4.1.3 三角形的中线

§4.1 认识三角形（3）----三角形的中线

【旧知复习】：“线段的中点”：如图，若点M 为线段AB 的中点 则：AM = =

（或 AB = = ）

【学习目标】：1、理解并掌握三角形中线的定义及性质；

2、会运用中线的性质（面积）等分三角形；

3、会运用中线的性质在三角形中求周长差或线段差；

4、能找出三角形的重心位置；

【课堂笔记】

1、三角形的中线： 几何语言：∵ AD 为△ABC 的中线

∴ BD = = （或 BC = = ） 归纳：

2、（面积）等分三角形；

如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AE ⊥BC ，试说明ABC ACD ABD S S S ???==2

1

思考：如何将一块三角形的土地四等分，使四块土地面积都相等？

3、应用三角形中线的性质计算：求边长、周长差（或线段差）；

例1：如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB=5cm ，AD=4cm ，△ABD 的

周长为12cm ，求BC 边的长度。

例2：如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，△ABD 的周长比△ACD 的周长

长4cm ，若AB=9cm ，求AC 的长度

变式练习：如图，△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，AB=8cm ，BC=5cm ，

则=-??CBD ABD C C ；

4、三角形的重心：

分别作出以下三角形的三条中线，进行观察：

归纳：

认识三角形(3)教学设计

第四章 三角形 1认识二角形(第3课时) 一学生起点分析 二教学任务分析 (1) 知识与技能：了解三角形的中线，角平分线的定义并掌握其性质，会做三角 形的中线和角平分线。 (2) 过程与方法：通过学生观察、想象、动手做、交流等活动，培养学生探索发 现能力、观察能力、动手操作能力和有条理地表达能力。 (3) 情感与态度：让学生在探索活动中产生对数学的好奇心，发展学生的空间观 念；通过问题的发现解决，使学生有成就感，增强学生学好数学的信心。 教学设计分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境引入新课；第二环节：合 作交流探究新知；第三环节：合作学习再探新知；第四环节：精设练习巩固新知; 第五环节：共同小结布置作业. 第一环节：创设情境引入新课 在前面我们已经认识了三角形，知道了三角形的顶点、三边、内角、 三角形内角和等知识。同学们现在看老师利用一支铅笔就可以支起一 一堂新课的引入是老师与学生课堂交往活动的开始， 是学生学习新知 识的心理铺垫，是拉近师生之间的距离，破除疑难心理、乏味心理的关键。一个 开心快乐的游戏。 实际教学效果：以实际问题的形式开启新课， 且使数学贴近生活，让学生感受到数学源于生活，让学 生以轻松、 入探究新知的过程。 活动内容: 三边关系、 个三角形, (演示)，你能做到吗? 活动目的: 成功的引入，是让学生感觉到他熟知的生活, 可使学生迅速投入到课堂中来， 对 知识在最短的时间内产生极大的兴趣和求知欲, 接下来教学活动将成为他们一种 不但揭示了本节课的学习内容， 而 愉快的心态进

第二环节：合作交流探究新知 活动内容: 活动一：复习线段的中点定义和确定线段中点的方法，类比得出三角形中线的定义和三角形中线的作法。 (1)定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的 线段叫做三角形的中线。 1 ??? BD= DC= -BC 2 (2) 三角形中线是条线段。如图线段AD (3) 几何表达：??? AD是三角形ABC的中线 三角形ABD和三角形ACD面积有什么关系？为什么? 活动二：探索三角形的三条中线的性质(在不同类型的三角形中分别讨论)。 (1)在纸上任画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关 系？ (2)锐角三角形和钝角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？动手画一画。 (3)你能用折纸的方法得到三角形一条中线吗？你能折出它的三条中线并探究 其位置关系吗? 结论：三角形的三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。(交点在三角形的内部) 活动目的：以线段的中点知识类比出三角形的中线知识，在复习旧知识的过程中引出新知识，体现数学知识之间的相互联系，把课堂大量的时间和空间留给学生,

三角形中线

三角形中线 1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段； 2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分； 3.三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角形重心； 4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍； 5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分； 6.解决三角形中线问题，常作的辅助线是倍长中线，塑造全等三角形，或平行四边形； 7.遇到三角形两条中线同时出现时，常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半； 8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 9.如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 10.等边三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线，互相重合； 重心，是三边上的中线的交点 垂心，是三边上的高线的交点 内心，是三个内角的平分线的交点 外心，是三边的垂直平分线的交点 三角形的五心 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。 外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。 垂心定理三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。 内心定理三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。 旁心定理三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质： （1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

