2
1. ∵0
3
π. (II)m n ?=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,3
2π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(.
则m n ?=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ?取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =
2
3. 3 ．在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22
sin 2sin
=++C
B A . I.试判断△AB
C 的形状;
II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.
【解析】:I.)4
2sin(22sin 2cos 2sin
2
sin
ππ+=+=+-C C C C C
2
242π
ππ==+∴
C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2
)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,
此时面积的最大值为()
24632-.
4 ．在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,4
3cos =
A
, (1)求B C cos ,cos 的值; (2)若2
27
=
?BC BA ,求边AC 的长? 【解析】:(1)8
1116921cos 22cos cos 2=-?
=-==A A C
4
7
sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由
()16
9814387347cos cos sin sin cos cos =?-?=
-=+-=∴C A C A C A B (2)24,2
27
cos ,227=∴=∴=?ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 2
3cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=6
2516
9
483616cos 2222=?
-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.
5 ．已知在ABC ?中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652
=+-x x 的两个根.
(Ⅰ)求)tan(B A +的值; (Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652
=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.
∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
-23
1123
+==--?
(Ⅱ)∵
180=++C B A ,∴)(180B A C +-=
.
由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,
∵C 为三角形的内角,∴2sin 2
C =
∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴3sin 10
A =
, 由正弦定理得:
sin sin AB BC
C A
=
∴53352102
BC =
?=. 6 ．在
ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量
()
2s i n ,
3
m B =-,2
cos 2,2cos 12B n B ?
?
=- ??
?
,且//m n ? (I)求锐角B 的大小;
(II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值?
【解析】:(1)
//m n ? 2sinB(2cos 2B
2-1)=-3cos2B
?2sinBcosB=-3cos2B ? tan2B=- 3
∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π
3
(2)由tan2B =- 3 ? B=π3或5π
6
①当B=π
3
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=3
4ac ≤ 3
∴△ABC 的面积最大值为 3
②当B=5π
6
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=1
4ac≤ 2- 3
∴△ABC 的面积最大值为2- 3
7 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2
1
2
2
2
ac b c a =
-+ (1)求B C
A 2cos 2
sin 2
++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=14
2
sin 2
A C ++cos2B= 41
-
(2)由.4
15
sin ,41cos ==
B B 得 ∵b =2, a
2
+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤3
8, S △ABC =1
2ac si nB ≤315(a =c 时取等号)
故S △ABC 的最大值为
3
15
8 ．已知)1(,tan >=a a α,求
θθπ
θπ2tan )
2
sin(
)
4sin(
?-+的值?
【解析】
a
a -12;
9 ．已知()()()()
3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ?
?-?+?+ ???=????
-?+?- ? ????
?
(I)化简()f
α
(II)若α是第三象限角,且31
cos 25
πα??-=
???,求()f α的值? 【解析】
10．已知函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2
x,x ∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?
【解析】:(1)1cos 23
()sin 2(1cos 2)22
x f x x x -=
+++ 313
sin 2cos 22223
sin(2).
62x x x π=
++=++
()f x ∴的最小正周期2.2
T π
π=
= 由题意得222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈ 即 ,.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ?
?-+∈???
?
(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移
12
π
个单位长度,
得到sin(2)6
y x π
=+
的图象,再把所得图象上所有的点向上平移3
2个单位长度,
就得到3
sin(2)62
y x π=++的图象?
11．已知???
? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x
x b ππ=,b a x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间?
(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3
4
,0[∈x 时,)(x g y =的最大值?
【解析】:(1))3
4sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=
x x x x f ∴当
]22
3,
22
[
34ππ
ππ
π
πk k x ++∈-
时,)(x f 单调递减 解得:]83
22
,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减?
(2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴?????
?--=
-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g
??
?
??+=??????--=34cos 3342sin 3πππππx x
∵]3
4,0[∈x ∴
??????∈+
32,334
πππ
πx
∴]21,21[34cos -∈???
