高中数学必修一测试卷及答案3套
高中数学必修一测试卷及答案3套
测试卷一
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0?A B ．{0}∈A C ．?∈A
D ．{0}?A
2．已知f (1
2x －1)＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )
A ．－14
B.14
C.32
D ．－32
3．函数y ＝x －1＋lg(2－x )的定义域是( ) A ．(1,2) B ．[1,4] C ．[1,2)
D ．(1,2]
4．函数f (x )＝x 3
＋x 的图象关于( ) A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝
f (x )f (y )”的是( )
A ．幂函数
B ．对数函数
C ．指数函数
D ．一次函数
6．若0 >2n B ．(12)m <(12)n C ．log 2m >log 2n D ．12 log m >12 log n 7．已知a ＝0.3，b ＝20.3 ，c ＝0.30.2 ，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >c D ．c >b >a 8．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(5,6) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(1,2) 9．下列计算正确的是( ) A ．(a 3)2 ＝a 9 B ．log 26－log 23＝1 C ．12 a ·12 a ＝0 D ．log 3(－4)2 ＝2log 3(－4) 10．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 11．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( ) 12．若函数f (x )＝lg(10x ＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x －b 2 x 是奇函数，则a ＋b 的值是 ( ) A.12 B ．1 C ．－12 D ．－1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知A ＝{－1,3，m }，集合B ＝{3,4}，若B ∩A ＝B ，则实数m ＝________. 14．已知f (x 5 )＝lg x ，则f (2)＝________. 15．函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，f (x )＝x 3 ＋2x －1，则x >0时函数的解析式f (x )＝______________. 16．幂函数f (x )的图象过点(3，4 27)，则f (x )的解析式是______________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(1)计算：1 2 72 9?? ???＋(lg5)0 ＋13 2764- ?? ??? ； (2)解方程：log 3(6x －9)＝3. 18．(12分)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？ 19．(12分)已知函数f (x )＝－3x 2 ＋2x －m ＋1. (1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值． 20．(12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域D 内存在x 0，使得 f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立． (1)函数f (x )＝1 x 是否属于集合M ？说明理由； (2)若函数f (x )＝kx ＋b 属于集合M ，试求实数k 和b 满足的约束条件． 21．(12分)已知奇函数f (x )是定义域[－2,2]上的减函数，若f (2a ＋1)＋f (4a －3)>0，求实数a 的取值范围． 22．(12分)已知函数f (x )＝. (1)若a ＝1，求函数f (x )的零点； (2)若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 答案 1．D [∵0∈A ，∴{0}?A .] 2．A [令1 2x －1＝t ，则x ＝2t ＋2， 所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7. 令4m ＋7＝6，得m ＝－1 4 .] 3．C [由题意得：??? ?? x －1≥0 2－x >0 ，解得1≤x <2.] 4．C [∵f (x )＝x 3 ＋x 是奇函数， ∴图象关于坐标原点对称．] 5．C [本题考查幂的运算性质． f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y ＝f (x ＋y )．] 6．D [由指数函数与对数函数的单调性知D 正确．] 7．A [因为a ＝0.3＝0.30.5 <0.30.2 ＝c <0.30 ＝1， 而b ＝20.3 >20 ＝1，所以b >c >a .] 8．B [f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0， f (4)＝lo g 34－8＋2×4＝log 34>0. 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 所以其零点一定位于区间(3,4)．] 9．B [A 中(a 3)2 ＝a 6 ，故A 错； B 中log 26－log 23＝log 26 3＝log 22＝1，故B 正确； C 中，12 a -·12a ＝1122 a -+＝a 0 ＝1，故C 错； D 中，log 3(－4)2 ＝log 316＝log 342 ＝2log 34.] 10．C [依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2 ＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.] 11．A [将y ＝lg x 的图象向左平移一个单位，然后把x 轴下方的部分关于x 轴对称到上方，就得到y ＝|lg(x ＋1)|的图象．] 12．A [∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， 即lg(10－x ＋1)－ax ＝lg 1＋10x 10 x －ax ＝lg(10x ＋1)－(a ＋1)x ＝lg(10x ＋1)＋ax ， ∴a ＝－(a ＋1)，∴a ＝－1 2，又g (x )是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )， 即2－x －b 2－x ＝－2x ＋b 2x ，∴b ＝1，∴a ＋b ＝12 .] 13．4 解析 ∵A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，B ∩A ＝B ， ∴m ＝4. 14.1 5 lg2 解析 令x 5 ＝t ，则x ＝15 t . ∴f (t )＝15lg t ，∴f (2)＝1 5lg2. 15．x 3 －2－x ＋1 解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时， f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋2－x －1]＝x 3－2－x ＋1. 16．f (x )＝34 x 解析 设f (x )＝x n ，则有3n ＝4 27，即3n ＝34 3， ∴n ＝3 4 ，即f (x )＝3 4x . 17．解 (1)原式＝1 2 259?? ???＋(lg5)0 ＋133 34-?????? ??? ???? ＝53＋1＋4 3 ＝4. (2)由方程log 3(6x －9)＝3得 6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62 ， ∴x ＝2. 经检验，x ＝2是原方程的解． 18．解 设最佳售价为(50＋x )元，最大利润为y 元， y ＝(50＋x )(50－x )－(50－x )×40 ＝－x 2 ＋40x ＋500. 当x ＝20时，y 取得最大值，所以应定价为70元． 故此商品的最佳售价应为70元． 19．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2 ＋2x －m ＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m )>0， 可解得m <43；Δ＝0，可解得m ＝43；Δ<0，可解得m >4 3. 故m <4 3 时，函数有两个零点； m ＝43 时，函数有一个零点； m >43 时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1. 20．解 (1)D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)， 若f (x )＝1 x ∈M ，则存在非零实数x 0， 使得 1x 0＋1＝1 x 0 ＋1， 即x 2 0＋x 0＋1＝0， 因为此方程无实数解，所以函数f (x )＝1 x ?M . (2)D ＝R ，由f (x )＝kx ＋b ∈M ，存在实数x 0，使得 k (x 0＋1)＋b ＝kx 0＋b ＋k ＋b ，解得b ＝0， 所以，实数k 和b 的取值范围是k ∈R ，b ＝0. 21．解 由f (2a ＋1)＋f (4a －3)>0得f (2a ＋1)>－f (4a －3)， 又f (x )为奇函数，得－f (4a －3)＝f (3－4a )， ∴f (2a ＋1)>f (3－4a )， 又f (x )是定义域[－2,2]上的减函数， ∴2≥3－4a >2a ＋1≥－2 即???? ? 2≥3－4a 3－4a >2a ＋12a ＋1≥－2 ∴????? a ≥ 14 a < 1 3a ≥－32 ∴实数a 的取值范围为[14，1 3 )． 22．解 (1)当a ＝1时，由x －2x ＝0，x 2 ＋2x ＝0， 得零点为2，0，－2. (2)显然，函数g (x )＝x －2x 在[1 2，＋∞)上递增， 且g (12)＝－72 ； 函数h (x )＝x 2 ＋2x ＋a －1在[－1，12]上也递增， 且h (12)＝a ＋14 . 故若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数， 则a ＋14≤－72，∴a ≤－154. 故a 的取值范围为(－∞，－ 15 4 ]． 测试卷二 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2 }，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2．设函数f (x )＝，则f ( 1 f 3 )的值为( ) A. 127128 B ．－127128 C.18 D. 116 3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1 的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1) 4．已知f (x )＝(m －1)x 2 ＋3mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－4,2)上为( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先递增再递减 D ．先递减再递增 5．三个数a ＝0.32 ，b ＝log 20.3，c ＝20.3 之间的大小关系是( ) A ．a D ．b 6．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是( ) A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C ．函数f (x )在区间[2,16)内无零点 D ．函数f (x )在区间(1,16)内无零点 7．已知0 ＝|log a x |的实根个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．与a 值有关 8．函数y ＝1＋ln(x －1)(x >1)的反函数是( ) A ．y ＝e x ＋1 －1(x >0) B ．y ＝e x －1 ＋1(x >0) C ．