人教版八年级数学上册三角形

第十一章三角形全章教案 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 7.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 7.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 7.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 7.4课题学习镶嵌…………………………………………… 1课时 本章小结………………………………………………………… 2课时 11．1．1三角形的边 【教学目标】 1、知识与技能、理解三角形的表示法，分类法以及三边存在的关系，发展空间观念。 2、过程与方法： ⑴经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单，最基本的几何图形，提高推理能力。 ⑵培养学生数学分类讨论的思想。 3、情感态度与价值观： ⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价

《三角形的认识》精品教案

《三角形的认识》精品教案 一．教学内容 苏教版四年级数学下册三角形的特点。 二．教学目标 1. 通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特点及三角形高和底 的含义，会在三角形内画高。 2. 培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。 3. 体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。 三．教学重点 1.认识三角形，知道三角形的特点 2.掌握三角形高和底的含义，会在三角形内画高 四．教学难点 会在三角形内三条边上画高。 五．教学过程(1) 三角形的特点 1. 联系生活情境导入 生活中有哪些物体，哪些现象是三角形形状的呢？ 2. 导入新课 为什么生活中这些物体要制成三角形形状的呢？究竟它有什么特点?这节课我们将对它进行深入的研究。 3. 操作感知，理解概念 (1) 画出一个自己喜爱的三角形。说一说三角形有几个顶点、几条边、几个角，让学生 在自己画的三角形上尝试标出边、角、顶点。 (2) 观察三角形特点，概括三角形的定义 (3)老师总结：三角形是由三条线段围成的封闭图形。 (4)练习：判断下面这些图形是不是三角形？ (5)试一试：方格纸上有4个点。从这4个点中任选3个作为顶点，都能画一个三角形吗？ 对比观察：在同一条直线上的三个点不能画一个三角形。

五．教学过程(2) 三角形的高 1. 观察人字梁图 （1）人字梁的高度可以用哪条线段来表示？ （2）这条线段与横梁有什么关系？ 2.认识三角形的高与底 （1）从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线。 组织学生再画一个三角形，并从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线。 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 （2）在三角形上表明高和底。 强调：通常画高时用虚线，还要表明垂直符号。 （3）议一议：三角形会有几条高呢？ 组织学生在小组中议一议，动手画一画，并互相交流。 三角形有三个顶点，所以每个顶点都可以向对边作高，所以任意一个三角形都有三条高。 注意：当对边不够长时，可画虚线延长。 3.活学活用—做出下面三角形每个高 教师课件出示三角形高的集中情况。 组织学生观察，说说有什么发现，在小组中交流： 图（2）三角形的两条直角边就是它的2条高，所以它只需作1条高。

最新人教版-八年级上册-三角形的知识点及题型总结

三角形的知识点及题型总结 一、三角形的认识 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 分类： 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形） 钝角三角形（有一个角是钝角的三角形） 三边都不相等的三角形 按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 例题1 图1中共几个三角形。 例题2 下列说法正确的是（） A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形 B.等边三角形不是等腰三角形 C.等腰三角形是等边三角形 D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 例题3已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|x－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.

二、与三角形有关的边 三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（） A.3，4，5 B.4，4，8 C.3，7，10 D.10，4，5 例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的范围是（） A.1

最新三角形的三条中线交于一点

为什么三角形的三条中线交于一点？（1.相似三角形法）（附图）（原创） 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE 证明： 如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N； 过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。 ∵MN∥BC ∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD ∴MO/BD=AO/AD，NO/CD=AO/AD ∴MO/BD=NO/CD ∵AD是△ABC的一条中线 ∴BD=CD ∴MO=NO ∵PQ∥AB ∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF ∴PO/BF=CO/CF，QO/AF=CO/CF ∴PO/BF=QO/AF ∵CF是△ABC的一条中线

∴PO=QO ∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO ∴△MOP≌△NOQ(SAS) ∴∠MPO=∠NQO ∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行） ∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE ∴MR/AE=BR/BE，PR/CE=BR/BE ∴MR/AE=PR/CE ∵MN∥BC，PQ∥AB ∴四边形BMOP是平行四边形 ∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分） ∴AE=CE 命题得证。 下面的是第二种方法：面积法 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE 证明：

