反三角函数
第二章 三角、反三角函数
一、考纲要求
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。
5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图，理解A 、w 、?的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。
7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。
8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。
9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构
1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角：2k π＜α＜2k π+2
π
,k ∈Z 第二象限角：2k π+
2
π
＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+2
3π
,k ∈Z
第四象限角：2k π+2
3π
＜α＜2k π+2π,k ∈Z
(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k 2360°+α，k ∈Z 。
(5)特殊角的集合：
终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝
2
π
k ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π
，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π
，k ∈Z ｝
终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4
π
，k ∈Z ｝
2.弧度制：
(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化： 1°＝
180
π
弧度，1弧度＝(
π
180
)°
(3)两个公式：(R 为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。 弧长公式：l=｜α｜R
扇形面积公式：S=
21lR=2
1｜α｜R 2
3.周期函数：
(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。
(2)几个常见结论：
①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k ∈Z ，且k ≠0)
也是y=f(x)的周期。 (1)
②如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么
ω
T
也是y=f(wx)(w ≠0)的周期。 ③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c 。 4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x ，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO ｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin α=r
y ,cos α=r x
,tg α
=
y r ,ctg α=y x ,Sec α=r x ,csc α=r
y
(如图(1))。 (2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))
(3)同角三角函数的基本关系式：
倒数关系：sin α2csc α=1,cos α2sec α=1,tg α2ctg α=1 商数关系：tg α=
ααcos sin ,ctg α=α
α
sin cos 平方关系：sin 2
α+cos 2
α=1,1+tg 2
α=sec 2
α,1+ctg 2
α=csc 2
α
(4)诱导公式：
α
2k π+α
-α
π-α
π+α
2π-α 2
π
-α 2
π
+α 正弦 sin α -sin α sin α -sin α -sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α -cos α -cos α cos α sin α -sin α 正切 tg α -tg α -tg α tg α -tg α ctg α -ctg α 余切 ctg α -ctg α -ctg α ctg α -ctg α
tg α
-tg α
上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。 5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：
如图(3)，sin α=MP,cos α=OM,tg α=AT,ctg α=BS
(2)三角函数的图像和性质： 函数 y=sinx y=cosx
y=tgx y=ctgx 图象
定义域
R
R
｛x ｜x ∈R 且x ≠k π+2
π
,k ∈Z ｝
｛x ｜x ∈R 且x ≠k π,k ∈Z ｝
值域
［-1，1］x=2k π+
2
π
时y max =1 x=2k π-2
π
时y min =-1
［-1,1］ x=2k π时y max
=1
x=2k π+π时y min =-1
R 无最大值 无最小值
R 无最大值 无最小值
周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2k π-2π,2k π+2
π
］
上都是增函数；在［2k π+2π ,2k π+3
2
π］上都是减函数(k ∈Z)
在［2k π-π，2k π］上都是增函数；在［2k π，
2k π+π］上都是减函数(k ∈Z)
在(k π-2
π
，k π+
2
π
)内都是增函数(k ∈Z)
在(k π，k π+π)内都是减函数(k ∈Z)
7.函数y=Asin(wx+?)的图像：
函数y=Asin(wx+?)的图像可以通过下列两种方式得到： ?＞0，图像左移?
(1)y=sinx y=sin(x+?) ?＜0，图像右移｜?｜ w ＞1，横坐标缩短为原来的
w
1倍 y=sin(wx+?)
0＜w ＜1，横坐标伸长为原来的
w
1倍 A ＞1，纵坐标伸长为原来的A 倍
y=Asin(wx+?) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来的A 倍 w ＞1,横坐标缩短为原来的
w 1倍 (2)y=sinx 0＜w ＜1,横坐标伸长为原来的w
1倍 ?＞0，图像左移w
? y=sin(wx)
?＜0,图像右移
w
? A ＞1，纵坐标伸长为原来A 倍
y=sin(wx+?) y=Asin(wx+?) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来A 倍
8.两角和与差的三角函数： (1)常用公式：
两角和与差的公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β， tg(α±β)=
β
αβ
αtg tg tg tg 1±
倍角公式：
sin2α=2sin αcos α，
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2
α， tg2α=
α
α
2
12tg tg -. 半角公式：
sin
2α=±2
cos 1α
-, cos 2α=±
2
cos 1α
+, tg 2
α=±ααcos 1cos 1+-=ααcos 1sin +=α
α
sin cos 1-.
积化和差公式：
sin αcos β=21
〔sin(α+β)+sin(α-β)〕, cos αsin β=21
〔sin(α+β)-sin(α-β)〕
cos αcos β=21
〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,
sin αsin β=-2
1
〔cos(α+β)-cos(α-β)〕
和差化积公式： sin α+sin β=2sin
2β
α+cos
2β
α-,
sin α-sin β=2cos 2βα+sin 2β
α-
cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2β
α- ,
cos α-cos β=-2sin 2βα+sin 2
β
α-
万能公式：
sin α=
2
12
22α
α
tg
tg
+，cos α=
2
12122
α
αtg
tg +-,tg α=2
12
22α
α
tg
tg -
(2)各公式间的内在联系：
(3)应注意的几个问题：
①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。 ②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。
③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。 ④常具的变形公式有：cos α=ααsin 22sin ,sin 2α=22cos 1α-,cos 2
α=2
2cos 1α+,tg α+tg
β＝tg(α+β)(1-tg αtg β).
⑤asin α+bcos α=2
2
b a +sin(α+?).(其中?所在位置由a ，b 的符号确定，?的值由tg ?=
a
b
确定)。 9.解斜三角形：
在解三角形时，常用定理及公式如下表： 名称 公式 变形
内角和定理
A+B+C=π
2A +2B ＝2π-2
C
，2A+2B ＝2π-C 余弦定理
a 2=
b 2+
c 2
-2bccosA
b 2=a 2+
c 2
-2accosB c 2=a 2+b 2
-2abcosC
cosA=bc a c b 22
22-+
cosB=ac b c a 22
22-+
cosC ab
c b a 22
22-+
正弦定理
A a sin =
B b sin =C
c
sin =2R R 为ΔABC 的外接圆半径
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=
R a 2,sinB=R a 2,sinC=R
c 2 射影定理
acosB+bcosA=c acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a
面积公式
①S Δ=
21ah a =21bh b =21
ch c ②S =1absinC=1acsinB=1
bcsinA
sinA=
ab S ?
