动量守恒定律
动量守恒定律
一.动量和冲量
1.动量：物体的质量和速度的乘积叫做动量：p =mv
⑴动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。 ⑵动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。
2.冲量：力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I =Ft
⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。 ⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。
⑶高中阶段只要求会用I=Ft 计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。
⑷要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。
例1. 质量为m 的小球由高为H 的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大
-
解：力的作用时间都是g
H
g H t 2sin 1
sin 22
α
α==
，力的大小依次是mg 、 mg cos α和mg sin α，所以它们的冲量依次是：
gH m I gH
m I gH m I N G 2,tan 2,sin 2===
合α
α
特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。
二、动量定理
1.动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既I =Δp
⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。 ⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。
⑶现代物理学把力定义为物体动量的变化率：t
P F ??=（牛顿第二定律的动量形式）。
⑷动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。
^
三．动量守恒定律
1.动量守恒定律的条件
⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；
⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；
⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。 ⑷全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。 2．动量守恒定律的表达形式 （1） 即p1 p2=p1/ p2/，
（2）Δp1 Δp2=0，Δp1= -Δp2
3.运用动量守恒定律的解题步骤
1．明确研究对象，一般是两个或两个以上物体组成的系统； .
2．分析系统相互作用时的受力情况，判定系统动量是否守恒； 3．选定正方向，确定相互作用前后两状态系统的动量； 4．在同一地面参考系中建立动量守恒方程，并求解．
四、碰撞
1.弹性碰撞
特点：系统动量守恒，机械能守恒．
设质量m 1的物体以速度v 0与质量为m 2的在水平面上静止的物体发生弹性正碰，则有动量守恒：
221101v m v m v m +=
碰撞前后动能不变：2
22
212111210
121
v m
v m v m += 所以01
212
1v v m m m m +-= 0222
11
v v m m m +=
(注：在同一水平面上发生弹性正碰，机械能守恒即为动能守恒) [讨论]
…
①当m l =m 2时，v 1=0，v 2=v 0(速度互换)
②当m l <
⑤当m l >>m 2时，v 1≈v,v 2≈2v 0 (同向运动)、 2.非弹性碰撞
特点：部分机械能转化成物体的内能,系统损失了机械能两物体仍能分离.动量守恒 用公式表示为：m 1v 1+m 2v 2= m 1v 1′+m 2v 2′
机械能的损失：)()(2
222
12112
12
222
12112
1'+'-+=?v m v m v m v m E
3.完全非弹性碰撞
特点：碰撞后两物体粘在一起运动，此时动能损失最大,而动量守恒． &
用公式表示为： m 1v 1+m 2v 2=(m 1+m 2)v
动能损失：。
【例题】甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是p 甲=5 kg ·m/s,
p 乙= 7 kg ·m/s ，甲追乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为p 乙′=10 kg ·m/s ，则两球质量m 甲与m 乙的关系可能是
甲=m 乙 乙=2m 甲
乙=4m 甲 乙=6m 甲
五、平均动量守恒问题——人船模型：
1．特点：初态时相互作用物体都处于静止状态，在物体发生相对运动的过程中，某一个方向的动量守恒（如水
平方向动量守恒）．
对于这类问题，如果我们应用“人船模型”也会使问题迅速得到解决，现具体分析如下：
【例1】静止在水面上的船长为L ，质量为M ，一个质量为m 的人站在船头，当此人由船头走到船尾时，船移动了多大距离
'
l
v 0 v S
分析：将人和车作为系统，动量守恒，设车向右移动的距离为s 船=s ，则人向左移动的距离为s 人=L －s ，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得M ·s －m （L －s ）＝0，从而可解得s. 注意在用位移表示动量守恒时，各位移都是相对地面的，并在选定正方向后位移有正、负之分。
L m
M m
s +=
∴
说明：
（1）此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。
（2）做这类题目，首先要画好示意图，要特别注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大
小之间的关系。
（3）以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如果发生相互作用前系统就具有一定的动量，那就不能再用m 1v 1=m 2v 2这种形式列方程，而要利用（m 1+m 2）v 0= m 1v 1+ m 2v 2列式。
六、“子弹打木块”模型
此模型包括：“子弹打击木块未击穿”和“子弹打击木块击穿”两种情况，它们有一个共同的特点是：初态时相互作用的物体有一个是静止的（木块），另一个是运动的（子弹） 1．“击穿”类
%
其特点是：在某一方向动量守恒，子弹有初动量，木块有或无初动量，击穿时间很短，击穿后二者分别以某一速度度运动
【例2】质量为M 、长为l 的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为m 的子弹以水平初速度v 0射入木块，穿出时子弹速度为v ，求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。
