垂直与平行

1、通过观察，感知生活中的垂直与平行的现象。培养学生空间观念及空间想象能力，体现数学的应用与美感

2、能使用工具检验两条直线是否互相垂直与平行。

3、能正确量出点到直线的距离及平行线之间的距离

情景

1、找一找校园里的平行线和垂线。

2、找一找下面图形中哪两条线段互相平行？哪两条线断互相垂直？

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

d

d

d

d

a∥c

b∥d

a∥c

b∥d

b∥d

a∥d

探究一

下面图形中的AC与BD平行吗？AB与CD呢？

这两组对边是否平行，不能仅凭视觉，还需要我们借助工具来测量后再判断。

练一练：

下面每组图形哪两条直线互相垂直？哪两条直线互相平行？

k⊥i h∥j j⊥l h∥i

1、过A点画线断BC的垂线。

2、过A点画线断BC的平行线。

A

C

画两条平行线使它们之间的距离为3.5厘米。

3.5CM

练习一

1、要从学校修一条路到公路，怎样修最近？

公路

学校

练习二

小胖跳远的成绩是多少呢，怎样测量比较准确？为什么？

练习三

请你快速在下面图形中找出互相平行和互相垂直的线段来。

本课小结

今天我们学习了垂直与平行，知道了生活中处处有垂直与平行的现象。

1垂直与平行教学设计

陕西省教育学会第五届优秀教学设计稿件 垂直与平行教学设计 【教材依据】: 版本：人教版《义务教育课程标准实验教科书. 数学》 内容：四年级上册第四章《平行四边形和梯形》第一课时《垂直与平行》课本第64-65页 【设计思路】： 指导思想和理论依据：《数学课程标准》明确指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法。学生是数学学习的主人，教师是学习数学的组织者、引导者、与合作者。 我在教学中，力求做到结合教学内容，从学生实际出发，落实《课标》的要求。垂直与平行在生活中有着广泛的应用，本节课我主要通过想象、动手操作、观察、讨论、小组交流、课件演示等活动，让学生去感知理解、发现和认识，体会应用数学的价值。发挥学生的主体性，在判定方法和两直线平行与垂直的关系的教学上给予学生足够的时间观察、操作，并组织同学交流；但同时不应忽视教师的引导性，所以教师给予适当的指点与平行关系的类比，在最后一题的探究中也适时提出要求，组织讨论，完善结论. 教材分析：“垂直与平行”是人教版四年级上册第四单元第一课时的教学内容。它是在学生认识了直线、线段、射线的性质，学习了角及角的度量等知识的基础上学习的。在“空间与图形”的领域中，垂直与平行是学生以后认识平行四边形，梯形及长方体、正方体等几何形体的基础。也为培养学生空间观念提供了一个很好的载体。 学情分析：从学生思维角度看，垂直与平行这些几何图形，在日常生活中应用广泛，学生头脑中已经积累了许多表象，但由于学生生活的局限性，理解概念中“永不相交”比较困难；再加上以前学习的直线、射线、线段等研究的都是单一对象的特征，而垂线和平行线研究的是同一平面内两条直线未知的相互关系，这种相互关系，学生还没有建立表象。 【教学目标】： 知识与技能目标：初步理解垂直和与平行是同一平面内两条直线特殊的两种

四年级上册垂直与平行教学反思

四年级上册垂直与平行教学反思 1、准确把握教学起点，努力还学生一个“真实”的数学课堂。本节课从学生的实际出发，关注学生的生活经验和知识基础，从复习有关“直线”知识入手，唤起学生的回忆，为新知的探究学习做了较好的街接准备。同时，逐步培养学生对数学研究的兴趣，用数学自身的魅力来吸引、感染学生。 2、课堂教学的方式、方法、教学手段朴实无华。回顾在《垂直与平行》的课堂教学中，我紧紧抓住“以分类为主线”展开探究活动，提出“在无限大的平面上同学们想象的两条直线的样子画下来？”“能不能把这几种情况进行分分类？”这样有思考价值的问题，学生通过想一想、画一画、分一分、说一说等多种活动进行观察、思考，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。这样的教学不仅符合学生的认知规律，而且通过分类，分层理解，既符合学生的认知规律，又有利于提高学生生活实际，让学生从自己的身边发现数学知识，进一步培养学生观察的能力，发现垂直与平行现象。在处理教学难点“在同一平面内”时，我利用课件出示一个长方体，在长方体的不同面上画两条不相交的直线，提问学生是否平行，帮助学生理解垂直与平行关系“必须在同一平面内”，直观到位。