??+ππx ∴0=x 时,2
3
)(max =
x g 12．已知cos 2sin α
α=-,求下列各式的值;
(1)2sin cos sin 3cos αααα
-+; (2)2
sin 2sin cos ααα+
【解析】:1
cos 2sin ,tan 2
α
αα=-∴=-Q
(1)
121
2sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532
αααααα???-- ?--??===-++-+
(2)22
22sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos ααα
ααααα
++=+
2
22
2112tan 2tan 322tan 15112ααα????-+?- ? ?+????===-+??
-+ ???
13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+
(I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3
()2
f x ≥
成立的x 的取值集合? 【解析】
14．已知向量)1,32(cos --
=αm ,)1,(sin α=n ,m 与n 为共线向量,且]0,2
[πα-∈ (Ⅰ)求ααcos sin +的值; (Ⅱ)求
α
αα
cos sin 2sin -的值.?
【解析】:(Ⅰ) m 与n 为共线向量, 0sin )1(1)3
2
(cos =?--?-
∴αα, 即3
2cos sin =
+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12
=
+=+ααα ,9
72sin -=∴α 2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,
9
16)32(
2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[π
α-
∈ ,0cos sin <-∴αα,34
cos sin -=-αα 因此, 12
7
cos sin 2sin =-ααα
15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座
灯塔的塔顶?测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,0
30,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60,AC=0.1km ?试探究图中B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果精确到0.01km,2≈1.414,6≈2.449)
【解析】:在ACD ?中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,
所以CD=AC=0.1
又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,
故CB 是CAD ?底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ?中,
ABC
AC
BCA AB ∠=
∠sin sin , 即AB=
20
6
2351sin 60sin +=??AC
因此,km 33.020
6
23≈+=
BD
故 B ．D 的距离约为0.33km ?
16．已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈(其中0,0,02
A π
ω
?>><<
)的图象与x 轴的交
点中,相邻两个交点之间的距离为
2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π
-. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ
∈,求()f x 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】： (1)由最低点为2(,2)3
M π
-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππ
ωπ
=
== 由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133
ππ???+=-+=-即sin(
故
42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126
k π
?π∴=-
又(0,
),,()2sin(2)266f x x π
ππ
??∈∴=
=+故
(2)7[,],2[,]122636x x πππππ
∈∴+∈
当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266
x ππ+=
即2
x π=
时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]
17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知
50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于
C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值?
【解析】:作//DM AC 交BE 于N ,交CF 于M .
22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=,
2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=
在DEF ?中,由余弦定理,
2222221301501029816
cos 2213015065
DE EF DF DEF DE EF +-+-?∠===???
18．已知5
1cos sin =
+θθ
，),2(ππ
θ∈，
求（1）sin cos θθ-（2）3
3
sin cos θθ-（3）4
4
sin cos θθ+
【解析】：（1）3344791337
sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625
θ
θθθθθ-=-=+=
19．已知函数)sin(?ω+=x A y （0>A ， 0ω>，π?<||）的一段图象
如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间。
【解析】：（1）由图象可知： 322288T T ππππω????=--=?== ??????
?；()2222A --== ∴()2sin 2y x ?=+ ，又∵28π??
-
???
，为“五点画法”中的第二点 ∴32824πππ?????-+=?= ??? ∴所求函数解析式为：32sin 24y x π??=+ ??
? （2）∵当()3222422x k k k Z πππππ??+∈-++∈ ???
，时，()f x 单调递增 ∴()552224488x k k x k k k Z ππππππππ????∈-
+-+?∈-+-+∈ ? ?????
，， 20．已知
A B C
?的内角A ． B ．C 所对边分别为a 、b 、c ，设向量)2
cos ),cos(1(B
A B A m -+-=，
)2
cos ,85(B A n -=，且89=?n m .
（Ⅰ）求B A tan tan ?的值；
（Ⅱ）求2
22sin c b a C
ab -+的最大值.
