二阶微分方程解法知识讲解
二阶微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y ''+py '+qy =0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.
如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程
y ''+py '+qy =0
得
(r 2+pr +q )e rx =0.
由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.
特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2
422,1q p p r -±+-= 求出.
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.
这是因为,
函数x r e y 11=、x r e
y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(21212
1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=.
(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又
x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''
0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,
所以x
r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为
x r x r xe C e C y 1121+=.
(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得
y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),
y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),
y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2
1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i
x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.
可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.
因此方程的通解为
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx ).
求二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程
r2+pr+q=0
第二步求出特征方程的两个根r1、r2.
第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.例1 求微分方程y''-2y'-3y=0的通解.
解所给微分方程的特征方程为
r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.
其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x.
例2 求方程y''+2y'+y=0满足初始条件y|x=0=4、y'|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为
r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.
其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.
将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而
y=(4+C2x)e-x.
将上式对x求导,得
y'=(C2-4-C2x)e-x.
再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.
例 3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.
解所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0.
特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,
因此所求通解为
y=e x(C1cos2x+C2sin2x).
n阶常系数齐次线性微分方程:方程
y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +???+p n-1y'+p n y=0,
称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,???,p n-1,p n都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.
引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:
L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +???+p n-1D+p n,
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +???+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0.
注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y', D2y=y'', D3y=y''',???,D n y=y(n).
分析:令y=e rx,则
L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +???+p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx.
因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:
L(r)=r n+p1r n-1+p2 r n-2 +???+p n-1r+p n=0
称为微分方程L(D)y=0的特征方程.
特征方程的根与通解中项的对应:
单实根r对应于一项:Ce rx;
一对单复根r1,2=α±iβ对应于两项:eαx(C1cosβx+C2sinβx);
k重实根r对应于k项:e rx(C1+C2x+???+C k x k-1);
一对k重复根r1,2=α±iβ对应于2k项:
eαx[(C1+C2x+???+C k x k-1)cosβx+( D1+D2x+???+D k x k-1)sinβx].
例4 求方程y (4)-2y '''+5y ''=0 的通解.
解 这里的特征方程为
r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0,
它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .
因此所给微分方程的通解为
y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).
例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.
解 这里的特征方程为
r 4+β 4=0. 它的根为)1(2
2,1i r ±=β
, )1(24,3i r ±-=β.
因此所给微分方程的通解为 )2sin 2cos (212x C x C e y x β
β
β+=)2sin 2cos (432 x C x C e x β
β
β
++-.
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程
y ''+py '+qy =f (x )
称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和: y =Y (x )+ y *(x ).
当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:
一、 f (x )=P m (x )e λx 型
当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式
Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).