一元二次方程根与系数的关系 基础训练

浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）

基础训练

一．选择题（共15小题）

1．（2015?永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m ﹣|=（）

A．0 B．C．D．0或

2．（2015?怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013

3．（2015?湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）

A．﹣4 B．8 C．6 D．0

4．（2015?武汉模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A．3 B．5 C．7 D．4

5．（2015?宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）

A．有一正根和一负根 B．有两个正根

C．有两个负根D．没有实数根

6．（2015?潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）

A．2 B．1 C．﹣1 D．0

7．（2015?芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．3

8．（2016?吉安一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4

9．（2015?西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）

A．m＞B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤

10．（2015?峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则

x12+x22的最大值是（）

A．19 B．18 C．15 D．13

11．（2015?黄陂区校级模拟）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=（）

A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1

12．（2015?遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）

A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2

13．（2015?溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）

A．B．﹣C．﹣D．

14．（2015?湖北模拟）已知一元二次方程2x2+mx﹣7=0的一个根为x=1，则另一根为（）A．1 B．2 C．﹣3.5 D．﹣5

15．（2015?利川市模拟）若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）

A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5

二．填空题（共5小题）

16．（2015?黄陂区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则______．

17．（2015?泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为______．

18．（2015?长清区模拟）若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=______．19．（2015?滨州模拟）若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1?x2+x1+x2的值为______．20．（2015?东西湖区校级模拟）设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=______．

三．解答题（共8小题）

21．（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m ﹣8b=0．

求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．

22．（2015?合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；

（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；

（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？

23．（2015?黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．24．（2015?黄冈中学自主招生）已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）

（1）证明方程的两根都小于0；

（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．

25．（2015?蓬溪县校级模拟）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．

26．（2015?湖北校级自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根

（1）求（m+5﹣）﹣的值

（2）求+的值．

27．（2015?泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，

（1）求m的取值范围；

（2）若方程的一个根为1，求m的值；

（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．

28．（2015?肇庆二模）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：

（1）（x1﹣x2）2；

（2）．

浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关

系（选学）基础训练

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2015?永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m ﹣|=（）

A．0 B．C．D．0或

【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；

由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．

=，

①当m=﹣1，n=时，原式=；

②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；

③当m=，n=时，原式=0；

④当m=，n=﹣1时，原式=．

综上所述，=0或．

故答案为0或．

【点评】此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况，考查学生严谨的思维能力，难度中等．

2．（2015?怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013

【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x ＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．

【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；

当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，

所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．

故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

3．（2015?湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）

A．﹣4 B．8 C．6 D．0

【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x

1x2+6，然后整体代入即可．

【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，

∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，

∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，

∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，

故选：A．

【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，此题有一定的难度．4．（2015?武汉模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A．3 B．5 C．7 D．4

【分析】首先，根据根与系数的关系求得x1+x2=，x1?x2=1；

其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式；

最后，代入求值即可．

【解答】解：∵x1，x2是方程的两根，

∴x1+x2=，x1?x2=1，

∴=（x1+x2）2﹣2x1?x2=5﹣2=3．

故选A．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

5．（2015?宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）

A．有一正根和一负根 B．有两个正根

C．有两个负根D．没有实数根

【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负．【解答】解：方程的△=（4k+1）2﹣4×2（2k2﹣1）=8k+9，

∵k＞1，∴△＞17，故方程有两不相等的实数根．

∴x1+x2=＞2，

x1x2=＞，

所以两根为正根．

故选B．

【点评】总结：

1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

2、根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=．

6．（2015?潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）

A．2 B．1 C．﹣1 D．0

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1?x2=来求方程的另一个根．

【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，

由韦达定理，得x1?x2=2，即﹣2x2=2，

解得，x2=﹣1．

即方程的另一个根是﹣1．

故选C．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1?x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．

7．（2015?芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．3

【分析】由根与系数的关系求得x1+x2=3，x1x2=，然后将其代入变形后的代数式进行求值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，