2 sinB=S ?2
③S Δ=R
abc
4 ④S
Δ
=
c)-b)(P -a)(P -P(P (P=
2
1 (a+b+c)) ⑤S Δ=
2
1
(a+b+c)r (r 为ΔABC 内切圆半径)
sinC=
ab
S ?
2 10.反三角函数： 名称 反正弦函数 反余弦函数
反正切函数
反余切函数 定义
y=sinx(x ∈〔-2π,2
π
〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=cosx(x ∈〔0,
π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记
作x=arccosy
y=tgx(x ∈(-2
π
,
2π
)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctgy
y=ctgx(x ∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy 理解
arcsinx 表示属
于［-
2π,2
π］ 且正弦值等于x 的角 arccosx 表示属于［0，π］，且余弦值等于x 的角
arctgx 表示属于(-2π,2π
)，且正切值等于x 的角
arcctgx 表示属
于(0，π)且余切值等于x 的角 图像
性质 定义域 ［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域
［-
2π，2π］ ［0，π］
(-
2π，2
π) (0，π) 单调性 在〔-1，1〕上是
增函数
在［-1，1］上是减函数 在(-∞，+∞)上是增数
在(-∞，+∞)上是减函数
奇偶性
arcsin(-x)=-arc
sinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctg(-x)=-arctgx arcctg(-x)=π-arcctgx 周期性
都不是同期函数
恒等式 sin(arcsinx)=x(x ∈［-1，1］)arcsin(sinx
)=x(x ∈
［-2π,2
π
］) cos(arccosx)=x(x ∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x ∈［0,π］) tg(arctgx)=x(x ∈R)arctg(tgx)=x （x ∈(-2π,2
π
)） ctg(arcctg x)=x(x ∈R) arcctg(ctgx)=x (x ∈(0,π))
互余恒等式
arcsinx+arccosx=
2
π
(x ∈［-1,1］) arctgx+arcctgx=
2
π
(X ∈R)
11.三角方程：
(1) 最简单三角方程的解集：
方程
方程的解集
sinx=a ｜a ｜＞1
Φ
｜a ｜=1
｛x ｜x=2k π+arcsina,k ∈z ｝
cosx=a ｜a ｜＞1 Φ
｜a ｜=1 ｛x ｜x=2k π+arccosa,k ∈z ｝
｜a ｜＜1 ｛x ｜x=2k π±arccosa,k ∈z tgx=a ｛x ｜x=k π+arctga,k ∈z ｝ ctgx=a ｛x ｜x=k π+arcctga,k ∈z ｝
(2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。 三、知识点、能力点提示
三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。
下面对常见考点作简单分析：
1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。
2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。
3.三角函数性质的考查 (1)定义域和值域： (2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的问题，如：设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=( )
(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。
4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。
5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。
6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。
进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路： 1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。 2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同名。
3.常数的变换：常用方式有1=sin 2
α+cos 2
α=sec 2
α-tg 2
α=tg
4π,23=sin 3
π等。 4.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。
5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等
6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。
7.综合运用上述各种方式。 例1 sin600°的值是( )
A.
21. B.- 2
1
C. 23
D.- 23
解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°
=sin(180°+60°)=-sin60°
=-2
3 ∴应选D.
例2 已知sin θ+cos θ=
5
1
,θ∈(0,π),则ctg θ的值是_______.
解:sin θ+cos θ=
51?(sin θ+cos θ)2=(51)2?sin θ2cos θ=-25
12. ∴sin θ和cos θ是方程t 2-51t-25
12=0,即方程25t 2
-5t-12=0的两根.
25t 2
-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t 1=54,t 2=-5
3.
∵θ∈(0.π) ?sin θ＞0.
∴sin θ=54 ,从而cos θ=-53
,
∴ctg θ=θθsin cos .=-43
.
应填-4
3 .
例3 tg20°+tg40°+3tg20°2tg40°的值是_______.
解：∵3=tg60°=tg(20°+40°)=
40
2014020tg tg tg tg -+, ∴tg20°+tg40°=3 (1-tg20°2tg40°).
∴原式=3(1-tg20°2tg40°)+ 3 tg20°2tg40°).
=3 应填3. 例4 求值：cos
85π2cos 8π
=________. 解：cos
85π2cos 8
π
=21(cos 4
3π+cos 2π)=2
1
(-22+0)=-42.
例5 关于函数f(x)=4sin(2x+
3
π
) (x ∈R),有下列命题： ①由f(x 1)=f(x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍； ②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-6
π
)； ③y=f(x)的图像关于点(-
6π
,0)对称； ④y=f(x)的图像关于直线x=-6
π
对称；
其中正确命题的序号是___________. (注：把你认为正确的命题序号都填上) 解：分别讨论四个命题.
①令4sin(2x+3π)=0,得2x+3π=k π (k ∈Z),x=2πk -6
π (k ∈Z),设
x 1=21πk -6π,x 2=22πk -6
π
,k 1≠k 2,k 1,k 2∈Z,
则f(x 1)=f(x 2)=0, 但x 1-x 2=
2
π
(k 1-k 2),当k 1-k 2为奇数时，x 1-x 2不是π的整数倍
②y=f(x)=4sin(2x+3π)=4cos ［2π-(2x+3π)］=4cos(-2x+6π)=4cos(2x-6
π) ∵命题②正确 ③根据
2x+
3
π 0 2π
π
23π 2π
X -
6
π 12
π 6
2π 12
7π 6
5π Y
4
-4
作出y=f(x)=4sin(2x+
3
π
)的草图，如图
由图知，f(x)的图像关于点(-6
π
，0)对称，
∴命题③正确
④由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-6
π
对称 ∴命题④不正确 应填②、③ 例6 函数y=sin(x-
6
π
)2cosx 的最小值是_______. 解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式)，得
y=
21［sin(2x-6π)］+sin(-6π
)］ =21 sin(2x-6π)-4
1. ∵sin(2x-6π
)∈［-1,1］,
∴y min =-43
.