3、新知的训练点和拓展点扎实有效。除了从主题图中找垂直与平行现象，从生活中找，从身边找，还让学生动手摆一摆、拼一拼、画一画……通过这些练习，让学生进一步加深对平行和垂直概念的理解，进一步拓展知识面，使学生克服学习数学的枯燥感。让学生真正参与学习过程中来，在学习过程中提升自己的能力。当然，朴实不是不追求完美，真实不是为了展示平淡无奇，扎实不是简单重复的机械操作和训练。在我们的数学课堂中，要充分应用数学课程改革的理念，扎扎实实从学生的实际出发，让我们的课堂活起来，让我们的学生动起来，让课堂融入我们的智慧和思考，让课堂充满勃勃生机。在本节课的教学中，也有不少不足之处，如 1、重难点处理速度较快，后进生没有理解到位，以后的教学中应因材施教，照顾后进生。 2、有一名学生的发言不够准确，我没有及时指正出来。 3、时间把握不够好，后面还有一个小环节没有完成，学生们也失去了一个自我小结、交流的机会，这也算是一个遗憾吧。总之，面对新课程课堂教学的成功与失败，我将真实地对待，坦然地看待，将在不断地自我反思中加强“新理念”的再学习、再实践，相信自己能在不断的自我反思中成长，在不断的自我实践中发展，在不断的自我成长中创新。《乘法估算》教学反思这节课一开始我用估一估几个数，让学生回顾知识，为本节课进行的数学活动作好铺垫，接着创设日常生活中的情景，激发学生的学习

黄爱华-垂直与平行-教学设计

黄爱华垂直与平行教学设计 干净保障有序自主促进和谐 ——四年级 《垂直》教学实录与体悟 当下，“有序、和谐”应该成为数学课堂的至高追求，教师语言、教学资源和教学预设的干净，是课堂教学有序的保障；学生语言、学生思维和动手活动的自主，是创造和谐课堂、高效课堂的必需。 《垂直》这一内容是学生在初步认识直线以后，首次接触直线与直线的位置关系。在同一平面内的两条直线可能相交，也可能不相交。不相交的两条直线互相平行。相交成直角的两条直线互相垂直，垂直是特殊位置的相交。本课时主要以理解“垂直”这种位置关系为重点，在理解的基础上，用各种方法画出互相垂直的直线，并通过这些活动，体会垂线的一些特性，了解一点历史，感受一种自豪，促进不断成长。 下面从《垂直》一课的教学实录出发，尝试阐述对“有序、和谐”课堂的追求与体悟。 一、“近”生活导入，显现熟知概念 1.对话拉近师生距离。 师：我是深圳的黄老师，你们是淮阴实小三年级几班的同学 生：三（1）班。 师：咱们真是有缘，有机会一起上这节数学课。你说我应该是一位教数学的老师，还是一位帮助学生学数学的老师

【悟：师生间第一句对话即勾起学生继续推进课堂的兴趣，“真是有缘”消除了师生初次见面的戒备，达到了温情沟通的目的。】 生：帮助学生学数学的老师。 师：是的，“帮助学生学数学的”，强调学习的过程靠同学们自己，教师起到的作用是组织、帮助和引路。 【悟：教师对“帮助学生学数学”这一观点的认同，不仅激发了学生学习的自主性，还进一步拉近了师生距离。】 师：既然大家都这么认为，这节课老师主要是给同学们带路，路靠大家自己走，好不好 2.由学生之间的互助，引出“互相”的概念。 师：我在领路的过程中，想知道你们掌握的情况。如果你掌握得很好，请做这样的手势；如果还有点不太清楚，请做这样的动作；如果你完全没有学会，请这样。（手势略） 师：你的同伴要做这样的动作，你会怎么办（师做出“没有学会”的手势。） 【悟：此问非常平实，却又是继续教学所必须的，也可以说是整节课的奠基。问题离学生如此之近，应算是教学预设的匠心独运。】 生：我会帮助他，学习的过程中就应该互相学习，互相帮助。 师：我们说到一个词语——“互相”，你理解吗 （屏显：互相。） 师：“互相”是指两个对象之间彼此同等对待的关系。有点深奥，其实同学们常用——我们不是常说要“互相学习”。怎么理解 （屏显：互相学习。）

