第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数
第一节 复数
1．复数域
每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和2
22iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。 复数的四则运算定义为：
)2
1()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1
221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222
a i
b a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面
C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一
般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角
复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定
(,)
x y
义为：||z
向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：
Arg arctan 2y z i x
π=+（k Z ∈）。 复数的共轭定义为：z x iy =-；
复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；
复数加法的几何表示：
设1
z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212
z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212
z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；
例1．1试用复数表示圆的方程：
22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）
其中a,b,c,d 是实常数。
解：方程为 0azz z z d ββ+++=，其中1()2
b i
c β=+。
2z
例1.2、设1
z 、2z 是两个复数，证明 ,12121212
z z z z z z z z +=+= 11
z z = 利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设1
z 、2z 是两个非零复数，则有 ||(cos sin )1111z z Argz i Argz =+,||(cos sin )2222z z Argz i Argz =+ 则有
||||[cos()121212 sin()]12
z z z z Argz Argz i Argz Argz =+++ 即||||||1212z z z z =，()1212
Arg z z Argz Argz =+，其中后一个式子应理解为集合相等。
同理，对除法，有
/||/||[cos()121212 sin()]12
z z z z Argz Argz i Argz Argz =-+- 即|/|||/||1212
z z z z =，(/)1212Arg z z Argz Argz =-，其后一个式子也应理解为集合相等。
例1.3、设1
z 、2z 是两个复数，求证： 222||||||2Re(),121212
z z z z z z +=++ 例1.4、作出过复平面C 上不同两点a,b 的直线及过不共线三点 a,b,c 的圆的表示式。 解：直线：Im 0z a b a -=-； 圆：Im()0z a c a z b c b --=--
4．复数的乘幂与方根
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
||(cos sin )n n z z nArgz i nArgz =+ 令1n z n z
-=，则 ||[cos()sin()]n n z z nArgz i nArgz --=-+-
进一步，有
111|[cos()sin()]n z Argz i Argz n n
=+ 共有n -个值。
例1.5
解：由于1sin )44i i ππ
+=+，所以有 11
(2)sin (2)]4444
k i k ππππ+++
2[cos()sin()]162162
k k i ππππ+++ 其中，0,1,2,3k =。
第二节 复平面上的点集
1．初步概念：
设 ,(0,)a C r ∈∈+∞，a 的r -邻域(,)U a r 定义为
{| ||,},z z a r z C -<∈
称集合
{| ||,},z z a r z C -≤∈
为以a 为中心，r 为半径的闭圆盘，记为(,)U a r 。
设,E C a C ?∈，
若0,(,)r U a r E ?>?中有无穷个点，则a 称为E 的极限点； 若0r ?>，使得(,)U a r E ?，则称a 为E 的内点；
若0,(,)r U a r E ?>?中既有属于E 的点，由有不属于E 的点，则称a 为E 的边界点；
集E 的全部边界点所组成的集合称为E 的边界，记为E ?； E E ??称为E 的闭包，记为E ；
若0r ?>，使得(,){}U a r E a ?=，则称a 为E 的孤立点（是边界点但
不是聚点）；
开集：所有点为内点的集合；
闭集E ：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E ；则任何集合E 的闭包E 一定是闭集；
如果0r ?>，使得(0,)E U r ?，则称E 是有界集，否则称是E 无界集； 复平面上的有界闭集称为紧集。
例1.6、圆盘(,)U a r 是有界开集；闭圆盘(,)U a r 是有界闭集； 例 1.7、集合{|||}z z a r -=是以a 为心，半径为r 的圆周，它是圆盘
(,)U a r 和闭圆盘(,)U a r 的边界。
例1.8、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。 例1.9、集合{|0||}E z z a r =<-<是去掉圆心的圆盘。圆心a E ∈?，它
是E ?的孤立点，是集合E 的聚点。
无穷远点的邻域：0r ?>，集合{|||,}z z r z C >∈∞称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。
C ∞我们也称为C 的一点紧化。
2．区域、曲线
复平面C 上的集合D ，如果满足：
（1）、D 是开集；
（2）、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D 。
则称D 是一个区域。
结合前面的定义，有有界区域、无界区域。
性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。
区域D 内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。
扩充复平面C ∞上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C 上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。
设已给
(),()z z t a t b =≤≤
如果Re ()z t 和Im ()z t 都在闭区间[,]a b 上连续，则称集合{()|[,]}z t t a b ∈为一条连续曲线。
如果对[,]a b 上任意不同两点1t 及2
t ，但不同时是[,]a b 的端点，我
们有()()12
z t z t ≠，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有()()z a z b =，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。
若尔当定理: 任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公
共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为
外区域。
光滑曲线： 如果Re ()z t 和Im ()z t 都在闭区间[,]a b 上连续，且有连续
的导函数，在[,]a b 上，'()0z t ≠则称集合{()|[,]}z t t a b ∈为
一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。
设D 是一个区域，在复平面C 上，如果D 内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于D ，则称D 是单连通区域，否则称D 是多连通区域。
