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专题十二 二次函数的最值问题

专题十二 二次函数的最值问题
专题十二 二次函数的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题

一、核心知识

我们规定:若a

若)0(2≠++=a c bx ax y ,求y 在m ≤x ≤n 上的最大值与最小值。

分析:

当a >0时,它的图象是开口向上的抛物线,根据数形结合,可得在[m ,n]上y 的最值:

(1)当n a b m ≤-≤2时,y 的最小值是 a

b a

c 442

-,最大值就在离对称轴较远端点处取到。 (2)当m a

b <-2时,该函数在m ≤x ≤n 上是增函数,则最小值是

c bm am y ++=2,最 大值是c bn an y ++=2。

(3)当n a

b >-2时, 该函数在m ≤x ≤n 上是减函数,则最小值是

c bn an y ++=2,最大值是c bm am y ++=2。

当a <0时,可类比得出结论。

二、典型例题

例1. 函数242-+-=x x y 在0≤x ≤3上的最大值是_________,最小值是_______。

解:函数242-+-=x x y 的对称轴是x =2,顶点坐标为(2,2),且图

象开口向下,如图可得,当x =2时,y 取到最大值是2,当0=x 时,y 取

到最小值是-2。

例2.求函数242-+-=x x y 在2+≤≤t x t 上的最大值。

解:2)2(2422+--=-+-=x x x y

(1)当22<+t ,即0

(2)当22+≤≤t t ,即20≤≤t ,当x =2时,y 有最大值,2max =y

(3)当2>t 时,y 在2+≤≤t x t 上是减函数,当t x =时, 242max -+-=x t y

例3. 二次函数1)(22++--=a a x y 的在12≤≤-x 的范围内最大值是4,则a 的值等于 .

解:若2-

7-=a (舍去) 若12≤≤-a ,则当a x =时,y 有最大值,即412=+a 解得3-=a ,3=a (舍去)

若1>a ,则当1=x ,y 有最大值,即41)1(22=++--a a

解得2=a 。

综上所述,a 的值等于3-或2。

例4.函数222++-=b ax ax y 在32≤≤x 上有最大值5和最小值2,求a ,b 的值。 解:222++-=b ax ax y 的对称轴是1=x ,它位于区间的左边

(1)当0>a 时,222++-=b ax ax y 在32≤≤x 上是增函数

???=++-=++-∴22445269b a a b a a 解得???==0

1b a (2)当0

???=++-=++-∴52442269b a a b a a 解得???=-=3

1b a 小结:二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况基本就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间。结合以下函数图象可更好帮助理解问题:

当0>a 时

当0

三、跟进练习

1.已知二次函数的图象(30≤≤x )如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )

A 、有最小值0,有最大值3

B 、有最小值﹣1,有最大值0

C 、有最小值﹣1,有最大值3

D 、有最小值﹣1,无最大值

2. 求132+-=x x y 在(1)01≤≤-x ;(2)32≤≤x ;(3)30≤≤x 的最小值。

3.函数x x y 422+--=(40≤≤x )的取值范围是 。

4.已知322+-=x x y 在m x ≤≤0上有最大值3,最小值2,则

5.函数342+-=x x y 在m x ≤≤-1上有最大值8,则实数m 的值不可能的是( )

A 、0

B 、2

C 、4

D 、6

6.已知二次函数32+-=kx x y ,试判断该函数在区间11≤≤-x 上的最小值。

7.已知函数122++=ax ax y 在23≤≤-x 上的最大值为4,求实数a 的值。

8. 求函数 222+-=x x y 在1+≤≤t x t 上的最小值。

9.已知11≤≤-x ,且02≥-a ,求函数 32++=ax x y 的最值。

10.设a ,b 是任意两个不等实数,规定:满足不等式b x a ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[]b a ,.对于一个函数,如果它的自变量x 与函数值y 满足:当n x m ≤≤时,有n y m ≤≤,我们就称此函数是闭区间[]n m ,上的“闭函数”.如函数4+-=x y ,当1=x 时,3=y ;当3=x 时,1=y ,即当31≤≤x 时,有31≤≤y ,所以说函数4+-=x y 是闭区间[]3,1上的“闭函数”.

