垂直于弦的直径
垂直于弦的直径
------垂径定理
【教学内容】垂径定理
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】
一复习提问
1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？
2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径．
4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
二、实例导入，激疑引趣
1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400
多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1幻灯片放映）
三、尝试诱导，发现定理
（一）学生活动
1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。
如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e．2教师用电脑演示重叠的过程。
提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
⌒
⌒
⌒
⌒
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是cd．
（2）ae=be，ad=bd ac=bc
（二）引导探究，证明定理
1．引导证明：
引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“ae=be”，可通过连结oa、ob来实现，利用等腰三角形性质证明。共2页，当前第1页12
②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．巩固定理：
a
d
在下列图形能否利用“垂径定理”得到相等的线段和相等的弧？若不能，说明理由；。
a
b
c
c
e
a
b
o
e
b
c
o
c
c
e
e
a
b
e
b
a
b
a
d
d
d
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
四、例题示范，变式练习
1．运用定理解决赵州桥的问题。
〖例1〗导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，⌒
⌒
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？
o
d
a
c
r
⌒
分析：如图，用ab 表示主桥拱，设ab 所在圆的圆心为o，半径为r．经过圆心o 作弦ab 的垂线oc，d为垂足，oc与ab 相交于点d，根据前面的结论，d 是ab 的中点，c是ab 的中点，cd 就是拱高在图中ab=37.4，cd=7.2
b
ad=1/2ab=1/2×37.4=18.7
od=oc-cd=r-7.2
在rt△oad中，由勾股定理，得
oa2=ad2+od2
即r2=18.72+（r－7.2）2
解得：r≈27．9（m）
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
e
b
a
例2 如图，在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径．
解
答：⊙o的半径为5cm.
五小结
请大家围绕以下两个问题小结本节课
①学习了一个与圆有关的重要定理，定理的内容是什么？
②在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？
归纳：
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备
（1）过圆心；
（2）垂直于弦
则它有以下性质
（1）平分弦；
（2）平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧.
2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
六作业
1教材88页练习1，2题
2教材95页习题24.1 7、8、9；
24.1.2垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计 岫岩满族自治县 雅河中学关良壬
24.1.2垂直于弦的直径教学设计 岫岩雅河中学关良壬 教材分析 本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 学情分析 本节课实际是圆的计算在八年级下册第十八章勾股定理的基础上加上新知识圆的内容所以上课前先要了解学生对勾股定理的掌握情况。 教学目标 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——作弦心距。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。 3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质； ②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获 得成功的体验。 教学重点垂径定理及其应用。 教学难点垂径定理的语言表述。 教学方法探究发现法。 教具准备圆形纸片、电脑、三角板、圆规。 教学设计 一、教学活动设计：
24.1.2_垂直于弦的直径精选练习题及答案
24.1.2 垂直于弦的直径 一、课前预习 (5分钟训练) 1.如图24-1-2-1，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，则可推出的相等关系是___________. 图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 4.圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B 、C,那么弦BC 的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 2.如图24-1-2-2，在⊙O 中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C ，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________. 3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm. 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长. 图24-1-2-4 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( ) A.32 B.33 C. 22 3 D.2 33 图24-1-2-5 图24-1-2-6
2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( ) A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边 摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ 图24-1-2-7 5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12 日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米. 图24-1-2-8
24.1.2 垂直于弦的直径练习 学生版
课后巩固 1．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（） A．3B．6C．4D．8 2．CD为⊙O的直径，弦AB⊙CD于M，若CM=12，DM=8，则AB等于（） A．4B．8C．8D．4 3．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为中点，则说法错误的是（） A．AD⊙BC B．=C．AE=DE D．OE=BE 4．已知如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，则OP长的取值范围为（） A．OP＜5B．8＜OP＜10C．3＜OP＜5D．3≤OP≤5 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则⊙BAC等于（）
A．15°B．20°C．30°D．45° 6．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的速度为（） A．0.4厘米/分B．0.6厘米/分C．1.0厘米/分D．1.6厘米/分 7．已知⊙O的半径是5cm，弦AB⊙CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（） A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断 二．填空题（共7小题） 8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为． 9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊙AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=5cm．
10．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为． 11．如图，⊙O的半径为5，弦BC=8，点A在⊙O上，AO⊙BC，垂足为D、E为BC延长线上一点，AE=10，则CE的长为． 三．解答题（共8小题） 12．（2017?顺德区一模）如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊙AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O 的半径． 13．（2017?普陀区一模）如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊙BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径． 14．（2016?云南校级模拟）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，⊙DEB=30°，求弦CD 长．
