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江苏高考数学知识点集锦

2012年江苏高考数学复习“应试笔记” 一、填空题

答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!

A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！

解题常用经典再现

A1.集合性质与运算 1、性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；

③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ．

如果C A C B B A ???，那么，．

【注意】：

①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）

②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．

④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （注：C A B = ?）． 2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22

n -个.

3、A B C A B A C A B C A B A C ==（）（）（）,（）（）（）；

A B C A B C A B C A B C ??=??=（）（）,（）（）

4、 De Morgan 公式:()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =.

【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 A2.命题的否定与否命题

*1.命题p q ?的否定与它的否命题的区别：

命题p q ?的否定是p q ??,否命题是p q ???.

命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”,“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. *2.常考模式：

全称命题p ：,()x M p x ?∈；全称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?. 特称命题p ：,()x M p x ?∈；特称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?. A3.复数运算

*1.运算律：⑴m n m n z z z +?=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈.

【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：

⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||

z z z z =； ⑶n n

z z =. *3.重要结论：

⑴2222

121212||||2||||()z z z z z z -++=+；

⑵2

z z z z ?==； ⑶()2

12i i ±=±； ⑷

11i i i -=-+，11i

i i +=-； ⑸i 性质：T=4；1 , ,1,43

4241

4=-=-==+++n n n n i i i i i i

【拓展】：()()

3211101ωωωωω=?-++=?=

或12

ω=-±

A4.幂函数的的性质及图像变化规律： (1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点

(1,1)；

(2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸； (3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23

a =的这5类，它们的图像都经过一个定

点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.

A5.统计

1.抽样方法：

(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.

(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个

个体被抽到的概率都相等（

n N

）. 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.

总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑴频率分布直方图

用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

①频率=样本容量

频数

②小长方形面积=组距×组距

频率

=频率.

③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. ⑵茎叶图

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；

样本平均数： 121

1()n

n i i x x x x x n n ==++

+=∑

4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差). (1)一组数据123,,,,n x x x x ?

①样本方差

2222121

[()()()]

n S x x x x x x n =-+-+???+-2

22111

111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ； ②样本标准差

σ==

(2)两组数据123,,,,n x x x x ?与123,,,,n y y y y ?,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =?.则

y ax b =+,它们的方差为222y x S a S =,标准差为||y x a σσ=

③若12,,

,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,

,n ax b ax b ax b +++的平均

数为ax b +，方差为22

a s .

样本数据做如此变换：'i i x ax b =+，则'x ax b =+，222

()S a S '=.

B 、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解)

B1.线性规划

1、二元一次不等式表示的平面区域：

（1）当0A >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的右边，若0Ax By C ++<则表示

直线l 的左边.

（2）当0B >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的上方，若0Ax By C ++<则表示

直线l 的下方.

2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则

111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：

两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或

左右两部分）.

3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：

若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则00(),0f x y >，称点在曲线外部；

若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲线“外

部”.

4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z Ax By =+.

①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小；

②当0B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大；

5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：

（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线在

y 轴上的截距越大，z 越小.

（2）

y m x n

--表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别

y x

表示过原点和(),n m 的

直线的斜率.

（3）()()2

t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方

程的覆盖问题.

（4）

y =

表示(),x y 到点()0,0的距离.

（5）(cos ,sin )F θθ；（

6）d =

；

（7）22

a a

b b ±+；

【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。

B 2.三角变换：

三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．

三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．

三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．

三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.

变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.

具体地：

（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变

形技巧，如下：

2=+ααα，22

αα=?；

αβ

αβ++=?

，

(

)(

)

αβ

ααβ+=-

--； ()()2

=+-=-+=

+-+-+

ααββαββαβ

αβ

βα

；

22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα；

2()+=++αβαβα，2()-=-+αβαβα；

154530,754530?=?-??=?+?；

()

4ππααπ+=--等.

（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）

利用二倍角公式2

cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα和二倍角

公式的等价变形2cos 2sin 12=-αα，2

sin 2cos 12

=+αα，可以进行“升”与“降”的

变换，即“二次”与“一次”的互化. （3）切割化弦（名的变化）

利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以

便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.

（4）

常值变换

常值12.此外，对常值 “1”可作如下代换：

22221sin cos sec tan tan cot 2sin 30tan sin cos 042

x x x x x x ππ=+=-=?=?====

等.

（5）引入辅助角一般的，

sin cos )sin()a b +=+

=+ααααα?，期中

cos tan b

a ===???.

特别的，sin cos )4

A A A +=

+π

;

sin 2sin()3x x x +=+π，

cos 2sin()6

x x x +=+π

等.

（6）特殊结构的构造

构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.

