函数奇偶性的教案

函数的奇偶性

湘教版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修一

新授课

一．教材分析

《函数的奇偶性》是湘教版普通高中必修一第一单元第三节的容。在此之前，学生已经学习过函数的单调性，这为过渡到本节课起到了铺垫的作用。而且，函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它的研究为今后幂函数、三角函数的性质等后续容起到了铺垫作用。

奇偶性的教学无论是在知识上还是在能力方面，对学生的教育都起着非常重要的作用，因此本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现。

二．学情分析

学生已经学习过函数的单调性，对于研究函数性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知道函数的奇偶性，但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图形的特殊对称性已经有一定的感性认识。在函数单调性方面，学生已经懂得了由形象到具体，然后由具体到一般的科学处理方法，具备一定数学研究方法的感性认识。高年级的学生已经具备一定的观察、分析能力，但观察的深刻性及其稳定性还有待提高，教师在教学过程中要重视启发引导。

三．教学目标

（1）知识与技能：

使学生了解奇偶性的概念，会利用定义判断简单函数的奇偶性。

（2）过程与方法：

在奇偶性概念形成过程中，培养学生的观察归纳能力，同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法。

（3）情感态度与价值观：

在学生感受数学美的同时，激发学习的兴趣，培养学生乐于求索的精神。

四．教学重难点

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与步骤。

五．教学方法

教法：借助多媒体，以引导发现为主，设疑诱导为辅的教学模式，遵循研究函数性质的三部曲。

学法：根据自主性和差异性原则，以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成与发展，着眼于学生的学习体验。

六．教学用具：电脑多媒体。

七．教学过程：

（一）设计问题，创设情境

1. 复习对称概念

初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：

①轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够

互相重合；

②中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原

图形重合.

2．回顾2x y =和3x y =的图像，函数图像如下图：

2x y =3

x y =

3．观察判断

请同学们根据初中所学的中心对称以及轴对称分析两个函数的图像在对称性上分别具备什么特点？

4.得出结论

2x y =的图像是轴对称图形，且对称轴是y 轴，图像关于y

轴对称；而3x y =的图像是中心对称图形，对称中心是原点，图

像关于原点对称。

【设计意图】通过图片引起学生的兴趣，又从学生熟悉的函数入手，顺应了学生的认知规律，激发了学生的学习兴趣。

（二）自主探索，尝试解决

其实这两个函数就是标准的奇函数以及偶函数。但哪一个是奇函数，哪一个是偶函数呢？这我们就得先了解它的定义,再得出定论。 y

O

x

1.对奇偶函数的定义的学习

偶函数：以y 轴为对称轴的函数。

奇函数：以原点为中心的中心对称的函数。

重点：奇函数一定是以y 轴为对称轴，偶函数一定是以原点为中心。

2.借助图象，感知定义

回到原来2x y =以及3x y =

两个函数的图像，利用定义

去判定两个函数的奇偶性： 2x y =的图像是关于y 轴对称的图形，所以它是偶函数，而3x y =的图像是关于原点对称的图形，所以函数为奇函数。

【设计意图】让学生明确奇偶函数的几何意义。

（三）信息交流，揭示规律

我们可以根据图像判断函数的奇偶性，但有些函数我们无法描出它的图像，这时候，我们该如何判断它的奇偶性呢？无法得到函数图像时，我们要判断奇偶性，就要探究一下函数奇偶性所具备的性质。

1.偶函数的性质

2x y = y 轴对称

依据：图像关于y 轴对称，图像上任意一点关于y 轴对称的对应

点在图像上。

在函数2

x y =的图像上任取一个点)()(,x f x ，它关于y 轴对称的对应点为)()(,x f x -，因为)()(,x f x 的对应点也在图像上，所以，)(x f 满足)()(x f x f -=。

而满足这个等式，意味着横坐标成相反数时，纵坐标相等，可以得等到图像是关于y 轴对称的图形。

总结：偶函数：对其定义域中的任意一个数x ，均有)()(x f x f =-。

2.奇函数的性质

3)(x x f =

依据：图像关于原点对称，图像上任意一点关于原点对称的对应点

在图像上。

在函数3x y =的图像上任取一个点)

()(,x f x ，它关于原点对

称的对应点为)()(,

x f x --，因为点)()(,x f x 的对应点也在图像上，所以，)(x f -满足)()(x f x f -=-。 而满足这个等式，意味着横坐标成相反数时，纵坐标也成相反 数，可以得等到图像是关于原点对称的图形。

总结：奇函数：对其定义域中的任意一个数x ，均有)()(x f x f -=-。

3.解析

（1）函数的奇偶性有两种判断方法：①图像法；②解析式法。

（2）图像法：①图像关于y 轴对称为偶函数

②图像关于原点对称为奇函数

（3） 解析式法：

①当)()(x f x f =-时，函数为偶函数；

②当)()(x f x f -=-时，函数为奇函数。

重点：当)(x f 有意义的时候，)(x f -也必须有意义，否则这个等式就不存在了，更不能判定函数的奇偶性。所以,x 的定义域关于原点对称时，函数才可以讨论奇偶性。函数的定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的先决条件

【设计意图】深化学生对奇偶性概念的理解，明确判定函数奇偶性的方法与步骤。强调函数具有奇偶性的前提条件是——定义域关于原点对称。

（四）运用规律，解决问题

例：判断下列函数的奇偶性：

1：24x x y +=

2：x y 4= （0≥x ）

练习选择：第一个小题中，用解析式法判断函数的奇偶性，使学生熟

悉奇偶性判断的方法；第二个小题，函数的定义域不关于原点对称，引起学生对定义域的注意与重视。 练习方法：有学生自行思考，再由教师指导，教师注意强调奇偶性的

判定方法。

【设计意图】及时巩固所学的新知，深化对函数奇偶性的理解。通过例题，使学生在学习新知识的同时能加以应用，使学生体验到学习数学过程中的成就感。