1
}5.0
{
1
}1.0
{
}5.0
{
}1.0
|5.0
{=
-
-
=
-
-
=
≤
-
≤
-
=
>
>
=
>
>
F
F
Y
P
Y
P
Y
P
Y
P
Y
Y
P
(2)
4
4
2
2
8
8
1
8
8
1
8
1
)
(
)
(
2
4
2
2
02
≥
<
≤
<
≤
<
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
=
=
??
??
?
?
∞
-
x
x
x
x
dx
x
dx
dx
x
dx
dx
dx
x
f
x
F x
x
x
4
4
2
2
1
16
/
8/
2
≥
<
≤
<
≤
<
?
?
?
?
?
?
?
=
x
x
x
x
x
x
16
/7
8/1
16
/9
)1(
)3(
}3
1{=
-
=
-
=
≤
≤F
F
x
P;
9/7
)3(
)1(
)3(
}3
{
}3
1
{
}3
|1
{=
-
=
≤
≤
≤
=
≤
≥
F
F
F
X
P
X
P
X
X
P。
13,在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次,每次任取一数,作不放回抽样,以X表示第一次取到的数,以Y 表示第二次取到的数,求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。
解:根据题意,取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1),因此
)1
(
1
}
,
{
-
=
=
=
n
n
j
Y
i
X
P,(j
i≠,且n
j
i≤
≤,
1)
当n取3时,
1
}
,
{=
=
=j
Y
i
X
P,(j
i≠,且3
,
1≤
≤j
i),表格形式为
14,设一加油站有两套用来加油的设备,设备A是加油站的工作人员操作的,设备B是有顾客自己操作的。A,B均有两个加油管。随机取一时刻,A,B正在使用的软管根数分别记为X,Y,它们的联合分布律为
(1)求}1
,1
{=
=Y
X
P,}1
,1
{≤
≤Y
X
P;
(2)求至少有一根软管在使用的概率;
(3)求}
{Y
X
P=,}2
{=
+Y
X
P。
解:(1)由表直接可得}1
,1
{=
=Y
X
P=0.2,
}1,1{≤≤Y X P =0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
(2)至少有一根软管在使用的概率为
9.01.01}0,0{1}1{=-===-=≥+Y X P Y X P
(3)}2{}1{}0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X
P =0.1+0.2+0.3=0.6
28.0}0,2{}1,1{}2,0{}2{===+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P
15,设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为
?
?
?>>=+-他其,,0
,00),()42(y x Ce y x f y x 试确定常数C ,并求}2{>X P ,}{Y X P >,}1{<+Y X P 。
解:根据
1),(0
,0=??>>y x dxdy y x f ,可得
8
),(10
40
20
)
42(0
,0C
dy e dx e
C dy Ce
dx dxdy y x f y x
y x y x =
===
??????+∞
-+∞
-+∞
+-+∞
>>,
所以8=C
。
404220)
42(2
2
428),(}2{-+∞
-+∞
-+∞
+-+∞
>====
>??????e dy e dx e
dy e
dx dxdy y x f X P y x
y x x ;
3
2)1(2428),(}{0
420
40
20
)42(0
=
-====
>???????+∞
---+∞
-+-+∞
>dx e e dy e dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x x
y x x
y x y
x 2210
41
210
)
42(1
1
)1(428),(}1{-----+-<+-====
<+??????e dy e dx e
dy e
dx dxdy y x f Y X P x
y x
x
y x y x 。
16,设随机变量(X ,Y )在由曲线1,2/,22===x x y x y 所围成的区域G 均匀分布。
(1) 求(X ,Y )的概率密度; (2) 求边缘概率密度
)(),(y f x f Y X 。
解:(1)根据题意,(X ,Y )的概率密度
),(y x f 必定是一常数,故由
),(61
),(),(12
22
/1
y x f dy y x f dx
dxdy y x f x x G
=
==?
???,得到?
??∈=他其,0),(,6),(G y x y x f 。
(2)
??
???<<===??∞
+∞-他其,,01
036),()(22
/2
2x x dy dy y x f x f x
x X ;
?????<<-<<-=?????
?