举例：2

sin 20cos 50sin 20cos50A =?+?+??，

22cos 20sin 50cos 20sin50B =?+?+??

可以通过1

2sin 70,sin 702

A B A B +=+?-=-

-?两式和，作进一步化简. （7）整体代换

举例：sin cos x x m +=2

2sin cos 1x x m ?=-

sin()m +=αβ，sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用.

B 3.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换

因为在ABC ?中，A B C π++=（三内角和定理），所以

任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；

③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.

即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．

sin

cos

A B C +=；2

cos

sin

A B C +=；2

tan

cot

A B C +=.

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．

面积公式：11

sin 22

a S sh a

b C r p ===?其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半．tan

tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A ++= (3)对任意ABC ?，；

在非直角ABC ?中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． (4)在ABC ?中，熟记并会证明：

*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?．

*2.ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比

数列．

*3.三边,,a b c 成等差数列

?2b a c =+?2sin sin sin A B C =+?1tan tan

223

A C =；3≤

B π.

*4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3

≤B π

(5)锐角ABC ?中,2

A B π

?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，

222a b c +>；

sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； tan tan tan cot cot cot A B C A B C ++>++. 【思考】：钝角ABC ?中的类比结论 (6)两内角与其正弦值：

在ABC ?中，

s i n a b A B A B >?>?>?c o

s 2B A >，… (7)若π=++C B A ，则2

2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥. (8)A B >?a b >?sin sin A B >?cos2cos2B A >.

B 4.三角恒等与不等式组一

33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=- ()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=-

323tan tan tan 3tan tan(

)tan(

)13tan 3

θθπ

θθθθθ

=-+-

组二

tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγ

αβγαββγγα

++-++=

---

tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=

sin sin sin 4cos cos cos 222A B C

A B C ++=

cos cos cos 14sin sin sin 222

A B C

A B C ++=+

222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+

……

组三常见三角不等式

(1)若(0,

x π

∈，则sin tan x x x <<；

(2) 若(0,

x π

∈，则1sin cos x x <+

(3) |sin ||cos |1x x +≥；

(4)x

x f sin )(=

在),0(π上是减函数；

B5.概率的计算公式： ⑴古典概型：()A P A =

包含的基本事件的个数

基本事件的总数

；

①等可能事件的概率计算公式：()

()()

m card A p A n card I =

； ②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )；

③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；

④独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A ?B )＝P (A )?P (B )； ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：

()(1)k k

n k n n P k C P P -=-(是二项展开式[(1－P )+P ]n 的第(k +1)项).

⑵几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ?Ω}，则A 的概率定义为()g A P A Ω=

的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）

的测度

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处

理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】：条件概率：称)

()

()|(A P AB P A B P =

为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。注意：①0(|)1P B A ≤≤；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

B6. 排列、组合

（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：

①直接法：位置分析法元素分析法

用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）

???

??? ②间接法：即排除不符合要求的情形

③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。 ③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。

④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。

⑤多排问题单排法。 ⑥多元问题分类法。 ⑦有序问题组合法。 ⑧选取问题先选后排法。 ⑨至多至少问题间接法。

⑩相同元素分组可采用隔板法。

?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.

（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以!n .

B7.最值定理

①,0,x y x y >+≥由若积()xy P =定值，则当x y =时和x y +

有最小值；

②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值2

s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2

+-=+.

（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小.

（2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.

③已知,,,R a x b y +

∈，若1ax by +=

，则有：

11()()by ax

ax by a b a b x y x y x y

+=++=+++++=≥

④,,,R a x b y +

∈，若

1a b x

=则有：(

(

)ay bx x y x y a b x

+=++

=++=

B8.求函数值域的常用方法：

①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；

【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.

②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如,(,)ax b y x m n cx d

∈+的函数值域；

④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；

⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；

⑥不等式法：

利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如)0(>+

=k x

x y ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；

⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解； ⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；

⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．

⑩判别式法：对于形如2111

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a ,2a 不同时为0）的函数常采用此法．【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：

1.2

y k x

+型，可直接用不等式性质； 2.2bx

y x mx n =++型，先化简，再用均值不等式；

3.22x m x n y x mx n

''++=++型，通常用判别式法；

4.2x m x n y mx n

''++=+型，可用判别式法或均值不等式法；

?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域. ……

B9.函数值域的题型

(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.

常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号

函数.

(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.

解题步骤：(1)换元变形；

(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。

(三) 分式函数求值域：四种题型

(1)cx d

y ax b

+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈.

(2)(2)cx d

y x ax b

≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围.

(3)22

23261

x x y x x +-=--： (21)(2)21

()(21)(31)312x x x y x x x x -++=

=≠-++ ，则1y 13

y ≠≠且且y R ∈. (4)求221

1x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域。

2211

x y x x -=++?2(2)10yx y x y +-++=，2(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域.

