晨昏线特点和与太阳直射点关系例题解析

晨昏线的特点和与太阳直射点的关系例题解读

一、晨昏线的产生

由于地球是一个不发光也不透明的球体，在阳光的照射下，面向太阳的半球是明亮的，被称为昼半球，背向太阳的半个球是黑暗的，也就是夜半球。昼、夜半球的界线就称为“晨昏线（也称晨昏圈）”。在现实的地球表面，由于地球大气的折射、散射等作用，晨昏线所在的地方其实是处在昼、夜的过渡地带，如图1为北京时间2004年12月14日20时52分时的地球昼夜示意图。也就是说，晨昏线上的各个地方在时间上可能是早晨或黄昏这样一个时间段，而不是一个截然区分的时间点，但为了便于我们研究，在画成一条线，把昼夜的更替看成是一个截然区分的时间点。”“图中，我们将晨昏线

图1 昼夜示意图

二、晨昏线与地球从理论上讲，晨昏线所在的平面把地球平分为两个半球，在地表的晨昏线是一个大圆[大圆：球面被通过球心的平面所截成的圆，是球面所能截取的最大的圆。大圆的圆心就是球心。]，地球的球心就是晨昏线的圆心。但实际上，包围地球的大气有散射折光作用，使地平面以下34′的光线能折射到地面上来，这样，当清晨的太阳在地平面以下34′时，在地平面上就已经看到了散射折射光；而在傍晚，太阳已经落在地平面以下34′时，在地平面上还可以看到它。另外，在地球上看，由于太阳的体积巨大，太阳是一个圆面，而不是一个光点，它具有16′的视半径，这样使白天延长，所以，昼半球向四面八方扩大50′（34′+16′），而夜半球都缩小50′，因此昼夜半球不一样大，晨昏线也不是真正的大圆。经过测算，在春分、秋分两天，全球昼夜也不真正等分，白昼时间为12时8分钟，黑夜时间为11时52分钟。为简便起见，我们仍把晨昏线看成是一个大圆，把昼夜半球等分。但这一事实我们要了解，它能加深我们对理论与生活之间差别的理解。

三、晨线和昏线

晨昏线分为晨线和昏线两部分。随地球的自转，由昼半球进入夜半球的部分就是昏线，由夜半球进入昼半球的部分就是晨线。对地表某个具体地点而言，它的地方时如果是早晨（日出），那么它就在晨线上，如果是黄昏（日落），它就在昏线上。理解这一点对我们判断晨线和昏线至关重要。根据晨线和昏线的特点，其实根据地球的自转方．

向，我们就可以准确地判断出晨线和昏线。如图2。由此我们也可以反推，即如果知道了晨线或昏线，就可以推测出地球的自转方向。

图2A中的为晨线；B中的为昏线；C中的晨昏线上半部分为昏线，下半部分为晨线；D中的晨昏线上半部分为晨线，下半部分为昏线。

四、晨昏线与太阳直射点

[太阳直射点：在众多太阳平行光线中，必有一条太阳光线的延长线穿过地球球心，这条就是太阳直射光线，其与地表的交点就是太阳直射点。]

任一时刻，晨昏线（圈）与太阳直射点之间都存在着固定的相互位置关系，即太阳直射点位于由

晨昏线围成的昼半球球面（地表）的中心点，

也就是说，太阳直射点到晨昏线上各地的球面距离都相等。掌握这一特征，我们就可以从中分析出以下几条规律。太阳光线和晨昏线所在的平面垂直。在这里一定要注1.意平面两字，因为在实际的图上，由于观测的方位不同，我们看到的可能不是晨昏线所在的平面而是晨昏线，因此它与D、A、C太阳光线之间可能就不是垂直的关系。如图2中的图。太阳[2.等太阳高度线（圈）。太阳直射点处的太阳高度高度：太阳光线与当地地平面的夹角。太阳高度的最大值为为]12点时的太阳高度称为正午太阳高度。90°。地方时，但随着球面的变化，太阳高度也会随之发生变化，总体规律是：距离太阳直射点90°的球面距离相等的地方，太阳高度相等。即在某一时刻，太阳高度在太阳直射点处最大），并由太阳直射点向四周呈半球（在投影图上呈以太阳直射点为圆心的同心（90°小中第1圆）状递减，到晨昏线上，太阳高度减小为0°，这就是等太阳高度线。如例1 题。纬线与N2点时的全球太阳高度等值线图，图中15°1例：右图为北京时间某日点，读图回答下列问题。BAC垂直相交于A ））对于图示情况，错误的说法是（（1圈为圈晨昏圆最点直太表A心A.中点点示阳射B.大图示半球为昼半球D.两地经度相同C、C.B．