(1)反比例函数x

y 2015=是闭区间[]2015,1上的“闭函数”吗?请判断并说明理由; (2)若二次函数k x x y --=22是闭区间[]2,1上的“闭函数”,求k 的值;

二次函数的几何最值问题

二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗: 在解答面积最值存在性问题时,具体方法如下: ①根据题意,结合函数关系式设出所求点的坐标,用其表示出所求图形的线段长; ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出,若能,根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式,若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时,则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形,进行求解; ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 (2014?达州)如图,在平面直角坐标系中,己知点O(0,0),A(5,0),B(4,4). (1)求过O、B、A三点的抛物线的解析式. (2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大,求点M的坐标. (3)作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当△PQB为等腰三角形时,求m的值.

(2014自贡)如图,已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点,并与直线221-=x y 交于B 、C 两点,其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点,连接AC . (1)求抛物线的解析式; (2)证明:△ABC 为直角三角形; (3)△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ?(顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上)若能,求出最大面积;若不能,请说明理由.

(2014黔西南州)(16分)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足点为E,连接AE. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标; (2)如果P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值; (3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,求出P′的坐标,并判断P′是否在该抛物线上.

高中数学-二次函数定区间上最值问题

高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 (一)二次函数的概念: 一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. (二)二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. (三)二次函数基本形式: 1、2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。

3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 如设: f x a x b xc a ()() =++≠2 0,求f x ()在x m n ∈[],上的最大值与最小值。 方法思路分析:将f x ()配方,得顶点为--?? ???b a a c b a 2442,、对称轴为x b a =- 2 当a >0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m ,n]上 f x ()的最值:

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴,又不平行于y轴的线段最值问题 1)以此线段为斜边构造一个直角三角形,并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2)根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3)根据“上减下,右减左”分别表示出两直角边长 4)根据勾股定理表示出斜边的平方(即两直角边的平方和) 5)得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7)根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1)一般会给出一点落在抛物线上,从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形,求其周长最值 2)可先设此点坐标,点p到x轴、y轴的距离和再乘以2,即为周长 3)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1)首先判断图形中那些边是定值,哪些边是变量 2)利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边,并求其和的最小值3)周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题(这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴,四边形必有一组对边平行于坐标轴) 1)首先表示出所需的边长及高 2)利用求面积公式表示出面积 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1)分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2)再分别表示出分割后的几个规则图形面积,求和 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1)利用大减小,不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到

二次函数最值问题解答题专项练习60题(有答案)

二次函数最值专项练习60题 1.画出抛物线y=4(x﹣3)2+2的大致图象,写出它的最值和增减性. 2.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(﹣1,0)、B(2,3)两点,求出此二次函数的解析式;并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值. 3.已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a>﹣2,求 (1)函数在一2<x≤a的最小值; (2)函数在a≤x≤a+2的最小值. 4.已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3,求实数a的值. 5.我们知道任何实数的平方一定是一个非负数,即:(a+b)2≥0,且﹣(a+b)2≤0.据此,我们可以得到下面的推理: ∵x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2,而(x+1)2≥0 ∴(x+1)2+2≥2,故x2+2x+3的最小值是2. 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值?若有,请求出它的最大值或最小值.

6.如图所示,已知平行四边形ABCD的周长为8cm,∠B=30°,若边长AB=x(cm). (1)写出?ABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围. (2)当x取什么值时,y的值最大?并求最大值. 7.求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值. 8.已知m,n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根,求y=(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值. 9.当﹣1≤x≤2时,求函数y=f(x)=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值,并求最小值为﹣1时,a的所有可能的值.10.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1,求m的值.