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径 ------垂径定理 【教学内容】垂径定理 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一复习提问 1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？ 2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． 3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径． 4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 二、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400
多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1幻灯片放映） 三、尝试诱导，发现定理 （一）学生活动 1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。 如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e．2教师用电脑演示重叠的过程。 提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由． ⌒ ⌒
垂直于弦的直径知识点总结
24.1.2 垂直于弦的直径 【知能点分类训练】 知能点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______． 2．两个同心圆的对称轴（）． A．仅有1条 B．仅有2条 C．有无数条 D．仅有有限条 3．如图所示，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （3）①在图中，连接OA，OB，则△OAB是等腰三角形，那 么直径CD既是⊙O 的________，又是△OAB的 ________． ②把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重 合，点A与点B重合，AE与____?重合，AC与______重 合，AD与_____重合． ③同理可得到AE_____BE，AC=_______，AD=________． 知能点2 垂直于弦的直径 4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）． A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BC BD 5．如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP=4cm，PD=2cm，则OP的长等于（）．
A．9cm B．6cm C．3cm D．1cm 6．在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm，则⊙O 的半径为________． 7．在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于E，∠COD=100°，则∠COE=_______． 8．如图所示，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，当______时，CD ⊥AB．（填写一个你认为适当的条件） 9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA?为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长． 10．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交 吗？ CD于F，试问：（1）点F是CD的中点吗？（2）AC BD 【综合应用提高】 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的直径为（）．A．6.5m B．9m C．13m D．15m (第11题) (第12题) 12．如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=8m，?那么油的最大深度是_________． 13．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD，点O是CD?的圆心，CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD于F，EF=90m，则这段弯路的半径是多少？
人教版九年级数学上《垂直于弦的直径》拓展练习
《垂直于弦的直径》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（） A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（） A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm 3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（） A．4B．5C．6D．6 4．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）
A．4m B．5m C．6m D．8m 5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（） A．5米B．7米C．米D．米 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为． 7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面米． 8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．
2412垂直于弦的直径精选练习题及答案
垂直于弦的直径 一、课前预习(5分钟训练) 1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________. 图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣 弧有______________. 3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm. 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长. 图24-1-2-4 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( ) 2 B.3 3 C. 22 3 D. 23 3 图24-1-2-5 图24-1-2-6 2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )
A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边 摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ 图24-1-2-7 5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12 日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米. 图24-1-2-8 6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
垂直弦的直径(垂径定理)
垂直弦的直径（垂径定理） 一、复习与思考： 1．如下图，弦AB对应的弧为为；此图是不是轴对称图形？ 如果是，求你画出它的一条对称轴. 二、新课学习 垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的两条________． 几何语言：∵________________， ∴________________；________________ ；________________. 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________；________________；________________. 练习： 2．如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，则下列结论：①EA＝EB②EO＝ED③DA DB =④CA CB =.一定成立的有 3．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE＝2，则下列结论正确的是（）A．OE＝2B．EC＝2 C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB 第2题第3题第4题第5题 4．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，AB＝8，OE＝3，则⊙O半径为及ED的长为． 5．如图，⊙O半径为5，OC＝3，OC⊥AB，求AC的长为及AB的长为． 6．如图，在⊙O中，直径CD⊥AB，AB＝6，ED＝ 1，求⊙O半径．
7．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =12米，拱高CD =9米，求圆的半径． 小结：“垂径三角形五线段，知二求三” 8．如图， AB 是⊙O 的弦，点C ，D 是直线AB 上的点，且OC ＝OD .求证AC ＝BD . 9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙ P 的半径为 ，则点P 的坐标为 ． 10．如图，AB 为⊙O 的直径，E 为OB 与CD 的中点.试猜想：△OBD 是什么特殊三角形？四边形 OCBD 是什么特殊四边形？并证明你的猜想.