(四) 不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段. 判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.

(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.

(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.

B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.

⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <

，求函数1

()4245f x x x =-+-的最大值.

⑶调整分子：例3.求函数2710

()(1)1

x x f x x x ++=

≠-+的值域；

⑷变用公式：基本不等式

a b

+≥有几个常用变形： 222a b ab +≥,

2()2a b ab +≥2

a b +，22

2()22a b a b ++≥.前两个变形很直接，后两个变形则

不易想到，应重视；例4.

求函数15

()22y x =

<<的最大值；

⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求2

16()

y a b a b =+-的最小值；

⑹对数变换：例6.已知1,12

x y >>，且xy e =，求ln (2)y

t x =的最大值；

⑺三角变换：例7.已知2

0y x π

≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；

⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11

t a b

=+的最小值.

B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和为定值

若22

x y a +=（a 为定值，0a ≠），可

设,,x y αα=

=，其中

02απ<≤.

①(,))4

f x y x y πααα=+=+=+在15

[0,],[,2)44πππ上是

增函数，在15[

,]44

π上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357

[0,],[,],[,2)4444

πππππ上是增函数，在

1357

[,],[,]4444

ππππ上是减函数；

③11(,)x y m x y x y xy +=+==.

令sin cos )4t π

ααα=+=+，

其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--.由212sin cos t αα=+，得2

2sin cos 1t αα=-

，从

而2

(,)1)

m x y t t

=-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值

若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-

①2

(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数，在[,)2

b +∞上是减函数；

②211(,)x y b

m x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2

b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2b b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2

b +∞上是增函数.

③2

(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b

-∞上是减函数，在[,)2

b +∞上是增函数； ⑶积为定值

若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x

= ①(,)c

f x y x y x x

=+=+

.当0c >

时，

在[,0),,]上是减函数，在

(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；

②111(,)()x y c

m x y x x y xy c x

+=+=

=+.当0c >

时，在[上是减函数，

在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；

③22

2(,)()2c c n x y x y x x c x x

=+=+=+-

在(,-∞上是减函数，

在

()+∞上是增函数.

⑷倒数和为定值

若

112x y d +=（d 为定值，111

,,x d y ），则.c y x

=成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1z d ≠±，则1111

,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz

==-+.

①222()1d f x x y d z =+=-.当0

d >时，在11

(,),(,0]d d

-∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11

(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11

[0,),(,)d d

--+∞上减函数；

②222

(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时，在11

(,),(,0]d d

-∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11

(,),(,0]d d -∞上是减函数，在11

[0,),(,)d d

--+∞上是增函数；

③22222

222

2(1)(,).(1)

d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22

22(,)4(2)4d t d n x y t t t

==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.

B 12.理解几组概念 *1. 广义判别式

设()f x 是关于实数x 的一个解析式， ,,c a b 都是与x 有关或无关的实数且0a ≠，则

240b ac ?=-≥是方程[]2

()()0a f x bf x c ++=有实根的必要条件，称“?”为广义判别

式.

*2. 解决数学问题的两类方法：

一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数

设有两个独立的变量x 与y 在其给定的变域中D 中，任取一组数值时，第三个变量Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z 称为变量x 与y 的二元函数.记作：(,)Z f x y =. 其中x 与y 称为自变量，函数Z 也叫做因变量，自变量x 与y 的变域D 称为函数的定义域.

把自变量x 、y 及因变量Z 当作空间点的直角坐标，先在xoy 平面内作出函数(,)Z f x y =的定义域D ；再过D 域中得任一点(,)M x y 作垂直于xoy 平面的有向线段MP ，使其值为与(,)x y 对应的函数值Z ；

当M 点在D 中变动时，对应的P 点的轨迹就是函数(,)Z f x y =的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D 就是此曲面在xoy 平面上的投影. *4. 格点

在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念. *5. 间断点

我们通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. *6. 拐点

连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.

如果()y f x =在区间(,)a b 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定()y f x =的拐点.

(1)求()f x ''；

(2)令()0f x ''=，解出此方程在区间(,)a b 内实根；

(3)对于(2)中解出的每一个实根0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点. *7.驻点

曲线()f x 在它的极值点0x 处的切线都平行于x 轴，即0()0f x =.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性

定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意2,x x D ∈1的都有2

()[()()]22

x x f f x f x ++11≥，则称是()f x 上的凸函数.定义在D 上的函数如果满足：对任意的2,x x D ∈1都有221

()[()()]22x x f f x f x ++11≤，则称()f x D 是上的凹函数.

【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.

若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.