∵点D是BC的中点，点F是AB的中点 ∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD ∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD 即S△AOC（绿）= S△AOB（红） ∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF ∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF 即S△AOC（绿）= S△BOC（蓝） ∴S△AOB（红）= S△BOC（蓝） ∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB ∴S△AOE:S△AOB（红）= S△COE:S△BOC（蓝） ∵S△AOB（红）= S△BOC（蓝） ∴S△AOE = S△COE ∴AE=CE 命题得证。 下面的是第三种方法：中位线法 已知：△A BC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE 证明： 如图，延长OE到点G，使OG=OB。

人教版八年级上册三角形有关基础知识练习题

三角形基本知识测试 一、选择题(12*3’=36’) 1．如图1所示，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°，则∠D的度数为（）A．35° B．65° C．55° D．45° （1）（2） (3) 2．如图2所示，AB∥CD，∠A=55°，∠C=80°，则∠M等于（） A．55° B．25° C．35° D．15° 3．三角形中，最大的内角不能小于（） A．30° B．60° C．90° D．45° 4．如图3所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，与∠1互余的角有（）A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 5、以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的（） A、7㎝，8㎝，15㎝ B、15㎝，20㎝，5㎝ C、6㎝，7㎝，5㎝ D、7㎝，6㎝，14㎝ 6．若三角形的三边长分别为1，a，8，且a为整数，则a的值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 7．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（） A．19cm或11cm B．19cm或14cm C．11cm 或14cm D．10cm 8．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（） A．三角形的稳定性；B．两点之间线段最短；C．两点确定一条直线；D．垂线段最短 9．如图4所示，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=35°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为（）A．90° B．95° C．75° D．55° (4) (5) (6)

10．如图5所示，在△ABC中，∠ABC=40°，AD，CD?分别平分∠BAC，?∠ACB，?则∠ADC 等于（） A．110° B．100° C．190° D．120° 11．如图6所示，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠D=30°，则∠AED的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80° 12．两根木棒长分别为5cm和7cm，要选择第三根，将它们钉成一个三角形，?如果第三根木棒长为偶数，则组成方法有（） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 二、填空题(2’*16=32’) 1．在一个三角形中，最多有______个锐角，有______个直角，有_______个钝角． (7) (8) (9) （10） 2．如图7所示，以∠1为内角的三角形有____ ___． 3．如图8所示，AB∥CD，∠E=130°，∠F=70°，则∠1+∠2=_______，∠3+?∠4=_______．4．如图9所示，平面上放着等距离的10个点，把这些点作为三角形的顶点，?可作_____个等边三角形． 5．如图10所示，AB∥CD，AD∥BC，∠1=65°，∠2=55°，求∠C的度数． （11）（12）（13） 6．如图11所示，将一幅直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，使∠AOB+∠DOC=_______． 7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=10，那么BC=_______． 8．在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________． 9．若一个三角形的两边长是2和9，则第三边长a的取值范围是_______． 10．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为7cm，求三角形的周长． 11．如图12所示，以点A为顶点的三角形有_______个，它们分别是__________．

三角形中线

三角形中线、角平分线、高的教学评价 李大渊 《三角形中线·角平分线·高》是华东师大出版的义务教育课程标准实验教科书初中一年级(七年级)(下)，第8章《多边形》中的第2节，第一问题是认识三角形中的最后一段。教材中有一个图形，有一段结合图形说明的文字，红框中有“做一做”，并指出，在做的过程发现什么结论？最后第2个练习题，在每个练习题中都要求学生通过作图，发现什么规律。这段教材是在学生已经知道三角形的边角、顶点、内角、外角及三角形的分类的基础上学习的。 教学目标：①巩固三角形的基本概念及分类思想。②让学生比较规范地作出三角形的中线、角平分线和高。③通过作这些线段训练学生作图技能及使用作图工具的能力。④通过作图发现规律，让学生体会到“实践出真知”，同时体会普通性与特殊性的辩证统一及运动变化的观点。 一、课堂实录与评 ⒈复习： 师：什么叫三角形？什么叫三角形的边、顶点？ 师生共答：将不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。组成三角形的三条线段叫三角形的边，两条边相交的点叫三角形的顶点。(教师说话声音大，学生跟着说的声音小得多，我主要听到的是教师的背诵)［评］：这个复习是机械的，教师应该设计一个供师生操作性的问题，开始教师应说，我们共同来作一个三角形。(可作出锐角、直角、钝角三类不同的三角形)并结合图形说出三角形的基本概念，目的有训练作图的意图。 师：思考什么是三角形的外角？ 师生共答(仍是一种背诵，教师回答声音仍比学生回答声音大，相当于自问自答。) ［评］应该让学生作出三角形的外角，并读出来。 ⒉新课 师：(站在讲台上)把练习本拿出来与我一起作图，这时，教室里响起翻东西与说话声。 师：画一个任意的三角形，测出BC的长。(教师用三角板上的刻度测出BC 的长) 求 BC，找出BC的中点D，连AD，则AD叫△ABC的BC边的中点。 学生也跟着教师一步一步地作图。

