河南省名校联考2021届高三联考(四)数学(文)试题

【省级联考】河南省名校联考2019届高三联考（四）数学（文）

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合{}1,2,3,4,5A =，{}|3B x x =<，则(

)A B =R

（ ）

A ．{}4,5

B ．{}3,4,5

C ．{}1,2,3

D ．{}1,2

2．若复数z 满足(24)13z i i ?-=+，则z =（ ）

A ．1

B

C

D ．

12

3．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．21%的为（ ）

A ．腾讯与百度的访问量所占比例之和

B ．网易与搜狗的访问量所占比例之和

C ．淘宝与论坛的访问量所占比例之和

D ．新浪与小说的访问量所占比例之和

4．若函数3()2ln 4f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()

1,1f 的切线方程为（ ）

A ．4y x =+

B ．3y x =-

C ．23y x =+

D ．32y x =+

5．将函数()sin 326f x x π?

?

=+

+ ??

?的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3

2

倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为（ ） A ．4424,()279279

k k k Z ππππ?

?

-

++∈???

?

B ．24

84,()279279k k k Z ππππ??

++∈?

??

?

C ．,()36k k k Z ππππ??

-

++∈????

D ．2,()63k k k Z ππππ??

++∈?

???

6．若双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线分别与直线l ：2x =-交于M ，

N 两点，且MON ?（O 为坐标原点）的面积为4，则双曲线C 的离心率为（ ）

A B C D 7．函数()ln 43f x x x =-+-的零点个数为（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

8．已知抛物线1C ：22(0)y px p =>与圆2C ：22

12110x y x +-+=交于A ，B ，C ，

D 四点.若BC x ⊥轴，且线段BC 恰为圆2C 的一条直径，则点A 的横坐标为（ ）

A ．

11

6 B ．3

C ．113

D ．6

9．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）

A ．()4π

B ．()

4π

C ．()16π

D ．()

16π

10．若2log 3a =，5log 7b =，40.7c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>

B ．c a b >>

C ．b a c >>

D ．a b c >>

11．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为1011，则判断框中可以填（ ）

A ．2020?i >

B ．2021?i ≥

C ．2022?i >

D ．2023?i >

12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC ?的面积取得最小值时，

=EBC ABCD

S S ?四边形（ ）

A

B ．

12

C

D

．

10

二、填空题

13．若向量(2,)m x =，(4,2)n =-，且()m m n ⊥-，则实数x =____．

14．若x ，y 满足约束条件23020x y x y x +≤??

-≤??+≥?

，则2z x y =-的最大值为_______．

15．叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形ABCD 的两个顶点A ，C ，分别以A ，C 为圆心，线段AB 的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形ABCD 中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_______．

16．已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c ，且满足sin sin 4sin C B A +=.若2a =，则当cos A 取得最小值时，ABC ?的外接圆的半径为__________．

三、解答题

17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且15225S =，3616a a +=.

（Ⅰ）证明：是等差数列；

（Ⅱ）设2n

n n b a =?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18．如图，在四棱锥S ABCD -中，SBD SDB ∠=∠，ABD ADB ∠=∠.

（Ⅰ）求证：SA BD ⊥；

（Ⅱ）若90ABC BAD ∠=∠=?，SA AB ⊥，1BC =，SA =，tan 2CDA ∠=，点E 为SA 的中点，求平面BEC 切割三棱锥S ACD -得到的上下两个几何体的体积之比.

19．2021年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.

（1）求得分在[70,80)上的频率；

（2）求A 社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A 社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）

根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关.

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

20．已知椭圆C ：2

212x y +=，点11,2A ?? ???

，(1,2)B .

（Ⅰ）若直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且A 为线段MN 的中点，求直线MN 的斜率；

（Ⅱ）若直线2l ：2(0)y x t t =+≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，求BPQ ?的面积的最大值.

21．已知函数2()x f x e ax =-．

（Ⅰ）若函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）设12x x <，求证：2122

211122()[()()]2()x

x

x x f x ax f x ax e e -+++>-．

22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的

正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α

α

=+??

=-+? (t 为参数)

(1)若2

π

α=

，求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的极坐标方程；

(2)设点()21P ，-，曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求2

2

PA PB +的最小值 23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数1()232

f x x x =+++

.

（1）在如图所示的网格纸中作出函数()f x 的图象；

（2）记函数()f x 的最小值为m ，证明：不等式32n n n m ≥+-成立的充要条件是

10n +≥.