垂直与平行的教学反思

《垂直与平行》教学反思 新课程改革实验以来，大家越来越关注学生学习知识点的落实和教师教学的有效。我们的数学课堂也逐渐变得真实而生动，教学的设计朴实而又创新，学生学得扎实而又愉快。我也正在努力探索这样一个“真实、朴实、扎实”的数学课堂——《垂直与平行》。 本节课是新课标人教版四年级上册第四单元第一课时的教学内容，这部分教材是在学生学习了直线与角的知识的基础上教学的，也是认识平行四边形和梯形的基础。由于垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，而且在生活中有着广泛的应用，无论是走在宽广的大街上，还是坐在明亮宽敞的教室里，环顾左右应该都不缺少垂直与平行的现象。对于小学四年级的孩子来说，他们应该都有这样的经验：哪些线是交叉的，哪些线是不交叉的。因此我们在课中要做的就是让学生体验在同一平面内，不交叉的两条直线叫做平行线，交叉里有一种特殊的叫做互相垂直，让学生的认识上升到思维的层面来。鉴于此，针对本课知识的特点和学生的实际，我精心设计教案，把学生的自主探索与教师的适时引导有机结合，把知识点清晰地展现在学生的面前，使得教学过程零而不散，教学活动絮而不乱，学生在轻松愉悦的氛围中，提高了学习能力，增强了学习信心。针对本节课，我主要把握以下几点：1、准确把握教学起点，努力还学生一个“真实”的数学课堂。 本节课从学生的实际出发，关注学生的生活经验和知识基础，从复习有关“直线”知识入手，唤起学生的回忆，为新知的探究学习做了较好的街接准备。同时，逐步培养学生对数学研究的兴趣，用数学自身的魅力来吸引、感染学生。 身为教者，我本着实事求是的态度在课堂教学中尊重学生实际，尊重教学实际，本节课至始至终都没有提前的渗透，没有矫情的暗示，没有走秀，没有花枪，而更多的是关注课堂生成设计练习的问题，关注学生真实的生活阅历，在学生现有的知识水平、思维能力、生活体验的基础上进行教学。 2、课堂教学的方式、方法、教学手段朴实无华。 回顾在《垂直与平行》的课堂教学中，没有花架子，没有与课堂无关的语言和行为，没有哗众取宠的调侃和媒体展示，所有的一切教学手段都是为教学服务，为学生服务。在教学中，我紧紧抓住“以分类为主线”展开探究活动，提出“在无限大的平面上同学们想象的两条直线的样子画下来？”“能不能把这几种情况进行分分类？”这样有思考价值的问题，学生通过想一想、画一画、分一分、说一说等多种活动进行观察、思考，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。这样的教学不仅符合学生的认知规律，而且通过分类，分层理解，既符合学生的认知规律，又有利于提高学生生活实际，让学生从自己的身边发现数学知识，进一步培养学生观察的能力，发现垂直与平行现象。 在处理教学难点“在同一平面内”时，我利用教室内黑板边所在的直线与不同墙面的交接线，提问学生是否平行，帮助学生理解垂直与平行关系“必须在同一平面内”，直观到位。 3、新知的训练点和拓展点扎实有效。除了从主题图中找垂直与平行现象，从生活中找，从身边找，还让学生动手摆一摆、拼一拼、画一画……通过这些练习，让学生进一步加深对平行和垂直概念的理解，进一步拓展知识面，使学生克服学习数学的枯燥感。让学生真正参与学习过程中来，在学习过程中提升自己的能力。 当然，朴实不是不追求完美，真实不是为了展示平淡无奇，扎实不是简单重复的机械操作和训练。在我们的数学课堂中，要充分应用数学课程改革的理念，扎扎实实从学生的实际出发，让我们的课堂活起来，让我们的学生动起来，让课堂融入我们的智慧和思考，让课堂充满勃勃生机。 在本节课的教学中，也有不少不足之处，如1、重难点处理速度较快，后进生没有理解到位，以后的教学中应因材施教，照顾后进生。2、有一名学生的发言不够准确，我没有及时指正

空间几何——平行与垂直证明

c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?