?????<≤<<==???∞+∞-他其,,,他
其,,,015.0)1(65.00)2(6015.065.006),()(1
2y y y y y y dx y dx dx y x f y f y y
y
Y
18,设Y X ,是两个随机变量,它们的联合概率密度为
??
???>>=+-他其,,0,002),()1(3y x e x y x f y x ,
(1) 求),(Y X 关于X 的边缘概率密度)(x f X ;
(2) 求条件概率密度)|(|x y f X Y ,写出当5.0=x 时的条件概率密度;
(3) 求条件概率}5.0|1{=≥X Y
P 。
解:(1)
??
?
??>===??+∞-+-∞
+∞-其他,00,22),()(0
2)1(3x e x dy e x dy y x f x f x y x X 。 (2)当0>x 时,
???>==-其他
,00,)(),()|(|y xe x f y x f x y f xy X X Y 。
特别地,当5.0=x 时
???>==-其他,
00
,5.0)5.0|(5.0|y e x y f y X Y 。
(3)5.01
5.01
|5.0)5.0|(}5.0|1{-+∞
-+∞
====
=≥??
e dy e dy x y
f X Y P y X Y 。
19,(1)在第14题中求在0=X 的条件下Y 的条件分布律;在1=Y 的条件下X 的条件分布律。
(2)在16题中求条件概率密度
)|(|x y f X Y ,)|(|y x f Y X ,)5.0|(|x f Y X 。
解:(1)根据公式}
0{}
0,{}0|{====
==X P X i Y P X i Y P ,得到在0=X 的条件下Y 的条件分布律
为
类似地,在1=Y
的条件下
的条件分布律为
(2)因为
??
?∈=他
其,0),(,6),(G y x y x f 。 ?????<<==?他其,,01
036)(2
2/2
2x x dy x f x
x X ;??
???<<-<<-=他其,,,015.0)1(65.00)2(6)(y y y y y y f Y 。
所以,当10< ?? ???<<==其他,02/,2 )(),()|(2 22|x y x x x f y x f x y f X X Y ; 当5.00< ? ?? ?? <<-==其他 ,02,21)(),()|(|y x y y y y f y x f y x f Y Y X ; 当15.0<≤y 时, ? ?? ??<<-==其他 , 01,11)(),()|(|x y y y f y x f y x f Y Y X ; 当 5.0=y 时, ??? ??<<-=其他 , 015.0,5 .011 )|(|x y x f Y X 。 20,设随机变量(X ,Y )在由曲线 x y x y = =,2所围成的区域G 均匀分布。 (1) 写出(X ,Y )的概率密度; (2) 求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ; (3) 求条件概率密度 )|(|x y f X Y ,并写出当5.0=x 时的条件概率密度。 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1.设A ,B 为两个随机事件,若A 发生必然导致B 发生,且P (A )=0.6,则P (AB ) =______. 2.设随机事件A 与B 相互独立,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,则P (B ) = ______. 3.己知10件产品中有2件次品,从该产品中任意取3件,则恰好取到一件次品的概率等于______. 4.已知某地区的人群吸烟的概率是0.2,不吸烟的概率是0.8,若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008,不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001,则该人群患这种疾病的概率等于______. 5.设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时,X 的分布函数F (x )= ______. 6.设随机变量X ~N (1,32 ),则P{-2≤ X ≤4}=______.(附:)1(Φ=0.8413) 7.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______. 8.设随机变量X 的期望E (X )=2,方差D (X )=4,随机变量Y 的期望E (Y )=4,方差D (Y )=9,又E (XY )=10,则X ,Y 的相关系数ρ= ______. 9.设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ,则E (X 2 )= ______. 10.中心极限定理证明了在很一般条件下,无论随机变量Xi 服从什么分布,当n →∞时,∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11.设总体X ~N (1,4),x 1,x 2,…,x 10为来自该总体的样本,∑== 10 110 1 i i x x ,则)(x D = ______.· 12.设总体X ~N (0,1),x 1,x 2,…,x 5为来自该总体的样本,则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布. 15.对假设检验问题H 0:μ=μ0,H 1:μ≠μ0,若给定显著水平0.05,则该检验犯第一类错误的概率为______. 16.设A ,B 为两个随机事件,且A 与B 相互独立,P (A )=0.3,P (B )=0.4,则P (A B )=__________. 17.盒中有4个棋子,其中2个白子,2个黑子,今有1人随机地从盒中取出2个棋子,则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18.设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. ·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: 概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题(每空2分,共20分) 1、设X 为连续型随机变量,则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N (1,4)分布,Y 服从P(1)分布,且X 与Y 独立,则 E (XY+1-Y )=( 1 ) ,D (2Y-X+1)=( 17 ). 5、已知随机变量X ~N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。 则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本,其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值,则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题(每题12分,共48分) 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解:(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上,以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=?=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为 其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1<X <1/λ)}; (3)F(1). ?? ?? ?<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 第1章 随机变量及其概率 1,写出下列试验的样本空间: (1) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次,记录 投掷的次数。 (2) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次, 记录投掷的次数。 (3) 连续投掷一枚硬币直至正面出现,观察正反面出现的情况。 (4) 抛一枚硬币,若出现H 则再抛一次;若出现T ,则再抛一颗骰 子,观察出现的各种结果。 解:(1)}7,6,5,4,3,2{=S ;(2)},4,3,2{ =S ;(3)},,,,{ TTTH TTH TH H S =; (4)}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2,设B A ,是两个事件,已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ,求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解:625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P , 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P , 875.0)(1)(___ --=AB P AB P , 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3,在100,101,…,999这900个3位数中,任取一个3位数,求不包含数字1个概率。 解:在100,101,…,999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??,所以所求得概率为 72.0900 648= 4,在仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中,任取一个三位数。(1)求该数是奇数的概率;(2)求该数大于330的概率。 解:仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。(1)该数是奇数的可能个数为48344=??个,所以出现奇数的概率为 48.0100 48= (2)该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?,所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5,袋中有5只白球,4只红球,3只黑球,在其中任取4只,求下列事件的概率。 (1)4只中恰有2只白球,1只红球,1只黑球。 (2)4只中至少有2只红球。 (3)4只中没有白球。 解: (1)所求概率为338412 131425=C C C C ; 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验: (1)在相同条件下可以重复进行; (2)每次试验的结果不止一个,并且能事先明确所有的可能结果; (3)进行试验之前,不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点,也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间,也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中,试验的目的不同时,样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件,简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 (1)包含关系 B A ?,即事件A 发生,导致事件B 发生; (2)相等关系 B A =,即B A ?且A B ?; (3)和事件(也叫并事件) B A C ?=,即事件A 与事件B 至少有一个发生; (4)积事件(也叫交事件) B A AB C ?==,即事件A 与事件B 同时发生; (5)差事件 AB A B A C -=-=,即事件A 发生,同时,事件B 不发生; (6)互斥事件(也叫互不相容事件) A 、 B 满足φ=AB ,即事件A 与事件B 不同时发生; (7)对立事件(也叫逆事件) A A -Ω=,即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 (1)交换律 BA AB A B B A =?=?,; (2)结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,; (3)分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,; (4)幂等律 A AA A A A ==?, ; (5)差化积 B A AB A B A =-=-; (6)反演律(也叫德·摩根律)B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验,Ω为样本空间,对于Ω中的每一个事件A ,赋予一个实数P (A ),称之为A 的概率,P (A )满足: (1)1)(0≤≤A P ; (2)1)(=ΩP ; (3)若事件 ,,, ,n A A A 21两两互不相容,则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 (1)0)(=φP ; (2)若事件n A A A ,, , 21两两不互相容,则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ; (3))(1)(A P A P -=; (4))()()(AB P B P A B P -=-。 特别地,若B A ?,则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-; (5))()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} {=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)} 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ; {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ; {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++; (4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++; (6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ; (9)C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:C B A ++,C AB +,AC B -. 解:如图: 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子,则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为( ) 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ,则( ) (A)对任意实数21,p p =μ (B )对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值,才有21p p = (D )对任意实数μ,都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ,且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数,则对任意 实数a 成立的是( ) (A )? - =-a dx x f a F 0 )(1)( (B )?