苏科版八年级下册数学期中考试试卷及答案
苏科版八年级下册数学期中考试试卷及答案
一、选择题
1．下列图标中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列成语故事中所描述的事件为必然发生事件的是（）
A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．拔苗助长D．守株待兔3．如图，E是正方形ABCD边AB延长线上一点，且BD=BE，则∠E的大小为（）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
4．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
5．下列式子为最简二次根式的是（）
A．22
a b
+B．2a C．12a D．1 2
6．如果a＝
32
+
，b＝3﹣2，那么a与b的关系是（）
A．a+b＝0 B．a＝b C．a＝1
b
D．a＞b
7．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．下列图形不是轴对称图形的是（）
A．等腰三角形B．平行四边形C．线段D．正方形
10．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA 并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（）
A．9m B．12m C．8m D．10m
二、填空题
11．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．
12．小明用a元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本b元（b>1），现在每本降价1元，则他现在可以购买到这种练习本的本数为_____．
13．如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=6，BD=8，AB=x，那么x 的取值范围是__________．
x-有意义，字母x必须满足的条件是_____．
14．要使代数式5
15．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，若DE∥BC，则旋转的最小度数为_____．
16．某次测验后，将全班同学的成绩分成四个小组，第一组到第三组的频率分别为0.1，0.3，0.4，则第四组的频率为_________.
17．若()14,A y -、()22,B y -都在反比例函数6
y x
=
的图像上，则1y 、2y 的大小关系为1y _________2y （填“>”、“<”、“=”）
18．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积()3
m
V 的反比例函数，其图像如图所示.则其函数解析式为_________.
19．已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．
20．如图，正方形ABCD 的边长为a ，对角线AC 和BD 相交于点O ，正方形A 1B 1C 1O 的边OA 1交AB 于点E ，OC 1交BC 于点F ，正方形A 1B 1C 1O 绕O 点转动的过程中，与正方形ABCD 重叠部分的面积为_____（用含a 的代数式表示）
三、解答题
21．某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数分布直方图和频数、频率分布表．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
分
组 49.5～59.5
59.5～69.5
69.5～79.5
79.5～89.5
89.5～100.5
合计
频数 2
a
20 16 4 50
频率
0.04 0.16 0.40 0.32 b 1
（1）频数、频率分布表中a = ，b = ； （2）补全频数分布直方图；
（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少．
22．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．
（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形； （2）当DE ＝DF 时，求EF 的长．
23．已知23x =+，23y =-。求22
x xy y ++的值。
24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是边AB 的点，DE ∥BC 交AC 于点E ，连接BE ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点． （1）求证：FG ＝FH ；
（2）当∠A 为多少度时，FG ⊥FH ？并说明理由．
25．在Rt △AEB 中，∠AEB ＝90°，以斜边AB 为边向Rt △AEB 形外作正方形ABCD ，若正方形ABCD 的对角线交于点O （如图1）．
（1）求证：EO平分∠AEB；
（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为（直接写出结果，不要写出证明过程）；
（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．
26．化简求值：
2
2
121
1
x x x
x x x x
++
??
-÷
?
--
??
，其中31
x=-
27．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3)，点B、C在第二象限内．
(1)点B的坐标；
(2)将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在(2)的情况下,问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD=2:3:4，
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
S=160cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A (2)已知ABC
运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t(秒)，
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的概念，中心对称图形绕着对称中心旋转180°与原来的图形重合求解即可．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，本选项不合题意要；
C、不是中心对称图形，本选项不合题意；
D、是中心对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形的判断选择的知识.记住中心对称图形绕着对称中心旋转180°与原来的图形重合的特点，是解答本题的关键.
2．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．解：A、水中捞月是不可能事件，故A错误；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故B正确；
C、拔苗助长是不可能事件，故C错误；
D、守株待兔是随机事件，故D错误；
故选B．
考点：随机事件．
3．B
解析：B
【分析】
由四边形ABCD是正方形，推出∠ABD=45°，由∠ABD=∠E+∠BDE，BD=BE，推出∠BDE=∠E，即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∵∠ABD=∠E+∠BDE，
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠E．
∴∠E=1
2
×45°=22.5°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
4．C
解析：C
【分析】
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个
方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．A
解析：A
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
A
B|a|，可以化简，故不是最简二次根式；
C=
=，可以化简，故不是最简二次根式；
D
2
故选：A．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6．A
解析：A
【分析】
先利用分母有理化得到a2），从而得到a与b的关系．
【详解】
2），
∵a
而b2，
∴a＝﹣b，即a+b=0．
故选：A．
【点睛】
﹣2是解答本题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义对每个选项进行判断即可．
【详解】
A项是轴对称图形，不是中心对称图形；
B项是中心对称图形，不是轴对称图形；
C项是中心对称图形，不是轴对称图形；
D项是中心对称图形，也是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，掌握知识点是解题关键．8．D
解析：D
【分析】
连接DN，根据三角形中位线定理得到EF＝1
2
DN，根据题意得到当点N与点B重合时，
DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】
连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝1
2 DN，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN22
AB AD
10，
∴EF长度的最大值为：1
2
×10＝5，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可.
【详解】
等腰三角形是轴对称图形,故A错误;
平行四边形不是轴对称图形,故B正确;
线段是轴对称图形,故C错误;
正方形是轴对称图形,故D错误;
故答案为:B.
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的判断,针对平常所熟悉的图形的理解进行分析,要注意平行四边形的特殊.
10．A
解析：A
【分析】
根据三角形的中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵A、B分别是CD、CE的中点，DE＝18m，
∴AB＝1
2
DE＝9m，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．二、填空题
11．20
【分析】
利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】
设原来红球个数为x个，
则有=，
解得，x=20，
解析：20
【分析】
利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】
设原来红球个数为x个，
则有
10
10
x
=
10
30
，
解得，x=20，
经检验x=20是原方程的根.
故答案为20. 【点睛】
本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.
12．【分析】
先由已知条件求出现在每本练习本的单价，再根据“金额÷单价＝数量”列出代数式便可． 【详解】
解：根据题意得，现在每本单价为（b ﹣1）元， 则购买到这种练习本的本数为（本）， 故答案为． 解析：
1
a b - 【分析】
先由已知条件求出现在每本练习本的单价，再根据“金额÷单价＝数量”列出代数式便可． 【详解】
解：根据题意得，现在每本单价为（b ﹣1）元， 则购买到这种练习本的本数为
1
a
b -（本）， 故答案为
1
a
b -． 【点睛】
本题考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键．
13．1 因为平行四边形的对角线互相平分，所以OA=OC=3，OB=OD=4，所以4-3＜x ＜4+3，即1＜x ＜7，故答案为1＜x ＜7. 解析：1 因为平行四边形的对角线互相平分，所以OA=OC=3，OB=OD=4，所以4-3＜x ＜4+3，即1＜x ＜7，故答案为1＜x ＜7. 14．x≥5 【分析】 根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】 ∵代数式有意义， ∴x ﹣5≥0， 解得x≥5． 故答案是：x≥5． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，二 解析：x≥5 【分析】 根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】 ∴x﹣5≥0， 解得x≥5． 故答案是：x≥5． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 15．40 【分析】 根据三角形的内角和和旋转的性质以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】 ∵在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∵将△ABC绕点 解析：40 【分析】 根据三角形的内角和和旋转的性质以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】 ∵在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∵将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE， ∴∠E＝∠C＝40°， ∵DE∥BC， ∴∠CBE＝∠E＝40°， ∴旋转的最小度数为40°， 故答案为：40°． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 16．2 【分析】 根据一个事件频率总和等于1即可求出 【详解】 解：第四组的频率 【点睛】 本题考查了在一个实验过程中，通过其它组频率求相应组频率，解决本题的关键是正确理解频率的意义，明白在一个实验中频 解析：2 【分析】 根据一个事件频率总和等于1即可求出 【详解】 解：第四组的频率10.10.30.40.2 =---= 【点睛】 本题考查了在一个实验过程中，通过其它组频率求相应组频率，解决本题的关键是正确理解频率的意义，明白在一个实验中频率总和为1. 17．＞ 【分析】 根据反比例函数的图象与性质即可解答. 【详解】 解：的图象当时，y随x的增大而减小， ∵，故， 故答案为：＞. 【点睛】 本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数 解析：＞ 【分析】 根据反比例函数的图象与性质即可解答. 【详解】 解： 6 y x =的图象当0 x<时，y随x的增大而减小， ∵4-<-2，故12 y y >， 故答案为：＞. 【点睛】 本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．18．【分析】 根据“气压×体积＝常数”可知：先求得常数的值，再表示出气体体积V和气压p的函数解析式． 【详解】 设，那么点（1.6，60）在此函数解析式上，则k＝1.6×60＝96，∴． 故答案为： 解析： 96 P V = 【分析】 根据“气压×体积＝常数”可知：先求得常数的值，再表示出气体体积V和气压p的函数解析式． 【详解】 设 k P V =，那么点（1.6，60）在此函数解析式上，则k＝1.6×60＝96， ∴ 96 P V =． 故答案为： 96 P V =． 【点睛】 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 19．1 【解析】 分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案． 详解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4， ∴at2+bt+1=0， 由题意可知：t1= 解析：1 【解析】 分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案． 详解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4， ∴at2+bt+1=0， 由题意可知：t1=1，t2=2， ∴t1+t2=3， ∴x3+x4+2=3 故答案为：1 点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 20．a2． 【分析】 由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°， ∠BOF+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOF，根据ASA 可证△AOE≌△BOF，由全等三角形的性 解析： 14a 2． 【分析】 由题意得OA ＝OB ，∠OAB ＝∠OBC ＝45°又因为∠AOE +∠EOB ＝90°，∠BOF +∠EOB ＝90°可得∠AOE ＝∠BOF ，根据ASA 可证△AOE ≌△BOF ，由全等三角形的性质可得S △AOE ＝S △BOF ，可得重叠部分的面积为正方形面积的1 4 ，即可求解． 【详解】 解：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°， ∵∠AOE +∠EOB ＝90°，∠BOF +∠EOB ＝90°， ∴∠AOE ＝∠BOF ． 在△AOE 和△BOF 中OAE OBF OA OB AOE BOF ∠=∠?? =??∠=∠? ， ∴△AOE ≌△BOF （ASA ）， ∴S △AOE ＝S △BOF ， ∴重叠部分的面积211 4 4AOB ABCD S S a == =正方形， 故答案为：14 a 2 ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AOE ≌△BOF 是本题的关键． 三、解答题 21．（1）a ＝8，b ＝0.08；（2）作图见解析；（3）14 ． 【分析】 （1）根据频数之和等于总个数，频率之和等于1求解即可； （2）直接根据（1）中的结果补全频数分布直方图即可； （3）根据89.5~100.5这一组的人数及概率公式求解即可. 【详解】 解：（1）由题意得a ＝50-2-20-16-4=8，b ＝1-0.04-0.16-0.40-0.32=0.08； （2）如图所示： （3）由题意得张明被选上的概率是14 ． 【点睛】 本题考查频数分布直方图，频数分布直方图的应用是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，要熟练掌握． 22．（1）见解析；（2）152 【分析】 （1）由矩形的性质得到AB ∥CD ，再根据平行线的性质得到∠DFO=∠BEO 再证明△DOF ≌△BOE ，根据全等三角形的性质得到DF=BE ，从而得到四边形BEDF 是平行四边形； （2）先证明四边形BEDF 是菱形，再得到DE=BE ，EF ⊥BD ，OE=OF ，设AE=x ，则DE=BE=8-x 根据勾股定理求解即可． 【详解】 (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ， ∴∠DFO ＝∠BEO ． 在△DOF 和△BOE 中 DFO BEO DOF BOE OD OB ∠∠?? ∠∠??? ＝＝＝ ， ∴△DOF ≌△BOE(AAS )． ∴DF ＝BE ． 又∵DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． (2)解：∵DE ＝DF ，四边形BEDF 是平行四边形， ∴四边形BEDF 是菱形． ∴DE ＝BE ，EF ⊥BD ，OE ＝OF ． 设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝8－x ， 在Rt △ADE 中，根据勾股定理，有AE 2＋AD 2＝DE 2， ∴x 2＋62＝(8－x)2．解得x ＝ 74 ． ∴DE ＝8－ 74 ＝254． 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，有AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴BD ＝10． ∴OD ＝ 1 2 BD ＝5． 在Rt △DOE 中，根据勾股定理，有DE 2－OD 2＝OE 2， ∴OE ＝154． ∴EF ＝2OE ＝15 2 ． 【点睛】 考查了菱形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质． 23．15 【解析】 【分析】 先根据完全平方公式对代数式2 2 x xy y ++进行变形可得:()2 x y xy +-, 再根据2x =+2y =-可分别计算出4x y +=, 1xy =,代入变形后的代数式即可. 【详解】 因为2x =+2y =, 所以4x y +=, 1xy =, 所以()2 2224115x xy y x y xy ++=+-=-=. 【点睛】 本题主要考查代数式化简求值,二次根式加法和乘法计算,解决本题的关键是要熟练根据完全平方公式对代数式进行变形和二次根式加法乘法法则. 24．（1）见解析；（2）当∠A ＝90°时，FG ⊥FH ． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC ＝∠ACB ，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，得到DB ＝EC ，根据三角形中位线定理证明结论； （2）延长FG 交AC 于N ，根据三角形中位线定理得到FH ∥AC ，FN ∥AB ，根据平行线的性质解答即可． 【详解】 （1）证明：∵AB ＝AC ． ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵DE ∥BC ， ∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ， ∴∠ADE ＝∠AED ， ∴AD＝AE， ∴DB＝EC， ∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点， ∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线， ∴FG＝1 2 BD，FH＝ 1 2 CE， ∴FG＝FH； （2）解：延长FG交AC于N， ∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线， ∴FH∥AC，FN∥AB， ∵FG⊥FH， ∴∠A＝90°， ∴当∠A＝90°时，FG⊥FH． 【点睛】 本题考查的是三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 25．（1）求证见解析；（2）2OE＝EB+EA；（3）见解析． 【分析】 （1）延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，由SAS证得△OBE≌△OAF，得出OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，由等腰三角形的性质与等量代换即可得出结论； （2）判断出△EOF是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论； （3）先根据ASA证得△ABE≌△ADH，△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，得出FG＝EF＝EH＝HG，再由∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，由此可得出结论． 【详解】 （1）证明：延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOA＝90°，OB＝OA， ∵∠AEB ＝90°， ∴∠OBE +∠OAE ＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠OAE +∠OAF ＝180°， ∴∠OBE ＝∠OAE ，在△OBE 与△OAF 中， 0OB A OBE OAF BE AF =?? ∠=∠??=? ， ∴△OBE ≌△OAF （SAS ）， ∴OE ＝OF ，∠BEO ＝∠AFO ， ∴∠AEO ＝∠AFO ， ∴∠BEO ＝∠AEO ， ∴EO 平分∠AEB ； （2 OE ＝EB +EA ，理由如下： 由（1）得：△OBE ≌△OAF ， ∴OE ＝OF ，∠BOE ＝∠AOF ， ∵∠BOE +∠AOE ＝90°， ∴∠AOF +∠AOE ＝90°， ∴∠EOF ＝90°， ∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴2OE 2＝EF 2， ∵EF ＝EA +AF ＝EA +EB ， ∴2OE 2＝（EB +EA ）2， OE ＝EB +EA ， OE ＝EB +EA ； （3）证明：∵CF ⊥EB ，DH ⊥EA ， ∴∠F ＝∠H ＝∠AEB ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°， ∴∠EAB +∠DAH ＝90°，∠EAB +∠ABE ＝90°，∠ADH +∠DAH ＝90°， ∴∠EAB ＝∠HDA ，∠ABE ＝∠DAH ． 在△ABE 与△ADH 中， EAB HDA AB AD ABE DAH ∠=∠?? =??∠=∠? ， ∴△ABE ≌△ADH （ASA ）， ∴BE ＝AH ，AE ＝DH ， 同理可得：△ABE ≌△BCF ，△ADH ≌△DCG ，△DCG ≌△CBF ， ∴BE ＝CF ，AE ＝BF ，AH ＝DG ，DH ＝CG ，DG ＝CF ，CG ＝BF ， ∴CG +FC ＝BF +BE ＝AE +AH ＝DH +DG ， ∴FG ＝EF ＝EH ＝HG ， ∵∠F ＝∠H ＝∠AEB ＝90°， ∴四边形EFGH 为正方形． 【点睛】 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握正方形的判定和性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 26． 11x +【分析】 通分合并同类项，再约分，代入求值． 【详解】 原式22211 1 (1)x x x x x x -=?=+-+ 代入得原式 == 【点睛】 本题考查分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 27．（1）（31-，）；（2）t=9，6 y x =；（3）点P 、Q 的坐标为：P （132 ，0）、Q （ 3 2 ，4）或P （7，0）、Q （3，2）或P （-7，0）、Q （-3，-2）． 【分析】 （1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE ≌△BAF ，从而得出DE=AF ，AE=BF ，再结合点A 、D 的坐标即可求出点B 的坐标； （2）设反比例函数为k y x = ，根据平行的性质找出点B ′、D ′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、t 的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，6 n ）．分B ′D ′为对角 线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m 、n 的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】 解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，如图1所示．