【解析】（Ⅰ）由89=?n m ，得8
92cos )]cos(1[852=-++-B A B A 即 892)cos(1)]cos(1[85=-+++-B A B A
也即 )cos(5)cos(4B A B A +=-
∴B A B A B A B A sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 4-=+ ∴B A B A cos cos sin sin 9= ∴9
1tan tan =
B A 21．已知函数
)]4
2sin(21)[tan 1()(π
+
+-=x x x f ，求：
（1）函数)(x f 的定义域和值域； （2）写出函数)(x f 的单调递增区间。
【解析】:??
?
??++??? ?
?-
=4sin 2cos 24cos 2sin 21cos sin 1)(ππx x x x x f
()
x x x x x 2
cos 2cos sin 2cos sin 1+??
? ??-=()()x x x x sin cos sin cos 2+-= )sin (cos 222x x -=x 2cos 2=
高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结
三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数
三角函数的单调性、奇偶性、单调性练习
三角函数的图像性质：奇偶性、单调性、周期性 例题1:判断下列函数的奇偶性 （1）()()sin f x x x π=+ （2）21sin cos ()1sin x x f x x +-=+ 例题2:求下列函数的单调区间 （1）()sin 33f x x π?? =- ??? （2）()cos(2)3f x x π=- [](0,)x π ∈ 例题3：求下列函数的值域 （1）32cos 6y x π? ?=-+ ?? ?，[](0,)x π∈ （2）x x y sin sin += （3）sin sin y x x =+ 例题4：已知函数3cos 216y x π? ?=++ ?? ?，请写出该函数的对称轴、对称中心；用五点作图法作 出该函数的图像. 同步练习： 1、写出下列函数的周期： （1）5sin 23y x π? ?=--+ ?? ?（2）tan(2)y x π=+（3）7cos2y x =+（4）2tan 33y x π??=- ???
2、（1）求函数2sin 25y x x =+-的定义域.（2）解不等式1sin 42x π? ?-≥ ?? ?. 3、比较下列各数的大小：sin1?、sin1、sin π? 4、已知()cos 4 n f n π =，*n N ∈，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++=__________. 5、方程lg sin 3x x π? ?=+ ?? ?实数根的个数为___________. 6、如果4 x π ≤，求2()cos sin f x x x =+的最值，并求出取得最值时x 的值. 7、写出函数1 3tan 2 3y x π??=+ ???的对称中心，并用作出该函数在[]0,x π∈的图像. 8、对于函数()f x 定义域,22ππ?? - ??? 中的任意()1122,x x x x ≠，有如下结论： （1）()()f x f x π+=. （2） ()()f x f x -= （3）(0)1f =. （4） 1212 ()() 0f x f x x x ->- （5） 1212()()22x x f x f x f ++??> ??? 当()tan f x x =时，以上结论正确的序号为________________. 能力提高： 1、()2sin f x wx =(01w <<),在区间0,3π?? ???? 上最大值是2，求w . 2、若2()sin sin 1f x x a x =--+的最小值为-6，求实数a 的值. 3、设定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-.当02x ≤≤时，2()2f x x x =-. (1)当20x -≤≤时，求()f x 的表达式；(2)求(9)f 与(9)f -的值； (3)证明()f x 是奇函数． 三角函数的图象变换 例题1：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换，得到函数π2sin 216y x ? ?=--+ ?? ?的图象．
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －
三角函数的奇偶性测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的奇偶性（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 2.下列函数中是奇函数的是( )
A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 4.函数，( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 5.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 6.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的奇偶性 7.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 8.已知函数，，则( )
A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 9.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：C 解题思路：
三角函数的奇偶性和对称性