垂直与平行教案

平行与垂直 教材概述： 《垂直与平行》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级上册第四单元第一课时的教学内容。它是在学生学习了直线与角的认识的基础上安排的教学内容，是认识平行四边形和梯形以及以后学习几何学的基础，更是培养学生空间观念的基础载体。 学情分析： 学生通过对直线与角的认识的学习，有了一定的空间想像能力，且垂直与平行这些几何图形在我们的日常生活中应用广泛，学生对其已有许多表象认识。但是，由于学生生活的局限性和空间观念及空间想象能力不够丰富，故而其对垂直与平行中所研究的同一个平面内两条直线位置的相互关系，还未能建立表象，不能完全理解"同一平面"与"永不相交"的本质。为此，需要教师帮助他们解决。 教学策略分析：。 1、设计理念：解决“抽象”这一难点的最佳方法莫过于动手操作，我想只有贴近学生生活的才是最易被学生接受的，只有学生亲自动手得来的才是真正理解不易遗忘的。结合我校校本教研提出的“在合作中体验学习的快乐”的先进理念，我在本课的设计中主要体现的是“摸一摸——想一想——画一画——练—练——折一折”的三维教学理念，意图放缓坡度，让学生在潜移默化的学习之中对本知识点做到既能意会又可言传。 2、教法设计：我在教学中主要设计了“画一画”和“分一分”两个操作性学习环节，让学生通过动手操作、动笔描绘、动眼观察、动脑思考、动口阐述五个层面的梯度性学习，系统深入地掌握知识，以拉近知识与学生的距离。 3、学法设计：在“扔小棒”活动中，主要是体现开放性动脑想象的学习方法，让学生有空间把可能出现的情况全面的展现出来，为准确地提取和掌握知识点做好充分的准备；在“分一分”活动中，主要是体现多元性思考的学习方法，让学生理解知识，并培养概括总结的能力；在学习概念性知识的时候，主要是体现抓住重要词语进行理解的学习方法，让学生通过交流全面掌握所学的知识。 教学目标： 1、初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线特殊的两种位置关系，会初步辨析垂线和平行线。 2、通过观察、分类、比较、举例等环节，认识垂线和平行线，感知生活中垂直与平行的现象。 3、引导学生具有自主思考、合作探究的学习意识，体会到垂直与平行的应用和美感，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点： 正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行线”“垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点： 正确判断同一平面内两条直线之间的位置关系。 教学过程： 一、情境引入，感知“同一平面”。 1. 复习直线的性质特点：没有端点，可以（向两端）无限延长。 2、感知“同一平面”。 下面请同学们拿出你手中的一张纸，平放在桌上，用手摸一摸，感知一下，它是（平的），我们就说你摸的这个面是一个平面。这张纸（也就是这个平面）可以无限放大，所以直线可

小学四年级数学：《垂直与平行》教学设计

《垂直与平行》教学设计 四年级数学教案 教学目标： 1、帮助学生初步理解同一平面内两条直线的特殊位置关系；即垂直与平行，初步认识平行线和垂线。 2、培养学生的空间观念，空间想象能力。 3、在分析、比较、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。 教学重点:正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点：正确理解“在同一平面内”，“永不相交”等概念的本质属性。 学具教具：课件、纸，彩笔，直尺，量角器，三角尺等。 教学过程：（课件1课前播放音乐） 一、画图感知 复习导入：前面我们已经学习了直线，知道了直线的特点，（谁能说一说直线有什么特点？没有端点，可以无限延伸）今天我们继续一起来学习有关直线的知识。 1、动手画一画 师：（出示一张白纸）我们把这张白纸看成一个平面，闭上你们的小眼睛，想象一下，这个平面变大了，又变大了，变得无限大，在这无限大的平面上出现

了一条直线，又出现了一条直线，睁开你们的眼睛，把你刚才想象的两条直线用直尺、彩色笔画在纸上。（学生动手画，出示课件2）指名学生到黑板上画。 2，学生展示作品 画完的同学举起来互相看看，你们画的两条直线的位置关系相同吗？ 同学们的想象可真丰富，想出了这么多不同的画法，请同学们讨论一下黑板上这几组直线，按照位置关系我们可以把它们分为几类？ 3，学生讨论分类： 分为两类：相交，不相交 分为三类：相交，不相交，快要相交 分为四类：相交，不相交，相交成直角，快要相交 ………………………………… 板书：相交：（）（）( )( ) 成直角：（）垂直 不相交：( ) 平行 同学们讨论得真认真，这节课我们就一起来学习在同一平面内直线的两种特殊位置关系。（出示课件3）揭示课题：垂直与平行板书：垂直与平行 二揭示概念：互相垂直，互相平行 1．揭示互相垂直的概念 在同一平面上两条直线相交形成了什么呢？（角）