y ＝e x ＋1－1(x ∈R ) D ．y ＝e x －1 ＋1(x ∈R ) 9．函数f (x )＝x 2 －2ax ＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1 B ．a <－1或a >1 C ．1 D ．－5 4 10．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y ＝x 2 ，x ∈[1,2]与函数y ＝x 2 ，x ∈[－2，－1]即为“同族函数”．请你找出下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|x －3| C ．y ＝2x D ．y ＝12 log x 11．下列4个函数中： ①y ＝2008x －1； ②y ＝log a 2 009－x 2 009＋x (a >0且a ≠1)； ③y ＝x 2 009＋x 2 008 x ＋1 ； ④y ＝x ( 1a －x －1＋1 2 )(a >0且a ≠1)． 其中既不是奇函数，又不是偶函数的是( ) A ．① B ．②③ C ．①③ D ．①④ 12．设函数的集合P ＝{f (x )＝log 2(x ＋a )＋b |a ＝－12，0，1 2，1；b ＝－1,0,1}，平面上 点的集合Q ＝{(x ，y )|x ＝－12，0，1 2 ，1；y ＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数 f (x )的图象恰好．． 经过Q 中两个点的函数的个数是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．计算：0.25×(－12 )－4 ＋lg8＋3lg5＝________. 14．若规定＝|ad －bc |，则不等式<0的解集是____________． 15．已知关于x 的函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是________． 16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－1 2 的解集是______________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )12 log (1)x -A ，函数g (x )＝2 23 m x x --－1 的值域为集合B ，且A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．(12分)已知f(x)＝x＋a x2＋bx＋1 是定义在[－1,1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论． 19．(12分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且当x<0时，f(x)>1； (1)求证：f(x)>0； (2)求证：f(x)为减函数； (3)当f(4)＝1 16时，解不等式f(x2＋x－3)·f(5－x2)≤ 1 4 . 20．(12分)我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时． (1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)； (2)选择哪家比较合算？为什么？ 21．(12分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件： ①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数； ②存在闭区间[a，b]D(其中a b]．那么，我们称函数y＝f(x)(x∈D)是闭函数． (1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由． (2)若f(x)＝k＋x＋2是闭函数，求实数k的取值范围． (注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可) 22．(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中a >0且 a ≠1. (1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式； (3)解关于x 的不等式－1 答案 1．D [∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2 }， 又∵A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， ∴??? ?? a ＝4， a 2 ＝16， 即a ＝4. 否则有??? ?? a ＝16a 2 ＝4 矛盾．] 2．A [∵f (3)＝32 ＋3×3－2＝16， ∴ 1f 3＝1 16 ， ∴f ( 1f 3)＝f (116)＝1－2×(116)2＝1－2256＝127 128 .] 3．B [由题意得：??? ?? 0≤2x ≤2x ≠1 ，∴0≤x <1.] 4．C [∵f (x )＝(m －1)x 2 ＋3mx ＋3是偶函数， ∴m ＝0，f (x )＝－x 2 ＋3，函数图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为(0,3)，f (x )在(－4,2)上先增后减．] 5．C [20.3 >20 ＝1＝0.30 >0.32 >0＝log 21>log 20.3.] 6．C [函数f (x )唯一的一个零点在区间(0,2)内，故函数f (x )在区间[2,16)内无零点．] 7．A [分别画出函数y ＝a |x | 与y ＝|log a x |的图象，通过数形结合法，可知交点个数为2.] 8．D [∵函数y ＝1＋ln(x －1)(x >1)， ∴ln(x －1)＝y －1，x －1＝e y －1 ，y ＝e x －1 ＋1(x ∈R )．] 9．C [∵f (x )＝x 2 －2ax ＋1， ∴f (x )的图象是开口向上的抛物线． 由题意得：???? ? f 0>0，f 1<0， f 2>0. 即???? ? 1>0，1－2a ＋1<0，4－4a ＋1>0， 解得1 4 .] 10．B 11．