参考答案

1．B 【分析】

由题目条件，先求解R

B ，再与集合A 做交集运算即可.

【详解】 因

R

{|3}B x x =≥，故()R {3,4,5}A B ?=．

【点睛】

本题考查集合的运算，属于基础题． 2．C 【分析】

化简z 为a bi +的形式，再求z . 【详解】

依题意()()()()

13i 24i 1010i 11i 24i 24i 2022z +?+-+===-+-+，故2z

==

，故选C. 【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a bi +的形式，再根据题意求解. 3．B 【解析】 【分析】

根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．21%的选项. 【详解】

由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%，故选B. 【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题. 4．A

【分析】

依题意，对函数()f x 求导，求出(1)1f '=为切线斜率，而(1)5f =，故由点斜式可得所求切线方程． 【详解】

依题意，可知2

2

()3f x x x

'=-

，故(1)1f '=，切线斜率为1． 而(1)5f =，故切点为（1,5），

故所求切线方程为51y x -=-，即4y x =+． 故选：A . 【点睛】

本题考查切线方程的求法，考查导数的几何意义和导数的运算，属于基础题． 5．D 【解析】 【分析】

先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间. 【详解】

()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，变为πsin 226y x ??=++ ??

?，

由ππ3π2π22π262k x k +

≤+≤+，解得()2x ,63k k k Z ππππ??

∈++∈????

，故选D. 【点睛】

本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】

求得渐近线的方程，令2x =-求得交点,M N 的坐标，利用三角形MON 的面积建立方程，求得

b

a

的值，进而求得离心率. 【详解】

双曲线的渐近线方程为b y x a =±

，令2x =-，解得2b

y a

=±，不妨设222,,2,b b M N a a ?

???--- ? ??

???，所以14242MON b S a ?=??=，所以1b a =，所以

e == B.

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线交点的坐标，考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法，属于中档题. 7．B 【分析】

令()0f x =，转化为两个函数图像的交点个数来求()f x 零点个数. 【详解】

令()0f x =得ln 43x x =-，画出ln ,43y x y x ==-的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即()f x 有两个零点，故选B.

【点睛】

本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合

的数学思想方法，属于基础题. 8．A 【分析】

求出圆心和半径，根据BC ⊥

x 轴和线段BC 恰为圆2C 的一条直径得到,B C 的坐标，代入抛物线方程求得p 的值，设出A 点的坐标，利用BC 是圆的直径，所对圆周角为直角，即

0AC AB ?=，由此求得A 点的横坐标.

【详解】

圆2C ：2

2

12110x y x +-+=可化为()2

2265x y -+=，故圆心为()6,0，半径为5，由于

BC ⊥ x 轴和线段BC 恰为圆2C 的一条直径，故()()6,5,6,5B C -.将B 点坐标代入抛物线

方程得2512p =，故2512p =，抛物线方程为2

256y x =

.设26,25a A a ?? ???

，由于BC 是圆的直径，所对圆周角为直角，即AC AB ⊥,也即0AC AB ?=，所以

22666,56,502525a a a a ????--?---= ? ?????

，化简得42364711062525a a -+=，解得2

27536a =，故A 点横坐标为266275112525366

a =?=.故选A.

【点睛】

本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题. 9．C 【分析】

根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】

最上面圆锥的母线长为2π24π?=，侧面积为1

4π2

?=，

下面圆锥的母线长为2π48π?=，侧面积为

1

8π2

?=，没被挡住的部分面积为22π4π212π?-?=，中间圆柱的侧面积为2π214π??=.故表面积

为()

16π，故选C. 【点睛】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题. 10．D 【分析】

先判断出,a b 大于1，而c 小于1，得到最小为c .然后利用对数的运算和性质，比较,a b 两个数的大小. 【详解】

2255log 3log 21,log 7log 51a b =>==>=，而400.71<<，故c 是最小的.由于

542221

log 7log 7log 7log log 32

<==<，即52log 7log 3<，即b a <，故选D.

【点睛】

本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】

利用程序框图的功能，进行模拟计算即可． 【详解】

程序的功能是计算S ＝1sin

2

π+3sin 32π+5sin+52π…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，

则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…

则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立， 第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立， 故条件为i ＞2022？， 故选C ． 【点睛】

本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题. 12．D 【分析】

取AB 的中点H ，连接1B H ，证明E 点在直线1B H 上，当1BE HB ⊥时，三角形EBC 的

面积取得最小值，进而求得EBC ABCD

S S ?四边形的值.