三角函数的奇偶性和对称性 奇偶性 判断一个三角函数既不是奇函数又不是偶函数和判断函数奇偶性是一样的， 都是有两个条件（1）函数的定义域要关于原点对称（这是一个奇函数或偶函数的前提条件） （2）在（1）成立的基础上判断f(-x)=-f(x)成立，那函数一定是奇函数，若f(-x)=f(x),那函数一定是偶函数 你所问的三角函数既不是奇函数又不是偶函数方法：上边（1）不满足的情况下，三角函数既不是奇函数又不是偶函数；（1）条件满足就要看（2）条件当f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)这两个等式都不成立时，三角函数既不是奇函数又不是偶函数。 1 设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是_________ f(x+t)=sin(x+t)=sin(2x+2t) 若要使f(x+t)为偶函数则： 2t=kπ+π/2 所以： t=(1/2)*kπ+π/4 2 （1）若f(x)=sin(x+a)为偶函数，求a的值； (2)已知函数sin(x+a)+更3cos(x+a)为偶函数，求a的值 1.f(x)是偶函数，则有f(x)=f(-x),即sin（x+a)=sin(-x+a), 所以sinxcosa+cosxsina=- sinxcosa+cosxsina, ∴sinxcosa=0对x∈R恒成立.∴cosa=0 ∴a=π÷2+kπ,其中k∈Z. 2.同上,f(x)=f(-x)，且f(x)=sin(x+a)+√3cos(x+a)=2sin(x+a+π÷3）， 则同1，有a+π÷3=π÷2+kπ，k∈Z， 即a=π÷6+kπ，k∈Z。 3 已知f(x)是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若f（a-2)-f(4-a2)＜0，求实数a的取值范围。 我光列了一个， a-2|＜|4-a2| 应该能用两边平方来解但我不会 应该还有别的不等式我认为是 |a-2|＞-1 |4-a2|＜1 对不？说说你们的做法 a-2|＜|4-a2| a-2|＜|（a-2）（a+2）| 当a不等于2时候可以消去（a-2） 1＜|a+2| 下面的|a-2|＞-1 |4-a2|＜1 就不对了
三角函数知识点归纳自组
三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
三角函数典型例题剖析与规律总结
三角函数典型例题剖析与规律总结 一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。 分析：要求1sin 2+= y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足 2 1 sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周 期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin - ≥x ①在一周期?? ????-23,2ππ上符合①的角为??????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为????? ? +-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数 是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1,0log ≠>= a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。 （5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+= x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1）Θ12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2） ()[]. 0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y Θ评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 （2）函数的最大值与最小值。 例。求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211- = （2）??? ??≤≤-??? ? ? +=6662sin 2πππx x y （3）4sin 5cos 22 -+=x x y （4）?? ?? ??∈+-=32,31cos 4cos 32 ππx x x y
三角函数的奇偶性案例分析
三角函数的奇偶性案例分析 南京市秦淮中学许明 [案例主题] 函数的奇偶性是函数的一个重要性质,它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要的位置。本案例研究的主要问题有： 1、奇函数，偶函数，的图像有何特点和重要性质？ 2、及型函数的对称中心和对称轴. [案例背景] 研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.函数的对称中心和对称轴实际上是函数奇偶性的拓展。（实际上是进一步拓宽学生的数形结合思想） 片段一:（奇偶函数的图象特点和性质探究） 师：奇函数或偶函数的图象有何特点？我们一起来看一个有趣的图形并观察有何特点？ 生：图（1）两边成对称图形，在图（2）中关于y轴对称。 师：这就是数学中的对称美，请同学们再作出y=-3x和y=x 2 +2的图象并观察有何特点？生：奇函数y=-3x的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函数y=x 2 +2的图象是一条抛物线，顶点是（0，2）、开口方向向上，且关于y轴对称。 师：回答得太棒了！大家再作出y=4x和y=x 2 的图象，观察是否有类似的规律？ 生：y=4x的图象也是关于原点成中心对称图形；y=x 2 与y=x 2 +2 的图象一样也关于y轴对称。 师：到此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。 师：请同学们思考自学课本P51倒数第二段。 生：噢，原来如此。 师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数的图象？ 生3：该函数的定义域为（0，+∞）∪（-∞，0），又是偶函数，只需作出在（0，+∞）上的图象，但我不知该怎样做？ 生4：用描点法。（主动到黑板上做图，并根据对称性做出另一部分。） 生（全体）：真棒！ 片段二:（对称中心和对称轴的探究） 师：上两节课我们学习了正余弦函数的定义域、值域、单调性、周期性和奇偶性，请大家结合函数图象讨论是否还有其他性质。我们先从正弦函数开始。 生1：正弦函数图象关于原点对称，因为它是奇函数。 生2：正弦函数关于直线对称 生3：因正弦函数是周期函数，我发现还关于直线 …对称，关于点对称，他们之间都相差的整数倍 生4：不对，我觉得应该是关于直线…对称，关于点对称，他们之间都相差的整数倍。师：太棒了。 （余弦函数的对称中心和对称轴的探究略）