C ∞中区域的连通性：如果
D 内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于D ，则称D 是单连通区域，否则称D 是多连通区域。 例1.10集合{|(1)(1)0}z i z i z -++>为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线
(1)(1)0i z i z -++=
即0x y +=。
例1.11集合{|2Re 3}z z <<为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线Re 2z =及Re 3z =。
例1.12集合{|2arg()3}z z i <-<为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线
arg()2z i -=及arg()3z i -=。
例1.13集合{|2||3}z z i <-<为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆||2z i -=及||3z i -=。
例1.14在C ∞上，集合{|2||}z z <≤+∞与{|2||}z z <<+∞分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为{||2}z =及{||2}{}z =?∞。
第三节 复变函数
1．复变函数的概念
设在复平面C 上以给点集E 。如果有一个法则f ，使得z x iy E ?=+∈，C w u iv ?=+∈同它对应，则称f 为在E 上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为()w f z =。
注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；
注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应；
注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若z x iy =+，Re ()Im ()(,)(,)w f z i f z u x y iv x y =+=+，则()w f z =等价于两个二元实变函数(,)u u x y =和(,)v v x y =。
函数f 也称为从E 到C 上的一个映射或映照。把集合E 表示在一个复平面上，称为z -平面；把相应的函数值()w f z =表示在另一个复平面上，称为w -平面。
从集合论的观点，令{()|}A f z z E =∈，记作()A f E =，我们称映
射()w f z =把任意的0
z E ∈映射成为()00w f z A =∈，把集E 映射成集A 。
称0w 及A 分别为0z 和E 的象，而称0z 和E 分别为0
w 及A 的原象。
若()w f z =把E 中不同的点映射成A 中不同的点，则称它是一个从E 到A 的双射。
例1.15考虑映射w z α=+。
解：设z x iy =+，w u iv =+，a ib α=+，则有u x a =+，v y b =+，这
是一个z 平面到w 平面的双射，我们称为一个平移。
例1.16考虑映射w z α=，其中0α≠。
解：令(cos sin )r i αθθ=+，则它可以分解为以下两个映射的复合：
(cos sin )i ωθθ=+， w r ω=
第一个映射是一个旋转（旋转角为θ），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。
例1.17考虑映射1w z
=。 解：它可以分解为以下两个映射的复合：
11z z =， 1
w z = 映射1
w z =是一个关于实数轴的对称映射； 映射11z z =把z 映射成1
z ，其辐角与z 相同： Arg Arg Arg 1
z z z =-=
而模11||||1||z z z ==，满足||||11
z z =。我们称11z z =为关于单位圆的对称映射，z 与1
z 称为关于单位圆的互相对称点。 若规定1w z
=把0,z =∞映射成,0w =∞，则它是一个扩充z 平面到扩充w 平面的一个双射。
例1.18、考虑映射2w z =。
解：2222()2w z x iy x y ixy ==+=-+等价于
22u x y =-， 2v xy =。
2．复变函数的极限
设函数()w f z =在集合E 上确定，0
z 是E 的一个聚点，a 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数()0δδε=>，使得当z E ∈，并且0||0
z z δ<-<时， |()|f z a ε-<，
则称a 为函数()f z 当z 趋于0
z 时的极限，记作： lim ()()()0,0
f z a f z a z z z z z E =→→→∈或当 注解：1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。
2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。
3．复变函数连续性的定义
设函数()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在集合E 上确定，0
z E ∈是E 的一个聚点，如果
lim ()()00
f z f z z z =→ 成立，则称()f z 在0z 处连续；如果()f z 在E 中每一点连续，则称()f z 在E 上连续。
注解1 如果000
z x iy =+，则()f z 在0z 处连续的充要条件为： lim (,)(,)00,00lim (,)(,)00,00
u x y u x y x x y y v x y v x y x x y y =→→=→→ 即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性； 注解2 连续函数的四则运算结论成立：两个复变函数连续的加、减、
乘、除（分母不等于零）是复变函数连续；
注解3 如果函数()w f z =在集E 上连续，并且函数值属于集F ，而
在集F 上，函数()g w ζ=连续，那么复合函数[()]()g f z g f z ζ==在E 上连续。
4．一致连续性
设函数()w f z =在集合E 上确定，如果任给0ε>，可以找到一个仅与ε有关的正数()0δδε=>，使得当',''z z E ∈，并且|'''|z z δ-<时，
|(')('')|f z f z ε-<，
则称函数()f z 在E 上一致连续。
定理1.1、设函数)(z f 在简单曲线或有界闭区域E 上连续，那么它在E
上一致连续。
定理1.2、设函数()f z 在简单曲线或有界闭区域E 上连续，那么它在
E 上有界，即|()|f z E 上有界。
定理1.3、设函数()f z 在简单曲线或有界闭区域E 上连续，那么()f z 在E 上达到它的最大模和最小模。
5．无穷大极限
设函数()w f z =在复平面上的区域或闭区域E 上确定，0
z 是E 的一个聚点，0
z 不属于E 。如果任给0A >，可以找到一个与A 有关的正数()0A δδ=>，使得当z E ∈，并且0||0
z z δ<-<时， |()|f z A >，
则称当z 趋于0
z 时，函数()f z 趋于无穷大，记作： lim (),0
f z z z z E =∞→∈ 设函数()w f z =在复平面上的无界区域或闭区域E 上确定。a 是一个有限复常数。如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数()0ρρε=>，使得当z E ∈，并且||z ρ>时，
|()|f z a ε-<，
则称当z 趋于∞时，函数()f z 趋于极限a ，记作：
lim (),f z a z z E
=→∞∈
第四节 复球面与无穷远点
在点坐标是(,,)x y u 的三维空间中，把 xOy 面看作就是z x iy =+面。考虑球面S ：
2221x y u ++=
取定球面上一点(0,0,1)N 称为球极。 我们可以建立一个复平面C 到{}S N -之间的一个1-1对应：
''1'
x iy z x iy u +=+=- '2||1z z x z +=+，'2||1z z y z -=+，2||1'2||1
z u z -=+。 我们称上面的映射为球极射影。 对应于球极射影为N ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点∞，称{}C ?∞为扩充复平面，记为C ∞。 关于∞，其实部、虚部、辐角无意义，模等于+∞；基本运算为（a 为有限复数）：
(A x
a a ±∞=∞±=∞； (0)a a a ?∞=∞?=∞≠； (0); 0()0a a a a =∞≠=≠∞∞
。