地的纬度是，经度是。）C（2 ）此时，图中各点有极昼现象的是。（3 C点的地方时是点，点的地方时是点。（4）B W C 12 24）（答案：C 75°N 90°晨昏线在地表的移动规律。由于晨昏线所在的平面始终与太阳（直射）光线垂3.直，因而在一天之中和一年之中，随着太阳光线的变化，晨昏线在地表的移动就有着相应的变化规律。一天之中，由于地球自西向东自转，就产生了地表各地太阳自东向西的周日视运动，也就是太阳的东升西落，与太阳光线垂直的晨昏线所在的平

面也就随之自东向西在）。地表移动（如图3

一天之中，地球的自转与晨昏线在地表的移动之间的关系图3

4一年之中，由于黄赤交角的存在，使得太阳直射点在南北回归线之间移动。若图看成是一条太阳（直射）光线，我们发为球心，我们可以将OPO中p为太阳直射点，照射的方位不断发生变在南北回归线之间的移动，太阳光线PO现，随着太阳直射点P化，与之垂直的晨昏线所在的平面也随之发生有规律的移动。NS为地轴所在的位置。我们可以得出以下两个结论：①晨昏线所在的平面与地轴的夹角和太阳直射点的纬度[①地表某点的纬度等于这一点与地心的连线和赤道平面所成的角度。]在数值上相等，②同一时刻，太阳直射点所在的纬度数和与晨昏线相切的纬度数之和为90°（如例1中第2小题）。春、秋分日，太阳直射在赤道上（0°），晨昏线经过极

点（90°），两者之和也。90°为

图4

若从极地上空俯视（图5），我们发现，随着太阳直射点的移动，一年中，晨昏线的位置总是在极点到极圈之间的范围内作有规律的移动。以北半球为例：春分日，晨昏线经过极点，全球各地昼夜平分；从春分日到夏至日，晨昏线的位置由北极点移向北极圈，北极点周围地区出现极昼现象，且极昼的范围在变大；夏至日，晨昏线与北极圈相切，北极圈及其以北地区都出现极昼现象，北半球极昼的范围达到一年中的最大。夏至日到秋分日，晨昏线的位置由北极圈向极点移动，北半球极昼的范围在变小；秋分日，晨昏线经过极点，全球昼夜平分；秋分日到冬至日，晨昏线的位置有极点移向北极圈，北极点周围出现极夜现象，且极夜的范围在扩大；冬至日，晨昏线与北极圈相切，北极圈及其以北地区出现极夜现象，北半球极夜范围达到一年中的最大；冬至日到次年春分日，晨昏线由北极圈向极点移动，且极夜的范围变小。

为晨昏线和北极圈的切点B、A为北极点，5 N图

五、晨昏线与经纬线晨昏线和纬线的关系1.地球的自转，使得地表各地产生昼夜现象，地球自转一周的时间若以太阳作为参照，我们称之为一个太阳日，它影响到我们15°物来计算的话，是24小时，每一小时转过。15°的生活作息。地表各点也沿各自的纬线圈随地球转动，每一小时转过的圆心角为晨昏线如果和纬线圈相交，就把纬线圈分成两部分，在昼半球的那部分，叫昼弧，在夜半球的那部分，叫夜弧，我们就可以根据昼弧和夜弧所对应的圆心角来计算纬线上各地18某一日的昼长和夜长。如，某地所在昼弧对应的圆心角为270°，那么该地的昼长为点，夜弧中点处的地方时x/24=270°/360°）。而昼弧中点处的地方时就应该是12小时（是24点。具体的讲，晨昏线和纬线有三种关系，相交、相切、相离。春分日和秋分日，晨昏线经过极点，和其他纬线相交，且平分其他纬线，因而全球各地的昼夜长短相等，如图图。除了春、秋分日，在任一天的任一时刻，上述三种关系我们都可以找到，如图7A6为北半球，冬至日，图中晨昏线和北极圈相切，北极圈都为夜弧，所以出现极夜现象；北极圈以北的各纬线都和晨昏线相离，也都为夜弧，出现极夜；北极圈以南至赤道，晨昏线和纬线圈相交，将纬线圈分成昼弧和夜弧，但我们发现，随着纬度的降低，昼弧所图为南半对应的圆心角在变大，因此白昼在变长，黑夜在变短，但昼长都小于夜长。B的分析还可得出这样的结论：当和晨昏线相切的纬线7球，分析方法相类似。通过对图12时，当和晨昏线相切的纬线是极夜时，切点的地方时为是极昼时，切点的地方

