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构造辅助函数证明微分中值定理及应用

摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。

关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理

Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplications

Abstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing.

Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem

一：引言 (4)

二：数学分析中三个中值定理 (4)

三：五种方法构造辅助函数 (6)

1：几何直观法 (6)

2：行列式法…………………………………………………………………… .第7页

3：原函数法 (8)

4：微分方程法 (10)

5：常数k值法 (13)

四：结论 (15)

参考文献 (15)

致谢 (16)

一:引言

微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命

题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题。我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题。

在证明中值命题时，首先要构造辅助函数，尤其是证明诸如：“至少存在一点，使得其代数式成立”这样结论的题目，证明中，如果辅助函数构造得当，题目很容易证明，反之题目将很难解决。所以构造恰当的辅助函数是证明中值命题的关键，人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数k 值法，原函数法，行列式法，微分方程法等。根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.下面我们以不同的方法通过分析解决问题的途径。

二:数学分析中三个中值定理

定理1[13]-（Rolle 中值定理）设函数)(x f 满足条件

⑴ 在闭区间 [b a ,] 上连续，

⑵ 在开区间（b a ,）内可微， ⑶ )()(b f a f =，

则至少存在一点ξ ∈ (b a ,)，使得 .0)(='ξf 我们先从几何角度分析定理的含意：条件(3)说明弦AB 平行于

x 轴；条件⑴、⑶表

明曲线)(x f y =是平面上一条以两个同高度的点))(,(a f a A 、))(,(b f b B 为端点的连续曲线，⑵是说曲线在),(b a 内处处有不平行于y 轴的切线；结论是说在开区间),(b a 内部必至少有一点，使得曲线)(x f y =在该点的切线平行于x 轴，从而平行于弦AB . 一句话，平面上一条以两个同高度的点为端点的连续曲线处处有不平行于y 轴的切线时，其线内至少有一点，其切线平行于x 轴。

定理2（Lagrange 中值定理）设函数)(x f 满足条件 ⑴ 在闭区间 [b a ,] 上连续；

⑵ 在开区间（b a ,）内可微，则至少存在一点∈ξ(b a ,），使得

. ①

我们也先从几何上看Lagrange 定理的意义： ①式右端是弦AB 的斜率。定理是说，若平

面上一条以))(,(a f a A 、))(,(b f b B 为端点的连续曲线)(x f y =在),(b a 内处处有不平行于y 轴的切线，则在开区间),(b a 内部必至少有一点，使得曲线)(x f y =在该点的切线平

a b a f b f f --=

')()()(

行于弦AB ，即平行于两个端点))(,(a f a 与))(,(b f b 的连线（图3-2）

)()()

()(b f a x a

b a f b f y +---=

一句话，平面上以A 、B 为端点的连续曲线弧处处有不平行于y 轴的切线时，其线内至少有一点,其切线平行于弦AB 。如果在Lagrange 中值定理中增加函数在两端点值相等的条件则结论正是Rolle 中值定理的结论。可见，Rolle 中值定理是Lagrange 中值定理的特例，这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子。因而定理2证明的思路就是将Lagrange 中值定理转化到Rolle 中值定理上去以获得证明，

定理3（Cauchy 中值定理）设函数)(x f 、)(x g 满足条件 ⑴ 在闭区间 [b a ,] 上连续， ⑵ 在开区间（b a ,）内可微，

⑶ 0)(≠'x g ，),(b a x ∈?，则至少存在一点∈ξ(b a ,)，使得

='')

()

(ξf )()(a f b f -. Cauchy 中值定理的几何意义在理解为参数方程是与Lagrange 中值定理相同。如果取函数)(x g =x ，Cauchy 中值定理就变成Lagrange 中值定理了，所以Cauchy 中值定理是Lagrange 中值定理的推广，Rolle 中值定理是Lagrange 中值定理的特殊情况（要求)()(b f a f =）；Lagrange 中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理。

三：五种方法构造辅助函数

1：几何直观法[56]-

此法是通过几何图形考察两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立恰当的辅助函数拉格朗日定理：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈，使等式

()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立。

分析：该命题条件不满足罗尔定理条件中的()()f a f b =. 但从左图可见11()()(),x f x y x ?=-满足罗尔定理条件。其中1()y x 为直线AB 的方程且

1()()

()()(),f a f b y x f a x a b a

-=+

从而可作辅助函数11()()()x f x y x ?=-证明本题.