-= -a dx x f a F 0 )(21)( (C ))()(a F a F =- (D )1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本,记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) (A )4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N (C )()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ,若3.0}40{=< 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量, A =‘通过汽车不足5台’, B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 (3) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (4) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5) {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用 ,,A B C 表示下列事件: (1)仅A 发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 解 (1)ABC (2)AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ; (3)A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ; (4)ABC ABC ABC U U ; (5)AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ; 3.一个工人生产了三件产品,以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品,试用i A 表示下列事件:(1)没有一件产品是次品;(2)至少有一件产品是次品;(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。 解 (1)123A A A ;(2)123A A A U U ;(3) 123123123A A A A A A A A A U U ;(4)121323A A A A A A U U 。 4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’,则 5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求 (1)5只全是好的的概率; (2)5只中有两只坏的的概率。 解 (1)设A =‘5只全是好的’,则 537540 ()0.662C P A C =B ; 1、考虑为期一年的一张保险单,若投保人在投保一年后因意外死亡,则公司赔付20万元, 若投保人因其他原因死亡,则公司赔付5万元,若投保人在投保期末生存,则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002,因其他愿意死亡的概率为0.0010,求公司赔付金额的分布律。 解:设X为公司的赔付金额,X=0,5,20 P(X=0)=1-0.0002-0.0010=0.9988 P(X=5)=0.0010 P(X=20)=0.0002 X 0 5 20 P 0.9988 0.0010 0.0002 2.(1) 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球,以X表示取出的三只中的最大号码,写出随机变量的分布律. 解:方法一: 考虑到5个球取3个一共有=10种取法,数量不多可以枚举来解此题。 设样本空间为S S={123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 } 易得,P{X=3}=;P{X=4}=;P{X=5}=; X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 方法二:X的取值为3,4,5 当X=3时,1与2必然存在,P{X=3}= =; 当X=4时,1,2,3中必然存在2个,P{X=4}= =; 当X=5时,1,2,3,4中必然存在2个,P{X=5}= =; X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 (2)将一颗骰子抛掷两次,以X表示两次中得到的小的点数,试求X的分布律. 解:P{X=1}= P (第一次为1点)+P(第二次为1点)- P(两次都为一点) = =; P{X=2}= P (第一次为2点,第二次大于1点)+P(第二次为2点,第一次大于1点)- P(两次都为2点) = =; P{X=3}= P (第一次为3点,第二次大于2点)+P(第二次为3点,第一次大于2点)- P(两次都为3点) 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 《概率论与数理统计》 试卷A (考试时间:90分钟; 考试形式:闭卷) (注意:请将答案填写在答题专用纸上,并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效) 一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分) 1、A ,B 为二事件,则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ,B ,C 表示三个事件,则A B C 表示( ) A 、A , B , C 中有一个发生 B 、A ,B ,C 中恰有两个发生 C 、A ,B ,C 中不多于一个发生 D 、A ,B ,C 都不发生 3、A 、B 为两事件,若()0.8P A B =U ,()0.2P A =,()0.4P B =, 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ,B 为任二事件,则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立,则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ,则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ,则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案 一、填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 2、设事件A 与B 独立,A 与B 都不发生的概率为 1 9 ,A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等,则A 发生的概率为: ; 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为: ,0 ()1/4,020,2 x Ae x x x x ??=≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立,则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数 ()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1) 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关?计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ? 二、应用题(20分) 1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是1/4,1/3,1/2。现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大? 答 案 第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式: ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件,用A,B,C 的运算关系表示下列事件: ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8 {}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ,两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。 