∴x1+x2=3，x1x2=，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×=6．

故选：C．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

8．（2016?吉安一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4

【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．

【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，

∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．

故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是﹣，两根之积是．

9．（2015?西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）

A．m＞B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤

【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，

所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜

m≤9．

【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），

根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，

a+b=6，ab=m，

∵a＜b+5，即a﹣b＜5，

∴（a﹣b）2＜25，

∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，

∴m＞，

∴m的取值范围是＜m≤9．

故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两

根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了三角形三边的关系．

10．（2015?峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）

A．19 B．18 C．15 D．13

【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．

【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0

所以3k2+16k+16≤0，

所以（3k+4）（k+4）≤0

解得﹣4≤k≤﹣．

又由x1+x2=k﹣2，x1?x2=k2+3k+5，得

x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，

当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．

故选：B．

【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．

11．（2015?黄陂区校级模拟）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=（）

A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1

【分析】根据x1+x2=﹣计算即可．

【解答】解：根据题意可得

x1+x2=﹣=﹣=3，

故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式．

12．（2015?遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）

A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2

【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．

【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，

所以p=﹣1，q=﹣2．

故选：B．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．

13．（2015?溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）

A．B．﹣C．﹣D．

【分析】直接根据根与系数的关系求解．

【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=．

故选D．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

14．（2015?湖北模拟）已知一元二次方程2x2+mx﹣7=0的一个根为x=1，则另一根为（）A．1 B．2 C．﹣3.5 D．﹣5

【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到1×t=﹣，然后解一次方程即可．【解答】解：设方程的另一个根为t，

根据题意得1×t=﹣，解得t=﹣3.5．

故选C．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．

15．（2015?利川市模拟）若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）

A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5

【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．

【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．

故选A．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根方程的另一个解时，x1+x2=﹣，x1x2=，熟记这一关系是解题的关键．

二．填空题（共5小题）

16．（2015?黄陂区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则m=1或m=5．

【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．

【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知，∵，而由知，x1，x2异号．

故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，

则得，

从上面两式消去k，得，

即m2﹣6m+5=0，

解之得m1=1，m2=5．

故答案为：1或5．

【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是熟记x1，x2是一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．

17．（2015?泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的

值为7．

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．

【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，

∴a2﹣a﹣3=0，

∴a2=a+3，

∴a2+b+3=a+3+b+3

=a+b+6，

∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，

∴a+b=1，

∴a2+b+3=1+6=7．

故答案为7．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两

根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．

18．（2015?长清区模拟）若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=10．

【分析】根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣3，再把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，然后利用整体代入思想计算．

【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，

∴a+b=2，ab=﹣3，

∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣3）=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个解为

x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．

19．（2015?滨州模拟）若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1?x2+x1+x2的值为﹣

．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1?x2=﹣2，然后代入所求的代数式中计算即可．

【解答】解：根据题意得x1+x2=，x1?x2=﹣2，

所以x1?x2+x1+x2=﹣2+=﹣．

故答案为﹣．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为

x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．

20．（2015?东西湖区校级模拟）设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=3．【分析】利用根与系数的关系x1+x2=﹣解答并填空即可．

【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，

∴x1+x2=﹣=﹣=3．

故答案是：3．

【点评】考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：x1+x2=﹣．

三．解答题（共8小题）

21．（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m ﹣8b=0．

求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．

【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．

（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．

【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．

∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，

∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，

设x1，x2是此方程的两个根，

∴x1?x2==，

∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，

又m为正整数，

∴m=2；

（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0

当a=b时，

当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．

①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2

故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．

②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．

③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．

S△ABC=×（2）×=

综上，△ABC的面积为1或．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．

22．（2015?合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；

（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；

（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？

【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k

的取值范围；

（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．

【解答】解：（1）△=4+4k，

∵方程有两个不等实根，

∴△＞0，

即4+4k＞0

∴k＞﹣1

（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，

αβ=﹣k，

∴=，

（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．

【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

23．（2015?黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．

【分析】由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1?x2=2a2﹣1，然后把（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．

