二次函数复习
安陆市解放路初中陈洪波
知识目标:1、了解二次函数解析式的三种表示方法,抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;
2、一元二次方程与抛物线的关系.
3、利用二次函数解决实际问题。
技能目标:培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。
情感目标:1、通过问题情境和探索活动的创设,激发学生的学习兴趣;
2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系,体会到学习数学的乐趣。
复习重点:二次函数的应用
复习难点:函数综合题型
复习方法:自主探究、分组合作交流
复习过程:
一、知识梳理(学生独立练习,分小组批改)
1、二次函数解析式的三种表示方法:
(1)顶点式:(2)交点式: (3)一般式:
2、填表:(屏幕显示)
抛物线顶点坐标
开口方向当a>0时
开口方向当a<0时
3、二次函数y=ax2 +bx+c,当a>0时,在对称轴右侧,y随x的增大而___,在对称轴左侧,y随x的增大而___;当a<0时,在对称轴右侧,y随x的增大而____, 在对称轴左侧,y随x的增大而_____
4、抛物线y=ax2 +bx+c,当a>0时图象有最____点,此时函数有最_____值;当a<0时图象有最______点,此时函数有最_______值。
二、探究、讨论、练习(先独立思考,再分组讨论,最后反馈信息)(屏幕显示)
1、已知二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示,试判断下面各式的符号:
(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c 2、已知抛物线y=x2 +(2k+1)x-k2 +k
(1) 求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)设A(x1 ,0)和B(x2 ,0)是此抛物线与x轴的两个交点,且满足x1 +x2 = -2k2 +2k+1,
①求抛物线的解析式
②此抛物线上是否存在一点P,使△PAB的面积等于3,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
三、归纳小结:
通过本节课的练习,你有什么收获和体会?
四、利用二次函数解决实际问题:
一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到的最大高度是3.5米,然后准确落入篮圈,已知篮球中心到地面的距离为3.05米,
(1)根据题意建立直角坐标系,并求出抛物线的解析式。
(2)该运动员的身高是1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?
五、作业:
已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2 (a≠0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0) ,(x1≠x2)
(1)求a的取值范围,并证明A、B两点都在原点的左侧;
(2)若抛物线与y轴交于点C,且OA+OB=OC-2,求a的值。
六、教学反思:
1.以前的复习课只能利用黑板,课堂容量小,一节课的内容需要好几节课才能完成,优等生吃不饱,不能有效的利用课堂时间,让学生获取尽可能多的知识,教师累,学生苦。利用多媒体,可以把要讲的知识点、学生要做的练习全部展示给学生,节约了时间,做到了高容量、大密度,教学内容直观形象具体,能够充分调动学生学习的积极性,获得较好的教学效果。
2.教学效果明显,大部分学生掌握较好。
2017年5月23日
二次函数复习 安陆市解放路初中陈洪波 知识目标:1、了解二次函数解析式的三种表示方法,抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等; 2、一元二次方程与抛物线的关系. 3、利用二次函数解决实际问题。 技能目标:培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。 情感目标:1、通过问题情境和探索活动的创设,激发学生的学习兴趣; 2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系,体会到学习数学的乐趣。 复习重点:二次函数的应用 复习难点:函数综合题型 复习方法:自主探究、分组合作交流 复习过程: 一、知识梳理(学生独立练习,分小组批改) 1、二次函数解析式的三种表示方法: (1)顶点式:(2)交点式: (3)一般式: 2、填表:(屏幕显示) 抛物线顶点坐标 开口方向当a>0时 开口方向当a<0时
3、二次函数y=ax2 +bx+c,当a>0时,在对称轴右侧,y随x的增大而___,在对称轴左侧,y随x的增大而___;当a<0时,在对称轴右侧,y随x的增大而____, 在对称轴左侧,y随x的增大而_____ 4、抛物线y=ax2 +bx+c,当a>0时图象有最____点,此时函数有最_____值;当a<0时图象有最______点,此时函数有最_______值。 二、探究、讨论、练习(先独立思考,再分组讨论,最后反馈信息)(屏幕显示) 1、已知二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示,试判断下面各式的符号: (1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c 2、已知抛物线y=x2 +(2k+1)x-k2 +k (1) 求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)设A(x1 ,0)和B(x2 ,0)是此抛物线与x轴的两个交点,且满足x1 +x2 = -2k2 +2k+1, ①求抛物线的解析式 ②此抛物线上是否存在一点P,使△PAB的面积等于3,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。 三、归纳小结: 通过本节课的练习,你有什么收获和体会? 四、利用二次函数解决实际问题: 一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到的最大高度是3.5米,然后准确落入篮圈,已知篮球中心到地面的距离为3.05米, (1)根据题意建立直角坐标系,并求出抛物线的解析式。
二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结:
2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结:
3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k
总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
北京市石景山区九年级上学期期末物理试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题;共24分) 1. (2分)下列说法正确的是() A . 宇宙大爆炸理论认为宇宙诞生于大爆炸,爆炸引起宇宙膨胀 B . “破镜难重圆”是因为固体分子间只存在着排斥力 C . 在空调房间吸烟时,会看到烟雾在空中弥漫,这是分子的无规则运动 D . 原子核内质子所带的正电荷数与中子所带的负电荷数相等,所以平常物体不带电 2. (2分)(2017·福州模拟) 如图所示,为了方便市民绿色出行,海口街头配置了公共自行车,下列与自行车有关的说法中正确的是() A . 轮胎上制有花纹是为了减小摩擦 B . 车坐垫做的较宽是为了增大压强 C . 在水平路面上匀速骑行时,车的重力做功 D . 停止蹬车后车仍继续前行,是由于车具有惯性 3. (2分)如图,两个滑轮组由每个质量相同的滑轮组成,用它们分别将重物G1、G2提高相同高度,下列说法中正确的是:() A . 若G1 = G2 ,拉力做的额外功相同 B . 若G1 = G2 ,拉力做的总功相同 C . 若G1 = G2 ,甲的机械效率大于乙的机械效率 D . 用同一个滑轮组提起不同的重物,机械效率不变. 4. (2分) (2017九上·红安期中) 下列关于功、内能、热量的描述正确的是() A . 机械能为零的物体,内能也一定为零 B . 热量总是从内能大的物体向内能小的物体传递 C . 做功和热传递都能改变物体的内能
D . 物体的内能增大,温度一定升高 5. (2分) (2016九·靖远月考) 将质量相同的三块金属甲、乙、丙加热到相同的温度后,放到表面平整的 石蜡上.经过一定时间后,观察到的现象如图所示.则三块金属的比热() A . 甲最大 B . 乙最大 C . 丙最大 D . 一样大 6. (2分) (2017九下·宝安月考) 下列说法错误的是() A . 将菜炒熟的过程中,分子热运动加剧,香味越来越浓 B . 1Kg的汽油在气缸内燃烧放出的热量,就是汽油的热值 C . 由于沙石的比热容比海水的小,导致沙漠地区的昼夜温差比沿海地区的大 D . 将活塞迅速压下时,筒内空气的温度升高,蘸了乙醚的棉花燃烧起来 7. (2分)下列说法中符合事实的是() A . 一只100W的白炽灯正常发光1h,消耗1度电能 B . 常用的测电笔就是用来测量家庭电路电压大小的工具 C . 一只灯泡两端加2.0V电压时,流过灯泡的电流是0.2A,则灯泡的电阻是10欧 D . 为了安全用电,洗衣机等家用电器的金属外壳必须与大地保持绝缘 8. (2分)如图所示为楼梯照明电路的电路图,其中S1、S2分别为楼上和楼下的开关(都是单刀双掷开关).为了节约用电和使用安全、方便,要求拨动其中任意一个开关,都能改变电灯原来发光和熄灭的状态,在实际应用中最理想的方案是()
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.
例1、已知二次函数2243y x x =++,试确定的它开口方向、对称轴和顶点坐标。 巩固练习二: 1、抛物线243y x =-+的对称轴及顶点坐标 分别是( ) A 、y 轴,(0,-4) B 、x =3,(0,4) C 、x 轴,(0,0) D 、y 轴,(0,3) 2、二次函数2 (1)2y x =---图象的顶点坐标 和对称轴方程为( ) A 、(1,-2), x =1 B 、(1,2),x =1 C 、(-1,-2),x =-1 D 、(-1,2),x =-1 3、由函数y=5x 2的图象沿x 轴向 平移 个单位,再沿y 轴向 平移 单位得到函数y=5(x -3)2-2的图象。 4、已知某二次函数的顶点坐标为)11(-,, 且过点)02(,试确定它的函数解析式 教师讲 解回顾解题思路 学生积 极参与,独立思 考,然后 交流 通过练 习,使学生更好地掌握二次函数的图像与性质 开放学生思维,培养学生综合分析问题解决问题的能力 知识点三 巩固练习三: 1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象 如图所示,则a 、b 、c 的符号为( ) A 、a<0,b>0,c>0 B 、a<0,b>0,c<0 C 、a<0,b<0,c>0 D 、a<0,b<0,c<0 2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象 如图所示,则a 、b 、c 的符号为( ) A 、a>0,b=0,c>0 B 、a<0,b>0,c<0 进一步 引导学生总结归纳系数与图像的关 系 学生独立思考后交流小组合作完成 2(0)y ax bx c a =++≠的系数与图像的关系
拓展提高 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0 1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,下列判断不正确的是() A、abc>0, B、b2-4ac<0, C、a-b+c<0, D、4a+2b+c>0. 3、我校初三篮球比赛中,如图1所示,队员甲在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运动的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米. (1)求抛物线的表达式. (2)此时,若对方队员乙在甲前方0.5m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3m,那么乙能否拦截成功? 感悟与收获通过今天的学习你有哪些收获?大家交流一 下。 学生思 考交流 通过回 顾,引导 学生进行 反思 自我检测1.二次函数2 2(4)5 y x =-+的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是().A.向上、直线4 x=、(45) ,B.向上、直线4 x=-、(45) -, C.向上、直线4 x=、(45) - , D.向下、直线4 x=-、(45) -, 2.抛物线2 (1)3 y x =-+的顶点坐标为_________. 3.将抛物线2 y x=向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,则此时抛物线的函数表达式是______ __. 4. 在同一直角坐标系中,一次函数y ax b =+ 和二次函数2 y ax bx =+的图象可能为().