二次函数在闭区间上的最值 (经典)

二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点: 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0,求f x ()在x m n ∈[],上的最大值与最小值。 分析:将f x ()配方,得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ,、对称轴为x b a =-2 当a >0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m ,n]上f x ()的最值: (1)当[] -∈b a m n 2,时,f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ,()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 (2)当[] - ?b a m n 2,时 若-< b a m 2,由f x ()在[] m n ,上是增函数则f x ()的最小值是f m (),最大值是f n () 若n b a <-2,由f x ()在[] m n ,上是减函数则f x ()的最大值是f m (),最小值是f n () 当a <0时,可类比得结论。 二、例题分析归类: (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:(1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤,求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ,+1上,求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+,当[1]()x t t t ∈+∈R ,时,求()f x 的最值. 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下: 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图,,n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图,,,m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点: 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0,求f x ()在x m n ∈[],上的最大值与最小值。 分析:将f x ()配方,得顶点为--?? ???b a ac b a 2442,、对称轴为x b a =-2 当a >0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m ,n]上f x ()的最值: (1)当[] -∈b a m n 2,时,f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442,()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 (2)当[]-?b a m n 2,时 若-

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此,影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素:抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中,最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关),而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节,我 们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点&例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题,常见的有以下三种类型,分别是: CaSe l、给定区间确定,对称轴位置也确定 说明:此种类型是较为简单的一种,只要找到二次函数的对称轴,画出其函数 图像,再将给定区间标出,那么二次函数的最值一目了然. 解法:若二次函数的给定区间是确定的,其对称轴的位置也确定,则要求二次函数在给定区间上的最值,只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内 (i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时,二次函数在给定区间上不具有单调性,此时其一个最值在顶点处取得,另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得;(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时,二次函数在给定区间上具有单调性,此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间[-1,2】上的最大值是_________ . 例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x,则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是 CaSe n、给定区间确定,对称轴位置变化 说明:此种类型是非常重要的,是考试必考点,主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论,然后根据不同情况求出相应的最值. 解法:若二次函数的给定区间是确定的,而其对称轴的位置是变化的,则要求 二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间[p,q 1上的最值,需对其对称轴与 给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析: (i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧,贝U函数f(χ)在给定区间 2a l-P,q ]上单调递增,此时[f (X)]max = f(q),[f (X)]min = f ( P); (ii) 若^-―

(完整版)二次函数的最值问题

典型中考题(有关二次函数的最值) 屠园实验周前猛 一、选择题 1.已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值–1,则a与b之间的大小关( ) A. ab D不能确定 答案:C 2.当-2≤x≤l时,二次函数 y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为() A、- 7 4 B、3或-3 C、2或-3D2或-3或- 7 4 答案:C ∵当-2≤x≤l时,二次函数 y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,∴二次函数在-2≤x≤l上可能的取值是x=-2或x=1或x=m. 当x=-2时,由y=-(x-m)2+m2+1解得m= - 7 4 , 2 765 y x 416 ?? =-++ ? ?? 此时,它 在-2≤x≤l的最大值是65 16 ,与题意不符. 当x=1时,由y=-(x-m)2+m2+1解得m=2 ,此时y=-(x-2)2+5 ,它在-2≤x≤l的最大值是4,与题意相符. 当x= m时,由4=-(x-m)2+m2+1解得m=3m=3y=-(x+3)2+4.它在-2≤x≤l的最大值是4,与题意相符;当3,y=-(x-3)2+4它在-2≤x≤l在x=1处取得,最大值小于4,与题意不符. 综上所述,实数m的值为2或-3. 故选C. 3.已知0≤x≤1 2 ,那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是() A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案:C