2．“未击穿”类
其特点是：在某一方向上动量守恒，如子弹有初动量而木块无初动量，碰撞时间非常短，子弹射入木块后二者以相同速度一起运动．
|
【例3】 设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，
子弹钻入木块深度为d 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。 解：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒： ()v m M mv +=0
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d
"
s 2 d
s 1
v 0
v
对子弹用动能定理：22
012
121mv mv s f -=? ……①
对木块用动能定理：222
1
Mv s f =? ……② ①、②相减得：()()
2
22022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=
? ……③ 这个式子的物理意义是：f d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =?，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是
用位移）。
由上式不难求得平均阻力的大小：()d
m M Mmv f +=
22
至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：d m
M m
s +=
2
从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：
()d m M m s m m M v v s d v v v v v v s d s +=+==∴+=+=+2020022,,2/2/
一般情况下m M >>，所以s 2< 就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：() 2 02v m M Mm E k += ?…④ 当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔE K = f d （这里的d 为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔE K 的大小。 做这类题目时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据 \ 七．爆炸类问题 【例4】 抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s ，这时忽然炸成两块，其中大块质量300g 仍按原方向飞行，其速度测得为50m/s ，另一小块质量为200g ，求它的速度的大小和方向。 八．某一方向上的动量守恒 【例5】 如图所示，AB 为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M 的小圆环，环上系一长为L 质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m 的小球，现将绳拉直，且与AB 平行，由静止释放小球，则当线绳与A B 成θ角时，圆环移动的距离是多少 练习题 — 1.质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m的小球以速度v1向物块 运动。不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。求小球能上升到的最大高度H和物块的最 终速度v。 2.如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M,A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求： （1）A、B最后的速度大小和方向； （2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小。 3.两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为，，它们 的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量的滑块C（可视为质点），以的速度恰好水平地滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为s，求 （1）木块A的最终速度；（2）滑块C离开A时的速度。 4.如图所示，A B C是光滑轨道，其中BC部分是半径为R的竖直放置的半圆．一质量为M的小木块放在轨道水 平部分，木块被水平飞来的质量为m 的子弹射中，并滞留在木块中．若被击中的木块沿轨道能滑到最高点C ，已知木块对C 点的压力大小为(M+m)g ，求：子弹射入木块前瞬间速度的大小． | 5.如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A 、B 、C ，质量分别为m A =1kg ，m B =1kg ，m C =2kg ，其中B 与C 用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A 和B 之间有少许塑胶炸药，A 的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能量损失）。现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E =9J 转化为A 和B 沿轨道方向的动能，A 和B 分开后，A 恰好在BC 之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B ，并且在碰撞后和B 粘到一起。求： （1）在A 追上B 之前弹簧弹性势能的最大值； （2）A 与B 相碰以后弹簧弹性势能的最大值。 " 6.如图所示，在小车的一端高h 的支架上固定着一个半径为R 的1/4圆弧光滑导轨，一质量为m =的物体从圆弧 的顶端无摩擦地滑下，离开圆弧后刚好从车的另一端擦过落到水平地面，车的质量M =2kg ，车身长L =，车与水平 地面间摩擦不计，图中h =，重力加速度g =10m/s 2 ，求R . . 7.如图所示，质量为M =4kg 的木板长L =，静止在光滑的水平地面上，其上端右侧静置一个质量为m =1kg 的小滑块，小滑块与木板间的动摩擦因数为μ=.今用一水平力F =28N 向右拉木板，要使小滑块从木板上掉下来，求此力 至少作用多长时间(重力加速度g 取10m/s 2 ) — M F L m R h L M 8、如图所示，质量为的木块以2m/s的速度水平地滑上静止的平板小车，车的质量为，木块与小车之间的摩擦系数为(g取10m/s2)。设小车足够长，求： （1）木块和小车相对静止时小车的速度。 （2）从木块滑上小车到它们处于相对静止所经历的时间。 （3）从木块滑上小车到它们处于相对静止木块在小车上滑行的距离。