三角函数的定律五点作图奇偶性周期性
三角函数的公式 一、扇形的公式 若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l=______________;C=___________________;S=________________ 二、三角函数的定义 （1）设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是（x, y ），它与原点的距离是 r,则sin α=_________;cos α=________;tan α=____________. （2）设α是一个任意大小的角，α的终边与单位圆的交点P 的坐标是（x, y ），它与原点的距 离是r,则sin α=_________;cos α=________;tan α=____________. 三、 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan α. 四、诱导公式 诱导公式（一） tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπα απααπ=+=+=+k k k 诱导公式（二） )tan()cos( sin )sin(=+= +-=+απαπααπ 诱导公式（三） )tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αα αα 诱导公式（四） tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-= -=- 诱导公式（五） =-=-)2 cos( cos )2sin( απ ααπ 诱导公式（六） =+=+)2cos( cos )2sin(απ ααπ 【方法点拨】 把α看作锐角 前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限
三角函数的周期性、奇偶性及对称性
三角函数的周期性、奇偶性及对称性 考点一 三角函数的周期性 [典例] (1)(优质试题·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π 4 B.π2 C ．π D ．2π (2)若函数f (x )＝2tan ? ? ???kx ＋π3的最小正周期T 满足12．有关周期的2个结论 (1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|. (2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|. [专题训练] 1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ? ????2x ＋π6，④y ＝tan ? ? ???2x －π4中， 最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③ 解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π 2＝π； 由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ? ? ? ??2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ? ? ???2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ? ? ???ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：依题意知，f ? ????π8＝2sin ? ???? ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π 4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10， 所以0<8k ＋2<10，得－1 4三角函数的奇偶性对称性问题
三角函数的奇偶性对称性问题 一 ?选择题(共4小题) 1. ( 2015?湖南模拟)f (x ) =Asin (?x+ ? (A > 0, w > 0)在 x=1 处取最大值，则( ) A . f (x - 1) 一定是奇函数 B . f (x - 1) 一定是偶函数 C . f (x+1 ) 一定是奇函数 D . f ( x+1) 一定是偶函数 3. (2008秋？南通校级期末)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=盲对称，那么 a= O ( ) A .血 B ..西 C . 1 D . - 1 (2014?抚州模拟)设函数 f (x ) =Asin ( w x+ $) (A 和，w> 0, 二.填空题(共3小题) 兀 7T 5. (2006?湖南)若f (x) =asin (x+—) +3为门 心一三)是偶函数，则 a= ___________ . 6. ( 2001?上海)关于x 的函数f (x ) =sin (x+ ?有以下命题： ① 对任意的 為f (x )都是非奇非偶函数； ② 不存在0,使f (x )既是奇函数，又是偶函数； ③ 存在札使f (x )是奇函数； ④ 对任意的 為f (x )都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是 ____________ .因为当 0= ___________ 时，该命题的结论不成立. 2. ( 2011?新课标)设函数，则 A . y=f (x )在(0,)单调递增，其图象关于直线 B . y=f (x )在(0，?二)单调递增，其图象关于直线 x=——对 称 4 x=- _对称 C. y=f D. y=f (x ) 在(0, 单调递减, 单调递减, 其图象关于直线 其图象关于直线 X= _对称 4 7T x= 对称 2 4. 对称，它的周期是 n 则( ) A . f (x )的图象过点 g 号) Q) C . f (x )的一个对称中心是 12 B . f (x )在 D . f (x )的最大值是A f (x ) =sin (2x+ ) +cos (2x 』),贝y ( 4 (x )在(0, 象关于直线