应填-4
3.
例7 y=x
2cos x
cos cos3x x sin sin3x 233?+? +sin2x,则y 的最小值是_____.
解：利用3倍公式：
sin3x=3sinx-4sin 3x,cos3x=4cos 3
x-3cosx.
y=x
2cos x 3cosx )cos -x (4cos x sin x )4sin -(3sinx 2
3333+?+sin2x =x
2cos x 3cos -x 4cos x 4sin -x 3sin 24664++sin2x
=x
2cos x )sin -x 4(cos x )cos -x 3(sin 2
6644++sin2x =x
2cos x )x sin cos -x )(1sin -x 4(cos x )cos -x 3(sin 2
22222
2++sin2x =x
2cos x xcos xcos 4sin -4cos2x 3cos2x -2222++sin2x
2x sin -12
=cos2x+sin2x =2sin(2x+
4
π) ∴y min =-2.
应填-2
例8 在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA 2sinB( )
A.有最大值
21
和最小值0 B.有最大值2
1
但无最小值
C.既无最大值也无最小值
D.有最大值1但无最小值 解：∵A+B=
2
π. ∴sinA 2sinB=sinA 2cosA=2
1
sin2A, A ∈(0,
2
π
)?2A ∈(0,π) ∴sinAcosA 有最大值2
1
但无最小值.
应选B.
例9 求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2
的最大值 解：∵2sinxcosx=sin2x,sin 2
x+cos 2
x=1,cos 2
x=2
cos2x
1+ ∴y=sin 2
x+2sinxcosx+3cos 2x
=(sin 2x+cos 2x)+2sinxcosx+2cos 2
x =1+sin2x+22
2
cos2x
1+ =sin2x+cos2x+2 =2(sin2x 2cos 4π+cos2x 2sin 4
π
)+2 =2 sin(2x+4
π
)+2 ∴当2x+
4π=2π
+2k π时,y max =2+2 即x=8
π
+K π(K ∈Z)，y 的最大值为2+2
例10 已知α是第三象限角，且sin α=-2524则tg 2
α
=( ) A.34 B.43 C.- 43 D.- 3
4 解：∵sin α=
2
1222
ααtg tg
+,sin α=-2524,
∴-
25
24=212
22α
α
tg
tg
+.
化简得12tg 2
2α+25tg 2α +12=0，
即(4tg 2α+3)(3tg 2α
+4)=0.
解出tg 2α =-43,tg 2α =-34
.
又已知α是第三象限角，即α∈(π+2k π，
2
3π
+2k π)， ∴2α∈2π+k π，4
3π+k π)，
∴tg 2α
∈(-∞，-1)，
∴tg 2α =-34 (舍去tg 2α
=-1).
应选D.
例11 sin 2
20°+cos 2
80°+3sin20°2cos80°=___________. 解：sina 2
20°+cos 2
80°+3sin20°2cos80°
=2cos40-1 +2
cos1601 ++2322sin20°2cos80°
=1-2
1
(cos40°+cos20°)+ 23 (sin100°-sin60°)
=1-cos30°cos10°+23 cos10°-4
3
=41 应填4
1.
例12 求sin 2
20°+cos 2
50°＋sin20°2cos50°的值_____________.
解:sin 220°+cos 2
50°+sin20°cos50°
=sin 220°+sin 2
40°+sin20°sin40°
=(sin20°+sin40°) 2
-sin20°sin40° =(2sin30°cos10°) 2
+
2
1
(cos60°-cos20°) =2120cos + +21 (21-cos20°)
=43 应填4
3.
例13 tg20°+4sin20°=________. 解：tg20°+4sin20°
=
?
?
?+?20cos cos204sin20sin20
=?
?+?20cos 2sin40sin20
=?
?+?+?20cos sin40)sin40(sin20
=??+?20cos sin40cos10
=??+?20cos sin40sin80
=??20cos 20cos 3
=3.
例14 cos 2
75°＋cos 2
15°＋cos75°2cos15°的值等于( ) A.
26 B.23 C. 4
5
D.1+43
解：cos 2
75°+cos 2
15°＋cos75°cos15°
=(sin 2
15°+cos 2
15°)+2
1
sin15° =1+4
1 =
4
5. 应选C.
例15 已知ctg
2θ
=3,则cos θ=_________. 解：由已知有tg 2θ=3
1
.
∴cos θ=
2
1212
2
θ
θ
tg tg +-=911911+-=54. 例16 已知tgA+ctgA=m,则sin2A___________.
解：tgA+ctgA=m ?tg 2
A+1=mtgA ∴sin2A=
A tg 122+tgA =mtgA 2tgA =m
2
.
例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b. (1)b ≠0时，求tg3A 的值(用a 、b 表示)；
(2)求(1+2cos2A)2
（用a 、b 表示）. 解：(1)利用和差化积公式可得： a=sin3A(1+2cos2A), b=cos3A(1+2cos2A), ∴tg3A=
b
a . (2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2
∴(1+2cos2A) 2
=
ab
2.
又sin6A=3A
tg 1322+A tg =
2)
(12b
a b a
+?
=222b a ab +, ∴(1+2cos2A)2=2
222b a ab ab +=a 2+b 2
.
例18 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )
A.arcos
215- B.arcsin 21
5- C.arccos 251- D.arcsin 2
5
1-
解：不妨设此直角三角形三内角为A 、B 、C 且A ＜B ＜C=90°.
由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比数列，
∴sin 2
B=sinA
又A+B=90°，得sinB=cosA,
∴cos 2A=sinA,1-sin 2
A=sinA ，
即sin 2
A+sinA-1=0.
解出sinA=
251+- (舍去sinA=25
1--) ∴A=arcsin 2
1
5- ,
应选B.