沪教版数学四年级下册：垂直与平行教学反思

沪教版数学四年级下册：垂直与平行教学反思垂直与平行是在学生学习了直线与角的知识的基础上教学的，也是认识平行四边形和梯形的基础。由于垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，而且在生活中有着广泛的应用，无论是走在宽广的大街上，还是坐在明亮宽敞的教室里，环顾左右应该都不缺少垂直与平行的现象。对于小学四年级的孩子来说，他们应该都有这样的经验：哪些线是交叉的，哪些线是不交叉的。因此我们在课中要做的就是让学生体验在同一平面内，不交叉的两条直线叫做平行线，交叉里有一种特殊的叫做互相垂直，让学生的认识上升到思维的层面来。鉴于此，在课的开始部分，通过用铅笔摆一摆，让学生在白纸上去画不同位置的两条直线，然后从学生的作品中选出代表性的画法进行分类，从而引出平行与垂直的概念。再通过让学生去找一找，说一说生活中的互相平行与互相垂直的现象，加深学生对垂直与平行的理解。最后通过找、摆等环节，在学生进一步认识垂直与平行的同时，感受数学就在我们身边；通过欣赏生活中的垂直与平行，感受数学的意义。 1、在课的开始阶段，我先让孩子们闭上眼睛想象：在一个很大的平面上出现了一条直线，接着，又出现了一条直线，那么这两条直线的位置关系会怎样？请同学们睁开眼，把你想象到的直线的位置画出来。这样，以空间想象为切入点，让学生闭上眼睛想象一下在无限大的平面内出现两条直线，并要求学生把想象出的两条直线画下来，直接进入纯数学研究的氛围，创设这样纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力来感染和吸引学生，并有利于学生展开研究，特别是为较深层的研究和探索打好基础，做好过渡，逐步培养学生对数学研究产生兴趣。 2、让孩子在体验中去感悟知识。在引出平行的概念〝在同一平面内不相交的两条直线互相平行〞，我紧接着追问了一句：为什么要加上〝互相〞两个字？问题一抛出，我就后悔了，因为孩子们刚刚才对〝平行〞有大致的概念，马上让他们去说〝为什么〞，可想而知，学生被我问得一头雾水，只有很少几个学生能按照自己的理解来说几句。后来在评课的过程中，很多老师都有同感。作为比较抽象的概念性知识，必须让学生在操作、

第2讲 空间中的平行与垂直

第2讲空间中的平行与垂直 高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则() A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析连接BD，BE， ∵点N是正方形ABCD的中心， ∴点N在BD上，且BN＝DN， ∴BM，EN是△DBE的中线， ∴BM，EN必相交. 连接CM，设DE＝a，则EC＝DC＝a，MC＝3 2a，

∵平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面EDC ， 则BD ＝2a ，BE ＝ a 2＋a 2＝2a ， BM ＝ ? ?? ?? 32a 2 ＋a 2＝72a ， 又EN ＝ ? ????a 22 ＋? ?? ?? 32a 2 ＝a ， 故BM ≠EN . 答案 B 2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________. 解析 如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离. 再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ， 连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 所以PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°. 在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝ （3）2－12＝ 2. 答案 2 3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：

垂直与平行的概念

1、垂直与平行 课题一：垂直与平行的概念 班级四年级主备人顾祥林 日期 2015.11.2 课前自主学习引导 情景导入 课间活动时，学校的大操场上热闹极了。瞧！足球场上，双杠上都有热爱体育锻炼的小朋友，还有的小朋友在跑步、拔河、跳高...... 探究内容 教材p56-58内容及练习十1~4题 展现目标 1、理解垂直与平行的概念，初步认识平行线、垂线。 2、通过讨论交流，使独立思考能力与合作精神得到和谐发展。 3、在比较分析，综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。培养学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学习数学的兴趣。 4、培养动手操作能力及作图能力。 学习重点：通过自主探究，初步认识平行线与垂线。 学习难点：理解永不相交的含义。

一、合作探究（在已预习的基础上完成） 教材例题 1、在纸上任意画两条直线，会有几种情况。 2、如果有不相交的两条直线，你再画长一些会怎么样？ 知识点一：认识平行 1、在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：①平行；②相交。 2.、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互 上图中a 与b 互相平行，记作a b ，读作a 平行于b 。 3、你能举出在生活中一些有关平行的例子吗？ 知识点二：认识垂直 1、在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：①平行；②相交。 2、两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 b a b b b b b a a a

上图中a 与b 互相垂直，记作a b ，读作a 垂直于b 。 3、你能举出在生活中一些有关垂直的例子吗？ 知识点三：垂线的画法 1、画垂线就是要保证所画的两条直线相交成直角，所以画垂线时利用三角尺的直角来画，比较方便。 2、画完两条互相垂直的直线后，在垂足处标注垂直符号。 3、用三角尺过直线上一点画垂线。（p58“做一做”） 4、用三角尺过直线外一点画垂线。（p58“做一做”） 二、过关检测 1、动手折一折平行线和垂线。练习十第3题 （抽部分学生演示并讲解）。 2、完成课本第61页，练习十第1题。 （抽部分学生演示，并作讲解） 3、完成课本上第61页“做一做”第4题。 （抽部分学生演示，并作讲解） ● ● ● ●

空间中的平行与垂直

空间中的平行与垂直(文/理) 热点一空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断． 例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 (2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是() A．若a∥b，b?α，则a∥α B．若a∥α，b?α，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b 答案(1)D(2)D 解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交． (2)线面平行的判定定理中的条件要求a?α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D. 思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；