解:∵y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2.∴该抛物线的对称轴是x=2,且在x<2上y随x的增大而 增大.又∵0≤x≤1 2 ,∴当x= 1 2 时,y取最大值,y最大=-2( 1 2 -2)2+2=-2.5.故选:C. 4、已知关于x的函数. 下列结论: ①存在函数,其图像经过(1,0)点; ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点; ③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小; ④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数。 真确的个数是() A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案:B 分析:①将(1,0)点代入函数,解出k的值即可作出判断; ②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假; ③根据二次函数的增减性,即可作出判断; ④当k=0时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当k≠0时,函数为抛物线,求 出顶点的纵坐标表达式,即可作出判断. 解:①真,将(1,0)代入可得:2k-(4k+1)-k+1=0, 解得:k=0.运用方程思想; ②假,反例:k=0时,只有两个交点.运用举反例的方法; ③假,如k=1, b5 -= 2a4 ,当x>1时,先减后增;运用举反例的方法; ④真,当k=0时,函数无最大、最小值; k≠0时,y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k , ∴当k>0时,有最小值,最小值为负; 当k<0时,有最大值,最大值为正.运用分类讨论思想. 二、填空题: 1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB 上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面:当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式; (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点,过点A 作直线l :3333 y x =+交BD 于点E ,过点B 作直线BK AD l K :在四边形ABKD 的内部是否存在点P ,使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点,连结DN 、NM 、MK ,求DN NM MK ++和的最小值.

练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3,求a的值. 【拓展练习】 题面:已知:y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点. (1)求k的取值范围; (2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2. ①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值. 练习二 金题精讲 题面:已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24,最小值3,求实数a的值. 【拓展练习】 题面:当k分别取1,1,2时,函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.

二次函数最值问题(含答案)

二次函数最值问题 一.选择题(共8小题) 1.如果多项式P=a2+4a+2014,则P的最小值是() A.2010 B.2011 C.2012 D.2013 2.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3,那么m的值等于()A.10 B.4 C.5 D.6 3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为(2,﹣3),则此函数有() A.最小值2 B.最小值﹣3 C.最大值2 D.最大值﹣3 4.设x≥0,y≥0,2x+y=6,则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是()A.B.18 C.20 D.不存在 5.二次函数的图象如图所示,当﹣1≤x≤0时,该函数的最大值是() A.3.125 B.4 C.2 D.0 6.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为() A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3 7.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为() A.B.2 C.D. 8.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连结DC,DB,则△BCD的面积的最大值是()

A.7 B.7.5 C.8 D.9 二.填空题(共2小题) 9.已知二次函数y=2(x+1)2+1,﹣2≤x≤1,则函数y的最小值是,最大值是. 10.如图,在直角坐标系中,点A(0,a2﹣a)和点B(0,﹣3a﹣5)在y轴上, =6.当线段OM最长时,点M的坐标为. 点M在x轴负半轴上,S △ABM 三.解答题(共3小题) 11.在平面直角坐标系中,O为原点,直线l:x=1,点A(2,0),点E,点F,点M都在直线l上,且点E和点F关于点M对称,直线EA与直线OF交于点P.(Ⅰ)若点M的坐标为(1,﹣1), ①当点F的坐标为(1,1)时,如图,求点P的坐标; ②当点F为直线l上的动点时,记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.(Ⅱ)若点M(1,m),点F(1,t),其中t≠0,过点P作PQ⊥l于点Q,当OQ=PQ时,试用含t的式子表示m.

初中数学二次函数的最值问题专题复习

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时,函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -,无最大值;当0a <时,函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -,无最小值. 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时,函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用. 【例1】当22x -≤≤时,求函数2 23y x x =--的最大值和最小值. 分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值. 解:作出函数的图象.当1x =时,min 4y =-,当2x =-时,max 5y =. 【例2】当12x ≤≤时,求函数21y x x =--+的最大值和最小值. 解:作出函数的图象.当1x =时,min 1y =-,当2x =时,max 5y =-. 由上述两例可以看到,二次函数在自变量x 的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况: 【例3】当0x ≥时,求函数(2)y x x =--的取值范围. 解:作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象. 可以看出:当1x =时,min 1y =-,无最大值.