B13. 了解几个定理

*1. 拉格朗日中值定理:

如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，那末在(,)a b 内至少有一点c ，使()()()()f b f a b a f c '-=-成立.这个定理的特殊情形，即：()()f b f a =的情形.描述如下：

若()x ?在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()a b ??=，那么在

(,)a b 内至少有一点c ，使()0c ?'=成立.

*2. 零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且()()0f a f b ?＜．那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf ． *3. 介值定理：

设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）． *4. 两边夹定理：

设当00||x x δ-＜＜时，有()g x ≤()f x ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0

，则必

有.)(lim 0

A x f x x =→

【注】：0||x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零．（ξ为最小整数）

C 、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力

C1.线段的定比分点公式

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且12

PP PP λ=（或P 2P λ

1P P ），则 121

211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?

?121OP OP OP λλ+=+?12

(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222

y y y x x x +?

=???

+?=?? 推广2λ=则λ

λ++=1PB PA （λ对应终点向量）．

三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：

12312333x x x x y y y y ++?

=???

++?=??

注意：在△ABC 中，若0为重心，则=++，这是充要条件．

【公式理解】：

*1.λ是关键(1λ≠-)

(内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0) 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合，λ不存在 P 离P 2 P 1无穷远，λ=1-

P 2

P P

P 1

P P ?

*2.中点公式是定比分点公式1λ=的特例； *3.始点终点很重要，如若P 分21P P 的定比λ=2

，则P 分12P 的定比λ=2； *4.12,,,x x x λ知三求一；

*5.利用λ有界性可求一些分式函数取值范围；

*6.＝12OA OB λλ+则121λλ+=是三点、、P A B 共线的充要条件.

C 2. 抽象函数

抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.

求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数：

①正比例函数型：()f x cx =?()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=.

②指数函数型：()x

f x a =?()()()

()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=+==≠.

③对数函数型：

()log a f x x =?()()(),()()(),()1(0,1)x

f f x f y y

f xy f x f y f a a a =-=+=>≠.

④幂函数型：()f x x α

=?()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()()()

x f x f y

f y =

⑤三角函数型：

()cos f x x =,()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0sin (0)1,lim

1x x

f x

→==.

()f x tanx =,()()()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：

（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x

=-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

C 3.函数图像的对称性

(1)一个函数图像自身的对称性

性质1：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有的图像关

于直线2

a b

x +=

对称.

【注】：()()(0)f a mx f b mx m +=-≠亦然.

【特例】，当a b =时，()()()f a x f a x f x +=-?的图像关于直线x a =对称. 【注】：()(2)f x f a x =-亦然.

性质2：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有

()()f a x f b x +=-()f x ?的图像关于点(

,0)2

a b

+对称.

【特例】：当a b =时，()()()f a x f a x f x +=--?的图像关于点(,0)a 对称.

【注】：()(2)f x f a x =--亦然.

事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.

性质3：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有

()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于直线2

a b x +=

对

称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.

性质4：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有

()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于点(

a b +,0)对

称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数. 果把两个“f ”放在“=”的两边，则“f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.

(2)两个函数图像之间的对称性

1.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0y =对称.

2.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =对称.

3.函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点(0,0)对称.

4.函数()y f x =与它的反函数1

()y f x -=的图像关于直线y x =对称. 5.函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图像,,,0a b m R m ∈≠()关于直线2b a x m

对称.

特别地，函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2

b a x -=

对称.

C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠)

(1)若()()f x f x a =+，或()()22

f x f x a +=-，则()f x 的周期T a =； (2)若()()0f x f x a ++=，或1()

()1()f x f x a f x -+=+，或()()22

f f a a x x =-+- ，或

()()f x a f x a +=-，

或()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠，或()()

()f a x f a x f x +=-??

?为偶函数

，或()()()f a x f a x f x +=--???为奇函数，或()()()f a x f a x f x +=-???

为偶函数，或[]1(),(()0,1)2f x a f x +∈，则()f x 的周期

2T a =；

(3)若1()1(()0)()

f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =；

(4)若()()()f a x f a x f x +=--??

?为偶函数，或()()

f a x f a x +=-??，或()()f x a f x a +=--，或

1()()1()f x f x a f x -+=-+1212()1(()()f a f x f x =?≠

(5)若()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ?+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ????=++++，则()f x 的周期5T a =；

(6)若()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =.

【说明】函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.

C5.对称性与周期性的关系定理1：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线x a =和x b =()a b ≠对称，则()f x 是

周期函数，且2a b -是它的一个周期.

推论1：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-及()()f b x f b x +=-()a b ≠，则()f x 是

以2a b -为周期的周期函数.