四年级 垂直与平行的特征和性质(含答案)

垂直于平行的特征与性质 一、知识梳理 二、教学重、难点 三、作业完成情况 四、典题探究 例1 如果两条直线相交成（）角时，这两条直线叫作互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的（）。 例2 平行线间的（）处处相等。 例3 过直线外一点，画已知直线的垂线，这样的垂线可以画出( )条。 A．1 B．2 C．3 D．无数 例4 已知直线a直线c互相平行，直线b直线c互相平行。那么，直线a直线b ( )。 A．互相平行B．互相垂直C．无法确定 五、演练方阵 A档（巩固专练） 1．填图。

2．在___________内________的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线________。 3．两条直线相交成__________时，这两条直线就___________。其中一条直线叫做另一条直线的_______，他们的交点叫做_______。 4．___________________________的四边形叫做平行四边形。 5．___________________________的四边形叫做梯形。 6．长方形相邻的两条边互相（）。相对的两条边互相（）。 7．互相垂直的两条直线可以相交成4个（）。 A、锐角 B、直角 C、钝角 D、平角 8.长方形中有（）组对边平行。 A、1 B、2 C、4 9．两条平行线之间的距离是6厘米，在这两条平行线之间作一条垂线，这条垂线的长是（）厘米。 10．下面错误的是（） A、正方形相邻的两条边互相垂直。 B、两条直线互相平行，这两条直线相等。 C、长方形是特殊的平行四边形。 D、任意一个四边形的四个内角的和都是3600 。 B档（提升精练） 1．把符合要求的图形序号填在括号里。 Ａ、正方形Ｂ、长方形Ｃ、平形四边形成Ｄ、梯形 ①两组对边形分别平行，有四个直角。（） ②只有一组对边形。（） ③两组对边形分别平行，没有直角（） 2．从直线外一点到这条直线的距离，是指这一点到这条直线的（）的长。 A、线段 B、射线 C、直线 D、垂直线段 3．从直线外一点到这条直线所画的线段中，（）线段最短。 4．在两条平行线之间有4条垂线，这4条垂线之间的关系是（）。 5．下图中（）和（）是互相平行的街道，（）和（）是互相垂直的街道。

垂直与平行教学设计公开课

垂直与平行 教学目标： 1、结合具体情境，了解平面内两条直线的平行与垂直的位置关系，能正确判断互相平行和互相垂直。 2、在探索活动中，培养观察、操作、想象等能力，发展学生的初步空间观念。 3、结合具体情境，体会数学与日常生活的联系。 教学重点： 正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点： 相交现象的正确理解。（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解） 教具、学具准备：课件、水彩笔、尺子、三角板、白纸一张 教学过程： 一、情境创设、感知关系 1、复习：同学们，前面我们已经认识了直线，谁能说说直线有哪些特点？

2、导入：直线没有端点,可以向两端无限延长…(课件出示 过程)今天我们继续学习与直线有关的知识 二、观察分类，了解平行与垂直的特征 1、每个同学都有这样一张白纸，我们把这张白纸看成一个平面，想象一下这个平面变大了，能想象出来吗？（能）那咱们 闭上眼睛一块来想象一下：准备好了吗？（准备好了）那咱们 开始了，这个面变大了，又变大了，变的无限大。在这个无限 大的平面上出现了两条直线，你想象的这两条直线是什么样的？睁开眼睛，把它们用彩笔和直尺画在纸上。 2、把你们画的作品都举起来，互相看看，你们画的图形一 样么？想展示给大家看么？老师选几幅有代表性的作品展示到 黑板上。 3、你们的想象力可真是丰富，想出了这么多种不同的画法，我们能不能给这些图形分分类，为了叙述方便我们先给他们编 上序号。 4、下面我们就以小组为单位讨论讨论，哪几号作品可以分 为一类。各小组注意做好记录。（小组讨论、交流） 5、汇报一下，你是怎么分的，其他同学注意倾听。（生汇报，师移动图形。）