时为0时。

图7 冬至日从极点上空俯视所看到的昼夜示意图

在任一天，晨昏线都将赤道平分，也就是说，赤道上各地终年昼夜等长。由于终年昼夜等长，因此每天日出日落的时间就是不变的，都是6点日出，18点日落。在图上，点。18晨线和赤道

的交点处的地方时就是6点，昏线和赤道交点处的地方时就是2．晨昏线和经线的关系

春、秋分日，晨昏线经过极点，在任一时刻，晨昏线都和一个经线圈重合，因此，。但由于观察的角度不同，6在这一天，各地日出日落的时间（地方时）都相等。如图

我们看到的昼夜示意图会有各种变化，如图2中A、图6和图8中甲，但我们只要抓住一个特征：晨昏线与经线圈重合。

8

图除了春、秋分日外，晨昏线和经线相交，并成一定的角度，一条特殊的经线是经过晨昏线与赤道交点的经线，根据前面的论述我们可以知道，它和晨昏线所成的角度和太中，乙图表示冬至日的昼夜状况，丙图表示夏至日的昼8阳直射点的纬度数相等。如图夜状况。根据前述，这条经线的地方时也可以分析出。另一条特殊的经线是经过晨昏线构成一个经线圈，和SB经线。经线NA经线和SBNA中的和纬线切点的经线，如图7经线经过了其他昼弧的中点，因此这个经线圈和晨昏圈垂直。从图中可以分析出，NA1点，见例SB经线经过了其他夜弧的中点，因此它的地方时为24它的地方时为12点，4小题。中第分析晨昏线和经纬线的关系，将更有利于我们精

细地理解随着太阳直射点的移动，地表某地的昼夜长短的变化，可以帮助我们在面对各种昼夜示意图时能准确地判断出图所表示的日期，以及图中经线的地方时。由于地球是一个球体，因此我们在理解晨昏线的特点时必须有一个立体的视角，在我们的头脑中必须要有一个空间上的球体，这就要求考生平时要多去把玩地球仪，观察地球仪，也要求教师在讲解这一内容时，要多借助地球仪来演示，多利用更形象的多媒体课件来演示，只有这样，我们才能对理论上的晨昏线和生活中的晨昏线有更深切的体会。

初中地理知识点：太阳直射点的移动规律

初中地理知识点：太阳直射点的移动规律学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．读太阳直射点移动示意图，判断国庆节这一天，太阳直射点位于 A．①到②段B．②到③段C．③到④段D．④到⑤段 2．五一节之日，太阳直射点位于 A．北半球，往南移动B．北半球，往北移动 C．南半球，往南移动D．南半球，往北移动 2018年6月21日，国务院关于同意设立“中国农民丰收节”的批复发布，同意自2018年起，将每年农历秋分设立为“中国农民丰收节”。据此完成3～5题。 3．国务院批复发布农民丰收节的当天，太阳直射点接近下图中的哪个位置 A．①B．②C．③D．④ 4．全国农民在庆祝首届丰收节时，我国昼夜情况接近哪幅图 A．B．C．D． 5．我国国庆节那一天，太阳直射点所在位置 A．北半球B．南半球C．赤道上D．南回归线上 读3月21日(春分)不同纬度地区正午影长示意图，完成6～7题。