定理2：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点(,0)a 和直线x b =()a b ≠对称，则()

f x 是周期函数，且4a b -是它的一个周期.

推论2：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--及()()f b x f b x +=--()a b ≠，则

()f x 是以4

a b -为周期的周期函数.

定理3：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点0(,)a y 和0(,)b y ()a b ≠对称，则()

f x 是周期函数，且2a b -是它的一个周期.

推论3：若函数()f x 满足0()()2f a x f a x y -++=及

0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠，则()f x 是以2a b -为周期的周期函数.

C6.

C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系

1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,

函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以

2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.

2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数

x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以

4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.

3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.

4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.

5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足

()()

f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数. 6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足

()()

f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. 7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足

()()

f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. 8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足

()()

f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数. 【拓展】：

1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称.

2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图像关于点(,0)a 对称.

3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .

4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数

)(x f y =的图像关于点(

,)22

a b c

+对称.

C8.关于奇偶性与单调性的关系.

① 如果奇函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间

(),0-∞上也是递增的;

② 如果偶函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间

(),0-∞上是递减的;

【思考】：结论推导

C 9.几何体中数量运算导出结论

数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体(,,)a b c 中：

①体对角线长为222c b a ++，外接球直径2R = ②棱长总和为4()a b c ++；

③全(表)面积为2()ab bc ca ++，体积V abc =；

④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则有

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2.

⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1.

2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与

底面所成角相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.

3.在正四面体中：设棱长为a ，则正四面体中的一些数量关系：

①全面积2S =

；②体积312

V =

；③对棱间的距离2

d =

；

④相邻面所成二面角1

arccos α=

；⑤外接球半径4

R a =

；⑥内切球半径12

r =；

⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3

h =.

4.在立方体中：

设正方体的棱长为a ，则

①体对角线长为a 3，②全面积为26a ，③体积3

V a =，④内切球半径为1r ,外接球半

径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则

12r a =

,22r

,22r =,

且1231r r r =::【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.

5.在球体中：

球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．

球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r

之间的关系是r =掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：

⑴计算线段AB 的长；⑵计算球心角AOB ∠的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB 的长.

【注】：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.

【补充】：一、四面体．

1．对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：

①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心； ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；

③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；

④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°．

2．直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形．（在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2

△ACD ． 3．等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形．根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体．

（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有

①等腰四面体的体积可表示为2

22312

22222222c b a b a c a c b V -+?-+?-+=；

②等腰四面体的外接球半径可表示为2224

2c b a R ++=

；

③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为2223

2c b a m ++=

；

④h = 4r ．

二、空间正余弦定理．

空间正弦定理：sin ∠ABD/sin ∠A-BC-D=sin ∠ABC/sin ∠A-BD-C=sin ∠CBD/sin ∠

C-BA-D

空间余弦定理：cos ∠ABD=cos ∠ABCcos ∠CBD+sin ∠ABCsin ∠CBDcos ∠A-BC-D

6.直角四面体的性质：

在直角四面体O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则 ⑴底面三角形ABC 为锐角三角形；

⑵直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；

⑶2

BOC BHC ABC S S S ???=?； ⑷2222

AOB BOC COA ABC S S S S ????++=；

⑸

1111

；

⑹外接球半径R=R 7. 球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．

(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．

(3)球与正四面体的组合体:

棱长为a

, ．

C10.圆锥曲线几何性质

如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定

asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆

C D

理等几何性质的应用.

椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,

2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+

双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线

以无轨迹

方程为双曲线

21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-

圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹．简言之就是 “e =点点距点线距

（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统

一）如右图.

当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；

当0=e 时，轨迹为圆（a

e =，当b a c ==,0时）．

圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其

中c e a =，椭圆中b a =b a

圆锥曲线的焦半径公式如下图：

特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.

C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）. 1.平移变换

向量平移法则：

()y f x =按,a h k =()平移得()y f x h k =-+，即(),0F x y =按,a h k =()平移得(),0F x h y k --=，当0m >时，向右平移，0m <时，向左平移.当0n >时，向上平移，0

n <时向下平移.对于“从()y f x =到()y f x h k =-+”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“,a h k =()”是“左负右正，上正下负”. 【小结】：“按向量平移”的几个结论

①点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移后得到点'

(,)P x h y k ++.

②函数()y f x =的图像C 按向量(,)a h k =平移后得到图像'

C ，则'

C 的函数解析式为()y f x h k =-+.