C [其中①不过原点，则不可能为奇函数，而且也不可能为偶函数；③中定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，又不是偶函数．] 12．B [当a ＝－12，f (x )＝log 2(x －1 2)＋b ， ∵x >1 2 ， ∴此时至多经过Q 中的一个点； 当a ＝0时，f (x )＝log 2x 经过(1 2 ，－1)，(1,0)， f (x )＝lo g 2x ＋1经过(12 ，0)，(1,1)； 当a ＝1时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋1经过(－1 2 ，0)，(0,1)， f (x )＝lo g 2(x ＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)； 当a ＝12时，f (x )＝log 2(x ＋12)经过(0，－1)，(1 2 ，0) f (x )＝lo g 2(x ＋1 2)＋1经过(0,0)，(12 ，1)．] 13．7 解析 原式＝0.25×24 ＋lg8＋lg53 ＝(0.5×2)2 ×22 ＋lg(8×53 )＝4＋lg1000＝7. 14．(0,1)∪(1,2) 解析 ?? ?? ?? 1 11 x ＝|x －1|， 由log 2 |x －1|<0，得0<|x －1|<1， 即0 解析 依题意，a >0且a ≠1， ∴2－ax 在[0,1]上是减函数， 即当x ＝1时，2－ax 的值最小，又∵2－ax 为真数， ∴????? a >12－a >0 ，解得1 16．(－∞，－1) 解析 当x >0时，由1－2－x <－12， (12)x >3 2 ，显然不成立． 当x <0时，－x >0. 因为该函数是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝2x －1. 由2x －1<－12，即2x <2－1 ，得x <－1. 又因为f (0)＝0<－1 2不成立， 所以不等式的解集是(－∞，－1)． 17．解 由题意得A ＝{x |1 ]． 由A ∪B ＝B ，得A ?B ，即－1＋31＋m ≥2，即3 1＋m ≥3， 所以m ≥0. 18．解 ∵f (x )＝ x ＋a x 2 ＋bx ＋1 是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，即0＋a 02＋0＋1＝0， ∴a ＝0. 又∵f (－1)＝－f (1)，∴－12－b ＝－1 2＋b ， ∴b ＝0，∴f (x )＝ x x 2 ＋1 . ∴函数f (x )在[－1,1]上为增函数． 证明如下： 任取－1≤x 1 x 1 x 2 1 ＋1－ x 2 x 22 ＋1 ＝x 1x 22＋x 1－x 2 1x 2－x 2x 2 1＋1x 22＋1 ＝x 1x 2x 2－x 1＋x 1－x 2 x 21＋1x 22＋1 ＝ x 1－x 21－x 1x 2 x 21＋1 x 22＋1 <0， ∴f (x 1) ∴f (x )为[－1,1]上的增函数． 19．(1)证明 f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f 2 (x 2)≥0， 又∵f (x )≠0，∴f (x )>0. (2)证明 设x 1 f x 2 ＝ f x 1 f x 2 >1，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )为减函数． (3)解 由f (4)＝f 2 (2)＝116，f (x )>0，得f (2)＝14. 原不等式转化为f (x 2 ＋x －3＋5－x 2 )≤f (2)，结合(2)得： x ＋2≥2，∴x ≥0， 故不等式的解集为{x |x ≥0}． 20．解 (1)f (x )＝5x,15≤x ≤40； g (x )＝? ?? ?? 90， 15≤x ≤30 30＋2x ，30 (2)①当15≤x ≤30时，5x ＝90，x ＝18， 即当15≤x <18时，f (x ) 21．解 (1)f (x )＝－x 3 在R 上是减函数，满足①； 设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则????? －a 3 ＝b －b 3 ＝a ，解得a ＝－1，b ＝ 1， 所以存在区间[－1,1]满足②， 所以f (x )＝－x 3 (x ∈R )是闭函数． (2)f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数， 由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足② 即：?? ? k ＋a ＋2＝a k ＋b ＋2＝b . 即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得， a ， b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根． 且a ≥k ，b >k . 令f (x )＝x 2 －(2k ＋1)x ＋k 2 －2，得??? ?? f k ≥0Δ>0 2k ＋12>k ， 解得－9 4 所以实数k 的取值范围为(－9 4，－2]． 22．解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝a －x －1. 由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， ∵f (－x )＝a －x －1， ∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)． ∴所求的解析式为f (x )＝???? ? a x －1 x ≥0－a －x ＋1x <0 . (3)不等式等价于??? ? ? x －1<0－1<－a －x ＋1 ＋1<4 或????? x －1≥0 －1 －1<4， 即? ???? x －1<0－3 <2或? ???? x －1≥00 <5. 当a >1时，有? ?? ?? x <1 x >1－log a 2或? ?? ?? x ≥1 x <1＋log a 5， 注意此时log a 2>0，log a 5>0， 可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当01时，
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