高中数学三角函数教学实例分析
高中数学三角函数教学实例分析-中学数学论文 高中数学三角函数教学实例分析 熊海勇 （衢州第三中学，浙江衢州324022） 摘要：学生在初中已学过锐角三角函数，在此基础上，随着在高中，角的概念推广，以及引入弧度制后，相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数。本文将联系教学案例，以教学一线的实际题例为出发点，为学生解惑，提升三角函数的教学效果。 关键词：数学；三角函数；教学实例；分析 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-05-0028-01 一、代入法在快速解题中的应用 代入法作为一项解题的常用方法，被普遍运用在学生的各个学习阶段，这也是我们学到的基本的解题方法之一。它应用广泛，简单易懂。
二、多角度解析题目，可以达到事半功倍的效果 高中数学不应该只是枯燥的数字，教师在教授中更需要把我不同的方法，把数学的魅力展现给学生，加强学生思维的灵活性，下面就将结合多角度解析题目的方法来解读三界函数的魅力：
因此90°－α是处于第四象限角。 解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限。将－α的终边逆时针旋转90°，可知90°－α的终边位于第四象限。 注释：①在确定角α＋k·180°在数轴上的位置时，一般要区分k的奇偶性②确定象限时，α＋kπ与α－kπ的效果是相同的。 高中数学中的题目往往涵盖了多方面的知识点，以上习题就包含了象限、对称等多个知识点，要想快速准确的解答习题，尤其是疑难问题，就必须要尽可能灵活的运用所学的知识点，多角度的看待问题，这样才能又快又好的解决三角函数的问题。 三、在三角函数的教学中要合理的运用综合分析法来解决问题 数形结合也是常用的解题方法之一。在解题过程中，学生可以将现有的解题方法和思路进行整合。运用综合的分析方法将各个学习阶段所学的方法整合起来，以
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型(已打)
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是????? ? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2=T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的 交点都是该图象的对称中心。 4．由y ＝sinx 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sinx 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0) 或向右(?＜0＝平移 ω ?| |个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 5．由y ＝Asin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin （ωx+?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω ? ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．． 第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最 值点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9．五点法作y=Asin （ωx+?）的简图： 五点取法是设x=ωx+?，由x 取0、2π、π、2 π 3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。 四．典例解析 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π）时，y ＝－xcosx ＜0。答案为D 。
三角函数的奇偶性与单调性
3.3三角函数的奇偶性与单调性 【知识网络】1．正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性； ２．正弦、余弦、正切函数的的单调性． 【典型例题】 ［例1］(1) 已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 (1)A 提示：由题意可知，()()(0)0f x f x f -=-=可得得a=0 （2）函数()tan 4f x x π? ? =+ ?? ? 的单调增区间为( ) A ．,,22k k k Z ππππ? ?-+∈ ?? ? B ．()(),1,k k k Z ππ+∈ C ．3,,44k k k Z ππππ??-+∈ ??? D ．3,,44k k k Z ππππ? ? -+ ∈ ?? ? (2)C 提示：令2 4 2 k x k π π π ππ- <+ <+ 可得 （3）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期 是π，且当]2 , 0[π ∈x 时，x x f sin )(=，则)3 5( π f 的值为 ( ) A.2 1- B.23 C. 23- D. 21 (3)B 提示：5( )(2)()()sin 33333f f f f ππππππ=-+=-=== （4）如果()sin()2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= ． (4)－２ 由()()(0)0f x f x f -=-=可得 （５）已知函数()y f x =满足以下三个条件： ① 在[0, ]2 π 上是增函数 ②以π为最小正周期 ③是偶函数 试写出一满足以上性质的一个函数解析式 ．