③图像'

C 按向量(,)a h k =平移后得到图像C ，若C 的解析式()y f x =，则'

C 的函

d (a -

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09(解析版)

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09 数学试题I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上． 1. 函数y ＝x －1的定义域为A ，函数y ＝lg(2－x)的定义域为B ，则A∩B ＝____________．答案：[1，2) 解析：易知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，A∩B ＝[1，2)． 2. 已知????1＋2 i 2 ＝a ＋bi(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________．答案：－7 解析：∵ 2i ＝－2i ，∴ (1＋2 i )2＝(1－2i)2＝－3－4i ，∴ a ＝－3，b ＝－4，a ＋b ＝－7. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2 m ＝1的一个焦点为(5，0)，则实数m ＝________．答案：16 解析：由题知a 2＋b 2＝9＋m ＝25，∴ m ＝16. 4. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为________． (第4题) 答案：32 解析：[6，10]内的频数为100×0.08×4＝32. 5. “φ＝π 2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称”的__________条件．答案：充分不必要

解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2)＝cosx 为偶函数，当y ＝sin(x ＋φ)为偶函数时，φ＝kπ＋π 2， 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝________．答案：39 解析：由题设知a 1＝－1，a 2＋a 3＝7，从而d ＝3，从而a 6＝－1＋5d ＝14，S 6＝(－1＋14)×6 2＝39. 7. 函数y ＝ 1 lnx (x≥e)的值域是________．答案：(0，1] 解析：y ＝ 1 lnx 为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1] 8. 执行下面的程序图，那么输出n 的值为____________．答案：6 解析：由题知流程图执行如下：第1次 ?????n ＝2，S ＝1，第2次 ?????n ＝3，S ＝3，第3次 ?????n ＝4，S ＝7，第4次 ?????n ＝5，S ＝15，第5次 ? ????n ＝6， S ＝31.停止输出n ＝6. (第8题) 9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取1个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取1个数记为b ，则“a b 是整数”的概率为____________．答案：13 解析：由题设可求出基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．

高考数学选择题常考考点专练3

高考数学选择题常考考点专练3 21．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直线的斜率为（） A ．4 B ． 4 1 C ．－4 D ．－14 【标准答案】 A. 解析：依题意，∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，设公差为d ，则d=4，又43 443 PQ a a k d -===- 22．直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝2，侧棱AA 1=1,则该三棱柱的外接球的表面积为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π 【标准答案】B 解析：由于直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC —A 1B 1C1 补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为3，表面积为3π. 23. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（） A ．a 2 + a 15 B ． a 2·a 15 C ．a 2 + a 9 +a 16 D ． a 2·a 9·a 16 【标准答案】解析：∵ 17S = 2 ) (17171a a +为一确定常数， ∴ 1a + 17a 为一确定常数，又1a + 17a = 2a + 16a = 29a ， ∴2a + 16a 及9a 为一确定常数，故选C 。说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质m a + n a =p a + q a ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。 24 (理科)记二项式（1+2x ）n 展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则 23lim n n n n n b a b a →∞-+等于（） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在【标准答案】

江苏省高中数学知识点大全

数学必修一知识点大全一．集合 1．集合的表示：描述法、列举法理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；如： ①已知集合}23|{},1lg |{2x x y y B x x A --==<=，则B A = ； ② 设集合},5|{},73|{>=<<∈=x x B x N x A 则B A = ； 2．子、交、并、补运算：数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具如： ③集合}042|{},032|{2 2 2 ≤-+-=≤--=m mx x x B x x x A （1）若]3,0[=?B A ，求实数m 的值；（2）若B C A R ?，求实数m 的取值范围。 3．含n 个元素的集合的子集数为n 2,真子集数为12-n 4．B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况。如： ④设}1|{},0232|{2===--=ax x Q x x x P ，若P Q ?，则实数a 为：；

二．函数概念及基本初等函数： 1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母0≠; 偶次根式被开方数非负; 对数真数0>,底数0>且1≠；零指数幂的底数0≠；实际问题有意义；如:（2009江西卷文）函数y =的定义域为: ; ②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域）（1）利用基本初等函数的值域：如函数1 31 -=x y 的值域是：（2）二次函数配方法：如223x x y +-= 的值域是______________. （3）利用函数单调性：如函数x x y 1 -=在]2,1[上的值域是_______________

2013年江苏高考数学模拟试卷(五).