初中数学之二次函数最值问题

初中数学之二次函数最值问题 一、选择题 1.(2008年山东省潍坊市)若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数() A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 2.(2008浙江杭州)如图,记抛物线的图象与正半轴的交点为,将线段分成等份.设分点分别为,,,,过每个分点作轴的垂线,分别与抛物线交于点,,…,,再记直角三角形,,…的面积分别为,,…,这样就有,,…;记,当越来越大时,你猜想最接近的常数是()A.B.C.D. 3.(08绵阳市)二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表: 利用二次函数的图象可知,当函数值y<0时,x的取值范围是(). A.x<0或x>2 B.0<x<2 C.x<-1或x>3 D.-1<x <3 4.(2008年浙江省嘉兴市)一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当时,函数值最大; ②当时,函数随的增大而减小; ③存在,当时,函数值为0. 其中正确的结论是() A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.(2008 湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x㎝的 小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当x取下面哪个数值时,长方体的体积最大() A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6.(2008泰安)如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分,对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积,你认为与其最.接近的值是() A.4 B.C.D. 7.(2008山东泰 安)函数的图象如 图所示,下列对该 的是() 函数性质的论断不可能正确 ..... A.该函数的图象是中心对称图形 B.当时,该函数在时取得最小值2 C.在每个象限内,的值随值的增大而减小 D.的值不可能为1 8.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数() A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 二、填空题 1.某商店经营一种水产品,成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元

二次函数与最值问题专题讲座

第四讲 二次函数与最值问题专题讲座 一、考点梳理 考点1:二次函数的解析式 一般式:y=ax 2+bx+c 顶点式:y=a(x+k)2+h 交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2) 考点2:二次函数的图象:抛物线 考点3 二次函数的性质:二次函数图像的开口方向;顶点坐标;对称轴方程;最值. 二、题型透视 (一)、填空题 1、(2010 丽水)如图,四边形ABCD 中,∠BAD=∠ACB=90°, AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ,四边形ABCD 的面积为y ,则y 与x 之间的函数关系式是( ) A 、2252x y = B 、2 25 4x y = C 、252x y = D 、254x y = 2(2010南充)抛物线)0)(3)(1(≠-+=a x x a y 的对称轴是( ) A 、x=1 B 、x=1- C 、x=3- D 、x=3 3、(2010 荆州)若把函数y=x 的图象用E (x ,x )记,函数y=2x+1的图象用E (x ,2x+1)记,……则E (x ,122 +-x x )可以由E (x ,2 x )怎样平移得到?( ) A .向上平移1个单位 B .向下平移1个单位 C .向左平移1个单位 D .向右平移1个单位 4、(2010 咸宁)已知抛物线2y ax bx c =++(a <0)过A (2-,0)、O (0,0)、 B (3-,1y )、C (3,2y )四点,则1y 与2y 的大小关系是 A .1y >2y B .1y 2y = C .1y <2y D .不能确定 5(2010 襄樊)若函数22(2)2x x y x ?+=?? ≤ (x>2) ,则当函数值y =8时,自变量x 的值是( ) A B .4 C 4 D .4 6、(2010 东营)二次函数c bx ax y ++=2 的图形如图所示,则一次函数ac bx y -=与 c b a y +-= 在同一坐标系内的图象大致为( ) 7、(2010 荆门)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,下列结论错误.. 的是( ) (A)ab <0 (B)ac <0 (C)当x <2时,y 随x 增大而增大;当x >2时,y 随x 增大而减小

二次函数和最值问题总结

二次函数的最值问题 二次函数y ax2bx c ( a 0) 是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基 础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情 况(当 a 时, 函数在 x b处取得最小值4ac b2,无最大值;当 a 0时,函数在 x b处取得 2a 4a 2a 4ac b2,无最小 值. 最大值 4a 本节我们将在这个基础上继续学习当自变 量x 在某个范围内取值时,函数的最值问 题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应 用. 二次函数求最值(一般范围类) 例 1.当 2 x 2 时,求函数 y x22x 3 的最大值和最小值. 分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草 图,观察图象的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变 量x 的值. 解:作出函数的图象.当x 1时, y min 4 ,当 x 2 时, y max 5. 例 2.当 1 x 2 时,求函数yx2x 1的最大值和最小值. 解:作出函数的图象.当 x 1 时, y min1,当 x 2 时, y max5 . 由上述两例可以看到,二次函数在自变量 x 的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况: 例 3.当 x 0 时,求函数y x(2 x) 的取值范围.