【详解】

取AB 的中点H ，连接1B H ，设1BF B H G ?=.作出图像如下图所示.易得

1111111,B D AC B D AA ⊥⊥，所以11B D ⊥平面11AAC C ，所以11B D CF ⊥.易得

11,B H BF B H BC ⊥⊥，所以1B H ⊥平面BCF ，所以1B H CF ⊥.故CF ⊥平面11B D H ，

所以E 在直线1B H 上，可使得1CF D E ⊥.由于BC BE ⊥，所以BE 最短时三角形EBC 的面积取得最小值，此时E 点在点G 的位置.设正方体棱长为2，故224ABCD S =?=

.

1B H ==

11BH BB BG B H ?=

=

122EBC S ?=?=，故

EBC ABCD

S S ?

四边形10

==，故选D.

【点睛】

本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到E 点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到. 13

．1- 【分析】

由向量垂直与向量数量积的关系可得，若()m m n ⊥-，得()2

?420m m n x x -=-++=

，

解x 的值即可． 【详解】

由()()2,,4,2m x n ==-，得()2,2m n x -=-+ 且()m m n ⊥-，

得()()()2

?2,?2,2420m m n x x x x -=-+=-++= ，解得1x =-故答案为15-± 【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题． 14．2 【解析】 【分析】

画出可行域，通过向下平移基准直线20x y -=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数2z x y =-在点()2,2A --处取得最大值，且最大值为()242z =---=.

【点睛】

本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 15．

2

2

π-

【解析】 【分析】

阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，利用几何概型概率计算公式求得所求概率. 【详解】

设正方形边长为1，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，即阴影

部分面积为2

1π2π111142

???-?=-，故所求概率为π

1π22

12

--=. 【点睛】

本小题主要考查曲边图形面积的求法，考查几何概型概率计算公式，属于基础题. 16

．

15

【分析】

根据正弦定理求得,,a b c 的关系，利用余弦定理和基本不等式求得cos A 的最小值，根据正弦定理求得三角形ABC 外接圆的半径. 【详解】

由正弦定理得48b c a +==，由余弦定理得()2

22244cos 22b c bc b c A bc bc

+--+-==301bc =-2

307

182b c ≥-=+??

?

??

，即当4b c ==时，cos A 取得最小值为78

，此时sin 8A ==

设外接圆半径为r ，由正弦定理得2sin a r A =，

解得r 15=. 【点睛】

本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用基本不等式求最小值，考查利用正弦定理求外接圆的半径，考查利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值，考查运算求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

17．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）()1

23?

26n n T n +=-+.

【解析】 【分析】

（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，1a ，由1536225,16S a a =+=，得1a 1=，d 2=，

n =，利用定义法即可判断；

（II ）由()Ι得()n

n b 2n 1?

2=-，由数列的乘公比错位相减法求和即可. 【详解】

()Ι设等差数列{}n a 的公差为d ，1a ，则158S 15a 225==，解得8a 15=.

所以368a a 2a 7d 16+=-=，解得d 2=，所以18a a 7d 1=-=. 所以()2n n n 1S n ?2n 2

-=+

=.

n =.

因为当n 1=

1=,当n 2≥

()n n 11=--=,

故

是首项为1，公差为1的等差数列.

（II ）由()Ι可知n a 2n 1=-，故()n

n n n b 2?

a 2n 1?2==-. 故()1

2

3

n

n T 1

?23?25?22n 1?2=+++???+-. ()2

3

4

n 1

n 2T 1

?23?25?22n 1?2+=+++???+-

两式相减可得(

)()1

23n

n 1

n T 22?222

2n 1?2

+-=+++???+--

(

)()()n 1

n 1

n 141222

2n 1?2

32n ?2612

-++-=+--=---.

故()1

23?

26n n T n +=-+.

【点睛】

本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考

查了学生的计算能力，属于中档题. 18．（Ⅰ）见证明（Ⅱ）1

3

【分析】

（Ⅰ）取BD 的中点F ，连接AF ，SF .利用等腰三角形证得SF BD ⊥，AF BD ⊥，由此证得BD ⊥平面SAF ，从而证得SA BD ⊥.（Ⅱ）取SD 的中点H ，连接CH ，EH ，利用线线平行得到点B ，C ，E ，H 共面.计算出AB 的长，证明AB ⊥平面SAD ， 根据

S ECH S ACD C AEHD V V V ---=-，计算出所求的体积比.