2020北京朝阳初三(上)期末 物 理(选用) 2020.1 (考试时间90分钟满分90分) 学校 班级 姓名 考号 1.在国际单位制中,电功的单位是 A.伏特(v) B.欧姆(Ω) C.焦耳(J) D.安培(A) 2.通常情况下,下列物体中属于导体的是 A.橡胶垫 B.金属丝 C.玻璃棒 D.塑料绳 3.下列家用电器中,利用电流热效应工作的是 A.电冰箱 B.电饭锅 C.电视机 D.电风扇 4.下列生活实例中,通过热传递改变物体内能的是 A.喝一口热茶,胃暖暖的 B.两手用力摩擦,手感到热 C.反复弯折铁丝后,弯折处很烫 D.用锯条锯木板,锯条变热 5.关于家庭电路,下列认识中正确的是 A.我国家庭电路的电压为220V B.开关在家庭电路中可有可无 C.通常情况下,各用电器是串联的 D.电能表可以直接测量电功率 6.图1所示的电路图中,开关都闭合后,两盏灯均发光且并联的是 7.盛夏,炽热的阳光照在海面上,可是海水的温度变化并不大,这是因为 A.海水吸收的热量较多 B.海水吸收的热量较少 C.海水的比热容较大 D.海水的比热容较小 8.下列关于电流、电压和电阻的说法中正确的是 A.只有正电荷的定向移动才能形成电流 B.用电器中有电流,它的两端一定有电压
C.只要电路两端有电压,电路中就一定有电流 D.导体的电阻越大,表明通过它的电流越小 9.图2所示为四冲程汽油机的某一个工作冲程。汽油的热值为4.6×107J/kg,下列说法中正确的是 A.此图所示为汽油机的吸气冲程 B.汽油燃烧可以放出的热量为4.6×107J C.汽油机的效率越高,消耗的汽油就越少 D.质量2kg的汽油完全燃烧,放出9.2×107J的热量 10.关于安全用电,下列认识中正确的是 A.空气开关自动断开,都是由于用电器总功率过大引起的 B.用试电笔判断火线与零线时,手指不能接触任何金属部分 C.电冰箱的三脚插头改为二脚插头,仍然可以放心使用 D.假期郊游时,我们一定要在远离高压线的地方放风筝 11.下列关于温度、内能和热量的说法中正确的是 A.物体的温度升高,它的内能增加 B.温度为0℃的物体是没有内能的 C.物体的内能越大,它含有的热量越多 D.矿热量从内能多的物体传向内能少的物体 12.图3为某电磁炉与液晶电视的产品铭牌。当它们在正常工作时,下列说法中正确的是 A.电磁炉比液晶电视电流做功多 B.电磁炉比液晶电视消耗电能快 C.电磁炉比液晶电视通过的电流小 D.电磁炉比液晶电视的实际电压大 13.小阳利用负温度系数热敏电阻R t和定值电阻R0设计了一款简易水温计,电路如图4甲所示,热敏电阻随温度的变化图象如图4乙所示。按照此设计电路,电源两端电压保持不变,开关S闭合后,在水温升高时,下列判断中正确的是
二次函数 一、解析式的求法 一般式2 y ax bx c =++?? ?已知没有规律的三个点的坐标 已知a:b:c,并且已知一个点的坐标 顶点式2 ()y a x m n =++????? 已知顶点及另一点的坐标已知对称轴和另外两点的坐标已知最值和另外两点的坐标 两点式(交点式)12()()y a x x x x =-- 二、二次函数的图像 1、二次函数的平移问题 (1)、平移的实质:a 相同。(a 决定二次函数的形状、开口和开口的大小,其中a 决定开口的大小,a 的正负决定开口方向。注意,两个二次函数的a 相等,则这两个二次函数的形状就是相同的) (2)、平移的规律:顶点坐标的平移。 2、二次函数的对称变换: 2222 ()(+)()(+)y a x m k y a x m k y y a x m k y a x m k x ?=-+=+?=-+=--?与关于轴对称 与关于轴对称 3、二次函数的图像与,,a b c 及其相关代数式(2 ,2,4a b c a b b ac ±+±-)之间的关系 0a a a ?>????L 对称轴在轴右侧对称轴在轴左侧0 00y y c c y y c ?>???? -?-=???- L 抛物线与轴有两个交点抛物线与轴有一个交点抛物线与轴没有交点
二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质:
1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0