6．根据春分日的正午影长示意图，得出的结论错误的是 A．这一天太阳直射在赤道上 B．离直射点越远，影子越长 C．太阳光线与地面形成的角度越小，气温越低 D．此时北极点附近全天都是白天 7．这一节气全球白天与黑夜长短情况是 A．昼夜等长B．昼短夜长 C．昼长夜短D．不能定，纬度不同，昼夜长短不同8．每年冬去春来，天气逐渐变暖，对这种现象有下列四种解释，其中正确的是 ①是地球自转产生的②是地球公转产生的 ③此时太阳直射点正在向北回归线移动④此时太阳直射点正在向南回归线移动A．①②B．②③C．②④D．①④ 9．太阳直射点在北回归线上,北半球这一天是 A．9月23日前后B．12月22日前后 C．3月21日前后D．6月22日前后 10．一年中我国中午太阳升得高、白昼时间长的季节是 A．春季B．夏季C．秋季D．冬季 11．太阳能够直射的最北和最南界限是 A．北回归线和赤道B．赤道和南回归线 C．南、北纬66.5度的纬线D．北回归线和南回归线 二、解答题 12．读经纬网示意图和地球公转示意图，回答问题。

几何证明角平分线模型(高级)

几何证明——角平分线模型(高级) 【经典例题】 例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 100=∠C ，求证：CD AD AB +=。 例2、如图，已知在ABC ?中，ο 60=∠B ，ABC ?的角平分线CE AD ,相交于点O ，求证：AC CD AE =+。 E O B 例3、如图，BD 平分ABC ∠，?=∠45ADB ，BC AE ⊥，求AED ∠. A B C D 例4、已知，如图ABC ?中，AD 为ABC ?的角平分线，求证：BD AC DC AB ?=?．

例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。 A B C N M P D E F 例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，?=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、 AE ，若?=∠60ACB ，?=∠50EBC ，求EAC ∠的度数． B C E 例7、已知：ABC ?中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ． （1）如图1，若?=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3= +；

（2）如图2，若?=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明． A C 【提升训练】 1、在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． B 2、如图，在ABC ?中，A ∠等于ο 60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。 3、如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。

三角形角平分线部分经典题型

1．如图1所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm． 图1图2 2．如图2所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（） A ．mn 3 1 B． mn 2 1 C．mn D．2mn 3．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶ DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。 4．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。 5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2， 则两平行线间AB、CD的距离等于。 6.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是( ) A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点 8.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。 9.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。 3题图 D C B A z .. ..

z .. .. D C B A 10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 11.如图，AB //CD ,CE 平分∠ACD ，若∠1=250 ，那么∠2的度数是 . 12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP 13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD?相等吗？说明理由． 14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ． 15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180° 16、如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE. O B A P A B C D E D C A B E

全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线 一、知识概述 1、角的平分线的作法 （1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图） 指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.

（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析 例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC. 例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （） A．大于EF B．小于EF C．等于EF D．与EF的大小无法比较 例4、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．

垂直平分线与角平分线典型题#(精选.)

线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 图1 图2

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 课堂笔记： 针对性练习： ：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是 例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。 课堂笔记： 针对性练习： 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线 例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底 B D E B A C O N A

(新)角平分线的性质和判定经典题

角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么？ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么？ （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 二、典型例题 角平分线的性质一 例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 例题2 如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.

例题3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证： CF=EB。 D F E C B A 例题4 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. 例题5 已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC. 例题6 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. A F D E B

太阳直射点经纬度的确定(汇编)