认识三角形3教案

认识三角形(三) 一、学习目标： 1．会将三角形按边进行分类 2．掌握三角形三边的关系 3、经历探索三角形边之间关系的过程，发展有条理表达能力。 二、学习重点：目标1、2、 三、学习过程： （一）复习旧知，衔接铺垫：三角形按角可以怎样分类？ （二）导入新课：三角形按边可以怎样分类呢？ （三）出示目标，指导自学：7分钟 自学课本7—9页，完成以下问题 1、三角形按边可以分为什么三角形，它们的定义分别是什么？ 2、如图：在A点的小狗要吃到B点的火腿有几条路线？哪条路线最短？ 在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？ 3、完成课本做一做，计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较， 你能得到什么结论？ 4、现有四根木棒，分别为8cm、9cm、11cm、20cm,任意取其中三根木棒摆 一个三角形，一定能摆成吗? （四）小组合作，组内交流5分钟 展示解决的问题，交流不会的问题 （五）小组汇报，组间交流5分钟 各组汇报没有解决的问题，组间解决 （六）抓住关键，教师点拨7分钟 针对自学中的几个问题强调解题时应该注意的问题。强调：三角形的三

边具备以下关系 （七）课堂练习，10分钟 1下列每组数分别是三根木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？ （1）3 4 5 (2)8 7 15 (3)12 12 20 (4)5 5 11 2等腰三角形一边长是9，另一边长是4，它的第三边长是多少？为什么？ 3在△ABC中，a=4， b=2，若第三边长是偶数，求c的长。 （八）总结收获本节课你学会了什么？2分钟 （九）堂清检测（ 6分钟） 必做题： 1、一个三角形的两边长分别是3和8，若第三边长为奇数，则第三边的长是（） A 5或7 B 7 C 9 D7或9 2、以下列长度的三条线段为边，能组成等腰三角形的是（） A 3 4 5 B 6 3 3 C 7 4 4 D 2 2 5 3、已知三角形的三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（） A 2 B3 C 5 D 13 选做题：有人说自己的步子大，一步能走3米，你相信吗？为什么? 教学反思

三角形的中线与面积的三个重要结论

三角形的中线与面积的三个重要结论 三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题. 一、三角形的中线与面积 1、三角形的一条中线与面积 如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=2 1ABC S 三角形. 证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 则ABD S 三角形= 21×BD ×AE,ACD S 三角形=2 1×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论： 1、等底同高的两个三角形面积相等. 2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等. 2、三角形的二条中线与面积 如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=3 1ABC S 三角形. 证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1）， AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），

（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形； 如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形, 所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形= 31ABC S 三角形. 由此得到如下结论： 1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等. 2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍. 3、三角形的三条中线与面积 如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =6 1S. 证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S . 因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S . 所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2 121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S = 6 1S. 由此我们得到如下结论： 三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面

新人教版八年级上三角形培优

培优资料《三角形》 【例题讲解】 例题1：某等腰三角形的周长为30，求腰x 和底y 的取值范围． 例题2：已知：∠B=∠C=∠BAD ，∠ADC=∠DAC ，AE ⊥BC ，求∠DAE ． 例题3：（1）如图1，这是一个五 角星ABCDE ，你能计算出∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E 的度数吗？为 什么？（必须写推理过程） （2）如图2，如果点B 向右移动 到AC 上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E 的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程） （3）如图，当点B 向右移动到AC 的另一侧时，上面的结论还成立吗？ （4）如图4，当点B 、E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．