证明：如图直线AB 方程为

1()()

()()()f b f a y x f a x a b a

-=+

-- ,

作辅助函数

1()()

()()[()()],f b f a x f x f a x a b a

?-=-+

容易验证1()x ?适合罗尔定理条件，111()(),()b a x ???=在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，且

1()()

()().f b f a x f x b a

?-''=-

由罗尔定理知至少存在一点(,)a b ξ∈使()0,?ξ'=即

()()

()f b f a f b a

ξ-'=

- ，

亦即

()()()()f b f a f b a ξ'-=- .

一般来说，凡)(x f 与x 的线性式，只要在端点处取值相同，都可取作辅助函数. 如下列函数：

)()

()()()(3a x a

b a f b f x f x ----

=φ,

)]()()[())](()([)(4a f b f a x a b a f x f x -----=φ, )]()([))(()(5a f b f x a b x f x ---=φ,

都可取作辅助函数。这些函数在],[b a 上都满足罗尔定理的条件，从而可证明拉格朗日定理。

2：行列式法：

经分析认识到罗尔定理是中值定理的特殊情况（区间端点处的函数值相等）。而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理当函数()g x x =时的特殊情况。在进一步引导下，会想到三个定理间既然有着内在的联系能否用一个统一的形式加以刻画，从而引出下面的行列式定理。

定理：设函数(),(),()f x h x g x 在

[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导则至少存在一点

(,)a b ξ∈使得

()()()

()()()0()()()

f a

g a

h a f b g b h b f g h ξξξ='''

成立。在上述定理中，当()1h x =时，便是柯西中值定理。当()1h x =,且()g x x =时，便是拉格朗日中值定理，当()()1h x g x ==时，便是罗尔定理。

例一：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证存在,a b ξ∈（）使

222[()()]()()f b f a b a f ξξ'-=-.

分析：结论移项为

222[()()]()()0f b f a b a f ξξ'--+-=,

即

222

02()

()1()1()

()11()

f f a a

f a f a f b b b f b ξξξξ''+=1 0-21, 将上述行列式中ξ换为x ，并求出原函数()F x

21()

()1()1()

x f x F x a f a b f b =,

即为要找的辅助函数。

证明：作辅助函数

2221()

()1()1()

x f x F x a f a b f b =,

易验证()()0,F a F b ==又()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导且

()22()2()()()()F x x f b f a f x b a ''=-+- ，

由罗尔定理知，至少存在ξ∈（a,b ）使()0F ξ'=，即

222[()()]()()0,f b f a f b a ξξ'--+-=

亦即

222[()()]()()f b f a f b a ξξ'-=-.

3：原函数法

（１）原函数法的思想:

①将要证的结论中的ξ换为.x

② 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式,

③ 用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为0, ④ 移项使等式一边为0，另一边即为所求辅助函数()F x . （2）拉氏中值定理证明中辅助函数的构造：在拉氏中值定理的结论

()()

()f b f a f b a

ξ-'=-，

中令：x ξ=，则有

()()

().f b f a f x b a

-'=-

两边积分得

()()

()f b f a x f x c b a

-=+-，

取0,c =,得

()()

()f b f a x f x b a

-=-，

移项得

()()

()0f b f a f x x b a

=-，

故

()()

()()f b f a F x f x x b a

-=-

-，

为所求辅助函数.

(3) 柯西中值定理证明中辅助函数的构造.在柯西中值定理的结论中令x ξ

=,得

()()()

f b f a f x

g b g a g x '-='-．

若两边同时积分，右端去不含导数符号，为此将上式变形为

()()

()()()()

f b f a

g x f x g b g a -''=-，

积分得

()()

()()()()

f b f a

g x f x c g b g a -=+-，

取0,c =并移项得

()()

()()0,()()

f b f a f x

g x g b g a --

故

()()

()()()()()

f b f a F x f x

g x g b g a -=-

-．

为所求辅助函数.

