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微专题定点定值问题教师版 (1)

圆锥曲线中一类定点定值问题

概念与用法

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．

基本解题数学思想与方法

解答此类问题的基本策略有以下两种：

1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．

2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．课前预习：

1、已知直线l 方程为()()32280m x m y ++-+=，当m 变化时，直线l 恒过定点_________()-13，

2、已知圆()()2

C 1225,,x y k Z -+-=∈：直线l ：10kx y k -+-=与圆C 的交点个数________

3、直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2

＝1恒有公共点，则m 的取值范围是__________. m ≥1且m ≠5

4、已知定圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16，圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C .则曲线C 的方程是 ▲ ．x 24＋y 2

＝1

5、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．

【答案】?-?

6、已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0

x 的取值范围为 ▲ 答案：(1,0)(0,2)-

例1、在直角坐标系x O y 中，已知椭圆214

x y +=的左、右焦点分别为'F 与F ，圆F ：(22

x y +=（1）设M 为圆F 上一点，满足'MF MF=1

，求点M 的坐标

（2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心、OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，求证：点F 到直线QT 的距离FH 为定值。

例2、已知椭圆22

:1(0)x y

C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作直线l 与椭圆C 交于点M 、 N ．

（1）若椭圆C 的离心率为

，右准线的方程为4x =，M 为椭圆C 上顶点，直线l 交右准线于点P ，求11

PM PN

的值；（2）当224a b +=时，设M 为椭圆C 上第一象限内的点，直线l 交y 轴于点Q ，11F M F Q ⊥，证明：点

M 在定直线上．

18．（1）设2(,0)F c ，则21,2

c a a c

?=????=??，解得2,1a c =??=?，

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=， ……2分则直线l

的方程为1)y x =-，令4x =

，可得(4,P -，

联立2

21),

143y x x y ?=-??+=??，得25204x x -=

，所以M

，8(,5N ， ……4分

所以

111518243PM PN +=+=+= 6分

（2）设0000(,)(0,0)M x y x y >>，2(,0)F c ，则直线l 的方程为0

0()y y x c x c

=--，

令0x =，可得0

0(0,)cy Q x c

--， ………8分

由11F M F Q ⊥可知，110

0001F M F Q cy y x c

k k x c c

--?=

?=-+，整理得22200y x c =-，又222224c a b a =-=-，

联立2

002200

(24),14y x a x y a a ?=--??+=?-?，解得2

020

,222a x a y ?=????=-??

， 14分所以点M 在定直线2x y +=上．

例3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2

2＝1 (a >b >0)上的两点，已知向量m ＝????x 1b ，y 1a ，n ＝????x 2b ，y 2a ，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝3

，短轴长为2，O 为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k 的值； (3)试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

(1)y 24＋x 2

＝1 (2)±2 (3)①当直线AB 的斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，

由m·n ＝0，得x 12

－y 124

＝0，即y 12＝4x 12，

又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 12＋y 1

＝1，

所以|x 1|＝2

2，|y 1|＝2，

所以S △AOB ＝1

|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1，

②当直线AB 的斜率存在时：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，

由?????

y ＝kx ＋b y 2

4＋x 2

＝1

，得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2

－4＝0，则x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4

，

由x 1x 2＋y 1y 2

4＝0，得x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )4

＝0，

整理得：2b 2－k 2＝4，所以S △AOB ＝12·|b |1＋k 2·AB ＝12|b |(x 1＋x 2

－4x 1x 2 ＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4

＝4b 2

2|b |＝1，

所以△AOB 的面积为定值.

（第4题）

课后作业：

1、已知椭圆x 24＋y 2

＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2．则线段PQ 的垂直平分线恒

过定点A 的坐标是

2、设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1

的最大值为________.15

3、已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →

＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离的最小值为 ▲ ．3

4、如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>经过点

M ,椭圆的离心

率e =, 1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆C 的方程；

(2)过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A 、B .

①若直线MA 过坐标原点O , 试求2MAF ?外接圆的方程；

②若AMB ∠的平分线与y 轴平行, 试探究直线AB 的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请

说明理由.

解: (1)

由e =22222

89c a b a a -==，得22

9a b =，故椭圆方程为222219x y b b +=………3分

又椭圆过点M ，则2218219b b +=，解得2

4b =，所以椭圆的方程为221364

x y +=………5分

(2)①记12MF F ?的外接圆的圆心为T .因为1

OM k =,所以MA 的中垂线方程为3y x =-,

又由M , 2

F ()

,得1MF

的中点为，而2

1MF k =-，所以2MF

的中垂线方程为y x =-

，由3y x

y x =-???=-??

，得T …8分所以圆T

=，故2MAF ?

的外接圆的方程为22

125

4x y ??-+= ?

?………………10分 (说明:

该圆的一般式方程为22200x x y y +-=)

(3)设直线MA 的斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的

斜率为k -.联立直线MA

与椭圆方程：22

1364

y kx x y ?=+-?

=?? ，整理得(

)()222

9113162108180k x k x k k ++-+--=，得

1x =- 所以

2x =

，整理得21x x -=

，21x x +=-…13分

又()

(

)212221y y kx kx k x x -=--+-=-++

10891

k k -+=+

，所以21211

y y k x x -===-为定值………………16分

5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

上不同的三点，

A ，(3,3)

B --，

C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点C 的坐标；

（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB

为定值并求出该定值．

解：（1）由已知，得222291821,991,

a b

b ??+=???+=?? 解得2227,

27.2a b ?=??=?? 所以椭圆的标准方程为

22127

272

x y +=． …………………3分（2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33

(

,)22

m n --．

由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．① 又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②

由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． …………………5分所以点C 的坐标为(5,1)--． …………………6分（3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ． ∵,,P B M 三点共线，∴011033

233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--．…………………8分

∵,,P C N 三点共线，∴

022011

255y y y x ++=++，整理，得00200523

y x y x y -=-+．…………………10分

∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．

从而22200000001222200000003(56)3(3627)39

3449241822

x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===?=+---+． …………………14分

所以1245

OM ON y y ?== ． …………………15分

∴OM ON ? 为定值，定值为452

．

小学奥数 6-2-4 经济问题(一).教师版

1. 分析找出试题中经济问题的关键量。 2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。 3. 用解方程的方法求解。 4. 利用分数应该题的方法进行解题一、经济问题主要相关公式： =+售价成本利润，100%100%-=?=?售价成本利润率利润成本成本； 1=?+售价成本（利润率），1=+售价成本利润率其它常用等量关系：售价=成本×（1+利润的百分数）；成本=卖价÷（1+利润的百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金×利率×期数；含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；二、经济问题的一般题型 (1)直接与利润相关的问题：直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。 (2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题：涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。三、解题主要方法 1．抓不变量(一般情况下成本是不变量) ； 2．列方程解应用题．摸块一，物品的出售问题例题精讲知识点拨教学目标经济问题（一）

（一）单纯的经济问题【例 1】某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？【考点】经济问题【难度】1星【题型】解答【解析】 6300-60×80=1500（元）【答案】1500 【例 2】某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚钱25%，求原价是多少元？【考点】经济问题【难度】2星【题型】解答【解析】根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=，当初利润为：20027%54?=（元）所以原价为：20054254+=（元）【答案】254 【例 3】王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4 5后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为元/个．【考点】经济问题【难度】2星【题型】解答【解析】降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元．【答案】2.4 【例 4】昨天和今天，学校食堂买了同样多的蔬菜和肉，昨天付了250元，今天付了280元，原因如图所示，那么，今天蔬菜付了元。【考点】经济问题【难度】2星【题型】解答【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】采用假设法。如果都涨价10%，那么应该多付25010%25?=元，所以今天肉的总价为 (3025)(20%10%)50-÷-=元，那么蔬菜的总价为25050200-=元。【答案】200元【例 5】奶糖每千克24元，水果糖每千克18元。买两种糖果花了同样多的钱，但水果糖比奶糖多4千克。水果糖千克，奶糖千克。【考点】经济问题【难度】2星【题型】解答【关键词】走美杯，四年级

最值问题(4年级培优)教师版

（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。（2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。（3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。（4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。 a 、 b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数，求）－（）（b a b a ÷+的最大值。（四年级培优底稿）分析：要使b a b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值19999 10099100=-+。（题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。考察了极端情形的方法）难度系数：A

a 、 b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。（底稿）分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。即199=a ,197=b 。解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A “12345678910111213……484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？（三年级竞赛底稿）解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。要使剩下的多位数最大，应该保证较大的数字在较高的数位上。题中的多位数中一共含有5个“9”。显然前4个9应当保留下来，但当第五个9出现在第五位上时，就不能构成11位数。同样4个9后，如果是8，也不能组成11位数。划过去的过程如下图。 748495046414049383130392821202918111019876543211519191984434421ΛΛ4434421ΛΛ4434421ΛΛ43421ΛΛ4342 1个划去个划去个划去个划去个划去//////////////////////////////////// 综上，剩下的数字组成的最大多位数是99997484950。难度系数：B 从12位数376 247 859 165中划去6个数字，使剩下的6个数字（先后顺序不改变）组成的六位数最小。这个最小的六位数是多少？解析：要使删去6个数字后，所得的六位数是最小的，那么所得的数的最高位越小越好，不难想象最高位若是1，那么需要删除前面的7个数字，不合题意，因此最高位只能为2，从而2前面的三个数字都要删除，接下来同理考虑从最高位到最低位要依次尽可能的小，

小学教师简短精辟评语【三篇】

小学教师简短精辟评语【三篇】 1、你那双珍珠般的眼睛里，盛满热情聪慧，上课时，你思维敏捷，发言积极，那独到的见解令人钦佩;做作业时，那别具一格的答案，常给老师一个意外的惊喜;工作上，你认真负责，是个尽责的中队委员。如果在好的基础上，再加快点速度，你还有什么可挑剔的! 2、你给老师的第一个惊喜是你那优美的日记，简直漂亮极了!你给老师的第一个惊喜是你那精彩的回答，思维的敏捷。无疑，你是个好学生，但最近，你却常犯一个很不好的毛病，那就是粗心。粗心会使你做错很多的事，你说呢? 3、你是老师和同学心目中的好学生，团结同学，成绩优秀，更让老师开心的是，这学期你发言积极多了，老师为你感到骄傲.其实勤奋才出天才，别以为光学课本知识就够了，你那么聪明，相信你会明白的。 4、你是我们班上的“小才女”，优秀的成绩，逼真的绘画，优美的字迹赢得了同学们的青睐。但你一定要记住：“天才出于勤奋”，老师希望你更加严格要求自己，持续进取，成为一个更出色的你。 5、xx，老师真的很喜爱你!你真是太棒了!勤奋好学，思维敏捷，在课堂上精彩的回答，流利的谈吐，优美的文笔;一手漂亮的好字，你品学兼优，全面发展，令老师赞叹，同学们羡慕。希望今后你在学习中大胆施展自己的才干，使你更加出色。 6、你是一个聪明机灵的小男孩，课堂上，你总是认真听讲，从不漏掉一个点儿。作业本上你那娟秀的字迹让老师越看越爱看。你有着强烈的上进心和自尊心。希望你更上一层楼!但，xx，我们还有好多同学需要你协助，你知道吗? 7、你真是老师的小助手，班级的好干部。课前五分钟领操，在你的示范下，全班同学都养成认真做操的好习惯，保护了视力;课堂作

2019年经济学知识竞赛题库及答案(精华版)

2019年经济学知识竞赛题库及答案一、单选题 1.经济学研究的基本问题是（d ） A、怎样生产 B、生产什么，生产多少 C、为谁生产 D、以上都是 2.恩格尔曲线从（ b）导出 A、价格——消费曲线 B、收入——消费曲线 C、需求曲线 D、无差异曲线 3.我国M1层次的货币口径是 D 。 A、MI=流通中现金 B、MI=流通中现金+企业活期存款+企业定期存款 C、MI=流通中现金+企业活期存款+个人储蓄存款 D、MI=流通中现金+企业活期存款+农村存款+机关团体部队存款 4.格雷欣法则起作用于 B 。 A、平行本位制 B、双本位制 C、跛行本位制 D、单本位制 5.宏观经济学的中心理论是（c ） A、价格决定理论； B、工资决定理论； C、国民收入决定理论； D、汇率决定理论。 6.根据消费函数，引起消费增加的因素是（B） A、价格水平下降； B、收入增加； C、储蓄增加； D利率提高。 7.以下四种情况中，投资乘数最大的是（D）

A、边际消费倾向为0.6； B、边际消费倾向为0.4； C、边际储蓄倾向为 0.3； D、边际储蓄倾向为0.1。 8.IS曲线向右下方移动的经济含义是（A）。 A、利息率不变产出增加； B、产出不变利息率提高； C、利息率不变产出减少； D、产出不变利息率降低。 9.水平的LM曲线表示（A）。 A、产出增加使利息率微小提高； B、产出增加使利息率微小下降； C、利息率提高使产出大幅增加； D、利息率提高使产出大幅减少。 10.各国在进行货物贸易统计时对于出口额的资料以（a ） A、 FOB计价 B 、CIF计价 C、 CFR计价 D、 EXW计价 11.真正能够反映一个国家对外贸易实际规模的指标是（ a） A、对外贸易量 B、对外贸易额 C 、对外贸易依存度 D、对外贸易值 12.以货物通过国境为标准统计进出口的是（ c） A、无形商品贸易 B、过境贸易 C、总贸易体系 D、国境贸易 13.当一国的出口额大于其进口额时，称为（d ） A、国际收支逆差 B、国际收支顺差 C、对外贸易逆差 D、对外贸易顺差 14.有效竞争理论是由（ a）提出 A、克拉克 B、马克思 C、贝恩 D、霍夫曼 15.产业组织是指（a ） A、同一产业内企业间的组织或市场关系 B、产业中同类企业的总和

解析几何范围最值问题(教师)详解

第十一讲解析几何范围最值问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值【例1】抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12，解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，

小学一年级期末简短评语(二篇)

小学一年级期末简短评语（二篇） 2、陈晓漫：文文静静就是你完美的气质；朴朴实实，就是你优秀的品格；勤勤恳恳，就是你良好的学习习惯。你不多言，但你有辨别就是非的潜力；你不多语，但你懂得关心体贴别人。如果你能在各方面大胆泼辣些，就更棒了。 3、你就是一个聪明的孩子，生活中你能与大家和睦相处，平时能按时完成老师布置的作业，但学习中没有钻研精神，遇到疑难得过且过，故学习成绩不够稳定。希你正视自身的缺点，争取下学期有更新的进步。 4、黄雯雯：在老师面前，你就是一个天真可爱的女孩，但走出校门，就会贪玩，把作业丢在脑后，忘记了自己就是个学生，而且字迹较差，上课老走神，希望你明确学习目的，端正学习态度，以学业为重，上课多动脑筋，用心举手发言。只要努力，相信你能行。 5、你天真活泼聪明伶俐，就是一位讲礼貌，讲礼貌的学生，工作认真负责，就是称职的好班长，能够用心参加学校所开展的各项体育活动，在学校好好锻炼吧，愿你成为优秀的接班人。 6、老师看着你的大脑袋和有神的大眼睛，就觉得你就是一个聪明可爱的男孩，老师同学都喜欢听你讲故事，你讲得故事多么动听，每个同学都拍手叫好，你还就是一个有礼貌的好孩子，此刻你作业确实比以前认真了，只就是作业有时还要拖拉。假如你能做到按时完成作业，同学老师都会更加喜欢你。 7、你就是一个聪明文静大方爱清洁爱学习的女孩，你能出好班级里的黑板报，每一天领好体操，为同学做榜样，老师希望你作业时还要细心一点，你的成绩将会更优秀。 8、蔡锦涛：其实你就是一个聪明能干的孩子，当你认真学习时，你的成绩将会名列前茅，如果你放松的话，成绩就会明显下降，你有时的发言很精彩，同学老师听了很满意，平时做事认真细心办事潜力很强，老师希望你能专心听讲，力求上进，你将成为我们班上出色的学生。 9、金悦：在老师眼里，你就是一个比较聪明的女孩，活泼可爱。你尊敬师长，友爱同学，关心群众，乐于为大家服务，学习上你自觉认真，还能写出一手好字，要就是你胆子放大些，发言用心些会就是一个更加优秀的学生。 10、在老师的心目中，你就是一个守纪的学生，还就是一个调皮的孩子，课间，你很喜欢跟随同学玩耍，有时也喜欢捉弄同学。学习尚认真，字虽然写得有进步，但就是还比但

小学奥数年龄问题练习题(含答案)

小学奥数《年龄问题》练习题一、填空题 1.甲、乙两人的年龄和是33岁,甲比乙大3岁,那么甲岁,乙岁. 2.父亲今年47岁,儿子21岁, 年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍. 3.今年叔叔21岁,小强5岁, 年后叔叔的年龄是小强的3倍. 4.小明今年9岁,妈妈今年39岁,再过年妈妈年龄正好是小明年龄的3倍. 5.明明比爸爸小28岁,爸爸今年的年龄是明明年龄的5倍,明明今年岁,爸爸今年岁. 6.爸爸比小强大30岁,明年爸爸的年龄是小强的3倍,今年小强岁. 7.父亲比儿子大27岁,4年后父亲的年龄是儿子的4倍,那么儿子今年岁. 8.现在母女年龄和是48岁,3年后母亲年龄是女儿年龄的5倍,那么母亲今年岁,女儿今年岁. 9.叔叔比红红大19岁,叔叔的年龄比红红的年龄的3倍多1岁,叔叔岁,红红岁. 10.弟弟今年8岁,哥哥今年14岁,当二人年龄之和是50岁时,弟弟岁,哥哥岁. 二、解答题 11．小刚4年前的年龄与小明7年后的年龄之和是39岁,小刚5年后的年龄等于小明3前的年龄,求小刚、小明今年的年龄是多少? 12.哥哥5年前的年龄等于7年后弟弟的年龄,哥哥4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁,求兄弟二人今年的年龄? 13.10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍,15年后父亲的年龄是他儿子的2倍,问今年父子二人各多少岁? 14.今年小刚的年龄是明明年龄的5倍,25年后, 小刚的年龄比明明的年龄的2倍少16岁,今年小刚、明明各多少岁?

———————————————答案—————————————————————— 一、填空题 1. 从年龄和中减去3岁就是2个乙的年龄. 乙的年龄:(33-3)÷2=15(岁) 甲的年龄:15+3=18(岁) 2. 父亲与儿子的年龄差是(47-21)岁,几年前两人的倍数差为(3-1)倍,可求出儿子几年前的年龄. 儿子几年前年龄:(47-21)÷2=13(岁) 几年前:21-13=8(年) 3. 先求出叔叔与小强年龄差,几年后的倍数差,算出几年后小强的年龄. 小强几年后的年龄:(21-5)÷(3-1)=8(岁) 几年后:8-5=3(年) 4. 可先计算出二人的年龄差,再过几年折倍数差,由此可算出几年后小明的年龄. 小明几年后的年龄:(39-9)÷(3-1)=15(岁) 再过几年:15-9=6(年) 5. 由题意可知爸爸与明明的倍数差是(5-1)倍,而二人年龄差是28岁,由此可算出明明与爸爸的年龄. 明明年龄:28÷(5-1)=7(岁) 爸爸年龄:28+7=35(岁) 6. 可知两人年龄差是30岁,明年二人的倍数差是(3-1)倍,可得明年小强的年龄,由此算出今年小强的年龄. 小强明年年龄:30÷(3-1)=15(岁) 小强今年年龄:15-1=14(岁) 7. 由题可知二人的年龄差,4年后的倍数差,那么4年后儿子年龄可求,今年儿子的年龄也可求. 4年后儿子年龄:27÷(4-1)=9(岁) 儿子今年年龄:9-4=5(岁) 8. 现在母女年龄和是48岁,3年后年龄和增加(3×2)岁,可得母女的3年后年龄和,又知母亲3年后年龄是女儿年龄5倍,可得出女儿3年后的年龄,由此可得今年母女的年龄. 3年后母女年龄和:48+(3×2)=54(岁)

经济学基础试题及参考答案

2006～2007学年度第二学期《经济学基础》试卷（ A卷）考试形式：开（√）、闭（）卷题号一二三四五六七八总分统分人得分注：学生在答题前，请将密封线内各项内容准确填写清楚，涂改及模糊不清者、试卷作废。得分阅卷人一、选择题（每小题 2 分，共 30 分。每题只有一个正确答案，请将答案号填在题后的括符内） 1、1、资源的稀缺性是指：（ B ） A、世界上的资源最终会由于人们生产更多的物品而消耗光 B、相对于人们无穷的欲望而言，资源总是不足的 C、生产某种物品所需资源的绝对数量很少 D、企业或者家庭的财富有限，不能购买所需要的商品 3、2、作为经济学的两个组成部分，微观经济学与宏观经济学是：（ C ） A、互相对立的 B、没有任何联系的 C、相互补充的 D、宏观经济学包含微观经济学 3、宏观经济学的中心理论是：（B ）

A、失业与通货膨胀理论 B、国民收入决定理论 C、经济周期与经济增长理论 D、国民收入核算理论 4、在家庭收入为年均8000元的情况下，能作为需求的是（ C ） A、购买每套价格为5000元的的冲锋枪一支 B、购买价格为5万元的小汽车一辆 C、购买价格为2500元左右的彩电一台 D、以上都不是 5、当汽油的价格上升时，对小汽车的需求量将：（A ） A、减少 B、保持不变 C、增加 E、不一定 6、均衡价格随着：（ C ） A、需求与供给的增加而上升 B、需求的减少和供给的增加而上升 C、需求的增加与供给的减少而上升 D、需求与供给的减少而上升 7、在市场经济中，减少汽油消费量的最好办法是：（C ） A、宣传多走路、少坐汽车有益于身体健康 B、降低人们的收入水平 C、提高汽油的价格 D、提高汽车的价格 8、政府为了扶持农业，对农产品实行支持价格。但政府为了维持这个高于均衡价格的支持价格，就必须：（ B ） A、实行农产品配给制 B、收购过剩的农产品 C、增加对农产品的税收 D、给农民补贴 9、比较下列四种商品中哪一种商品需求的价格弹性最大：（ C ） A、面粉

定弦定角最值问题(教师版)

定弦定角最值问题（答案版）【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．2441- 解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45° ∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90° ∴AO ′＝5 又O ′B ＝O ′C ＝4 ∴AD ＝5－4＝1 【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（） A ．213- B ．213+ C ．5 D ．9 16 解：连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB ＝∠AED ＝90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213- 【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．324-

解：连接CD ∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45° ∴∠BDC ＝135° 如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90° ∴O ′B ＝O ′C ＝4 又∠ACO ′＝90° ∴AO ′＝5 ∴AD 的最小值为5－4＝1 【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（） A ．3612+ B ．336+ C ．3312+ D ．346+ 【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（） A ． 21 B ．22 C ． 2 3 D ．43

小学生的期末教师评语简短

小学生的期末教师评语简短导读：本文是关于小学生的期末教师评语简短，希望能帮助到您！教师评语小学简短大全： 1. 你待人友善，热心助人，你美好的品质已深深地刻在我的心里。在学习上，你也能做到不甘落后，奋发向上，是个爱学习的好孩子。如能课堂上大胆举手发言展示自己的才华，你会更加出色。 2. 你能尊敬老师，团结同学，劳动积极肯干。但学习上缺乏自觉性，上课有时走神，作业马虎。希正视缺点向优秀生看齐，早晨来校后认真读书，要利用自己聪明头脑，做个爱学习的好孩子. 3. 老师赞赏你胆大、乐观，又很关心集体;能歌善舞，可谓多才多艺。但在学习上一定要加强，作业要认真完成，不会的要多向老师同学请教，同时课后也要抓紧些，只要你能做到，相信不久以后你的成绩会有很大的提高，老师希望看到你的成绩能像你唱歌和舞蹈一样那么优秀。 4. 你是一个品行兼优的好孩子，有一定的组织能力和责任心，能协助老师管理班级，是老师的得力助手，在同学中有很高的威信，爱劳动，讲卫生，爱护环境，学习认真主动，积极思考，大胆发言，课堂练习独立迅速完成，思维开阔，老师很喜欢你。但同时你身上也存在着很多不足的地方，希望你不断努力并改正身上的缺点，相信你一定会成才的! 5. 你是一个很有个性的小女孩，有一口流利的普通话伴随着你那甜美的笑容，你能力很强，常常能帮老师做很多事情。在学习上，你毫不马虎，课堂纪律方面也比以前好，能够认真听讲，积极发言，和同学相处也好多了，开始有了自己的朋友，学校的生活多姿多彩，老师希望你尽快地适应，

把自己融入于学校这个大家庭中，拥有一个属于自己的美好生活与童年时代! 6. 作为班长的你为班级做了很多工作，辛苦了。你做事果断泼辣;学习认真进取……你的优点大家有目共睹。但是作为班长，你的学习似乎还缺少点持之以恒，你的为人处事也似乎缺少点同情与谅解，更少了点为班级服务的心，希望以后的你能时时刻刻严格要求自己，以身作则，这样就更容易开展工作，锻炼自己的能力。 7. 时间过得真快，转眼就放寒假了。相处这么久，你给老师的感觉是：沉静、皱眉、不拘言笑。往日那聪明、活泼可爱、嘻笑着的“一休哥”到哪儿去了呢?小男子汉，望你在下学期能展笑眉、舒眉头，努力地学、尽情地笑! 8. 你是聪明活泼的孩子。不管是朗读，还是回答问题，声音最响总是你，你还很热心地为班级做事，这样的你，老师和同学都喜欢。可是有些时候，你却调皮不遵守纪律，上课思想开小差，你知道老师和同学多着急呀!老师相信明年的你一定能让老师和同学刮目相看。你是位聪明的学生，懂礼貌，爱劳动，讲卫生。课后，你总是默默不语，埋头读书，做作业，同学们都十分欣赏你。可是，在课堂上，你也沉默不语，这种“沉默”，使你失去许多表达和思维训练的机会。我想，在课堂上，你不能再“沉默”下去了，老师真希望你能用自己心灵的力量去打开锁住的“金锁”，是自己成为思维敏捷，嘴巴灵巧的孩子。 9. 无论于何时何地，遇到老师时，你总是亲呢地叫一声“老师好”，你是一个有礼貌的孩子。无论于何种劳动场合，你的身影总是最为忙碌，可以说你是班里最热爱劳动的孩子。老师多么希望你对待学习能像劳动那样积极、主动、认真。如果这样你定将成为一个品学兼优的孩子。你的父

小学奥数教程之-年龄问题(三)计算题.教师版

2. 利用已经学习的和差、和倍、差倍的方法求解年龄问题．知识精讲知识点说明：一、年龄问题变化关系的三个基本规律：两人年龄的倍数关系是变化的量 1. 2. 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量； 3. 、年龄问题的解题要点是：两个人之间的年龄差不变分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系．抓住 “年龄差 ”不变．应用 “差倍”、“和倍”或“和差 ”问题数量关系式．求过去、现在、将来。 1．入手 2．关键 3．解法 4．陷阱年龄问题变化关系的三个基本规律： 1．两人年龄的差是不变的量； 2.两个人的年龄增加量是不变的； 3．两人年龄的倍数关系是变化的量；年龄问题的解题正确率保证：验算！例题精讲年龄与和差倍分问题综合【例 1】王刚、李强和小莉、小芳是两对夫妻，四人的年龄和为岁．小莉（）岁．【考点】年龄问题【难度】 3 星【题型】填空【关键词】走美杯， 3 年级，初赛【解析】通过丈夫都比妻子大 5 岁，李强比小芳大 6 岁．知道李强和小莉才是夫妻，那么小莉比李强小 5岁，王刚和小芳是夫妻，小芳比李强小 6岁，小芳又比王刚小 5 岁，可见王刚比李强小 1岁，画图如下： 132，丈夫都比妻子大 5 岁，李强比小芳大 6 我们可以先求出李强的年龄：（132+1+6+5）÷ 4=36（岁），那么小莉的年龄是： 36-5=31 （岁）。答案】小莉 31岁。例 2 】一家三口人，三人年龄之和是 72 岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的 4 倍，三人各是多少岁？

考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】妈妈的年龄是孩子的4 倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4 倍，把孩子的年龄作为 1 倍数，已知三口人年龄和是7 2 岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4 ）=8（岁），妈妈的年龄是： 8×4=32 （岁），爸爸和妈妈同岁为32 岁. 【答案】孩子 8 岁，爸爸妈妈 32岁例3】父子年龄之和是 45岁，再过 5 年，父亲的年龄正好是儿子的 4 倍，父子今年各多少岁？考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】再过 5 年，父子俩一共长了 10岁，那时他们的年龄之和是 45 10=55（岁），由于父亲的年龄是儿子的 4 倍，因而 55岁相当于儿子年龄的 4 1=5倍，可以先求出儿子 5 年后的年龄，再求出他们父子今年的年龄． 5 年后的年龄和为： 45 5 2 55（岁）； 5 年后儿子的年龄： 55 （4 1）11（岁）儿子今年的年龄： 11 5 6 （岁），父亲今年的年龄： 45 6 39 （岁）【答案】儿子 6 岁，父亲 39岁巩固】父子年龄之和是 60岁， 8年前父亲的年龄正好是儿子的 3倍，问父子今年各多少岁？考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】由已知条件可以得出， 8 年前父子年龄之和是 60 8 2 44（岁），又知道 8年前父亲的年龄正好是儿子的 3倍，由此可得：儿子：（60 8 2）（3 1）8 19 （岁）；父亲： 60 19 41（岁）【答案】父亲 41 岁，儿子 19 岁 18 岁．王老师今年 32岁，李老师今年多少岁? 考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】王老师比李老师大 20 3 18 3 6（岁）．故李老师今年的年龄为 32 6 26（岁）．【答案】 26岁例5 】小明与爸爸的年龄和是53 岁，小明年龄的4 倍比爸爸的年龄多2 岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系：小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁），爸爸的年龄是：53－11＝42（岁），小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）．答案】 31岁例6 】我们每次过生日都要吃蛋糕，一般蛋糕上面都要插蜡烛，而且蜡烛数目恰好等于他生日那天的年龄小明每年过生日都要吃蛋糕，今天又是小明的生日，从出生到今天，他的生日蛋糕共有24 根蜡烛，则小明今天过的是 _____________________________________ 岁生日．考点】年龄问题【难度】3 星【题型】填空关键词】学而思杯，4 年级，第2 题解析】 1 2 3 4 5 6 21， 1 2 3 4 5 6 7 28，无法达到 24。所以小明不是每年都能过生日，只有二月29 日会使得他每四年过一次生日。 24 4 6，6 1 2 3，小明过得是 4岁、 8岁、12岁生日。所以小明今天过的是 12岁生日。答案】 12 岁。例7】甲、乙、丙三人平均年龄为 42岁，若将甲的岁数增加 7 ，乙的岁数扩大 2倍，丙的岁数缩小 2 倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？考点】年龄问题【难度】4 星【题型】解答关键词】迎春杯，决赛解析】当遇关系复杂时，将条件分别列出，再进行解决。甲增加 7 岁后，三人总年龄是 42 3 7 133岁，并且这时丙是甲的 2倍，甲是乙的 2 倍，丙是乙的 4 倍，所

7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---

小学教师期末简短评语_小学教师评语精选

小学教师期末简短评语_小学教师评语精选小学教师期末简短评语怎么写?你尊敬师爱友，守纪听话，能按时完成作业，字迹工整，平时喜欢与人亲近，待人有礼貌。文静的女孩，学习上要多动脑筋呀，如果你上课能专心听讲，勇于发言，下面是有小学教师期末简短评语，欢迎参阅。小学教师期末简短评语 1.老师每次看到你对值日生工作认真负责，平时和同学团结友爱，性格内向，课间能积极参加活动，能爱护公物，不过，老师发现你在做作业时总是很粗心，甚至每天要错一道题，你说是吗?这是什么原因?请你找一找，只有找出来了，你才能把作业做正确。 2.聪敏懂事热情大方的你是个尊师好学，文明守纪，关心集体，助人为乐的好女孩。望学习上再细心些，把字写漂亮，百尺竿头，更进一步。 3.你尊敬师长，头脑聪明，能写一手整洁优美的铅笔字，且持之以恒，真让人佩服!只是太闷了，总看不见你举起的小手。希望你上课多动口，专心听，在学习上再主动些，在各方面更上一层楼! 4.认真执着文静可爱的小女孩，在学期临近结束之际，向你说声“辛苦了”!一直以来，语文课代表的你每天都重复着同一样烦琐的工作——收奇本子交给老师，你做得是那么的有条不紊，善始善终，从不出错。望学习也细心一点，争取更优异的成绩。 5.你是个生性好动、聪明的女孩，对于课堂上老师的提问，你能认真思考积极发言。劳动默默无闻、埋头苦干。但你有点象男孩，上课爱做小动作，贪玩，让老师生气，希望你今后改掉缺点，认准目标，加倍努力，做个人人称赞的好学

生。 6.你尊敬老师，团结同学，积极参加公益劳动，干得满头大汗，上课能专心听讲，积极举手发言，作业也能按时完成，要是你能把字写端正，考试时多检查，肯定你的成绩会更出色。 7.你是个活泼可爱、懂事的女孩，能带头参加各项活动，对人有礼貌，说话有分寸，对人热情真诚。学习主动认真，只是对于难题，你钻研得不够，老师希望你刻苦钻研，培养过硬本领，走好人生第一步，相信你一定能行! 8.当我看到你圆圆的脸，水灵灵的眼睛时，就觉得你是一个可爱的女孩，你平时观察事物很仔细，上课时能认真听讲，作业能按时完成，写得字非常漂亮，每天你都能把我们班的毛巾洗得干干净净，老师要对你说声谢谢，现在你真的比以前懂事了，老师希望你今后上课时要多发言。争取更大的进步。 9.在老师心目中，你是个文弱的男孩，上课不爱回答问题，说话也有点腼腆，可见你内心比较善良，只是在学习上你没有尽力，不像是你的作用，男孩子就应该在学习上有所作为，不要老是缩手缩脚的，大胆地投入到学习中来吧!积极参与课堂学习，树立信念，向旧的自我挑战吧! 10.你是一个聪明、文静、大方、爱清洁、爱学习的女孩，你能出好班级里的黑板报，每天领好体操，为同学做榜样，老师希望你作业时还要细心一点，你的成绩将会更优秀。 11.知道吗?开学初你的顽皮好动着实让老师头疼。欣慰的是现在你变了，那么听话守纪，认真专注，那坚持分钟的端坐身姿和以前简直判若两人，真让大家刮目相看!可是，要想取得好成绩，除了要好外，还得会动脑筋，讲究方法，望你新的一年里多和“细心”交朋友，进一步提高学习成绩。

典型应用题(年龄问题)

学生姓名：年级：小升初科目：数学授课教师：贺琴授课时间：学生签字：年龄问题年龄问题是一类与计算有关倍数的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现，有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要加以解决。解答年龄问题，要灵活运用一下三个规律： 1. 无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的； 2. 随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量； 3. 随着时间的变化，两人年龄之间的倍数关系也会发生变化。 1、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？ 2、妈妈今年的年龄是小红的4倍，3年前妈妈和小红的年龄和是39岁。妈妈和小红今年各几岁？ 3、今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍，二人今年各几岁？

4、甜甜的爸爸今年28岁，妈妈26岁，再过几年她的爸爸和妈妈的年龄和是 80岁？ 5、小雨一家由小雨和她的爸妈组成。爸爸比妈妈大3岁，今年全家年龄总和是 71岁，8年前年龄总和是49岁，今年3人各几岁？ 6、小刚说：“去年爸爸比妈妈大4岁，我比妈妈小26岁。”请你算一算，今年小刚的爸爸比小刚大几岁？ 7、老张、阿明和小红三人共91岁，已知阿明22岁，是小红年龄的2倍，问老张几岁？ 8、儿子的年龄是爸爸的1 4 ，三年前父子年龄之和是49岁。求父子现在的年龄各多少岁？ 9、妈妈今年35岁，恰好是女儿年龄的7倍。多少年后，妈妈的年龄恰好是女儿的3倍？

10、小明今年8岁，他与爸爸、妈妈的年龄和是81岁，多少年后他们的平均年龄是34岁？这时小明几岁？ 11、小冬今年12岁，五年前爷爷的年龄是小冬年龄的9倍，爷爷今年几岁？ 12、妈妈今年40岁，恰好是小红年龄的4倍，多少年后，妈妈的年龄是小红的2倍？ 13、一家三口人，三人的年龄和是72岁。妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？ 14、今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍？又过了几年后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍？ 15、三年前爸爸的年龄正好是儿子年龄的6倍，今年父子年龄和是55岁，小刚今年多少岁？