江苏高考历年04-15含解析解析几何

21．已知椭圆的中心在原点，离心率为1

2 ，一个焦点是F （-m ,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M . 若2MQ QF =u u u u r u u u r

，求直

线l 的斜率.

21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分. 解：（I ）设所求椭圆方程是).0(122

22>>=+b a b

y a x

由已知，得 ,2

1

,

==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342

2

22=+m

y m x （II ）设Q （Q Q y x ,），直线:()l y k x m =+，则点(0,)M km

当2MQ QF =u u u u r u u u r

时，由于(,0),(0,),F m M km -由定比分点坐标公式，得

02201

,.123123

Q Q m m km x y km -+=

=-==++ 又点2(,)33m km

Q -在椭圆上，所以222

22499 1.43m k m m m +=

解得k =±.

当2MQ QF =-u u u u r u u u r 时，0(2)()2,1212

Q Q m km

x m y km +-?-==-==---

于是

222

22

4143m k m m m +=，解得0k =．故直线l 的斜率是0，62±.

三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得

PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的

轨迹方程

（19）以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，

建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0），

由已知PN 2PM =

，得22PN PM =

因为两圆的半径均为1，所以

)1(212

221-=-PO PO

设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2

222-+-=-++y x y x ， 即33)6(2

2=+-y x ，

所以所求轨迹方程为33)6(22=+-y x （或03122

2=+-+x y x ）

2006 （17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分） 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。

17） 解：（Ⅰ） 所以所求椭圆的标准方程为

. 19

452

2=+y x （Ⅱ） 所以所求双曲线的标准方程为.116

202

2=-x y

2007

19．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）任作一直线，与抛物线y=x 2相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于P ，Q 。

（1）若2OA OB ?=u u r u u r

，求c 的值；（5分）

（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

19．（1）设直线AB 的方程为y=kx+c ，将该方程代入y=x 2得x 2－kx －c=0

令A （a ，a 2），B （b ，b 2），则ab=﹣c

因为222

2OA OB ab a b c c =+=+=g u u r u u r

，解得c=2，或c=﹣1（舍去）故c=2

（2）由题意知,2a b Q c +-??

?

??

，直线AQ 的斜率为

2

2

22

2

AQ a c a ab k a a b a b a +-=

==+--

又r=x 2的导数为r ′=2x ，所以点A 处切线的斜率为2a 因此，AQ 为该抛物线的切线

（3）（2）的逆命题成立，证明如下：

设Q （x 0，﹣c ）若AQ 为该抛物线的切线，则k AQ =2a 又直线AQ 的斜率为2

2

AQ a c a ab k a x a x +-=

=

--，所以

2a ab a a x -=-

得2ax 0=a 2+ab ，因a ≠0，有02

a b x +=

2008

18．（16分）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2

()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。求：（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程

（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。

18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()2

2f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴

有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）； 令()2

20f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2

x 2

0y Dx Ey F ++++=

令y ＝0 得20x Dx F ++=这与2

2x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2

y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为2

2

2(1)0x y x b y b ++-++=.

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

2009 18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22

1

:(3)(1)4C x y ++-=和圆

222:(4)(5)4C x y -+-=

（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C

截得的弦长为，求

直线l 的方程；

（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线

12l l 和，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截

得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，

试求所有满足条件的

点P 的坐标.

18．.

【解析】(1)

0y =或

7

(4)24y x =-

-，

(2)P 在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P 坐

标为

313(,)22-或51

(,)22-。

2010

在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TB TA ,与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中

0>m ,0,021<>y y .

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；

（2）设3

1

,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点.（其坐标与m 无关）

过(1，0)

18．（16分）（2011?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的

顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k

（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．

分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；

（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；

（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．

解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，

故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．

由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，

所以k=．

（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，

因此P（，），A（﹣，﹣）

于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．

因此，d=．

（3）设P （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2， A （﹣x 1，﹣y 1），C （x 1，0）．

设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2． 因为C 在直线AB 上，所以k 2=

，

从而kk 1+1=2k 1k 2+1=2?=

==．

因此kk 1=﹣1，所以PA ⊥PB ． 点评：

此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

19. (本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)；已知点(1,e)和(e,3

2)都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率。

⑴求椭圆的方程； ⑵设A ，B 椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 2与直线BF 1平行，AF 2与BF 1交于点P ； ①若AF 1－BF 2=6

2，求直线AF 1的斜率； ②求证：PF 1+PF 2是定值；

x

y

P

B

A

F 2

F 1

O

19题图

2013 17、（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A(0,3)，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上。

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA=2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

17． 解：（1）联立：??

?-=-=4

21

x y x y ，得圆心为：C (3，2)．

设切线为：3+=kx y ，

d ＝

11|233|2

==+-+r k k ，得：4

3

0-==k or k ．

故所求切线为：34

3

+-==x y or

y ．

（2）设点M (x ，y )，由MO MA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，化简得：4)1(2

2

=++y x ，

即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD ．

解之得：0≤a ≤12

5 ．

x

y A

l

O A

M

7.(本小题满分14分)

如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆

)0(12

3

2

2

>>=+

b a b

y a x 的左、右焦点，

顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.

(1)若点C 的坐标为)31

,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；

(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.

17.【解析】（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b

，2BF a ===

41

(,)33

C ，

∴22241()()3312b

+=，解得1b =．∴椭圆方程为2

212x

y +=． （2）直线2BF 方程为1x y

c b +=，与椭圆方程22221x y a b +=联立方程组，解得A 点坐标为

2322222(,)a c b a c a c -++，则C 点坐标为23

22222(,)a c b a c a c

++，13

322223

22

22F C b b a c k a c a c c c a c +==+++，又AB

b

k c

=-，由1F C AB ⊥得323

()12b b a c c c ?-=-+，即42242b a c c =+，∴222224()2a c a c c -=+，化简得12

c e a =

=． 【考点】（1）椭圆标准方程；（2）椭圆离心率．

18．（16分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）

的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；

（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：

解：（1）由题意可得，e==，

且c+=3，解得c=1，a=，

则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；

（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；

当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，

则x1+x2=，x1x2=，

则C（，），且

|AB|=?=，

若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；

则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），

从而|PC|=，

由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，

此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．