在利用中值定理证明相关命题时，我们也可根据上面的思路来构造辅助函数，既先把命题结论转化为[]0,x ξ='=的形式，据此构造出适当的辅助函数().F x 使其符合罗尔定理条件，然后利用罗尔定理给出证明，这就是原函数法，但构造()F x 有时尚需一定的技巧.

例一：设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==试证：在开区间(0,1)内至少存在一点ξ使

()()0.f f ξξξ'+=

分析：原结论即[()]0x xf x ξ='=,因此可直接设

()().F x xf x =显然()F x 在［0,1］上满足罗尔定理，由罗尔定理，在(0,1)内至少存在一点ξ，使

()()()0.F f f ξξξξ''=+=

例二：设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(1)0,f = 试证：在开区间(0,1)内至少存在一点ξ使

()

()(0).kf f k ξξξ

'=-

分析：原结论变形为

()()0,f kf ξξξ'+=

若设

()()().F x xf x kf x ''=+

难以构造()F x ，考虑乘法求导法则

()uv u v uv '''=+,

及导数公式

1(),k k x kx -'=

将原结论两端同乘以ξk

。整理得

1()()0,k k f k f ξξξξ-'+=

即

[()]0.k x x f x ξ='=

设()(),k F x x f x =由题设，不难证明结论.

4：微分方程法[4]

证明的关键在于如何构造辅助函数，若采用原函数的方法，结论中的代数式非常复杂，不易求出原函数，故用微分方程的方法. 例一：拉格朗日中值定理：

设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得

()()

().f b f a f b a

ξ-'=

分析：由结论发现，将ξ看成变量x ，则可得到一阶微分方程

()()

(),f b f a f x b a

-'=

其通解为

()()

().f b f a f x x c b a

若将常数c 变为x 的函数()c x ，则得到一个辅助函数 ()()

()()f b f a c x f x x b a

-=-

-，

证明：作辅助函数

()()

()(),f b f a c x f x x b a

-=-

有

()()

()().bf a af b c a c b b a

-==

则()c x 满足罗尔定理的三个条件，故在(,)a b 内至少存在一点ξ

使得 ()()

()()0f b f a c f b a

ξξ-''=-

=-．

()()

().f b f a f b a

ξ-'∴=

例二：设()f x 在[0,)+∞上连续，在[0+∞，）内可导，且

0(),1x f x x

≤≤

+ 则至少存在一点[0ξ∈+∞，），使

1()(1)f ξξξ-'=

+. 分析：先将ξ看成变量x ，由结论可化为使2

1()0,(1)

x f x x -'-=+即 2

(())0.1x

f x x '-

=+ 易知其通解为2

(),1x

f x c x -

=+若将常数c 变为x 的函数()c x ，则得到一个辅助函数 2

()()1x

c x f x x

=-+. 证明：作辅助函数2()()1x c x f x x =-+，则数2

1()(),(1)x c x f x x -''=-+由已知条件2

0()1x

f x x ≤≤

+得到 (0)0,lim ()0,x f f x →+∞

==且2

()()0.1x

c x f x x

≤+ 若()0,(0,)c x x ≡∈+∞时，则()0c x '=即有2

1()(1)

f x x -'=+. 若()0,(0,)c x x ≠∈+∞时则必定存在(0),a a <<+∞使()0,c a <又()c x 在[0+∞，）上连

续，由介值定理，必存在,b c 两点，0b a c <<<<+∞使()()()0.c a c b c c <=<对()c x

[,]b c 上使用罗尔定理，则至少存在一点

(,)(0,).b c ξ∈?+∞使得()0c ξ'=，即

1()(1)f ξξξ-'=

+. 在上述例子中，将某一客观存在的定值ξ看成变量x ，利用常数变易法的基本思想，将

常微分方程通解中的独立常数c 变为关于x 的函数()c x ，我们就可得到待证命题中所需的辅助函数.如果在教学过程中恰当的引入此法，对于开拓学生的思路，培养学生分析问题，解决问题的能力和创新能力是有益的.通过微分方程构造辅助函数的步骤如下：（１）先将结论中的值ξ改为x ，从而得到关于x 的微分方程. （２）再求解该方程的通解，并解出常数c.