例题4：Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°； （2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？ （3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有 何关系？猜想并说明理由． 例题5：如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E． （1）∠E=°； （2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条 角平分线交于点F． ①依题意在图1中补全图形； ②求∠AFC的度数；

（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交 点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，求m，n的值． 【巩固练习】 1．已知线段AC=3，BC=2，则线段AB的长度（） A．一定是5 B．一定是1 C．一定是5或1 D．以上都不对 2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O， CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC= ∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2， ③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（） A．①②③B．①③④C．①④D．①②④ 3．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（） A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能

认识三角形(3)练习

认识三角形（3）练习 一.目标导航 1.通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力； 2.了解三角形的高、角平分线、中线，并能在具体的三角形中作出它们. 二.基础过关 1．指出下列图形中三角形的高.（1）如图（1）AD ⊥BE 、垂足为点D. △ABE 的高为__________；△ABD 的高是_______________.（2）如图（2）BF ⊥AF ，EC ⊥AF ，CD ⊥AB ，垂足为F 、 C 、D.△ABF 中，___________是AF 边上的高. 在△ACE 中，CE 是___________边上的高.C D 是△___________中___________边上的高，是△___________中___________边上的高，也是△___________中___________边上的高. 如图（1） 如图（2） 1题图 2．△ABC 中，AD 是的中线△ABC ，且BC=10cm ，则BD= cm 3．在△ABC 中，∠A=80°，AD 为∠A 的平分线，则∠BAD= 4．三角形的高线是（ ） A.直线 B.垂线 C.射线 D.线段 5．如果一个三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 6．下列说法正确的是（ ） A.三角形的角平分线是射线. B.三角形三条高都在三角形内. C.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外. D.三角形三条中线相交于一点. 三.能力提升 7．在下列图中，分别画出三角形的三条高： 7题图 D A B F C E

三角形中线专题

中线：顶点到对边中点的连线段 第一、 中线等分面积； 1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线 2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形 有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况） 3．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长． 4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案． 第二、 中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC 中 AD 是BC 边中线 D A B C N D C B A M F E D C B A 方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN 方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B 作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

D C B A 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD 【融会贯通】 第 1 题图 A B F D E C

(完整版)新人教版八年级上册三角形习题集

第十一章三角形习题 11.1.1三角形的边 一：知识点一：1定义 (1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三 角形的线段叫做______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______． (2)如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其 中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边 ______还可用______表示；顶点C所对的边______还可用______表示． 2．练习：⑴已知：如图，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，它们分别是 ______________________________________. (2)以线段AD为公共边的三角形是 _________________________________________. (3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是 ________________________． 2．图中共有个三角形，以BC为边的三角形有 二：知识点二：分类⑴三角形按边分为 ⑵按角分为 知识点三：性质1 2 练习：(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )． (A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm (C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm (2)现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木 架，那么下列四根木条中应选取( )．(A)0.85m长的木条 (B)0.15m长的木条 (C)1m长的木条(D)0.5m长的木条 3、如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( ) A.6 2 1 (AB+BC+AC). 知识点四：等腰三角形 1．已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长． 2．一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长． 3．.已知等腰三角形的两边长分别为4,9,求它的周长. 4、一个等腰三角形，周长为20cm，一边长6cm，求其他两边长。 A B C O E F A B C D P C A 第8题图 第7题图

三角形三边中垂线、高线、角平分线、中线必交一点

证明：三角形三边中垂线必交与一点 在三角形ABC中 作AB和AC的中垂线，交于O点 则由中垂线性质可知AO=BO，AO=CO 故BO=CO 过O作BC的垂线，垂足为D，则由BO=CO与OD=OD可证得Rt三角形ODB全等于Rt 三角形ODC 故BD=CD，即OD为BC的中垂线 则AB和AC、BC的中垂线都交于O

证明：三角形三个内角角平分线必交与一点 设三角形ABC，首先两条角平分线（假设是角A和角B的）肯定交于一点，设为D，分别过点D作三边垂线，AB BC AC上的垂足为E F G 由角平分线定理，DE=DF，DE=DG 所以DF=DG，由逆定理，CD也为角平分线 证明：三角形三边高线必交于一点 1如图：作AB的高CD和AC的高BE，显然，两高线比交与一点，设为G点，连接AG 延长交BC与F，现在要证明AF⊥BC。 由于∠ADC+∠AEB=180，所以ADGE四点共圆，所以∠DAG=∠DEG 同理有DEBC四点共圆，所以有∠BCD=∠DEG 所以∠BCG=∠DAG，又∠DGA=∠FGC，所以∠CFG=∠ADG=90度 所以AF⊥BC