201x-201x学年九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径测试题
24.1.2 垂直于弦的直径 1．如图24-1-16所示，已知⊙O的半径为13，弦AB的长为24，则点O到AB的距离是( ) 图24-1-16 A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图24-1-17所示，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是( ) 图24-1-17 A．CE＝DE B．AE＝OE C. D．△OCE≌△ODE 3．如图24-1-18所示，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm 4．如图24-1-19所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为____． 5．如图24-1-20所示，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，点P是弦AB上的一个动点，求
OP的长度范围． 6．本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120米，A到BC 的距离为4米，如图24-1-21所示． 请你帮他们求出该湖的半径． 7．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为8 m，拱顶高出水面2 m，现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6 m，高1.5 m(货箱底与水面持平)，示意图如图24-1-22所示，问该货船能否顺利通过该桥？ 图24-1-22
参考答案 【分层作业】 1．B 2.B 3.C 4.5 5.3 cm≤OP≤5 cm.6.人工湖的半径为452米．7.该货船不能顺利通过该桥． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
垂直于弦的直径(一)
垂直于弦的直径（一） 一、教学目标： （1）知识目标 ①使学生理解圆的轴对称性。 ②掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。 ③掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。 （2）、能力目标 ①通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力 ②提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。 （3）、情感目标 ①通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。 ②师生共同探究定理，师生共作，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。 2、教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。 3、教学难点：理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。 4、教学方法：启发式，先做后说，师生共作。 5、教具：课件 教学过程 一、创设情境 问题1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让学生准备好）对折一下发现什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）。今天我们就利用圆的轴对称来研究“垂直于弦的直径”的问题。（板书课题） 问题2：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？ 二、分析猜想
1、把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情况，学生未得到，教师直接给出）两种不同的情况在于直径的位置关系不同。教师问，学生观察，猜想。学生回答，教师引导补充：一个是斜交，另一个是垂直。 A B C D O A B C D O A B C D O 2、问题：在直径CD 的两侧相邻的两条弧是否相等？学生观察，回答：右图中 =，=。 3、若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，刚才的结论还成立吗？学生观察，归纳出上述结论依然成立。 4、要求学生在圆纸片上画出上图，并沿CD折叠。 （教师利用投影，增加效果） 5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE） 三、论证评价 1、证明 这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。 分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE 重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。 证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)： （1）连接OA、OB。 （2）分加用亮条显示CD左右两侧的两个半圆，然后在右侧着色。 （3）用亮光显示点A、B。 （4）用亮条显示AE、BE。
24.1.2 垂直于弦的直径(练习)(解析版)
第二十四章圆 24.1.2 垂直于弦的直径 精选练习答案 一、单选题（共10小题) 1．（2019·广东铁一中学初三期中）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（） A．90°B．120°C．135°D．150° 【答案】B 【详解】 过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD 1 2 =OC 1 2 =OA，由此可得．在Rt△AOD中，∠OAD=30°，同理可得∠OBD=30°．在△AOB中，由内角和定理，得：∠AOB=180°﹣∠OAD﹣∠OBD=120°． 故选B． 【名师点睛】 本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形． 2．（2019菏泽市期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已
知4EF CD ==，则球的半径长是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 【答案】B 【详解】 如图： EF 的中点M ，作MN⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴四边形CDMN 是矩形， ∴MN=CD=4， 设OF=x ，则ON=OF ， ∴OM=MN -ON=4-x ，MF=2， 在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2， 即：（4-x ）2+22=x 2， 解得：x=2.5， 故选：B ． 【名师点睛】 本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2018·扬州中学教育集团树人学校初三期中）已知⊙O 的直径为，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上的一动点，若OP 的长度为整数，则满足条件的点P 有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．5个 D ．7个
初中数学圆和垂直于弦的直径考试卷及答案.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型 选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 下列说法正确的是( ) A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D．长度相等两条弧是等弧 试题2: 下列说法错误的有( ) ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3 cm为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试题3: 如图2418，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( ) A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm 试题4: 评卷人得分
如图2419，在⊙O中，弦AB垂直于直径CD于点E，则下列结论：①AE＝BE；②＝；③＝；④EO＝ED.其中正确的有( ) A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 试题5: 如图24110，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦长AB＝________. 试题6: 如图24111，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，其大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和________(结果保留 π)． 试题7: 如图24112，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交于点D. (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径． 试题8: 平面内的点P到⊙O上点的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O的面积为__________．