（３）将常数c 写成关于x 的函数()c x ,即()c x )就是所需辅助函数. （４）对辅助函数()c x 在给定区间应用罗尔定理，即得结论.

这种构造辅助函数的方法在证明中值命题时很有实用价值，也便于推广应用.

5：常数k 值法

直接从定理的条件出发开构造辅助函数，较为自然的想法是已知函数()y f x =,未必满足()()f a f b =.那么能否给()f x 添加一个尾项使得添加后的函数满足罗尔定理的三个条件呢？最简单的尾项是取作x ，若取()()F x f x x =+,则有()()F a F b ≠为此给x 添上一个可伸缩的系数使得出现()()F a F b =取辅助函数()()F x f x kx =+，从

()()f a k a f b k b +=+中解得

()()

.f b f a k b a

-=-

故()()

()()f b f a F x f x x b a

-=-

-即为拉氏中值定理证明中的辅助函数。这种引入方式可以

减少困难易于理解，更重要的是能培养学生的思维能力和创造能力。沿着上述思维方式发展下去，自然会想到若给()f x 添加的尾项改为函数()g x 会怎样？即取()()()

F x f x kg x =+则由()()F a F b =可得

()()

,()()

f b f a k

g b g a -=-- 由()()g b g a -≠０所以对()g x 再提出要求.即在(,)a b 内可导且()0,g x '≠这正是柯西中值定理中的已知条件，故

()()

()()()()()

f b f a F x f x

g x g b g a -=-

-．

即为柯西中值定理证明中的辅助函数，事实上易验证()F x 满足罗尔定理的三个条件，对

()F x 在[,]a b 上应用罗尔定理即得，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'=即

()()()

.()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-='- 例一：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得

()()

()()bf b af a f f b a

ξξξ-'=+-.

分析：令

()()

bf b af a k b a

-=-，

则

()()bf b kb af a ka -=-，

为一个关于a 与b 的对称式。故可取

()()F x xf x kx =-.

证明：令

()()

()(),bf b af a F x xf x x b a

-=-

则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又()()0F a F b ==从而()F x 在[,]a b 上满足罗

尔定理，于是存在一个ξ∈（a,b ），使得()0F ξ'=，即

()()

()()0.bf b af a f f b a

ξξξ-'+-

亦即

()()

()()bf b af a f f b a

ξξξ-'=+-.

例二：设()f x ''在[,]a b 上存在，a

∈（a,b ），使得

()()()1

()()()()()()()2

f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ''++=------.

分析：令

()()()

,()()()()()()

f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------

于是有

()()()()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---,

上式为关于,,a b c 三点的轮换对称式令(:,:)b x or c x or a x =

==则得

()()()()()()()()()().F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----

证明：令

()()()()()()()()()().F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----

则()F x 在[,],[,]a c c b 上满足罗尔定理三个条件，于是分别存在ξ∈１（a,c ），

(,)c b ξ∈2使得()()0F F ξξ''==１２ . 又

()()()()()()()()().F x f a f c c a f x k a c x c k a x a c ''=+------ －＋

()()()2().F x c a f x k a c ''''=-+-

从而可知()F x '在ξξ１２［，］上满足罗尔定理三个条件，故存在ξξξ∈?１２（，）（a,b ）使

()0F ξ''=即

()()()0c a f k a c ξ''--= ＋２.

亦即

().f k ξ''=１

将常数k 值法进行总结并归纳出下面一般性结论：

（１）常数k 值法适用于欲证结论为：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得(),(0).n

f k k ξ=≠及

其代数式的命题.

（２）常数k 值法构造辅助函数的步骤为： ①将欲证等式中常数部分分离出来并令为k .

②恒等变形使等式一端为a 及()f a 构成的代数式，另一端为b 及()f b 构成的代数式. ③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换式，若是，只需把端点a 改为x 。相应的函

数值改为()f x 则换变量后的表达式就是所求的辅助函数.