O A B 1 y x 第9题图 2013年江苏高考数学模拟试卷（五）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．复数111z i i =+++在复平面上对应的点的坐标是． 2．已知集合 121,A x -?? =???? ，{}0,1,2B =，若A B ?，则x = ． 3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18，20．若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为． 4．函数32()43f x x x =-- 在[1,3]-上的最大值为． 5．袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”， “9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是． 6．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上，且其一边经过C 的焦点，则双曲线C 的离心率是． 7．已知函数()()()lg 10x x f x a b a b =->>>，且221a b =+，则不等式()0f x >的解集是． 8．已知四点()0,0,(,1),(2,3),(6,)O A t B C t ，其中t R ∈．若四边形O A C B 是平行四边形，且点(),P x y 在其内部及其边界上，则2y x -的最小值是． 9．函数π π2sin 4 2y x ??= - ? ??的部分图象如右图所示，则() OA OB AB +?= ． 10．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是． 11．对于问题：“已知两个正数,x y 满足2x y +=，求 14x y +的最小值”，给出如下一种解法： 2x y += ，()1411414( )(5)2 2 y x x y x y x y x y ∴ +=++ = + +， 440,0,2 4y x y x x y x y x y >>∴ + ≥?= ，1419(54)22x y ∴+≥+=，

江苏省高考数学试卷.doc

2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上． 1．（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为． 2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为． 3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为． 4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集． 5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为． 6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为． 7．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为． 8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：

V2=． 9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是． 10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若 =λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为． 11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞ 0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为． 14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；

考点18 函数y=Asin(ωx φ)的图像-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)

考点18 函数y=Asin（ωx+φ）的图像 1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则以函数与的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________________．【★答案★】【解析】解：函数的图象向右平移个单位得到函数＝，如下图所示，点坐标为，之间为一个周期：所以，三角形的面积为：故★答案★为： 2．（江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试）将函数的图像向左平移()个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则＝_______．【★答案★】【解析】将函数的图象向左平移φ（）个单位弧，可得y=5sin（2x+2φ+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2?+2φ+=kπ+，求得φ=﹣，k∈Z，令k=1，可得φ=，故★答案★为：．

3．（江苏省南通市2019届高考数学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为______ 【★答案★】【解析】由题意得，将函数的图象向右平移个单位，得的图象，所以． 4．（江苏省扬州树人学校2019届高三模拟考试四）若将函数（）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，则 __________．【★答案★】. 【解析】分析：先求得平移后图象对应的解析式，然后再根据函数为奇函数求得．详解：将函数的图象向左平移个单位所得到的图象对应的解析式为由题意得函数为奇函数， ∴， ∴，又， ∴ ．点睛：关于三角函数的奇偶性有以下结论： ①函数y ＝A sin ωx 是奇函数，y ＝A cos ωx 是偶函数． ②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)． ③若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)． 5．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π? ? =+ ?? ?

2020年江苏省高考数学模拟试卷及答案

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2．设i 是虚数单位，若复数i i z 23-= ，则z 的虚部为． 3．执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是． 4．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23 π 的终边上，且2OP =，则点P 的坐标为． 5．某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中的概率是． 6．函数128 1 --= x y 的定义域为． 7．在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8．已知53sin - =θ，2 3πθπ<<，则=θ2tan ． 9．已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2 21x y m +=的离心率是． 10．若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B A tan 3 tan 2- 的最小值为． 12．已知圆C ：1)2()2(2 2 =-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，?=∠90DAB ，1==DC AD ， AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是． 14．已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1 ()()2f t f t +=-，则2 2 4a b +的最小值为．（第3题）

高考文科数学重要考点大全

高考文科数学重要考点大全一考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数一次和二次函数、指数、对数、幂函数的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。考点三：三角函数与平面向量一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量

2016届江苏省高考数学试卷解析版

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2016?江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=______．2．（5分）（2016?江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是______．3．（5分）（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）（2016?江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______． 5．（5分）（2016?江苏）函数y=的定义域是______． 6．（5分）（2016?江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______． 7．（5分）（2016?江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）（2016?江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______． 9．（5分）（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．

10．（5分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______． 11．（5分）（2016?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）（2016?江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是 ______． 13．（5分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，?=4，?=﹣1，则?的值是______． 14．（5分）（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．

2011年江苏省高考数学试卷加解析

2011年江苏省高考数学试卷

2011年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2011?江苏）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________． 2．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________． 3．（5分）（2011?江苏）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________． 4．（5分）（2011?江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________． 5．（5分）（2011?江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _________． 6．（5分）（2011?江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= _________． 7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为_________． 8．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_________． 9．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）=_________． 10．（5分）（2011?江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则实数k的值为_________．

11．（5分）（2011?江苏）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 _________． 12．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________． 13．（5分）（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________． 14．（5分）（2011?江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是_________．二、解答题（共9小题，满分120分） 15．（14分）（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值． 16．（14分）（2011?江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD． 17．（14分）（2011?江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

2013年江苏高考数学模拟试卷(二)