三角函数的周期性和奇偶性
三角函数的周期性和奇偶性 1求下列函数的周期． (1)y ＝sin ????2x ＋π 3 (x ∈R )； (2)y ＝|sin 2x| (x ∈R )． （ 3)y ＝cos ???? 32π－23x ； (4)y ＝??? ?sin ????－12x ＋π3. 2.下列函数中，周期为 2 π 的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 3已知函数f(x)＝sin( )( )的最小正周期为，则w= 4．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝sin x －1 B ．y ＝sin 2 x C ．y ＝|sin x| D ．y ＝sin |x| 5．已知f(x)＝sin(πx －π)－1，则下列命题正确的是( ) A ．f(x)是周期为1的奇函数 B ．f(x)是周期为2的偶函数 C ．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D ．f(x)是周期为2的非奇非偶函数 6．下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x 2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝??? ?sin x 2 D ．y ＝|sin 2x| 7．函数y ＝sin ????ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期是2π 3 ，则ω＝________. 8.2 cos 3 4y x π??=+ ???的最小正周期为 9.函数1)3 2sin(4++ =π x y 的最小正周期为 10.函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是( ) （A ） 4π （B ）2 π （C ）π （D ）2π 11.判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos ??? ?－12x ＋π 2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋sin x －cos 2 x 1＋sin x . (1)f(x)＝cos ??? ?3 2π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f(x)＝1－2sin x ＋2sin x －1. 12．若f(x)是R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝sin x ，则f(x)的解析式是______________． 13 对于函数y =sin( 13 2 π-x ），下面说法中正确的是 ( ) (A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数 (C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数 14.函数y =cos(sin x )的奇偶性是 . 15 已知函数f (x ) =sin(2x +φ)为奇函数，求φ的值. 16.函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ） 17.函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间?? ????-ππ,2的简图是（ ） 18、函数)6 2sin(2π + =x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ． 2 π 19、已知cos3(0)y a b x b =->的最大值为 32，最小值为1 2 -。求函数4sin(3)y a bx =-的周期、最值，并求取得最值时的x 之值；并判断其奇偶性。
三角函数的周期性奇偶性单调性知识点和练习
知识要求：1、能正确画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象及变换的图像。 1、给定条件，能够求sin y x =，cos y x =，tan y x =及变换的函数的周期、奇偶性、定义域、值域、单调区间、最大值和最小值； 知识点一：周期性 例题分析 例1.函数sin()y A x ω?=+，它的最小正周期T = ； 例2.函数cos()y A x ω?=+，它的最小正周期T = ； 例3.函数tan()y A x ω?=+，它的最小正周期T = ； 针对练习 1、 1 2sin 2y x =的最小正周期为____________； 2、f (x )＝cos ? ???2x ＋π 6的最小正周期为________．
3、2cos()32 y x π =- +的最小正周期为____________； 4、tan()23y x ππ =-的最小正周期为___________； 5、函数2 tan 3 4y x π??=- + ???的最小正周期是 ； 6、函数)sin(π+=ax y 的周期为
针对练习 1、函数))(2 sin(R x x y ∈+ =π 在 （ ） A ?? ? ???- 2,2ππ上是增函数 B []π,0上是减函数 C []0,π-上是减函数 D []ππ,-上是减函数 2、 函数x y 2sin 2=的单调递增区间为_____________________； 3、函数y=sin （ 23 x π -）的单调增区间为_______________________； 4、函数)32cos(2π -=x y 的单调增区间是________________________； 5、函数2tan()33 x y π =+的单调减区间是________________________； 6、求函数)4 3 cos(log 2 1π + =x y 的单调递增区间 知识点三：单调性的应用 例1.比较sin 250?和sin 260?的大小； 例2.已知]2 3 ,2[ππ- ∈x ，解不等式23 sin -≥x ； 针对练习 1、 比较大小 tan100? tan 200?； 15cos 8π 14cos 9π ③sin 18π??- ??? sin 10π?? - ??? ④17cos()4π- 23cos()5π- ⑤7cos 5π 16cos 5 π ⑥11tan()4π- 13 tan()5π- 2．在［0，2π］上满足sin x ≥2 1 的x 的取值范围是（ ） A ．［0，6π］ B ．［6π，65π］ C ．［6π，32π ］ D ．［6 5π，π］ 3、在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ） A )45,()2,4( πππ πY B ),4(ππ C )45,4(ππ D )2 3,45(),4(ππππY 知识点四：奇偶性