【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a﹣1），c=2a2﹣1，

∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1?x2=2a2﹣1，

而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，

∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，

3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，

∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，

∴5a2+18a﹣99=0，

∴a=3或﹣，

当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，

∴不合题意，舍去

∴a=﹣．

【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

24．（2015?黄冈中学自主招生）已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）

（1）证明方程的两根都小于0；

（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．

【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k

﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；

（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．

【解答】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，

∴﹣4≤k≤﹣，

∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，

∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，

∴方程的两根都小于0；

（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，

∵﹣4≤k≤﹣，

∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．

25．（2015?蓬溪县校级模拟）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．

【分析】根据根与系数的关系求得m、n的值，然后将其代入所求的代数式求值．

【解答】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=4，

∴x=

=

=±1，

∴m=+1，n=﹣1；

∴+=

=

=

=

=4．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

26．（2015?湖北校级自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根

（1）求（m+5﹣）﹣的值

（2）求+的值．

【分析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；

（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，

mn=1整体代值计算．

【解答】解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，

∴m=，n=，

∴m＜n＜0，

原式=?﹣

=﹣

=﹣6﹣2m﹣

=

∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，

∴m2+3m+1=0，

∴原式=0；

（2）∵m＜0，n＜0，

∴+=﹣m﹣n=+=（），

∵m+n=﹣3，mn=1，

∴原式=9﹣2=7．

【点评】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．

27．（2015?泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，

（1）求m的取值范围；

（2）若方程的一个根为1，求m的值；

（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；

（2）把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（3）根据根与系数的关系得到α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，利用α2+β2﹣αβ=6得到（α+β）2﹣3αβ=6，则（2m﹣1）2﹣3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．

【解答】解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，

解得m≤；

（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，

解得m1=0，m2=﹣2，

即m的值为0或﹣2；

（3）存在．

根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，

∵α2+β2﹣αβ=6，

∴（α+β）2﹣3αβ=6，

即（2m﹣1）2﹣3m2=6，

整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，

∵m≤；

∴m的值为﹣1．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立．也考查了根的判别式．

28．（2015?肇庆二模）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：

（1）（x1﹣x2）2；

（2）．

【分析】欲求（x1﹣x2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

【解答】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1?x2=．

（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2=

=10．

（2）

=x1x2+1+1+

=

=．

【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点． 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程: 一、引入新课 问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为 二、讲授新课 引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？ 解为： 无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为： 当Δ≥0时有实根； 当Δ＜0时，有一对共轭的虚根． 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解： 例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6． 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？ 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解． 解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ． 练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.

一元二次方程概念和解法测试题

一元二次方程概念与解法测试题 姓名： 得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是 。 1． 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项： 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程； 当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（ ）； （A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2 320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法

《一元二次方程解法》练习题(基础)

九年级数学上册《一元二次方程解法》练习题 一、填空题 1.一元二次方程的一般形式是____ ______.其解为1x =__________,2x =____________. 2.将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是__________. 3.方程)0(02≠=+a c ax 的解的情况是：当0>ac 时_________；当0=ac 时___________；当0