人教版数学四年级上册《垂直与平行》教学反思

2020年最新 《垂直与平行》教学反思 垂直与平行是在学生学习了直线与角的知识的基础上教学的，也是认识平行四边形和梯形的基础。由于垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，而且在生活中有着广泛的应用，无论是走在宽广的大街上，还是坐在明亮宽敞的教室里，环顾左右应该都不缺少垂直与平行的现象。对于小学四年级的孩子来说，他们应该都有这样的经验：哪些线是交叉的，哪些线是不交叉的。因此我们在课中要做的就是让学生体验在同一平面内，不交叉的两条直线叫做平行线，交叉里有一种特殊的叫做互相垂直，让学生的认识上升到思维的层面来。鉴于此，在课的开始部分，通过用铅笔摆一摆，让学生在白纸上去画不同位置的两条直线，然后从学生的作品中选出代表性的画法进行分类，从而引出平行与垂直的概念。再通过让学生去找一找，说一说生活中的互相平行与互相垂直的现象，加深学生对垂直与平行的理解。最后通过找、摆等环节，在学生进一步认识垂直与平行的同时，感受数学就在我们身边；通过欣赏生活中的垂直与平行，感受数学的意义。 1、在课的开始阶段，我先让孩子们闭上眼睛想象：在一个很大的平面上出现了一条直线，接着，又出现了一条直线，那么这两条直线的位置关系会怎样？请同学们睁开眼，把你想象到的直线的位置画出来。这样，以空间想象为切入点，让学生闭上眼睛想象一下在无限大的平面内出现两条直线，并要求学生把想象出的两条直线画下来，直接进入纯数学研究的氛围，创设这样纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力来感染和吸引学生，并有利于学生展开研究，特别是为较深层的研究和探索打好基础，做好过渡，逐步培养学生对数学研究产生兴趣。 2、让孩子在体验中去感悟知识。在引出平行的概念“在同一平面内不相交的两条直线互相平行”，我紧接着追问了一句：为什么要加上“互相”两个字？问题一抛出，我就后悔了，因为孩子们刚刚才对“平行”有大致的概念，马上让他们去说“为什么”，可想而知，学生被我问得一头雾水，只有很少几个学生能按照自己的理解来说几句。后来在评课的过程中，很多老师都有同感。作为比较抽象的概念性知识，必须让学生在操作、体验中去感悟，如光用口头解释，只会事倍功半。其实，这个问题非常重要，只是在出现的时机上还应再考虑、再斟酌。我校周老师建议，这个问题其实在让学生说了两条平行直线的关系以后，再抛出这样的效果就会更好一些。 3、准备的教具使用不充分，我在白纸上画了一组平行线，让学生观察是否平行，然后左右对折白纸，让学生观察两条直线是否还平行，由于太仓促，只有部分学生能够看出并理解两条直线不在同一平面了，如果多给学生一些时间，再去想象一下，效果会更好。 4、时间把握不够好，后面还有一个环节，两条直线互相垂直顺利完成，孩子掌握不够好。

16-17版 第1部分 专题4 突破点11 空间中的平行与垂直关系

突破点11 空间中的平行与垂直关系 提炼1 异面直线的性质 (1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (2)异面直线所成角的范围是? ????0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理． (2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质． (3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理． (4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．

回访1异面直线的性质 1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为 3 2.] 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l

平行与垂直教学反思

《平行与垂直》教学反思《平行与垂直》这节课是人教版小学数学四年级上册的教学内容。这节课是在学生认识了直线的基础上进行教学的。本课时的教学重点是认清互相平行与互相垂直的特征。以学生的自主探索为主。这堂课我主要分为五个环节： （1）导入。在复习完直线的特点之后，我让学生想象把一张白纸无限扩大，然后在白纸上出现两条直线，让学生想象两条直线的位置，再把自己想象的画在纸上。 反思：复习直线的特点很必要，特别是直线可以向两端无限延伸的特点为这节课中的引导学生总结出快要相交的两条直线其实就是相交打下了很好的基础。但在引导学生想象的这个环节是多余的，没有起到有效的作用，反而会起到干扰作用，部分中下学生不知道老师要他们做什么。其实只要让学生直接在纸上画出两条直线就可以了。 （2）分类。本环节主要是引导学生把两条直线的位置关系分出相交和不相交两类。在这个环节我主要是这样教学的：选取几张有代表性的学生的作品，主要有互相平行、互相垂直、相交成其他度数的、两条直线没有交叉在一起但却是相交的。通过让学生观察给这些直线进行分类。这个活动是在四人小组中进行的，学生在汇报时能较好地说清分类的理由。分类重点放在两条直线没有交叉在一起但却是相交的这类直线上，首先先让学生说说自己的想法，再让学生上台来画一画。绝大多数学生能够理解为什么它们能相交。 反思：这个环节是本节课的亮点所在。第一：我能够在选取学生作品时选取有代表性的作品，这为接下来的教学起到了重要的作用。第二：我能较好的放手让学生自己去发现，自己去总结，这对培养学生的探索能力以及小组合作能力起到了很好的作用。同时学生在探索过程中，也能更加深入地理解了为什么这样分类，加深了印象。但在组织学生进行分类时，我的语言不够准确，导致了部分学生分类的方向出现了偏差。在教学时我说：“现在请同学们对黑板上的这几组直线进行分类。”我的这句话中目标不够明确，应改成“现在请同学们根据黑板上的这几组直线的位置关系对它们进行分类。在今后的教学当中，我要加倍注意数学语言的严谨性和准确性。 （3）认识互相平行和互相垂直。这是本节课的重点。在本环节，我的主要教学步骤如下：①教学互相平行。我从不相交中引出互相平行的概念，重点引导学生理解“同一平面”“不相交”“互相”。②教学互