例19 如图，若sin 2x ＞cos 2
x ，则x 的取值范围是( ). A. ｛x ｜2k π-
43π＜x ＜2k π+4π
,k ∈Z ｝ B. ｛x ｜2k π+4
π＜x ＜2k π+45π
,k ∈Z ｝
C. ｛x ｜k π-4π＜x ＜k π+4π
,k ∈Z ｝ D. ｛x ｜k π+4
π＜x ＜k π+43π
,k ∈Z ＝
解：由于sin 2
x 和cos 2
x 的周期都是π，故可先研究在［0,π］上不等式的解.
在同一坐标系在区间［0，π］上作出sinx 和cosx 的图像.
把［
2π，π］的cosx 的图像沿x 轴上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x 1=4
π,x 2＝43.
∴在(4
π+2k π，43π+2k π)上有sin 2x ＞cos 2
x.
应选D.
例20 下列四个命题中的假命题是( ) A.存在这样的α和β的值，使得
cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β B.不存在无穷多个α和β的值，使得 cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β C.对于任意的α和β，使得
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β D.不存在这样的α和β的值，使得
解：C 是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D 也正确. 对于A ，取α=β=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A 正确.
对于B ，取α=β=2k π，k ∈Z ，则cos(2k π+cos2k π)=cos2k πcos2k π+sin2k πsin2k π,
∴B.不正确. 应选B.
例21 解不等式(arctgx) 2
-3arctgx+2＞0. 解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0. ∴arctgx ＜1或arctgx ＞2.
又-2π＜arctgx ＜2π . ∴-2
π
＜arctgx ＜1,即有-∞＜x ＜tg1.
例22 满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是( )
A.［-1,-
21］ B.［-21
,0］ C.［0, 21 ］ D.［2
1
,1］
解：反余弦函数的定义域为［-1,1］,且为减函数.
-1≤1-x ≤1 ∴ -1≤x ≤1 ?2
1
≤x ≤1 1-x ≤x 应选D.
例23 已知cos2α=
257,α∈(0,2π),sin β=-13
5,β∈(π, 23π ) 求α+β(用反三角函数表示).
解：由题设得sin α=2cos -12α=53,从而cos α=54,且cos β=-13
12
又α+β∈(π,2π) (α+β-π)∈(0,π),
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-6533
. ∴cos(α+β-π)=cos 〔π-(α+β)〕=-65
33
. ∴-π+(α+β)=arccos 6533
即α+β=π+arccos 6533
例24 记函数y=x
1
的图像为l 1，y=arctgx 的图像为l 2，那么l 1和l 2的交点个数是( )
A.无穷多个
B.2个
C.1个
D.0个 解：作出函数草图可知有2个交点. 又x:0→
2
π时,arctgx:0→+∞, x 1
:+∞→0.
∴x ＞0时，l 1和l 2有一个交点. 又arctgx 和
x
1
都是奇函数， ∴x ＜0时，l 和l 也有一个交点.
四、能力训练
1.设M ＝｛第一像限角｝，N ＝｛小于90°角｝，则M ∩N 是( )
(A)｛第一像限角｝ (B)｛锐角｝ (C)｛小于90°角｝ (D)非以上答案
(考查象限角的概念)
2.扇形圆心角为60°，半径为a ，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( ) (A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9
(考查扇形面积公式) 3.θ是第四象限角，且｜cos
2θ｜＝cos 2θ，则2
θ
在( ) (A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限
(考查象限角与三角函数值的符号)
4.sin 21°+sin 22°+…+sin 2
90°的值属于区间( )
(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）
(考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)
5.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x ＞0)，则sin
α(sin α+ctg α)+cos 2
α的值是( )
(A)
51 (B) 52 (C) 58 (D) 5
9 (考查三角函数定义和直线方程)
6.己知0＜a ＜1，4π＜α＜2
π，则下列元数M=(sin α)logasin α,N=(cos α)log αcos α
,P=(cos α)
logasin α
的大小关系是( )
(A)M ＞N ＞P (B)M ＞P ＞N (C)M ＜N ＜P (D)M ＜P ＜N
(考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)
7.若f(sinx)=sin3x,则cos3x 等于( )
(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)
(考查诱导公式与函数解析式)
8.方程sinx=lgx 的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错
(考查三角函数与对数函数的图像)
9.函数y=sin(2x+
2
5π
)的图像中的一条对称轴方程是( ) (A)x=-4π (B)x=-2π (C)x=8
π (D)x=45π
(考查三角函数图像的特征)
10.如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像，
那么f(x)的解析式可以写成( ) (A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x) (C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x)
(考查三角函数的图像与解析式)
11.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( ) (A)它的定义域是［-1，1］ (B)它是奇函数 (C)y ∈［cos1,1］ (D)不是周期函数
(考查三角函数有关性质及弧度制) 12.函数y=tg
2x -sinx
1的最小正周期是( )
(A)
2
π (B)π (C) 23π (D)2π
(考查三角函数的周期和恒等变形)
13.函数y=cscxcos3x-cscxcos5x 是( ) (A)周期为
2π的奇函数 (B)周期为2
π
的偶函数 (C)周期为π的奇函数 (D)周期为π的偶函数
(考查三角函数的性质，同角三角函数关系)
14.若a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，则下列不等式中成立的是( ) (A)a ＞
26＞b (B)a ＜2b ＜b (C)a ＜b ＜2b (D)b ＜a ＜2