【详解】

（Ⅰ）取BD 的中点F ，连接AF ，SF .

∵SBD SDB ∠=∠，∴SB SD =，∵BF DF =，∴SF BD ⊥. ∵ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∵BF DF =，∴AF BD ⊥.

∵SF AF F ?=，SF ?平面SAF ，AF ?平面SAF ，∴BD ⊥平面SAF . ∵SA ?平面SAF ，∴SA BD ⊥.

（Ⅱ）取SD 的中点H ，连接CH ，EH ，易知//EH BC ，故点B ，C ，E ，H 共面. 过C 作CG AD ⊥于G . 设AB x =，故tan 21

CG x

CDA GD x ∠=

==-，解得2x =. 又SA AB ⊥，AB AD ⊥，SA AD A ?=，∴AB ⊥平面SAD .

∴1122323S ACD V -=

???=，(

)111223222

C AEH

D V -=??+?=

.

∴S ECH V -=

=

，∴1

3S ECH C AEHD V V --==

.

【点睛】

本小题主要考查线线垂直的证明，考查四点共面的证明，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.

19．（1）0.3（2）70.5分 （3）见解析 【分析】

（1）根据频率之和为1求得[

)70,80上的频率.（2）利用中点值乘以频率，然后相加，求得平均分的估计值.（3）计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关. 【详解】

（1）依题意，所求频率10.10.150.20.150.10.3P =-----=. （2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：

∴450.1550.15650.2750.3850.15950.1x =?+?+?+?+?+? 70.5=， 即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分. （3）依题意，()2

22000400200600800333.333100010001200800

K ??-?=

≈???.

因为333.33310.828>，

故有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关. 【点睛】

本小题主要考查频率分布直方图，考查频率分布直方图估计平均数，考查22?列联表独立

性检验，属于中档题. 20．（Ⅰ）-1；

【分析】

（I ）因为,M N 在椭圆上，设()()1122,,,M x y N x y ，且A 为线段MN 的中点，得，

12122,1x x y y +=+=，由点差法即可计算直线MN 的斜率；

（II ）联立22

212

y x t x y =+???+=??，得()22

98220x tx t ++-=，由0?>可得209t <<，()()3344,,,P x y Q x y ,

由弦长公式可得PQ ∴=点B 到直线2l

的距离

d =

由1

2

BPQ

S

PQ d =??计算即可. 【详解】

（I ）设()()1122,,,M x y N x y ，故22

1112

x y +=，2222 1.2x y +=将两式相减，可得

222

21212022x x y y ??+-+= ???

，即()()()()121212120,2x x x x y y y y +-++-=因为A 为线段MN 的中点，所以12122, 1.x x y y +=+=得

()()()()

121212120,

2x x y y y y x x +-+=+-

即

2

0,2

MN k +=故直线MN 的斜率 1.MN k =- （II ）联立22

2,1,2y x t x y =+???+=??可得()22

98220x tx t ++-=，由0?>可得()

226436220t t -->，解得209t <<.设()()3344,,,P x y Q x y

由根与系数的关系可得342

34

8,9

22.9t x x t x x ?

+=-???-?=??

PQ ∴===

又

点B 到直线2l 的距离d =

=

11229BPQ

S PQ d ∴=??=?

()

22

2990,99

922

BPQ

t t t S

t -+->∴==≤=

当且仅当2

92t =，即t =时取等号.故BPQ . 【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.

21．（1）2,4e ??

-∞ ??

?（2）见证明

【分析】

（1）由于函数在()2,+∞上单调递增，故令导函数恒大于零，分离常数a 得到2x

e

a x

≤，

利用导数求得x

e x

的最小值，由此求得a 的取值范围.（2）令21x x t e -=，则1t >.将原不等

式等价转化为()21ln 1

t t t ->

+，构造函数()()21ln 1

t s t t t -=-

+，利用导数证得()0s t >，由

此证得不等式成立. 【详解】

（1）由题可知()'2x

f x e ax =-.

令()'0f x ≥，即20x

e ax -≥，当()2,x ∈+∞时有2x

e a x

≤.