2利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。1.塞瓦定理的逆定理 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF 交于一点。 3.解析法，把三条直线设出来，然后算出三条高线的解析式，证明它们交在一个点 证明：三角形三边中线必交于一点 三角形ABC的中线BE和CD交点O，连接并延长AO交BC于F，证明：F是BC中点。作BG平行DC交AO延长线于G 则因D为AB中点,所以O为AG中点 连接GC,则在三角形AGC中,OE是中位线 OE平行GC 所以BOCG为平行四边形 F平分BC，F是BC中点。

人教版 八年级上册 三角形 知识点及题型总结

第十一章三角形的知识点及题型总结 一、三角形的认识 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 分类： 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形） 钝角三角形（有一个角是钝角的三角形） 三边都不相等的三角形 按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 例题1 图1中共几个三角形。 例题2 下列说法正确的是（） A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形 B.等边三角形不是等腰三角形 C.等腰三角形是等边三角形 D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 例题3已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|x－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.

二、与三角形有关的边 三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（） A.3，4，5 B.4，4，8 C.3，7，10 D.10，4，5 例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的范围是（） A.1

三角形三条中线、高、角平分线相交于一点的证明

过点O 做ΔABC 三边的垂线OM 、OR 、ON ∵BN 、CM 是ΔABC 的角平分线 ∴OM=OR=ON ∴点O 在∠BAC 的角平分线上 ∴三角形的三条角平分线相交于一点 证明三条高线重合 求证：P 、Q 、O 三点重合 证明：如图，∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ∴∠AEB = ∠AFC = 90° 又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽ △ACF ∴AF AE AC AB = 即AB ·AF = AC ·AE 又∵AD ⊥BC ∴△AEQ ∽ △ADC ，△AFP ∽ △ADB ∴AC AQ AD AE =，AB AP AD AF = 即AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP ∵AB ·AF = AC ·AE ，AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP ∴AD ·AQ = AD ·AP ∴AQ = AP ∵点Q 、P 都在线段AD 上 ∴点Q 、P 重合 ∴AD 与BE 、AD 与CF 交于同一点 ∵两条不平行的直线只有一个交点 ∴BE 与CF 也交于此点 ∴点Q 、P 、O 重合。

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE . 证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。 ∵OG=OB ∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点 ∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD‖CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） ∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF‖AG ∵AD‖CG，CF‖AG ∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分 ∴AE=CE 命题得证。

3.1认识三角形(3)(新北师大)

3.1认识三角形（3） 学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地 表达能力； 2、了解三角形的角平分线、中线、高线，并能在具体的三角形中作出高线。 学习重点：1、角平分线的概念 2、三角形的中线、高线。 学习难点：高线的画法以及三个定义做计算 学习设计： （一） 预习准备 （1） 预习书68-72 （2） 思考：什么是三角形的角平分线？中线？高线？ （3） 预习作业 画出下图三角形的三条高 （二） 学习过程 1、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做 2、在三角形中， 的线段，叫做这个三角形的中线。 3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 之间的线段叫做三角形的高。 例1 （1）如图1，D 为S △ABC 的变BC 边的中点，若S △ADC =15, 那么S △ABC = (2)如图2，已知AD 、BE 分别是△ABC 中BC 、AC 边上的高，若 00 70,120,2C ∠=∠=∠=那么 D C B A 2 1 E D C B A 图1 图2 变式训练：如图在△ABC 中，BD 平分0 ,66,24,ABC C ABD A ∠∠=∠=∠那么= D C B A

例2 如图，已知在△ABC 中，ABC ACB ∠∠与的平分线交于点O ，试说明： （1）01180()2 B O C A B C A C B ∠=-∠+∠ (2)01902 B O C A ∠=+∠ 变式训练：如图在△ABC 中，已知I 是△ABC 三个内角平分线的交点，0 130BIC BAC ∠=∠,则为（ ） A 、40° B 、50° C 、65° D 、80° 例3 如图，已知在△ABC 中，CF 、BE 分别是AB 、AC 边 上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC 的周长为15，求BC 的长。 变式训练：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12和15两部分，求△ABC 各边的长。 O C B A I C B A O F E C B A D C B A