人教版九年级数学上册教案-24.1.2 垂直于弦的直径2带教学反思
24．1．2 垂直于弦的直径 教学目标 1、知识目标： （1）充分认识圆的轴对称性。 （2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。 （3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。 2、能力目标： 让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动 手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。 3、情感目标： 通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时 培养学生勇于探索的精神。 教学重点 垂直于弦的直径的性质及其应用。 教学难点 1、垂径定理的证明。 2、垂径定理的题设与结论的区分。 教学辅助 多媒体、可折叠的圆形纸板。 教学方法 本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。 教学过程
引入新课引入新课 问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？ 拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折， 重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结 论？： （1）圆是轴对称图形。 （2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所 在的直线） （3）圆的对称轴有无穷多条 实验：把圆形纸片沿着圆的 任意一条直径对 折，重复做几次 观察：两部分重合，发现得 出圆的对称性的结 论 培养学生 的动手能 力，观察能 力，通过比 较，运用旧 知识探索 新问题 揭示课题揭示课题 电脑上用几何画板上作图： （1）做一圆 (2) 在圆上任意作一条弦 AB； (3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。 （板书课题：垂直于弦的直径） 在圆形纸片上作一条弦AB， 过圆心作AB的垂线的直径 CD且交AB于E 师生互动师生互动 运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动 画让学生观察，讨论 （1）图中圆可能会有哪些等量关系？ （2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？ 实验：将圆沿直径CD对折 观察：图形重合部分，思考 图中的等量关系 猜想： AE=EB、 弧AC=弧CB、 弧AD=弧DB (电脑显示))垂直于弦的直 径平分弦，并且平分弦所对 的两条弧？ 引导学生 通过“实验 --观察-- 猜想”，获 得感性认 识，猜测出 垂直于弦 的直径的 性质 O E D C B A
人教版九年级24.1.2垂直于弦的直径测试题
垂直于弦的直径练习 一、选择题（每题4分，共计24分） 1．如图所示，在⊙0中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是 () A．AC=CB B. C. D. OC=CN 2．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 cm，则OM的长等于() A．B． C. 8 cm D． 3．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm， AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于() A．6 cm B．C．8 cm D． 4．如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4，CE=2，那么⊙O的半径等于() A. 5 B. C. D. 5. 如图所示，AB是⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB．∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A、B两点)上移动时，点P() A．到CD的距离保持不变B．位置不变 C. 等分D．随C点的移动而移动 6. 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AC=CD， AB的弦心距等于CD的一半。则这两个同心圆的大小圆的半径之比() A. 3：1 B. C. D.
二、填空题（每题5分，共计40分） 7．在半径为5 cm的圆内有两条平行弦。分别为6 cm和8 cm．则两弦之间的距离是______． 8．在圆中，垂直平分一条半径的弦长为，则此圆的半径等于_________. 9．在半径为5cm的⊙O中，若O到弦AB的距离为，则∠AOB的度数为____，AB的长等于______. 10．如图所示，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点．那么OP长的取值范围是_______. 11．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB、CD相交于点P．AP=8 cm，BP=2 cm，∠CPA=30°，那么CD的弦心距等于________. 12. ⊙O的半径是20 cm，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，则S△AOB等于_____． 13．有一圆弧形拱桥，拱形的半径为10m，拱的跨度为16m，则拱高等于____. 14．若弓形的弦长为4，弓形的高为1，那么弓形所在圆的半径等于_____． 三、解答题（15题16题各8分，17题18题各10分，共计36分） 15. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，以C为圆心，AC为半径的⊙C交AB于D，求AD长．
垂直于弦的直径
作课类别课题24.1.2垂直于弦的直径课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性. 2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 过程 方法 1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴． 2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 情感 态度 激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 教学重点垂径定理及其运用． 教学难点发现并证明垂径定理 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、导语：直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质. 二、探究新知 (一)圆的对称性 沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？ 得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. （二）、垂径定理 完成课本思考 分析：1.如何说明图24.1-7是轴对称图形？ 2.你能用不同方法说明图中的线段相等，弧相 等吗？ ●垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．即：直径CD垂直于弦AB则CD平分弦AB，并且平分弦AB所对的两条弧． 推理验证：可以连结OA、?OB，证其与AE、BE构成的两个全等三角形，进一步得到不同的等量关系. 分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？ 即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧. ●垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？ 2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？ ●垂径定理的进一步推广 思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来. 教师从直径引出课题，引 起学生思考 学生用纸剪一个圆，按教 师要求操作，观察，思考， 交流，尝试发现结论. 学生观察图形，结合圆的 对称性和相关知识进行思 考，尝试得出垂径定理， 并从不同角度加以解释. 再进行严格的几何证明. . 师生分析，进一步理解定理， 析出定理的题设和结论. 教师引导学生类比定理独 立用类似的方法进行探 究，得到推论 学生根据问题进行思考， 更好的理解定理和推论， 通过学生亲自动 手操作发现圆的 对称性，为后续 探究打下基础 通过该问题引起 学生思考，进行 探究，发现垂径 定理，初步感知 培养学生的分析 能力，解题能力. 为继续探究其推论 奠定基础 培养学生解决问 题的意识和能力 全面的理解和掌 握垂径定理和它 的推论，并进行