6 (考查辅助角公式，三角函数的单调性)
15.下列四个命题中的假命题是( )
(A)存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β (B)不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β (C)对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
(D)不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β
(考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)
16.tg α、tg β是方程7x 2
-8x+1=0的二根，则
sin 2
(α+β)-78sin(α+β)cos(α+β)+7
1cos 2
(α+β)的值是( ) (A) 31 (B) 51 (C) 71 (D) 9
1
(考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值)
17.sin(α+β)=-53，sin(α-β)= 53，且α-β∈(2
π，π)，α+β∈(23π
，2π)。则cos2β＝( )
(A)-1 (B)1 (C)
2524 (D)-5
4
(考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)
18.若ctgx=3，则cos 2
x+
2
1
sin2x 的值是( ) (A)-56 (B)-54 (C)54 (D)5
6
(考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式) 19.tg9°-tg27°+tg63°+tg81°的值为( ) (A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2
(考查同角三角函数关系，倍角公式，和积互化公式) 20.在△ABC 中，(1)已知tgA=12
5 sinB=54
，则∠C 有且只有一解，(2)已知
tgA=
5
12,sinB=53
,则∠C 有且只有一解，其中正确的是( )
(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确
(考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)
21.在△ABC 中，若a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1，则( ) (A)a ，b ，c 成等差数列 (B)a ，c ，b 成等差数列 (C)a ，c ，b 成等比数列 (D)a ，b ，c 成等比数列
(考查三角形的内角和定理，正弦定理，和差化积，倍角公式，两个基本数列) 22.给出下列四个命题：
②若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形；
③若sin 2A+sin 2B+sin 2
C ＜2，则△ABC 是钝角三角形；
④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC 是等边三角形，以上命题正确的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)
23.函数y=cosx(π≤x ≤2π)的反函数是( )
(A)y=π+arccosx (B)y=2
5
π-arcsinx (C)y=
2
3
π+arcsinx (D)y=π-arccosx (考查反函数的求法，诱异公式，反三角弦函数定义)
24.下列各组函数中表示同一函数的一组是( ) (A)y=arcsin(cosx)与y=arccos(sinx) (B)y=sin(arccosx)与y=cos(arcsinx) (C)y=arctgx 与y=arcctg
x
1 (D)y=sin(arcsinx)与y=tg(arctgx)
(考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义) 25.设m=arcsin
5
2,n=arccos
2
1
,p=arctg 2，则m ，n ，p 的大小关系是( ) (A)p ＞n ＞m (B)n ＞m ＞p (C)p ＞m ＞n (D)m ＞n ＞p
(考查反三角函数的运算及其单调性) 26.设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-3
π，32π)，则其值域是( )
(A)(
3π，2π) (B)( 3π
，π) (C)(- 3π，2π) (D)(- 3
π
，π)
(考查三角函数与反三角函数的定义域和值域)
27.函数y=log sinx (2cosx+1)
的定义域是__________。
(考查函数定义域的求法，数形结合解三角不等式)
28.f(x)=sinx-sin ｜x ｜的值域是____________
(考查绝对值定义，诱异公式，正弦函数的简图，函数值域)
29.把y=sinx 的图像上各点的横坐标缩短到原来的2
1
(纵坐标不变)。然后将新得图像向左平移
6
π
单位，这样得到的图像的解析式是______________。 (考查三角函数图像的变换)
30.若函数y=sin(x+?)+cos(x+?)是偶函数，则?的值是_________。
(考查函数的奇偶性，三角恒等变形，最简单三角方程) 31：(1)tg70°+tg50°-3tg70°tg50°=________
(2)△ABC 中，(1+tgA)(1+tgB)=2，则log 2sinc=_________ (3)(1+tg1°)(1+tg2°)(1+tg3°)……(1+tg45°)=________
(4)己知tgA+tgB+3=3tgAtgB ，且sinAcosB=
4
3
，则△ABC 的形状是______ (5)己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tgA,tgC 是方程x 2
-3px+1-p ＝0(p ≠0，且
p ∈R)，的两个实根，则tg(A+C)=________，tgA,tgC 的取值范围分别是_____和_____，P 的
(考查两角和的正切公式的变形运用，倍角公式，韦达定理，对数值计算)
32.函数y=cosx-1(0≤x ≤2π)的图像与x 轴所围成图形的面积是_________。
(考查三角函数图形的对称变换) 33.函数y=arcsin x +arctgx 的值域是___________
(考查反三角函数的定义域、值域、单调性) 34.关于函数f(x)=4sin(2x+
3
π
)(x ∈R)，有下列命题 ①由f(x 1)=f(x 2)=0，可得x 1-x 2必是π的整数倍； ②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-6
π
)； ③y=f(x)的图像关于点(-
6π
，0)对称； ④y=f(x)的图像关于直线x=-6
π
对称
其中正确命题的序号是______________
(考查简单三角方程，诱导公式，图像的对称性) 35.设三角函数f(x)=sin(
5kx +3
π
)，其中k ≠0 (1)写出f(x)的极大值M ，极小值m ，最小正周期T 。
(2)试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ，
(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)
36.己知x+x 1=2cos θ，试求x n
+n x
1(n ∈N)的值 (结合三角函数，考查数学归纳法，增量法)
37.求值： (1)
2
12cos 412csc )31232-??