2007 年第4 期 教材新析 11 太阳直射点经纬度的确定 ●王建林/河南省息县第二高中( 464300) 地 球自转和公转运动的地理意义是高中地理的主干知识, 是进行学科内综合和跨学科综合的首选内容, 是高考命题的重点。学生在理解这一部分知识时需要拥有较强的空间想象能力、理解能力、分析能力、计算能力。这一类问题往往会涉及到太阳直射点的特点和确定。一、太阳直射点的基本知识 太阳直射点是指某一时刻被太阳光线垂直照射的地球表面, 此时该地的太阳高度为90°, 影长为零。由于黄赤交角的存在, 太阳直射点在南北回归线之间会发生往返移动, 其周期为 一个回归年, 再加上地球的自转, 太阳直射点的位置每时每刻都在不断变化, 因此, 它可以用一组经度和纬度数字来表示。但由于一天内太阳直射点的纬度变化很小, 我们可以认为某一天太阳直射点的纬度是不变的，用下面的方法就能确定直射点的经纬度。 二、确定太阳直射点的纬度 1.根据具体日期确定 在不同的日期, 太阳直射在不同的纬度位置, 如春分日和秋分日, 太阳直射点位于赤道上, 冬至日太阳直射在南回归线上, 夏至日太阳直射在北回归线上, 在非特殊的日期, 可以通过查阅天文年历得知当日太阳直射点的纬度位置。在试题中往往要根据晨昏线的位置特点来确定日期: 当晨昏线与经线重合、经过南北极点、将所有纬线平分时,可以确定为春( 秋) 分日; 当晨昏线与南北极圈相切时( 各只有一个交点) , 再根据是南极或北极附近是极昼还是极夜,可以确定夏至日———北极附近为极昼,南极附近为极夜, 反之则为冬至日。有时还可以根据晨昏线与经线的夹角来确定日期: 秋分日晨昏线与经线的夹角为零, 夏至日晨昏线与经线的夹角最大为23°26′。 2.作图法 在地球的日照图( 侧视图) 上,

角平分线的性质典型例题

【典型例题】 例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求证：（1）∠ABC＝∠ABC′； （2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）． 分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路． 证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知）， ∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）． 又∵AC＝AC′（已知）， ∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC＝∠ABC′． （2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′， ∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）． 即∠BAC＝∠BAC′， ∵AC⊥BC，AC′⊥BC′， ∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性． 例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证． 解：AD平分∠BAC． ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上．

∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． 评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”． 例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？ 分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段． 解：AP平分∠BAC． 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上， ∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF． ∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． 例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系． （1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标． 分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上， ∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等， 又∵点P到公路的距离是400m， ∴点P（学校）到铁路的距离是400m．

三角形角平分线经典习题

例1．如图，已知：AD 是ABC ?的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ?和ACD ?的高. 求证：AF AE =. 例2．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥. 求证：PN PM =. 例3．如图，已知：在ABC ?中AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F . 求证：EF AD ⊥. 例4．已知：如图，在ABC ?中，?=∠90C ，BC AC =，AD 是A ∠的平分线. 求证：AB CD AC =+. 例5、如图，已知DC AB //，?=∠=∠90D A ，点E 在AD 上，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠。 求证：DC AB BC +=。 例6．已知：如图，在ABC ?中，BE 、CF 分别平分ABC ∠、ACB ∠，且交于点O ， 求证：点O 在A ∠的平分线上. E D C B A

针对性练习 1、下列说法正确的有几个（ ） （1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； （3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； （4） 点E 、F 分别在∠AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以P 点在∠AOB 的平分线上； （5） 若OC 是∠AOB 的平分线，过OC 上的点P 作OC 的垂线，交OB 于D ，交OA 于E ，则线段PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离 A ．2 B 3 C 4 D 5 2、在△ABC 中，∠C ＝090，BC ＝16cm ，∠A 的平分线AD 交BC 于D ， 且CD ：DB ＝3：5，则D 到AB 的距离等于＿＿＿＿ 3、已知：如图1，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，2 36cm S ABC =? AB ＝18cm,BC ＝12cm,求DE 的长 4．如图，已知：CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E . 求证：D 在BAC ∠的平分线上. 5、已知：如图2， ∠B ＝∠C ＝0 90，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC 求证：AM 平分∠DAB 6．如图，ABC ?是等腰直角三角形，?=∠90A ，BD 是ABC ∠的平分线，BC DE ⊥于E ，cm BC 10=，求DEC ?的周长. C B 图1 A D E A B C D M 图2 O B F C E A