一元二次方程综合训练

一元二次方程综合训练 1、 ①x 2 =0 ②ax 2 +bx +c =0 ③2x 2 －3=5x ④a 2 +a －x =0 ⑤(m －1)x 2 +4x + 2m =0 ⑥21x +x 1=3 1 ⑦12-x = 2 ⑧(x +1)2=x 2 －9 2、将方程(2-x)(x+1)=8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是_________， 它的一次项是_____，常数项是______。 3、若方程(m+2)x |m| +3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则m=______。 4、方程)0(02 ≠=++a c bx ax 根的判别式是 ，求根公式是 。 5、若代数式x 2 + mx+49是完全平方式，则m= 。 6、若关于x 的方程x 02 =++n mx 的一根为0，另一根不为0，则：（ ） A 、m=0，n=0 B 、m=0，n ≠0 C 、m ≠0，n=0 D 、m ·n=0 7、把方程x 0582 =+-x 配方后所得到的方程是：（ ） A 、()1162 =-x B 、()1142 =-x C 、()3162 =-x D 、()1642 =-x 8、下列方程有实数根的是（ ） A 、2210x x ++= B 、210x x --= C 、2 6100x x -+= D 、2 10x += 9、若三角形的三边长是a 、b 、c 且满足（a-b ）（b-c ）=0,则此三角形是 三角形 10、解下列方程： ①()2 94490x +-= ②2 2610x x -+= ③(5x-3)2 + 2(3-5x) = 0 11、已知关于x 的方程02)12(2 2 =++++m x m x 有两个不等实根，（1）求m 的取值范围； （2）试判断直线x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。 12、下列方程是关于x 的一元二次方程，求k 的取值范围 ① kx 2 +2x=1 有两个不相等的实根 ② 12)21(2 =--x k x k 有两实根 13、已知关于x 的方程x 2-(k+2)x+2k=0. (1)求证：无论k 取何值，方程总有实数根；（2）若 等腰三角形一边长a=1，另两边长b.c 恰好是这个方程的两根，求此等腰三角形的周长。 14、已知关于x 的一元二次方程 ()()011212 =+-+-x m x m 有两个相等的实数根，请你求出这 个方程的根 15、x 1、x 2是方程x 2 -3x=1的二根，不解方程求下列各式的值。 ① 12 11 +x x ②(x 1+3)(x 2+3) ③x 12+x 22 ④(x 1-x 2)2 16、下列方程是关于x 的一元二次方程，求m 的值。 ① 方程x 2+(m-2)x-3=0的二根互为相反数 ②方程x 2 =3x-m 的一根是另一根的2倍。 ③方程x 2 -mx+2m=1两根的平方和为7.

一元二次方程单元综合测试题(含答案)

第二章 一元二次方程单元综合测试题 一、填空题（每题2分，共20分） 1．方程1 2x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21 x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5） 12 x 2 =0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果 2 1 x －2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形_________ 原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）． 10．代数式1 2x 2+8x+5的最小值是_________． 二、选择题（每题3分，共18分） 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则

必有（）． A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对 12．若分式 2 2 6 32 x x x x -- -+ 的值为0，则x的值为（）． A．3或－2 B．3 C．－2 D．－3或2 13．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）． A．－5或1 B．1 C．5 D．5或－1 14．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2－px+q可分解为（）．A．（x+2）（x+3）B．（x－2）（x－3） C．（x－2）（x+3）D．（x+2）（x－3） 15已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）． A．1 B．2 C．3 D．4 16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（）． A．8 B．8或10 C．10 D．8和10 三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分） 17．（1）2（x+2）2－8=0；（2）x（x－3）=x；

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

《一元二次方程》课后拓展训练

21.1 一元二次方程 1. 下列方程是一元二次方程的是 （ ） A. 2135032 x x -+= B. 2134x x x += C. 21 10x x --= D. 2111x x =+- 2. 一元二次方程的一般形式是 （ ） A. ax 2＋bx ＋c ＝0 B. ax 2＋bx ＋c (a ≠0) C. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) D. ax 2＋bx ＋c ＝0(b ≠0) 3. 若px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ） A. p ＝1 B. p ＞0 C. p ≠0 D. p 为任意实 数 4. 关于x 的一元二次方程（3－x ）（3＋x ）－2a （x ＋1）＝5a 的一次项系数为 （ ） A. 8a B. －8a C. 2a D. 7a －9 5. 若（m 2－4）x 2＋3x －5＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ） A. m ≠2 B. m ≠－2 C. m ≠－2，或m ≠2 D. m ≠－2，且m ≠2 6. 把方程x (x ＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 . 7. 已知0是关于x 的方程（m ＋3）x 2－x ＋9－m 2＝0的根，则m ＝ . 8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为8m 2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m ，根据题意得方程 . （不解）

9. 若关于x 的方程kx 2＋3x ＋1＝0是一元二次方程，则k . 10. 当m 时，方程（m －1）x 2－(2m －1)x ＋m ＝0是关于x 的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x 的一元二次方程. 11.已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b --的值. 12. 如图所示，有一个面积为120m 2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m ，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程） 13. 如果x 2＋3x ＋2与a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c 是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a ，b ，c 的值吗？