资料

解: 作出函数 y x(2 x ) x 2 2x 在 x 0 内的图 象. 可以看出: 当 x 1 时, y min 1,无最大值. 所以,当 x 0 时,函数的取值范围 是 y 1 . 例 4. 当 t x t 1 时,求函数 y 1 x 2 x 5 的最小值 (其中 t 为常 数 ). 2 2 分析: 由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相 对位 置. 解: 函数 y 1 x 2 x 5 的对称轴为 x 1 .画出其草图. 2 2 1 5 (1 ) 当对称轴在所给范围左侧.即 t 1 时: 当 x t 时, y min t 2 t ; t 1 t 1 0 t 1 2 2 (2 ) 当对称轴在所给范围之间.即 时: 当 x 1时, y min 1 12 1 5 3; 2 2 (3 ) 当对称轴在所给范围右侧.即 t 1 1 t 0 时: 当 x t 1 时, y min 1 (t 1)2 (t 1) 5 1 t 2 3. 2 2 2 1 t 2 3, t 0 2 综上所述: y3,0 t 1 1 t 2 t 5 , t 1 2 2 在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 二次函数求最值 ( 经济类问题 ) 例 1.为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡,国家决定 对购买彩电的农户实行政府补贴. 规定每购买一台彩电, 政府补贴若干元, 经调查某商场销售彩电台数 y (台)与补贴款额 x (元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系.随着补 贴款额 x 的不断增大, 销售量也不断增加, 但每台彩电的收益 Z (元)会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.

专题五--二次函数的最值问题

专题五 二次函数的最值问题 【要点回顾】 1.二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值. 二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时,函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -,无最大值;当0a <时,函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -,无最小值. 2.二次函数最大值或最小值的求法. 第一步确定a 的符号,a >0有最小值,a <0有最大值; 第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 3.求二次函数在某一范围内的最值. 如:2 y ax bx c =++在m x n ≤≤(其中m n <)的最值. 第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:0x x =; 第二步:讨论: (1)若0a >时求最小值或0a <时求最大值,需分三种情况讨论: ①对称轴小于m 即0x m <,即对称轴在m x n ≤≤的左侧; ②对称轴0m x n ≤≤,即对称轴在m x n ≤≤的内部; ③对称轴大于n 即0x n >,即对称轴在m x n ≤≤的右侧。 (2) 若0a >时求最大值或0a <时求最小值,需分两种情况讨论: ①对称轴02 m n x +≤ ,即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧; ②对称轴02m n x +>,即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧; 说明:求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置,具体情况,参考例4。 【例题选讲】 例1求下列函数的最大值或最小值. (1)5322--=x x y ; (2)432 +--=x x y .

同步练习:已知函数1x 2x 2 1y 2++= (1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标、对称轴及最值; (2)求抛物线与x 轴、y 轴的交点; (3)观察图象:x 为何值时,y 随x 的增大而增大; (4)观察图象:当x 为何值时,y>0时,当x 为何值时,y=0;当x 为何值时,y<0。 例2 已知函数2 ,2y x x a =-≤≤,其中2a ≥-,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值. 同步练习:当12x ≤≤时,求函数21y x x =--+的最大值和最小值. 例3当0x ≥时,求函数(2)y x x =--的取值范围. 同步练习:已知二次函数,322--=x x y (1)x 为何值时0=y ? (2)x 为何值时0>y ? (3)x 为何值时0

二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0)是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时,函数的最值问 题?在高中阶段,求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”,即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点, 二次函数的顶点,以及二次函数的对称轴, 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面: 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时,求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析:这个问题十分简单,属于定轴定区间这一类题目, 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时,求函数y = -x 2 -X -一的最小值(其中t 为常数)? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值;当时 a . 0,函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.