角形角平分线经典习题

例4.已知：如图，在 ABC 中， AB . C 90 , AC 求证： AC CD 例5、如图， 已知 AB//DC , A D 90，点 求证： BC AB DC 。 PE 的 求证：AE AF . 例2 .已知： 如图， BD 是 ABC 的平分线，AB BC , P 在 BD 上, PM AD , PN CD 求证： PM PN . 例3.如图, 已知： 在 ABC 中AD 是 BAC 的平分线， DE AB 于 E , DF AC 于 F . 求证： AD EF . 例6 ?已知：如图，在 ABC 中，BE CF 分别平分 求证：点0在 A 的平分线上? 针对性练习 1、 下列说法正确的有几个（ ） （1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； （3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； （4） 点E 、F 分别在/ AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以 P 点在/ AOB 的平分线上； （5） 若0C 是/ AOB 的平分线，过 0C 上的点P 作0C 的垂线，交 0B 于D,交0A 于 E ,则线段PD 长分别是P 点到角两边的距离 A. 2 B 3 C 4 D 5 2、在厶 ABC 中，/ C = 900, BC = 16cm,/ A 的平分线 AD 交 BC 于 D, 且CD DB= 3: 5，贝U D 到AB 的距离等于 ___________ 例1 .如图，已知: AD 是ABC 的角平分线, DE DF 分别是 ABD 和 ACD 的高. BC ，AD 是 A 的平分线? E

(完整版)角平分线经典题型

全等三角形与角平分线 1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 2、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （） A．大于EF B．小于EF C．等于EF D．与EF的大小无法比较 3、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD． 5、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC. 6、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC

8、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF； (3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论． 9、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180° 10、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证： 11、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E. 求证：BD=2CE.

角平分线的性质和判定经典复习题

/ 角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ) 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么 （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： 【 ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 思考：这一判定定理的根据是什么 二、典型例题 例1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC请说明理由．由此题你能得到一个什么结论 思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系． —

例2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长 … 例3、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC． 例4、如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数． > 【思维方法总结】 1、学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离 相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论。 2、如果已知角平分线，（或要证角平分线）可以考虑：有一条距离可以考虑 再作一条距离，一条距离也没有可以考虑作两条距离。从而利用角平分线 的性质定理和判定定理解决问题。

(新)角平分线与垂直平分线练习题(经典)

0角平分线 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点 到直线AB 的距离是 cm ． 例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D . (1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数. 3、考点深入练习 例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。 求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。 例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．（8分） （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC ⊥BE B P A B C D G H F E D C B A

例5:△DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N. 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC 垂直平分线的性质与判定强化练习 1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2题 2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．A E CE = 3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定 4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________． 5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________． 6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则 AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 3题 4题 7、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 D A C B N M E

学姐笔记-中考数学几何-角平分线、垂直平分线经典题型总结

角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。 分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。 分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD = 。 分析：要证 AC AB DC BD = ，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 AC AB DC BD = 中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明 AC AB DC BD = 就可以转化为证AE ＝AC 。 证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E 例题图1 F E C B A 例题图2 G F E C B A 例题图3 D F E C B A 问题图 3 2 1E D C B A

(完整版)角平分线的性质定理和判定(经典)

角平分线的性质定理和判定 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？

第三部分：典型例题 例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交 于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． 2 1 N P F C B A

（3）CD、AB、AD间？直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积． 【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

湘教版-数学-七年级上册-与角的平分线有关的典型例题

与角的平分线有关的典型例题 对于角平分线的认识，同学们要注意以下两点： （1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分． （2）要掌握角平分线的数学表达式． 下面重点介绍与角的平分线有关的计算问题 例1．如图1，O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线．求∠DOE 的度数． 解：因为OD 、OE 分别是∠AOC 、∠COB 的平分线， 所以∠COD= 21∠AOC ，∠COE=2 1∠COB ， 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠AOC+2 1∠COB =21(∠AOC+∠COB)=21∠AOB=21×180°=90°． 例2．如图2，∠AOC 为直角,OC 是∠BOD 的平分线,且∠AOB=35°,求∠AOD 的度数． 分析：和图形有关的角度计算问题，需要从图形中找 到角与角之间的关系．本题要求∠AOD 的读数，则只要求 出∠COD 的度数即可． 解：因为∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-35°=55°, 又OC 平分∠BOD, 所以∠COD=∠BOC=55°, 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+55°=145° 【评注】解决与图形有关的角的计算问题关键将所求的角转化为已知角求解． 例3．如图3，∠AOB=90°，∠AOC 为∠AOB 外的一个锐角，且∠AOC=30°，射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ． （1）求∠MON 的度数； （2）如果（1）中∠AOB=α，其它条件不变，求∠MON 的度数； （3）如果（1）中∠AOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？ 图1 图2 图3