-?tg (2)sec50°+tg10°
(考查同角三角函数关系，倍角公式，辅助角公式，和差化积等)
38.解答下列各题：
(1)己知A 、B 均为钝角，且sinA=
55,sinB=10
10,求A+B (2)己知α、β∈(0,π),且tg(α-β)=21,tg β=-7
1
,求2α-β
(3)己知α、β都是锐角，且3sin 2
α+2sin 2
β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2
π
(4)求证：arcsin
53+arcsin(-135)＝arcsin 65
16
(考查如何求角，如何证明关于角的等式)
39.根据下列所给条件，分别求出cos(α+β)的值： (1)己知sin α-sin β=
21，cos α-cos β=4
1
(2)己知α、β是方程2cosx-sinx+b=0的两个根(α≠2k π+β,k ∈z)； (3)己知z 1=cos α+isin α，z 2=cos β+isin β，z 1-z 2=
41+2
1
i ； (4)己知直线y=2x+m 与圆x 2
+y 2
=1有两个公共点M ，N ，且x 轴正半轴逆转到两射线OM ，ON(O 为原点)的最小正角依次为α、β
(考查三角与方程、复数、解几的联系，万能公式的运用)
(1)锐角△ABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC (2)锐角△ABC 中，求证：tgAtgBtgC ＞1
(3)α、β∈［0，2π］，己知αβ22cos sin +β
α22cos sin =2，求证：α+β=2π
(考查三角函数的单调性)
41.解答下列各题：
(1)若y=acosx+b 的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx 的最大值。 (2)求y=
cosx
-2sinx
-2的最值
(3)设函数y=-2sin 2
x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，①写出f(a)的表达式；
②试确定能使f(a)=
21
的a 的值。 (4)求f(x)=cosx
sinx 1cos sin ++x
x 的值域
(5)求y=2sinxsin2x 的最大值
(6)若θ为钝角，求y=θ22cos a +θ22
sin b (a ＞b ＞0)的最小值
(7)己知sinxsiny=2
1
，求cosxcosy 的取值范围
(8)己知3sin 2
α+2sin 2
β=2sin α，求cos 2
α+cos 2
β的最值
(考查三角函数常见最值的求法)
42.a 、b 、c 是△ABC 的三边，求证：B C A cos )cos(1B)cosC -cos(A 1-++=2
22
2c a b a ++
(考查三角形中恒等式的证明)
43.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=2b ，A-C ＝
3
π
，求sinB 的值。 (考查三角形中的有关计算)
44.在△ABC 中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若△ABC 的周长为12，求其面积的最大值。(考查三角形中的最值问题)
45.己知f(x)=tgx,x ∈(0,2π)，若x 1,x 2∈(0, 2
π)，且x 1≠x 2，证明：21
［f(x 1)+f(x 2)］
＞f(
2
x x 2
1+)
(综合考查三角函数与不等式)
46.己知实数x ，y 满足x 2y -1 +y 2
x -1 =1，问
x 2+y 2
是否为定值?若是，请求该值：否则求其取值范围。
(考查代数与三角的综合题)
47.在高出地面30m 的小山顶C 处建造一座电视塔CD(如图)，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得CD 对A 所张的角为45°，求电视塔的高度。
(考查应用数学知识处理实际问题的能力)
48.如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，船向正南航行，在B 处
测得小岛A 在船的角偏东30°，在C 处测得A 在船的南偏东60°，如果此船不改变航向，有无触礁的危险?
(考查应用正弦定理处理实际问题的能力)
49.外国船只，除特许者外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域，设
A ，
B 是我们的观测站，A 与B 间的距离是S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船只在P 点，在A 处测得∠BAP=α，同时在B 处测得∠ABP=β，问α及β满足什么三角不等式时，就应当问这艘未经特许的外国船发出警告，命
(考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力)
50.半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆周长的动点，以AB 为边，向形外作等边△ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大?并求出这个最大值。
(考查分析问题和解决问题的能力)
51.己知半径为1，圆心角为
3
π
的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。
(考查三角函数在圆形最值中的运用)
52.腰为a 的等腰△ABC 中，∠A=90°，当A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，且点C 与原点O 在AB 的两侧时，求OC 长的最大值。
(综合考查三角、解几、最值问题)
53.如图所示，水渠横断面为等腰梯形，渠深为h ，梯形面积为S ，为使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和最小，问此时腰与下底夹
角α应该是多少?
(考查代数与三角的综合)
54.用一块长为a ，宽为b(a ＞b)的矩形木块，在二面角为α
的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边紧贴墙面，另一边与地面紧贴)试问，怎样围才能使储物仓的容积最大?并求出这个最大值
(考查代数、三角、立几的综合运用)
55.如图所示，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴上
给定两点A ，B ，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 最大。
(考查代数，三角，解几的综合运用)
能力训练参考答案
1.D
2.B
3.B
4.C
5.C
6.B
7.B
8.C
9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D
27.｛x ｜2k π＜x ＜2k π+32π，且x ≠2k π+2
π，k ∈z ＝ 28.［-2，2］ 29.y=sin(2x+3π) 30.?=k π+4
π
(k ∈z) 31.(提示：应用公式tg α+tg β＝tg(α+
β)(1-tg αtg β))(1)-3 (2)-21 (3)223
(提示：用(2)的结论) (4)正三角形 (5)
3；(0，3)；(0，3)；［32，1) 32.2π 33.［0，4
3
π］ 34.①②
35.(1)M=1,m=-1，T=k
10π
(2)k=32 (提示：令T ≤1)
36.2cos n
θ
方法(一)：用数学归纳法 方法(二)：设x=cos θ+t,则
x 1=t
+θcos 1=cos θ-t ∴t 2
=-sin 2θ
于是取t=isin θ ∴x=cos θ+isin θ 代入即可
反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割，反余割为x的角。 三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是 。 为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)] 第二章 三角、反三角函数 一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图，理解A 、w 、?的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。 (2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。 第一象限角：2k π＜α＜2k π+2 π ,k ∈Z 第二象限角：2k π+ 2 π ＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+2 3π ,k ∈Z 第四象限角：2k π+2 3π ＜α＜2k π+2π,k ∈Z (4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k 2360°+α，k ∈Z 。 (5)特殊角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝ 2 π k ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π ，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π ，k ∈Z ｝ 终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4 π ，k ∈Z ｝ 2.弧度制： (1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化： 1°＝ 180 π 弧度，1弧度＝( π 180 )° (3)两个公式：(R 为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。 弧长公式：l=｜α｜R y=arcs inx. 函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx，x € R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。 反正弦函数只对这样一个函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。 理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记 性质 根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1 , 1],值域[-n /2 , n /2]，是单调递增函数 图像关于原点对称，是奇函数 所以有arcsin(-x)=-arcsinx ，注意x的取值范围:x € [-1 , 1] 导函数： arcsinx = (土匚(-1,1)) vl-x2，导函数不能取|x|=1 * / fim (arcsinx) =-oo lim {arcsinx) = +oo - . ,:T 1 反正弦恒等式 sin(arcsinx)=x , x € [-1 , 1] (arcsinx)'=1/ V (1-x A2) arcsin x=-arcs in(-x) arcs in ( sin x)=x , x 属于[0, n /2] arccosx 反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。 就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a) = b，贝U arccos(b) = a ; 它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1 , 1】。 由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0, n ],记作y=arccosx，我们称它叫 做反三角函数中的反余弦函数的主值， arcta n x 反三角函数中的反正切。意思为：tan(a) = b;等价于arctan(b) = a fflil 定义域：{x lx € R},值域：y € (- n/2,冗/2) 计算性质： tan( arcta na)=a arcta n(-x)=-arcta nx arctan A + arctan B=arcta n(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arcta n(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x T 0时，arctanx~x (一)反三角函数的概念·例题 注 (i)求反三角函数值，先用一个字母表示这个反三角函数，再写出它的原三角函数，并确定所在角的象限。然后利用已知三角函数值查表求出角来，或者利用特殊角的三角函数值求出角来。 (ii)如果一个式子中有多个反三角函数值，一般分别用一个字母表示，按上述步骤分别进行。 那么D= ______，M=______。 由对数函数的性质知，D由下面不等式组解确定 从而 所以M=(-∞，log2π-1)。 注求复合函数的定义域，可由里向外(或由外向里)，一层一层得出有关不等式组。求出这不等式组的解，即为所求的定义域。 (1)求它的定义域D； (2)求它的反函数，并求反函数的值域与定义域。 注 (i)反三角函数都是单调函数。故已知值域求定义域时，只须求出值域两端点的反三角函数值即可。 (ii)原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。 所以 y=sinx=sin(x-2π) x-2π=arcsiny y=arcsinx+2π 注求三角函数的反函数时，必须先利用诱导公式，把自变量的取值范围变到此三角函数的主值区间上，再利用反三角函数表出。 例4-1-5求y=arctg(9-8cosx-2sin2x)的定义域与值域。 解由于z=arctgu的定义域为(-∞，+∞)，又因为y=cosx与y=sinx的定义域也都是(-∞，+∞)，从而所求函数定义域也是(-∞，+∞)。 再求值域。令u=9-8cosx-2sin2x，则 u=2(cosx-2)2-1 当cosx=-1时，u max=17，从而y max=arctg17； 注当复合函数的“外”函数是反三角函数时，求此复合函数的值域的步骤是：先求出“内”函数的最大值a与最小值b；令此复合函数为y=f(x)；再求出f(a)，f(b)。那么值域为[f(a)，f(b)](当“外”函数为增函数时)或 [f(b)，f(a)](当“外”函数为减函数时)。 反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π，上的反函数，叫做反余弦函数。记作x cos arc ，表示一个 余弦值为x 的角，该角的范围在]0[π，区间内。定义域]11[， - ， 值域]0[π，。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π，上的反函数，叫做反余切函数。记作x arc cot ，表示一个余切值为x 的角，该角的范围在)0(π，区间内。定义域R ，值域)0(π，。 反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系 加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ §6.4.1 反三角函数(1)——反正弦函数 [教学过程] 一．反正弦函数的引入 1．回忆 sin y x =的图像及反函数的条件，可知sin ,y x x =∈R 不存在反函数 2．若,22x ππ??∈-????，则sin y x =是单调函数，,x y 一一对应，故在,22x ππ?? ∈-???? 上sin y x =存在反函数 3．定义 ()sin ,,22f x x x ππ?? =∈-???? ，其反函数()1arcsin f x x -=，称为反正弦函数 二．反正弦函数的图像 反函数的图像与原函数的图像关于y x =对称，即x 改y ，y 改x 三．根据解析式与图像研究反正弦函数的性质 sin ,,22y x x ππ?? =∈-???? []arcsin ,1,1y x x =∈- 1．值域 []1,1y ∈- ,22y ππ??∈-???? 2．奇偶性 奇函数（过原点） 奇函数（过原点） 3．单调性 增函数 增函数 4．周期性 非周期函数 非周期函数 5．()11arcsin sin arcsin 2 2 x x x x π π -≤≤?-≤≤ ?= 6．()1sin 1arcsin sin 2 2 x x x x π π -≤≤ ?-≤≤?= arcsin 是反正弦的 符号，是一个整体 数形结合，从图像上看反正弦函数的性 质 ()()1 f f x x x A -??=∈??()()1f f x x x D -=∈???? 三．例题与练习 例1 求值： (1);(2)()arcsin 1- ;(3)arcsin ? ?? (4)()arcsin 0.5;(5)arcsin0;(6)()arcsin 0.72-≈; (7)arcsin sin 9π?? ???;(8)5arcsin sin 6π?? ?? ? ; (8)()arcsin sin 3.49π 例2 用反正弦函数表示下列各式的: (1)sin x =,22x ππ?? ∈-???? (ii)[]0,2x π∈ (2)1sin 4x =-, (i),22x ππ?? ∈-???? (ii)[]0,2x π∈ (3)sin x =,22x ππ?? ∈-???? (ii)[]0,2x π∈ 例3 求下列函数的定义域和值域： (1)()3arcsin 21y x =- ;(2)6 y π =+ y =-. 四．布置作业 注意的不同范围 ()arcsin y f x =???? ()f x 定义域为A ， 由()11f x -≤≤得 B ，则D A B = x x 三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y 反三角函数的概念和性质 一．基本知识： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，] 上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－ C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sin x, x∈[－π, 0] （B）y＝sin x, x∈[, ] （C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x, x∈[,] 解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π 解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。 由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。（ 例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。 （1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x. 解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2 反三角函数公式 反三角函数图像与特征 1 ： 反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数. 反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function 反三角函数 Inverse trigonometric functions 第1节反三角函数·概述 原创/O客 把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。 它们都是三角函数的反函数。严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。 以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。 ●反正弦的值域 先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。 正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。因为它在定义域R上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。 但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出 x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。记为y=arc sinx。把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。 ●请参考我的三角函数salon 第2节反三角函数·理解与转化 原创/O客 以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。 ●符号理解 初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。 一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。 另一方面，符号arc sinx 可以用下面的三句话来理解： ①它是一个角。即一个实数。arc sinx ∈R . ②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。-π/2≤arc sinx ≤π/2。 ③这个角的正弦值等于x 。sin(arc sinx)=x. ●互化 反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。 有互化公式（充要条件）如图。 ●请参考我的三角函数salon 第3节 反正弦函数的图象和性质 原创/O 客 函数名称 反正弦函数 解析式 y=arc sinx 图象 反正弦曲线（图3） 1.定义域 [-1,1] 2.值域 [-π/2, π/2] 3.有界性 |y|≤π/2 4.最值 x=1时，y max=π/2 x=-1时，y min=-π/2 5.单调性 增函数 6.奇偶性 奇函数. 7.周期性 无 α=arc sinx x=sin α |x|≤1 -π2 ≤α≤π2 正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 （2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心 （0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无 另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1]) 反三角函数公式大全 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 反三角函数典型例题 例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。 （1）（2）arcsin 4 π ；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。 例2：求下列反正弦函数值 （1）= 解：3 π （2）arcsin0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2 π 点评：熟练记忆：0，1 2 ±、，，1±的反正弦值。 思考：1sin(arcsin )24 π +该如何求？ 例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x (1)sin x 5= ，x [,]22ππ ∈- 解：x ＝arcsin 5 变式：x [,]2 π ∈π? 解：x [,]2π ∈π时，π－x [0,]2 π∈，sin(π－x)＝sinx ＝5 ∴π－x ＝，则x ＝π－ 变式：x [0,]∈π? 解：x ＝或x ＝π－ (2)1 sin x 4 =-，x [,]22ππ∈- 解：1x arcsin 4=- 变式：1 sin x 4=-，3x [,2]2π∈π 解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1 4 ∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1 4 点评：当x [,]22ππ ∈-时，x arcsina =；而当x [,]22ππ?-，可以将角转化到区间[,]22 ππ-上，再用诱导公式 处理对应角之三角比值即可。 练习： (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x 3π= (2)sin x =，x [0,]∈π 解：x =x =π- (3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3 x arcsin 5 =π+ 标准实用 反三角函数及最简三角方程 一、知识回顾： 1、反三角函数： 概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作 22 y arcsin x . y sin x( x R) ，不存在反函数. 含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x . 22 反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 名称函数式定义域值域奇偶性单调性 反正弦函数y arcsin x1,1 增, 2奇函数增函数 2 y arccosx arccos( x)arccosx 反余弦函数1,1 减0,减函数 非奇非偶 反正切函数y arctanx R增, 2奇函数增函数 2 y arc cot x arc cot( x)arc cot x 反余切函数R减0,减函数 非奇非偶 其中： （）．符号 arcsin x 可以理解为－， ] 上的一个角弧度，也可以理解为 1[ 2 () 2 区间[－ ， ] 上的一个实数；同样符号 arccos x 可以理解为 [0 ，π 上的一个角2 ] 2 (弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y 22 ＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ R arcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0, 22 π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件； 22 （4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。 22 2、最简单的三角方程 方程方程的解集 a1x | x2k arcsin a, k Z sin x a a1x | x k 1 k arcsin a, k Z a1x | x2k arccos a, k Z cos x a a1x | x2k arccos a, k Z tan x a x | x k arctana, k Z cot x a x | x k arc cot a, k Z 其中： （1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三 角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的 例 试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性，并画出大致图像。 （1）()sin arcsin y x =。 （2）()arcsin sin y x =。 解：（1）()()sin arcsin y f x x x ===。 定义域为[]1,1-。值域为[]1,1-。奇函数。 ()f x 不是周期函数，且再[]1,1-上单调递增，如图。 （2）()()arcsin sin y f x x ==。 定义域为R 。值域为,22ππ?? -????。奇函数。 ()f x 是周期函数，周期为2π。 下面讨论单调性： ① 当,22x ππ?? ∈- ???? 时，()()arcsin sin f x x x ==，为增函数。 ② 当3,22x ππ?? ∈? ??? 时，()()()arcsin sin arcsin sin f x x x x ππ==-=-????，为减函数。 由函数的周期性，得 ① 区间2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? （k Z ∈）为函数()f x 的递增区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x x k x k ππ==-=-????，k Z ∈。 ② 区间32,22 2k k π πππ? ? + + ??? ? （k Z ∈）为函数()f x 的递减区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x k x k x ππππ==+-=+-????，k Z ∈。 所以()2,2,222arcsin sin 32,2,222x k x k k y x k x x k k πππππππππππ???-∈-+????? ?==??? ?+-∈++?????? ，k Z ∈。如图。 三角、反三角函数图像 (附：资料全部来自网络，仅对排版做了改动，以方便打印及翻阅，其中可能出现错误，阅者请自行注意。） 1.六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 2.三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x∈R 且x≠kπ+2 π ,k∈Z ｝ ｛x ｜x∈R 且x≠kπ,k∈Z｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ-2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在 ［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］ 上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数 (k∈Z) 在［2kπ -π， 2kπ］上都是增 函数；在［2kπ， 2kπ+π］上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ， kπ+ 2 π )内都是 增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π) 内都是减函数 (k∈Z) 3.反三角函数的图像和性质： arcsinx arccosx arctanx arccotx 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈ 〔- 2 π , 2 π 〕的反 函数，叫做反正弦 函数，记作 x=arsiny y=cosx(x∈ 〔0,π〕)的反函 数，叫做反余弦 函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- 2 π , 2 π )的反函数，叫 做反正切函数，记作 x=arctany y=cotx(x∈(0, π))的反函数， 叫做反余切函 数，记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于 ［- 2 π , 2 π ］ 且正弦值等于x的 角 arccosx表示属 于［0，π］，且 余弦值等于x的 角 arctanx表示属于 (- 2 π , 2 π )，且正切 值等于x的角 arccotx表示属 于(0，π)且余切 值等于x的角 性 质 定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞) 值域［- 2 π ， 2 π ］［0，π］(- 2 π ， 2 π )(0，π)单调性 在〔-1，1〕上是增 函数 在［-1，1］上是 减函数 在(-∞，+∞)上是增 数 在(-∞，+∞)上 是减函数三角函数,反三角函数公式大全
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