三角函数基础_定义域值域_单调性_奇偶性
二.基础练习 1． 函数1π2sin()2 3 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2 x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周 期是 2 π ,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x πππ=-≤≤的最小值是 5已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 6．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ???的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+=),3 2sin(3)(π的图象关于点)0,6 (π -对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 例1、已知函数 y=log 2 1)4x π-) ⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它 的周期性. 变式1：求函数34sin(2)23 y x π π=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的集 合．； 变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是
例2、求下列函数的定义域 (1)x x y sin 21tan 1--+-= (2))sin(cos x y = (3) 1 cos 2)1lg(tan -+= x x y . 例3、求下列函数的值域 (1)R x x y ∈-= ,2cos 23 (2)R x x x y ∈-+= ,2sin 2cos 2 (3)x x y cos 2cos 2-+= 例4 若()2122cos sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ， （1）求()g a 的表达式； （2）求使()1g a =的a 的值，并求当a 取此值时()f x 的最大值。 1．（2007年福建）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ? ?=+> ?3? ?的最小正周期为π，则该 函数的图象（ ） A ．关于点0π?? ?3??，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π?? ?4?? ，对称 D ．关 于直线x π = 3 对称 2．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为 2 π 的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 3．如果m m x 44cos += 有意义，则m 的取值范围是
函数奇偶性与三角函数奇偶性
目前我们了解的几种函数： (1)正比例函数：如f(x)＝2x ； (2)反比例函数：如f(x)＝1 x ； (3)一次函数：如f(x)＝x ＋1； (4)二次函数：如f(x)＝x 2 －2； (5)常数函数：如f(x)＝2； (6)分段函数：如f(x)＝ |x|。 研究内容：函数图像的对称美 1、关于y 轴对称的轴对称函数图像：(4)、(5)、(6) 2、关于原点对称的中心对称函数图像：(1)、(2) 研究结论：图像关于y 轴对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D 内的任意实数x ，都有f(－x)＝f(x)。此类 函数y ＝f(x)叫做偶函数。 研读定义： (1) f(x)与f (－x)均存在，则x ∈D 且－x ∈D ，得定义域关于原点对称。 (2) 判断一个函数是偶函数时，用任意性进行证明；判断一个函数不是偶函数时，只需要举出一个反例即可。 [例1] 判断下列函数是否为偶函数？ (1)f(x)＝2x 4 －3x 2 ； (2) f(x)＝2x (x 1) x 1 －－； (3) f(x)＝1x 反思：判断函数是否偶函数，先看定义域是否关于原点对称，再研究f(－x)与f(x)关系。 研究结论：图像关于原点对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D 内的任意实数x ，都有f(－x)＝－f(x)。此 类函数y ＝f(x)叫做奇函数。 研读定义： (1) f(x)与f (－x)均存在，则x ∈D 时必有－x ∈D ，得定义域关于原点对称。 (2) 判断一个函数是奇函数时，用任意性进行证明；判断一个函数不是奇函数时，只需要举出一个反例即可。 小结：函数的上述两个性质，称为函数的奇偶性。 [例2] 判断下列函数的奇偶性。 (1)f(x)＝x ＋1x ； (2) f(x)＝x 2＋1 x ； (3) f(x)＝|x ＋1|－|x －1|； (4) f(x)＝2 变式1：f(x)＝0 —— 既是奇函数，又是偶函数。 变式2：f(x)＝ax 2，a ∈R 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝0，x ∈(－∞，＋∞)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。 (2) 当a ≠0时，f(x)＝ax 2，x ∈(－∞，＋∞)，则f(x)是偶函数。 y y y y y y