(典型题)高考数学二轮复习 知识点总结 空间中的平行与垂直

空间中的平行与垂直 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假实行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体实行考查，难度中等． 1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理 线面平行的判定定理 ? ??? ? a ∥ b b ?αa ?α?a ∥α 线面平行的性质定理 ? ??? ?a ∥α a ?βα∩β＝ b ?a ∥b 线面垂直的判定定理 ? ??? ?a ?α，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ? l ⊥α 线面垂直的性质定理 ? ????a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2． 面面垂直的判定定理 ? ????a ⊥αa ?β?α⊥β 面面垂直的性质定理 ? ??? ?α⊥β α∩β＝c a ?αa ⊥c ?a ⊥β

面面平行的判定定理 ? ????a ?βb ?β a ∩ b ＝O a ∥α， b ∥α? α∥β 面面平行的性质定理 ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题准确的是 ( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 (2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题准确的是 ( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 答案 (1)B (2)B 解析 (1)对于A ，直线l 1与l 3可能异面、相交；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B. (2)A 中直线l 可能在平面α内；C 与D 中直线l ，m 可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B 准确． 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理实行判断，必要时能够利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中． (1)(2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中准确的是 ( )

垂直与平行教学设计

《垂直与平行》教学设计 执教老师：汇川区泗渡镇双仙小学陈春伟 ［教学内容］ 人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》四年级上册64～65页的内容。及68页1.2.3题 ［教学目标］ 1．引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。 2．帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。 3．培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。 4、在分析、比较、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。 ［教学重点］ 正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 ［教学难点］ 相交现象的正确理解（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解） ［教具、学具准备］： 课件、正方体、白纸一张、小棒、直尺、三角板、彩色笔、量角器 ［教学过程］ 旧知铺垫： 一、直线、射线、线段的区别 同学们，前面我们学习了直线、射线和线段，谁来说说它们有什么特点？ 1、线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点（课件演示2） 2、直线像孙悟空的如意金箍棒（课件演示3），可向两端无限延伸（课件演示4） 新知教学： 一、画图感知，研究两条直线的位置关系 导入：同学们，我们来继续学习有关直线的知识。 现在你们每人拿出白纸，把它平放在桌面上，摸一摸，把这张白纸看成是一个平面，闭上眼睛，想象一下，这个面变大了，变大了，变得更大了。能想象出来吗？ 在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现了一条直线，你想象的这两条直线的位置是怎样的？睁开眼睛把它们用彩笔画在纸上，在这张纸上只画出你想像的一种情况

就行了。 二、观察分类，了解平行与垂直的特征 （一）展示各种情况 师：画完了吗？哪个同学愿意上黑板来把你的想法展示给大家看看？（学生上黑板上把不同的情况贴在黑板上） （二）进行分类 师：同学们画出来这么多种情况。能把这些作品分分类吗？为了叙述方便，我们可以先给这些作品编上号。 师：小组讨论一下：可以按什么标准分类？分成几类？（小组讨论、交流） 哪个小组的同学愿意把分类的情况上来给老师也分一下。 （学生简要的说明分类的理由。） 师：对于他们小组的这种分法，其它组有不同意见吗？ （引导学和按交叉和为交叉分成两类） 师：在数学上我们把交叉叫做相交 你们小组的同学（在黑板上的同学）把不相交的这几种情况用直尺把直线延长一下。 发现了什么？（原来不相交的，延长后变成相交的了） 看来我们要从新分类了 （在黑板上的同学回到座位） 板书两条直线的位置关系，｛相交 不相交 三、归纳认识，明确平行与垂直的含义 （一）揭示平行的概念 师：不相交的两条直线就真的不相交了吗？怎样验证？ 哪个同学愿意上来也把它们延长一下，看看有什么发现。（它们永不相交） 同学们，你们再用直尺量一量这两条直线之间的距离，（在黑板上的同学也量）看看有什么发现。（它们之间的距离相等）课件演示5 师：在数学上，像这样的两条直线就叫做平行线。（板书（平行）） 谁能用自己的话说说什么是平行线？（学生会说不相交的两条直线叫做平行线）