四：结论

以上用了构造辅助函数的几种方法，但要根据题目选择合适的方法这才是最重要的.一般的我们从命题结论入手，在微分中值定理辅助函数的构造中通常有哪几种方法？当命题结

论为(,(),())0F f f ξξξ'=这类形式时，一般采用哪种方法？在已有的成果中我们了解到，当

欲证结论为：至少存在一点及(,)()(0)n

a b f k k ξξ∈=≠使其代数式时，通常采用常数k 值

法，当欲证结论经过适当变形较易向罗尔中值定理靠拢时，通常采用原函数法，当欲证结论经过适当变形可写成一个三阶行列式时，可将行列式中的x ξ换成，然后采用行列式法，当欲证结论可写为(,(),())0F f f ξξξ'=时，通常采用微分方程法．

参考文献

［1］刘玉链，傅沛仁编，数学分析讲义(上册)[M].高等教育出版社,1985 ［2］吉米多维奇,数学分析习题集[Ｍ]．山东：科学技术出版社，1981 ［3］陈纪修,於崇华,金路.数学分析(上册)[M].高等教育出版社,2002,9

［4］王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松编.常微分方程[M].高等教育出版社,1983,9 ［5］李玉凯,史成堂,翟美玲.微分中值定理的研究[J].河南教育学院学报,2003,6

［6］文香丹.微分方程在证明微分中值定理类问题中的应用[J].延边大学学报,2005,9 ［7］Walter Rudin ,Principles of mathematical Analysis, third Edition ISBN 7-111-13306-4,2003

构造函数法在高等数学中的应用

构造辅助函数在高等数学中的应用摘要：证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样。论文通过几个例子，从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力。构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在中值问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明。本文通过对高等数学中中值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体的方法一、有关中值定理命题的证明的应用 1.1构造辅助函数证明中值存在性问题设()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。()()0==b f a f 而[]b a x ,∈?，()0≠x g 证明至少存在一点∈ξ()b a ,使()()()()ξξξξf g g f ''= 分析：由于所证命题含有导数形式，我们大胆猜想它积分后的形式。为此我们分下面几步走： (一) 将结论化为()()()()x f x g x g x f ''= (二) 移项并同时除以()x g 2得：()() ()()() 0''2=-x g x f x g x g x f (三) 求积分，并令之为()x F ()()()()()() ()()()()()()x g x f a g a f x g x f dt t g t f t g t g t f x F x =-=-=?02'' 则()x F 就是我们要找的辅助函数。证明由于()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导且()()0==b f a f 则()x F 在[]b a ,满足罗尔中值定理，存在∈ξ()b a ,，使得()0'=ξF 即()()()()() 0''2=-ξξξξξg f g g f 也即

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师范大学数学系，甘肃兰州 730070）摘要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。关键词：辅助函数弧弦差法原函数法几何直观法微分方程法 1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1：设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，

使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ．例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数．例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根．证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

第四章微分中值定理与导数的应用

第四章微分中值定理与导数的应用第一节中值定理（2课时）要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。重点：理解中值定理及简单的应用。难点：中值定理证明的应用。一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理如果函数)(x f 满足条件（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)(='ξf ．几何解释设曲线? AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，?AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧? AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性．证明因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．

)2 (2 4 2 ) (- = - = 'x x x f 且0 )3( )1(= =f f 函数) (x f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得 )2 (2 ) (= - = 'ξ ξ f，于是)3,1( 2∈ = ξ．故确实在区间)3,1(内至少存在一点2 = ξ使得0 )2(= 'f，结论成立．二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数) (x f满足条件（1）在闭区间] , [b a上连续；（2）在开区间) , (b a内可导．则在区间) , (b a内至少存在一点) (b a< <ξ ξ，使得等式 ) )( ( ) ( ) (a b f a f b f- ' = -ξ成立．推论1如果函数) (x f在区间I上的导数恒为零，那么函数) (x f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．例2．试证 2 cot arctan π = +x arc x) (+∞ < < -∞x．证明构造函数x arc x x f cot arctan ) (+ =，因为函数) (x f在) , (+∞ -∞上可导，且 1 1 1 1 ) ( 2 2 = + - + = ' x x x f 由推论得()arctan cot f x x arc x C =+=，(,) x∈-∞+∞，

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

中值定理构造辅助函数

中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ．例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数．例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根．证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+…

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。