2013年江苏高考数学模拟试卷（二）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 集合 } ,30{R x x x A ∈≤<=， } ,21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A ． 2. 已知z C ∈，且(z+2)(1+i)=2i,则=z . 3. 在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a . 4. 已知2 , 3==b a . 若3-=?b a ，则a 与b 夹角的大小为 . 5. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小 6. 右面伪代码的输出结果为 . 7. cos103sin10 += . 8. 已知函数 2()f x x x =-，若 2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是 . 9. 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径 Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R = cm . 10．若方程ln +2-10=0x x 的解为0x ，则不小于0x 的最小整数是 . 11. 若动直线1=+by ax 过点),(a b A ，以坐标原点O 为圆心，OA 为半径作圆，则其中最小圆的面积为 . 0．0．S← 1 For I from 1 to 9 step 20 S←S + I End for Print S

12．已知函数 4)(x ax x f -=， ] 1,2 1[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率k 总满足421 ≤≤k ，则实数a 的值是 . 13. 在平行四边形ABCD 中， 3 π= ∠A ，边AB 、AD 的长分别为2, 1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足| || |CD BC = ，则?的取值范围是 . 14．椭圆2 221(5 x y a a +=为定值，且a >的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ?的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15. （本小题满分14分）已知函数 ()sin()cos sin cos() 2 f x x x x x π π=+--，（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ?中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3 BC B π== ,求AC 边的长. 16. （本小题满分14分）如图，在三棱柱 111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，AC BC =， ,,,M N P Q 分别是1111,,,AA BB AB B C 的中点．（1）求证:平面1PCC ⊥平面MNQ ；（2）求证:1 //PC 平面MNQ . A 1 C M N Q B 1 C 1

2020年艺考生高考数学知识点训练题库A部分

2020 年全国卷1 卷高考数学艺考生复习大纲基础点整理 A 部分（集训题目）课题:___ 数学___ 目标: ______________ 姓名: ______________

学校: ______________

① 集合，高考 5 分考点：交集，并集，补集，子集【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【终极小测摸底细】来源:Z#xx#https://www.sodocs.net/doc/0616078685.html,] 1. 【课本典型习题改编】当 ɑ-1=0 时，设集合 A x( x a)(x 3) 0,a R ， B x (x 4)(x 1) 0 ，求 A B ， A B ． 2. 【 2018 高考新课标 1 押题】设集合 A x x 2 4x 3 0 已知集合 xx 2 ，B xx a ，若 A B A ，则实数 a 的取值范围为 4.【基础经典试题】设 U R,A xx 0,B xx -1，则 A (C U B) ( ) C 中的元素的非空子集个数为 ( ) 个。 ,B= x 2x 3 0 ,, 则 3. 【深圳高三质检卷改编】 A ． B ．R C xx 0 D ． 0 5.【改编自 2017 年江西模拟】若集合 A x3 x 0 ,B 1,2,3,4 ,C A B, ，则集合 A ) D ) 3 2

2014年江苏省高考数学试卷答案与解析

2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．

9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．

江苏高考数学模拟试卷

2013年江苏高考数学模拟试卷（六）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z = ． 2．“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一). 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→ BC ＝1，则BC ＝． 4．一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次，如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为． 5．为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ，则键盘输入x 的值应该为． 6．如图，直线与圆12 2 =+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点，若点1P 的横坐标为 3 5，∠21OP P =3 π，则点2P 的横坐标为． 7．已知不等式组???? ? x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小值时的k 的值为． 8．若关于x 的方程2 －|x | －x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是． 9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为：1，该长方体的最大体积是___ _____． 10．直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则22(1)k m +的最小值为． 11．已知双曲线122 22=-b y a x （)0,1>>b a 的焦距为c 2，离心率为e ，若点(-1,0)和(1,0)到直 Read x If x <0 Then y =(x +1)(x +1) Else y =(x-1)(x -1) End If Print y End

高考数学知识点复习测试题8-

高考数学知识点复习测试题(附参考答案) 一元二次不等式及其解法 ★ 知识梳理 ★ 一.解不等式的有关理论（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3）解不等式时应进行同解变形；（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 解一元二次不等式的基本步骤：整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式；（3）计算ac b 42-=? （4）结合二次函数的图象特征写出解集。高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解； ★ 重难点突破 ★ 1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。 2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式 3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式. (1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11 log 2 <-x ax 点拨:11 log 2<-x ax Θ ∴<-<012ax x 由ax x ->10得：x <0或x >1 ()[]()ax x x a x x -+-<-+-<22102210，讨论：（1）当a =2时，得x <0 （2）当a >2时，--<<220a x / （3）当02< 22 或x <0 综上所述，所求的解为:当a =2时，解集为{}x x |<0 当a >2时,解集为??????<<-- 022|x a x . 当02<022|x a x x 或12/ (2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++=当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x Y 当，求)(x f 的解析式；点拨:据题意：6,221=-=x x 是方程02322=-++a b x a ax 的两根