人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习(含答案)
人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径同步练习 一．选择题 1．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（） A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm 2．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（） A．6 B．8 C．3D．6 3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）
A．13 B．24 C．26 D．28 5．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB 长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm． A．350 B．700 C．800 D．400 6．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（） A．5 B．4 C．D．2 7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C 是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（） A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）
2412垂直于弦的直径精选练习题及答案
、课前预习(5 分钟训练) 1. __________________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-1 ，AB 是⊙ O的弦，CD是⊙ O的直径，CD ⊥ AB ，垂足为E，则可推出的相等关系是___________ 图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24 -1-2-3 2. __________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它 垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为____________________________________ . 3. 判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2) 平分弦的直径垂直于弦. 4. __________________________________________________________________________ 圆O 的半径 OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于________________________________ . 二、课中强化(10 分钟训练) 1. _________________________________________ 圆是轴对称图形，它的对称轴是. 2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1- 2-2，在⊙ O中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C，图中相等的线段有 ___________________________ ，相等的劣弧有 ________________ . 3. ____________________________________________________________________________ 在图24-1-2-3 中，弦AB 的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙ O的半径R= ___________________________________ cm. 三、课后巩固(30 分钟训练) 1. 如图24-1-2-5,⊙ O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙ O于B、C,则BC等于( ) 33 D. 垂直于弦的直径 4.如图24-1-2-4 所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦 B.3 3 C. 3 2 AB 的距离为 图24-1-2-5 图24-1-2-6
201x版九年级数学上册第24章圆24.1.2垂直于弦的直径同步检测题含解析 新人教版
2019版九年级数学上册第24章圆24.1.2垂直于弦的直径 同步检测题含解析新人教版 一、夯实基础 1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC=______． 2．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度． 3．如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为______． 4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______． 5．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）
A．B．C．D． 6．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（）A．7cm B．1cm C．7cm或4cm D．7cm或1cm 8．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（） A． B． C．D． 二、能力提升 9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为______． 10．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为______．
11．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=4，0C=2，则半径OB的长为______． 12．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是______． 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（） A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 14．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（） A．3 B．4 C．3D．4 15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）
垂直于弦的直径知识点总结
24.1.2 垂直于弦的直径 【知能点分类训练】 知能点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______． 2．两个同心圆的对称轴（ ）． A ．仅有1条 B ．仅有2条 C ．有无数条 D ．仅有有限条 3．如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为 E ． （1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？ （3）①在图中，连接OA ，OB ，则△OAB 是等腰三角形，那么 直径CD 既是⊙O?的________，又是△OAB 的________． ②把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合， 点A 与点B 重合，AE 与____?重合， ?AC 与______重合，?AD 与_____重合． ③同理可得到AE_____BE ，? AC =_______，?AD =________． 知能点2 垂直于弦的直径 4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）． A ．∠COE=∠DOE B ．CE=DE C ．OE=BE D ．??BC BD (第4题) (第5题) (第8题) 5．如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）． A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．1cm 6．在⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，且CD 平分AB 于E ，OE=3cm ，AB=8cm ，则⊙O?的半径为________． 7．在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD 于E ，∠COD=100°，则∠COE=_______． E O C B A