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-

(完整版)《一元二次方程》基础测试题及答案详解

《一元二次方程》基础测试 一 选择题（每小题3分，共24分）： 1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是………………………………………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解 3．方程x x -=+65的解是……………………………………………………………（ ） （A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3 4．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是………………（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x 2－2x －2k ＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0 6．以 213+ 和 2 13- 为根的一个一元二次方程是………………………………（ ） （A ）02132=+-x x （B ）02 132=++x x （C ）0132=+-x x （D ）02132=-+x x 7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x 8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值 是………………………………………………………………………………………（ ） （A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1 答案： １． Ｃ；２．Ｂ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．Ｂ；６．Ａ；７．Ｄ；８．Ｂ． 二 填空题（每空2分，共12分）： 1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ； 2．若分式2 652-+-x x x 的值是零，则x ＝ ； 3．已知方程 3x 2 － 5x －41＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2 ＝ ， x 1·x 2＝ ； 4．关于x 方程（k －1）x 2－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ； 5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 答案： １．±2；２．3；３．35，12 1-；４．k ＜59且k ≠1；５．46． 三 解下列方程或方程组（第１、２小题８分，第３小题９分，共25分）： 1．03232= +-x x ； 解：用公式法． 因为 1=a ，23-=b ，3=c ， 所以 6314)23(422=??--=-ac b ， 所以 2623126)23(1+=?+--=x ，

一元二次方程基础练习题

一元二次方程练习题 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合题 1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？ 2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 3，判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) ax2+bx+c=0 4，方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下

此方程为一元一次方程？ 5，下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 6，.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值。 7，．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 8，关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值 一、选择题 1．方程x（x-1）=2的两根为（）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1 a C．x1=a，x2= 1 a D．x1=a2，x2=b2 3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）． A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题 1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________． 2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 3．方程（x+1）2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

2019届中考数学专题复习一元二次方程专题训练

一元二次方程 A级基础题 1．一元二次方程x2－3x＝0的根是() A．x1＝0，x2＝－3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝1，x2＝－3D．x1＝0，x2＝3 2．(2017浙江舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是() A．(x＋2)2＝2B．(x＋1)2＝2C．(x＋2)2＝3D．(x＋1)2＝3 3．(2017年江苏南京改编)解方程(x－5)2＝19，用以下哪种方法最恰当() A．配方法B．直接开平方法C．因式分解法D．公式法 4．(2018年湖南娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是() A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定 5．(2018年湖南湘潭)若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是() A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1 6．如图214，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是() 图214 A．7 m B．8m C．9 m D．10m 7．(2018年吉林)若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________． 8．一元二次方程x2－2x＝0的解是____________． 9．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为____________． 10．已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

一元二次方程及一元二次方程的解法测试题(绝对经典)

. 第二章一元二次方程单元测验 一、选择题：(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） （A ）22)1(2-=-x x （B ）01232=+-x x （C ）042=-x x （D ）02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为（ ） （A ）4121==x x （B ）2121==x x （C ）,01=x 212=x （D ）,2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ） （A ）因式分解法 （B ）直接开平方法 （C ）配方法 （D ）公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2 –3x + 4＝0 （B ）x 2–x –3＝0 （C ）x 2–12x + 36＝0 （D ）x 2–2x + 3＝0 5、已知ｍ是方程012 =--x x 的一个根，则代数ｍ2 －ｍ的值等于 （ ） A 、１ B 、－１ C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +（ ） A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48＝0的解, 则这个三角形 的周长是（ ）（A ）11 （B ）17 （C ）17或19 （D ）19 8. 下列说法中正确的是 （ ）（A ）方程2 80x -=有两个相等的实数根; （B ）方程252x x =-没有实数根;（C ）如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么0?=; （D ）如果a c 、异号，那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）–1 （D ）0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0，那么 （ ） （A ）0==q p ; （B ）0,0≠=q p ; （C ）0,0=≠q p ; （D ）0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是 （ ） A ． 若x 2=4，则x ＝2 B ．方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1 C ．若x 2 +2x +k =0有一根为2，则8＝－k D ．若分式1 2 32－＋－x x x 值为零，则x ＝1，2 二、填空题：(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时，分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ，则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中，024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20，则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元，今年上升到720万元，如果这两年平均每年增长率相同，则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ，则k =____________。 15.已知关于x 的方程（2k+1）x 2 －kx+3=0，当k______时，?方程为一元二次方程，? 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．

