对数换底公式的应用 练习题【难题】

换底公式的应用（三）

1．（2015秋?汕头校级期中）已知函数，定义：使

f（1）×f（2）×f（3）×…×f（k）为整数的数k（k∈N*）叫作企盼数，则在区间[1，1000]内这样的企盼数共有（）个．

A．7 B．8 C．9 D．10

【考点】换底公式的应用；对数的运算性质．

【专题】新定义；函数的性质及应用．

【分析】由已知中函数f（n）=log n+1（n+2）（n∈N*），利用对数运算的性质易得f（1）?f （2）…f（k）=log2（k+2），若其值为整数，则k+2=2n（n∈Z），结合k∈[1，1000]，我们易得到满足条件的数的个数．

【解答】解：∵函数f（n）=log n+1（n+2）（n∈N*），

∴f（1）=log23，

f（2）=log34，

…

f（k）=log k+1（k+2）．

∴f（1）?f（2）…f（k）=log23?log34?…?log k+1（k+2）=log2（k+2）．

若f（1）?f（2）…f（k）为整数，

则k+2=2n（n∈Z），

又∵k∈[1，1000]，

故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510}．

∴在区间[1，1000]内这样的企盼数共有8个．

故选：B．

【点评】本题考查了对数的运算性质，是新定义题，解答此题的关键是利用对数的换底公式转化，是中档题．

2．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a=2log（c+b）a?log（c﹣b）a．

【考点】换底公式的应用；对数的运算性质．

【专题】证明题．

【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）a=，log（c﹣b）a=

证明左端=右端即可．

【解答】证明：由勾股定理得a2+b2=c2．

log（c+b）a+log（c﹣b）a

=+

=

=

=

=2log（c+b）a?log（c﹣b）a．

∴原等式成立．

【点评】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．

3．（1）利用关系式log a N=b?a b=N证明换底公式：

logaN=；

（2）利用（1）中的换底公式求下式的值：

log225?log34?log59

（3）利用（1）中的换底公式证明：

log a b?log b c?log c a=1．

【考点】换底公式的应用．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）设a b=N，则=log m N，化为blog m a=log m N，又b=log a N，即可证明；

（2）利用换底公式可得：log225?log34?log59=?，即可得出；

（3）利用换底公式可得：log a b?log b c?log c a=，即可证明．

【解答】（1）证明：设a b=N，则=log m N，化为blog m a=log m N，又b=log a N，∴logaN=；

（2）解：log225?log34?log59=?=8；

（3）证明：log a b?log b c?log c a==1．

∴log a b?log b c?log c a=1．

【点评】本题考查了对数的运算性质、换底公式及其应用，考查了计算能力，属于中档题．4．．

【考点】换底公式的应用；对数的运算性质．

【专题】计算题．

【分析】（1）直接利用对数的运算性质求解即可．

（2）利用换底公式以及对数的运算性质，用a，b表示log1456即可．

【解答】解：（1）

=|1﹣3|+2﹣lg3+lg6﹣lg2+2

=6+lg6﹣（lg2+lg3）

=6…（8分）

（2）log1456==

=，

因为log23=a，log37=b，

所以log23?log37=log27=ab，

所以log1456==…（16分）

【点评】本题考查对数的运算性质以及对数的换底公式的应用，考查计算能力．