角平分线性质练习题

４ 分层练习, 评价自我 活动四 做一做 练习一： 判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ） （2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ） （3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二 判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ） 练习三 如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。 (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。 (2)点P 在角A 的平分线上吗 (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢 ５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想 （1）这节课我们帮助别人解决了什么问题你是怎么做到的 （2）你感悟到了什么 ６ 布置作业，指导学习 1、必做题：教材：第2题。 2、选做题：教材：第3题。 板书设计 角平分线的性质 角平分线的判定 ∵ PA=PB ∵ OP 平分∠AOB ， 又∵ PA ⊥OA ，PB ⊥OB 又∵ PA ⊥OA, PB ⊥OB ∴ OP 平分∠AOB ∴ PA=PB 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等 B O

角平分线性质（1） 一、选择题 1．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ．下列结论中错误的是 ( ) A ．PC = PD B ．OC = OD C ．∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC 2．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ， AD 是∠BAC 的平分线，D E ⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 二、填空题 3．角平分线的性质定理： 角平分线上的点_____________________________． 4．⑴如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则DE ____DF ． ⑵已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别 为E 、F ，且DE = DF ，则∠1_____∠2． 三、解答题 5．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ． 求证：CE = CF 6．已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ， BD 平分∠ABC ． 求证：BC = AB + AD A B C D P E D C B 2 1A B C D E F F A B E C D D A

太阳直射点地理坐标确定知识点及习题

太阳直射点地理坐标确定 【例题1】①根据地方时计算 图3为某日观测到的同一经线上不同纬度的日出时刻（东十区区时）。此时，东十区区时为12时。读图回答28—31题。 [2008广州卷8]此时太阳直射点的坐标是 A ．30°E, 20°N B ．150°E, 20°S C ．30°E, 20°S D ．150°E, 20°N 【例题2】20°W 和160°E 经线是东、西半球分界线。图11中甲、丙在晨线上，此时地球位于远日点附近。回答32~34题。 [2007广东卷22]该时刻太阳直射点的位置在 A ．南半球 B ．北半球 C ．东半球 D ．西半球 【例题3】②根据日照图计算 图1（图中O 点为极点）所示时刻，太阳直射点的经度_60° W

2. 太阳直射点纬度的计算 ①根据特殊日期（二分二至日）计算 【例题4】【例题】图2（图中阴影为黑夜）所示时刻，太阳直射点的纬度为 _________赤道__________。 ②根据极昼、极夜的范围计算（根据晨昏线与纬线的切点计算） 【例题5】图3外圆纬度数为n，圆内为某日极昼分布的范围，中心为极点。此日，太阳直射的纬度为（） A. 北纬（90°－n） C. 南纬（90°－n） C. 北纬（23.5°－n） D. 南纬（23.5°－n） 2. 图8是以极点为中心的俯视图。图中PQ弧为晨线，P的地理坐标为（134°W，77°N）。此时，太阳直射点的地理坐标为（）

A. 13°N，46°E B. 13°S，46°E C. 13°N，134°W D. 13°S，134°W ③根据正午太阳高度角计算 【例题】图4是某日北京（北纬40°）当地太阳高度示意图。据图判断，此时太阳直射点的纬度为__10°N

角平分线性质经典习题

角平分线的性质及其逆定理 同步练习 ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ；⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90o，BD 是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，BC =6，CD =3，AE =4，则DE =_______，AD =_______，△ABC 的周长是_______． 3. 用三角尺画角平分线：如图，∠AOB 是一个任意角，在边O A ，OB 上分别取OM =ON ，再分别过M 、N 作 OA ，OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则这条射线即为角平分线．请解释这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分 线的方法，并说明这种做法的道理． 4. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置． 答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置． 5. 如图，△ABC 中，∠C =90o，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，DE =21 BD ， 且DE =1.5cm ，则AC 等于（ ） A ．3cm B ．7.5cm C ．6cm D ．4.5cm 6. 如图，△ABC 中，P 是角平分线A D ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上． 7. 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ． 求证：（1）AD =CD ；（2）∠ADB =∠CDB ． A B C D E B C D E A A B C D E P A B C P D E M N Q A B C D P