中考数学一元二次方程综合练习题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可. 试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣12 ． 2．解方程：（3x+1）2=9x+3． 【答案】x 1=﹣ 13，x 2=23． 【解析】 试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可. 试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0， 分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0， 可得3x+1=0或3x ﹣2=0， 解得：x 1=﹣13，x 2=23 ． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可. 3．将m 看作已知量，分别写出当0m 时，与之间的函数关系式； 4．关于x 的方程()2204 k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围； ()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】

()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等 式，解不等式即可求出k 的取值范围. ()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内. 【详解】 解：()1依题意得2(2)404 k k k =+-?>， 1k ∴>-， 又0k ≠， k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠； ()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根， 理由是：设方程()2204 k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +?+=-????=?? ， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根， 212 k k +∴-=， 43 k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠， 43 k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】 本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。 5．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2， （1）若x 12+x 22=6，求m 值； （2）令T=1212 11mx mx x x +--，求T 的取值范围．

《一元二次方程》基础测试题及答案详解教学提纲

《一元二次方程》基础测试题及答案详解

《一元二次方程》基础测试 一 选择题（每小题3分，共24分）： 1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是………………………………………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解 3．方程x x -=+65的解是……………………………………………………………（ ） （A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3 4．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是………………（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x 2－2x －2k ＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0 6．以 213+ 和 2 13- 为根的一个一元二次方程是………………………………（ ） （A ）02132=+-x x （B ）02 132=++x x （C ）0132=+-x x （D ）02132=-+x x 7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x 8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值 是………………………………………………………………………………………（ ） （A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1 答案： １． Ｃ；２．Ｂ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．Ｂ；６．Ａ；７．Ｄ；８．Ｂ． 二 填空题（每空2分，共12分）： 1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ； 2．若分式2 652-+-x x x 的值是零，则x ＝ ； 3．已知方程 3x 2 － 5x －41＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2 ＝ ， x 1·x 2＝ ； 4．关于x 方程（k －1）x 2－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ； 5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 答案： １．±2；２．3；３．35，12 1-；４．k ＜59且k ≠1；５．46． 三 解下列方程或方程组（第１、２小题８分，第３小题９分，共25分）： 1．03232= +-x x ； 解：用公式法． 因为 1=a ，23-=b ，3=c ， 所以 6314)23(422=??--=-ac b ， 所以 2623126)23(1+=?+--=x ，

一元二次方程练习题23718

一元二次方程练习题 一、填空 1．一元二次方程12)3)(31(2 +=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2．关于x 的方程023)1()1(2 =++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。 3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。 4. ++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2 )。 5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是 。 6．若方程02 =++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 。 7．若代数式5242--x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 8．方程492=x 与a x =2 3的解相同，则a = 。 9．当t 时，关于x 的方程032 =+-t x x 可用公式法求解。 10．若实数b a ,满足022=-+b ab a ，则b a = 。 11．若8)2)((=+++ b a b a ，则b a += 。 12．已知1322++x x 的值是10，则代数式1642++x x 的值是 。 二、选择 1．下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ） （A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+2 21 （C ）0)1()1(2 22=--+x a x a （D ）0312=-+=a x x 2．若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ） （A ）±2 1 （B ）±1 （C ）±2 2 （D ）±2 3．若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ） （A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）2 1 4．关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的 是（ ）

初中数学 《一元二次方程》基础测试(含答案)

《一元二次方程》基础测试 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是……………………………………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解 3．方程x x -=+65的解是…………………………………………………………（ ） （A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3 4．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是……………（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x 2－2x －2 k ＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0 6．以 2 13+ 和 213- 为根的一个一元二次方程是……………………………（ ） （A ）02132=+-x x （B ）02 132=++x x （C ）0132 =+-x x （D ）02132=-+x x 7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是…………………………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x 8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值 是…………………………………………………………………………………（ ）