习题一: 1.1 写出下列随机试验的样本空间: (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解:连续5 次都命中,至少要投5次以上,故}{Λ,7,6,51=Ω; (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解:}{12,11,4,3,22Λ=Ω; (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以}{Λ,2,1,03=Ω; (4) 从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故: ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格; 解:用0 表示合格, 1 表示不合格,则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω; (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解:用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故: ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ωπ; (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解:}{ 207ππx x =Ω; (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解:()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ; 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ; (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?; (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??; 数理统计练习 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=0.5,P (B)=0.6,P (B A)=0.8,则P (A+B)=__ 0.7 __。 2、某射手对目标独立射击四次,至少命中一次的概率为 8180,则此射手的命中率3 2。 3、设随机变量X 服从[0,2]上均匀分布,则=2)] ([)(X E X D 1/3 。 4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松(Poisson )分布,且已知)]2)(1[(--X X E =1,则=λ___1____。 5、一次试验的成 功率为p ,进行100次独立重复试验,当=p 1/2_____时 ,成功次数的方差的值最大,最大值为 25 。 6、(X ,Y )服从二维正态分布),,,,(2 22121ρσσμμN ,则X 的边缘分布为 ),(2 11σμN 。 7、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (X )=3 4。 8、随机变量X 的数学期望μ=EX ,方差2σ=DX ,k 、b 为常数,则有)(b kX E += ,k b μ+;)(b kX D +=22k σ。 9、若随机变量X ~N (-2,4),Y ~N (3,9),且X 与Y 相互独立。设Z =2X -Y +5,则Z ~ N(-2, 25) 。 10、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)?()?(21θθD D <,则称1?θ比2 ?θ有效。 1、设A 、B 为随机事件,且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6,则P (B A )=_0.3__。 2、设X B (2,p ),Y B (3,p ),且P {X ≥ 1}=9 5,则P {Y ≥ 1}=27 19。 3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。 4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5、设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α=0.6 。 6、利用正态分布的结论,有 ? ∞ +∞ ---=+-dx e x x x 2 )2(22 )44(21 π 1 。 概率论与数理统计期末考试卷 课程名称: 概率论与数理统计 考试时间 专业 班 学号 姓名 一、填空题(每格3分,共18分) 1. 设 3 1)()()(321= ==A P A P A P ,321,,A A A 相互独立,则(1)321,,A A A 至少出现一 个的概率为_ __;(2)321,,A A A 恰好出现一个的概率为_ _ _。 2. 设)2,1(~2N X ,)1(~P Y ,6.0=XY ρ,则=+-2)12(Y X E __ ____。 3.设Y X ,是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为)(x F X ,)(y F Y 则 },max{Y X Z =的分布函数是 。 4.若随机变量X 服从正态分布),(2 σμN ,20 21,,,X X X Λ是来自X 的一个样本,令 ∑∑==-=20 11 101 43i i i i X X Y ,则Y 服从分布 。 5. 若对任意给定的0>x ,随机变量y 的条件概率密度???>=-其它 ,00,)(y xe x y f xy z y 则 y 关于x 的回归函数==)(x x y μμ . 二、单项选择题(每小题2分,共10分) 1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上等于x sin ,而在此区间外等于0,若)(x f 可以做为某连续型随机变量X 的密度函数,则区间],[b a 为( )。 (A) ]2,0[π ; (B) ],0[π; (C) ]0,2 [π - ; (D) ]2 3, 0[π 。 2. 假设随机变量X 的概率密度为)(x f ,即)(~x f X ,期望μ与方差2 σ都存在,样本)1(,,,21>n X X X n Λ取自X ,X 是样本均值,则有( ) (A) )(~x f X ; (B) )(~min 1x f X i n i ≤≤; (C) )(~max 1x f X i n i ≤≤ ; (D) )(~ ),,,(1 21∏=n i i n x f X X X Λ。 3. 总体2 ~(,)X N μσ,2σ已知,n ≥( )时,才能使总体均值μ的置信度为0.95 的置信区间长不大于L 。(975.0)96.1(=Φ) (A )2215/L σ; (B )22 15.3664/L σ; (C )22 16/L σ; (D )16。 4. 对回归方程的显著性的检验,通常采用3种方法,即相关系数检验法,-F 检验法 和-t 检验法,下列说法正确的( )。 (A) F 检验法最有效; (B) t 检验法最有效; (C) 3种方法是相通的,检验效果是相同的; (D) F 检验法和t 检验法,可以代替相关系数的检验法。 5.设n X X X ,,,21Λ来自正态总体),(2 σμN 的样本(2 σ已知),令n X u /σμ -= ,并且2 1α - u 满足 απ αα-=?- - --121 2 12 122 /dx e u u x (10<<α),则在检验水平α下, 检验00:μμ=H 时,第 《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生,则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54). (5)设 X1X2, 未知,贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o: (A)U (C) 2)的一个简单随机样本,其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 : (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立,且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本,丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本,则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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