分析:这类问题属于定轴动区间的问题,由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化,所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解:函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ; 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述:y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ]上的最大值为2,求实数a 的 值。分析:这类问题属于动轴定区间的问题,由于函数的对称轴随 a 的变化而变化,所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时,畑; (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时;当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 :::1= t :: 0时,当 x =t ? 1 时,

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题,频繁出现在函数试题中,很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略,供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1.已知函数2()2f x x x =-,求()f x 的最小值. 解:22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知,当1x =时,min ()1f x =- 变式1.已知函数2()2f x x x =-,[2,4]x ∈,求()f x 的最小值。 分析:由图像可知,函数)(x f 在[2,4]为增函数, min ()(2)0f x f ∴== 变式2.已知函数2()2f x x x =-,[0,3]x ∈,求()f x 的最大值. 分析:由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减,在[1,3]上递增,且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2.已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41,上的最大值为5,求实数a 的值。 解:将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122,函数图像对称轴方程为x =-2,顶点坐标为()---2412,a a ,图像开口方向由a 决定。很明显,其顶点横坐标在区间 []-41,内。 x

①若a <0,函数图像开口向下,如下图1所示。当x =-2时,函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152,解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0,函数图像开口向上,如上图2所示,当x =1时,函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=,解得a a ==-16或,故a a ==-16()舍去 综上可知:函数f x ()在区间[] -41,上取得最大值5时,a a =-=2101或 点拨:求解有关二次函数在闭区间上的最值问题,应先配方,作出函数图像,然后结合其图像研究,要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中,二次函数图像的开口,对称轴和区间都是固定的,需引起同学们注意的是,当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候,要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中,二次函数图像的对称轴和区间是固定的,但图像开口方向是随参数a 变化的,要注意讨论。 小结:二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈,则min ()()f x f k h ==,max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?,当k m <时,min ()()f x f m =,max ()()f x f n = 当k n >时,min ()()f x f n =,max ()()f x f m = 当0a <时,仿此讨论 类型二 定轴动区间 例3.已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-,求函数的最小值().g a

初三二次函数最值问题和给定范围最值(供参考)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 二次函数中的最值问题重难点复习 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成:2 ()y a x h k =-+的形式 ()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是h x =. a b ac a b x a c bx ax y 44222 2-+??? ? ?+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. 二次函数常用来解决最值问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言,最大(小)值会在顶点处取得,达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值,最大(小)值也就是顶点纵坐标值。 自变量x 取任意实数时的最值情况 (1)当0a >时,函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -,无最大值; (2)当0a <时,函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -,无最小值. (3)二次函数最大值或最小值的求法. 第一步:确定a 的符号,0a >有最小值,0a <有最大值; 第二步:配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 2.自变量x 在某一范围内的最值. 如:2y ax bx c =++在m x n ≤≤(其中m n <)的最值. 第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:02b x x a ==- ; 第二步:讨论: [1]若0a >时求最小值(或0a <时求最大值),需分三种情况讨论:(以0a >时求最小值为例) ①对称轴小于m 即0x m <,即对称轴在m x n ≤≤的左侧,在x m =处取最小值2min y am bm c =++; ②对称轴0m x n ≤≤,即对称轴在m x n ≤≤的内部,在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++; ③对称轴大于n 即0x n >,即对称轴在m x n ≤≤的右侧,在x n =处取最小值2min y an bn c =++. [2] 若0a >时求最大值(或0a <时求最小值),需分两种情况讨论:(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤ ,即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧,在x n =处取最大值2max y an bn c =++; ②对称轴02 m n x +>,即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧,在x m =处取最大值2max y am bm c =++ 小结:对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下: