正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理
1．已知△ABC 中，a=4，
30,34==A b ，则B 等于（ ）
A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30°
3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．32π
D ．65π
4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin C
A =2，
ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0
150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5
，c=10，A=30°，则B 等于（ ）
A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，
75
6,8,cos 96BC AC C ===
，则ABC ?的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6π
8．在△ABC 中，若sin 2
A ＋sin 2
B ＜sin 2
C ，则△ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ）
A.14
B.23
C.23-
D.1
4-
10．在ABC ?中，a b c ，
，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos
2
=，则△ABC 为（ ）三角形．
A ．正
B ．直角
C ．等腰直角
D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4
，b=4
，则B 等于（ ）
A ．B=45°或135°
B ．B=135°
C ．B=45°
D ．以上答案都不对
13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.
a b c 1sin cos sin cos ,
2a B C c B A b +=
且a b >,则B ∠=（ ）
A.6π
B.3π
C.23π
D.56π
14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定 15．已知在ABC ?中，
2
cos 22A b c c +=，则ABC ?的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形或直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角 16．已知ABC ?内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1
cos ,2,sin 2sin 4
B b
C A ===，则ABC ?的面积为（ ） A.
156 B. 154 C. 152
D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π
，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )
A ． 3－1
B ．3 C. 2 D. 1 评卷人 得分
一、解答题（题型注释）
18．在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π
=
，
22212b a c -=
.
（1）求tan C 的值；
（2）若ABC ?的面积为3，求b 的值.
19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，
（1）求B ；
（2）若b=2，△ABC 的周长为2
+2，求△ABC 的面积．
ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=
B
2=b ABC
21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc
+=+
（1）求sinA ；
（2）若
3
2a =
，△ABC 的面积S
＝2，且b>c ，求b ，c ．
22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)
22cos()
sin A B A B A +=++. （Ⅰ）求b
a 的值；
（Ⅱ）若1a c ==，，求ABC △的面积.
23．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =，3
cos 5
B =． （1）求b 的值； （2）求sin
C 的值．
二、填空题 24．已知在中，
，，，则___．
25．△ABC 中，若222
a b c bc =+-，则A ＝ .
26．在
中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若
，则b=___________．
27．在C ?AB
中，已知AB =C 4A =，30∠B =，则C ?AB 的面积是 ．
28．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC
的面积，2
22)S a b c +-，则C
的大小为___________.
29．在?ABC 中，已知C c
B b A a cos cos cos =
=，则这个三角形的形状是
参考答案
1．D 【解析】
试题分析：B b A a sin sin =，
23421
34430
sin 34sin sin 0
=?
=
?==a A b B ；b a < ，030=>∴A B ，
060=∴B 或0120=B ，选D.
考点：正弦定理、解三角形
2．B 【解析】
试题分析：
33sin 4321sin 21=??=??=
?C C BC AC S ABC ,则
23
sin =
C ，所以060=C ，选B. 考点：三角形面积公式
3．C 【解析】
试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由
于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以
1cos 2B =-
，23B π
=，选C.
考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.
4．C 【解析】
试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c
c a A a ==?=，又2222
37b a ac b a -=?=，由余弦定理可得，
2222221
cos 242a c b a B ac a +--===-
，又()0,B π∈，所以120B ?∠=.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理. 5．D 【解析】解：=
， ∴sinC=?sinA=
×=
，
∵0＜C ＜π，
∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°， 故选D ．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】
试题分析：由余弦定理得2
2
2
75
6826825
96AB =+-???=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=
所以B 角为钝角，选D.
考点：余弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】
试题分析：由正弦定理得
()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C
=+，
2
sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，
()
2222cos 3cos sin C C C =-，
213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴为锐角,所以,,632C B A πππ
===
，故选A.
考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.
8．C 【解析】
试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2 ，∴cos C ＝222 2a b c ab +-<0，则角C 为钝角 考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】 试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4 A B C a b c =∴=2221 cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形 10．C 【解析】 试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得222 22a b c a b ab +-=，那么化简可知 所以 2222=a a b c +-，即 22 =b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ． 考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】 试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos 2 =，∴（1+cosB ）=， 在△ABC 中，由余弦定理得， =， 化简得，2ac+a 2 +c 2 ﹣b 2 =2a （a+c ）， 则c 2=a 2+b 2 ， ∴△ABC 为直角三角形， 故选：B ． 12．C 【解析】 试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 解：∵A=60°，a=4，b=4 ， ∴由正弦定理=得：sinB= = = ， ∵b ＜a ，∴B ＜A ， 则B=45°． 故选C 13．A 【解析】 试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=1 2sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=1 2， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】 试题分析： ()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+= sin 12A A π ∴=∴= ，三角形为直角三角形 考点：三角函数基本公式 15．A 【解析】试题分析： 2 2cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c ++=?==+?+=+?= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A C B A A C C C C C π +==?=∴== ，选A 考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦 16．B 【解析】试题分析： 2222214 sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴= =∴= 1,2a c ∴== 11sin 122244S ac B ∴= =???= 考点：正余弦定理解三角形 17．C 【解析】 试题分析：由余弦定理可得2222113 cos 2 222b c a c A c bc c +-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3. 【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得 b c 32 2= ，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可 获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得 22 2222? -+=bc c b a ， 即bc c a b 2222= +-，将 22212b a c -= 代入可得b c 322=，再代入222 1 2b a c -=可得b a 35=， 所以52 2sin sin = =a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ； （2）因3 sin 21 =A bc ，故322322212=??b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2） 【解析】解：（1）由正弦定理可得：= ， ∴tanB=， ∵0＜B ＜π， ∴B= ； （2）由余弦定理可得b 2 =a 2 +c 2 ﹣2accosB ， 即a 2+c 2 ﹣ac=4， 又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2， 即a+c=2， ∴ac=， ∴S △ABC =acsinB=×× = ． 【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B= .4 π （221 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角， 再联系两角和差公式，可求出角B 。 （2）由（1）已知角B ，可借助三角形面积公式求，先运用正弦定理表示出所需的边，再利用正弦三角函数的性质，化为已知三角函数的定义域，求函数值得最值问题，可解。 试题解析： （1）∵a=bcosC+csinB, ∴由正弦定理可得: sinA=sinBcosC+sinCsinB ， ∴sin （B+C ）=sinBcosC+sinCsinB ，即cosBsinC=sinCsinB ，∵sinC ≠0， ∴ cos sin B B =， ∴ sin tan 1cos B B B = =，()0,B π∈，∴B=.4 π。 （2）由（1）可得 344A C B π πππ+=-=-=，∴33,0,44C A A ππ?? =-∈ ???， 由正弦定理可得：2 22 sin sin sin sin 4a c b A C B π====， ∴22,22a A c C ==， 11sin 2222sin 224 ABC S ac B A C π ?==???= 322sin 22sin 4A C A A π?? =- ? ?? = A A A ? +?? ??=2 2sin cos2sin A A A +=sin21cos2 A A +- )1 4 A π -+ ， ∵ 3 0, 4 A π ?? ∈ ? ??，∴ 5 2, 444 A πππ ???? -∈- ? ? ????，∴当 2 42 A ππ -= ， 即 3 8 A π = 时，ABC S ? 1 + 考点：（1）利用正弦定理进行边角互化解三角形。（2）利用正弦定理进行边角互化及正弦函数的性质。21．（1） 3（2） 3 ,1 2 b c == 【解析】试题分析：（1）将已知条件变形结合余弦定理可得到cosA,进而可求得sinA；（2）由余弦定理可得到关于b,c的关系式，由三角形面积得到关于b,c的又一关系式，解方程组可求得其值 试题解析：（1）∵ () 222 332 b c a bc +=+ ， ∴ 2221 23 b c a bc +- = ∴ cosA＝ 1 3又∴ ∠A是三角形内角 ∴ sinA＝ . （2 ）∵S＝2，∴ 1 2bcsinA ＝2，∴bc＝ 3 2① ∵ 3 2 a= ，∴由余弦定理可得 2 22 31 2 23 b c bc ?? =+-? ? ?? ∴ 2 22 3 1 2 b c ?? +=+ ? ??② ∵b>c>0，∴联立①②可得 3 ,1 2 b c == . 考点：余弦定理解三角形及三角形面积求解 22．（I） 2 b a = ；（II ）. 【解析】 试题分析：（I）利用两角和的正弦、余弦公式，化简 sin(2) 22cos() sin A B A B A + =++ ，得到sin2sin B A =，利用正弦定理得到 2 b a = ；（II）由（I）可求得2 b=，先求出一个角的余弦值，再求其正弦值，最后利用三角形面积公 式求面积. 试题解析： 解析：（Ⅰ）∵sin(2) 22cos() sin A B A B A +=++，∴sin(2)2sin 2sin cos()A B A A A B +=++， ∴sin[()]2sin 2sin cos()A A B A A A B ++=++，∴sin()cos sin cos()2sin A B A A A B A +-+=， ∴sin 2sin B A =，∴2b a =，∴2 b a =. （Ⅱ）∵1a c ==，2b a =，∴2b =，∴ 2221471cos 242a b c C ab +-+-===-，∴23C π = . ∴ 11sin 1222ABC S ab C ==??= △，即ABC △ 的面积的. 考点：三角函数与解三角形. 23．（1 2 ） 【解析】试题分析：由三角形余弦定理2 2 2 2cos b a c ac B =+-，将已知条件代入可得到b 的值；（2）由正弦定理 sin sin b c B C = ，将已知数据代入可得到sin C 的值． 试题解析：（1）由余弦定理 2 2 2 2cos b a c ac B =+-，得2 3 425225175 b =+-??? = ，∴b =（2）∵3cos 5B = ∴4sin 5B =，由正弦定理 sin sin b c B C = ，54sin 5 C = ，sin C =考点：正余弦定理解三角形 24． 【解析】试题分析：由正弦定理可得，,代入数值可求出,可求，又因为 BC>AC,所以由大角对大边的原则， 考点：1.正弦定理的运用；2.三角形三边关系； 25．3π 【解析】 试题分析：由余弦定理可得， 2122cos 222=