本征函数

本征函数

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在数学中，函数空间上定义的线性算子A的本征函数就是对该空间中任意一个非零函数f进行变换仍然是函数f或者其矢量倍数的函数。更加精确的描述就是

其中λ是标量，它是对应的本征值。另外本征值微分的解受到边界条件的限制。当考虑限制条件的时候，只有特定的本征值（）对应于的解（每个对应于一个本征值）。分析的最有效的方法就是检查其本征矢量是否存在。

例如，是微分算子

的本征函数，对于任意的，有对应的本征值。如果在这个系统上加上限制条件，如在空间中某两个物理位置，那么只有特定的才能满足这个限制条件，这样对应的离散本征值为. 本征函数在物理学的很多分支中都起着重要作用，其中一个重要的例子就是量子

的解的形式为

其中是本征值为的算子的本征函数。只有特定的与本征函数相关的本征值满足薛定谔方程这样的事实引出了量子力学的自然基础以及元素周期表，每个定义了一个允许存在系统能量状态。这个方程成功地解释了氢原子的谱特性被认为是20世纪物理学的一项巨大成就。

根据哈密顿算子的特性，可以知道它的本征函数是正交函数。但是对于其它算子的本征函数可能并不是这样，如上面提及的。正交函数

（）有以下特性

其中，在这种情况下集合是线性无关的。

量子力学典型例题分析解答1

浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用

共同本征函数解读

§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明 在算符A ?的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。如果测量B ，则不一定能得到确定值。 例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定 ≥???p x 对于比较普遍的情况，设有A ?，B ?两个力学量，令A A A -=???，B B B -=???， （注意在经典力学中A A A -=?） 因为A ?，B ?是厄米算符，所以A ??，B ??也是厄米算符。 考虑积分? ≥?-?=0d |)??(|)(2τψξξB i A I ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。 展开上式，有 ??????+??-??-??=?-??-?=τψψτψψψψξτψψξτ ψψξψψξξd )?(?d ]?)?()?(?[d ?(?(d ]??[??()(****2**B B B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（） 因为A ??，B ??均是厄米算符，所以有 ? ???+??-??-?=τψψτψψξτψψξξd ?d )????(d )?()(2**2*2）（B A B B A i A I （利用了厄米性） 而A B B A A A B B B B A A A B B A ????)?)(?()?)(?(????-=-----=??-?? 对? ???+??-??-?=τψψτψψξτψψξ ξd ?d )????(d )?()(2**2*2 ）（B A B B A i A I ，则 0?)????()?()(222≥?+--?=）（B A B B A i A I ξξξ 令K i A B B A ?????=-，则 0??)?(222≥?++?）（B K A ξξ 这是有关实参数的一元二次方程。 其有解的条件可由判别式给出，即

§4.9厄密算符的基本性质

§4.9厄密算符的基本性质 一、厄密算符 设u 和v 是任意两个函数，如果算符F ∧ 满足* *()u F vdx F u vdx ∧ ∧ =? ? ，式中x 代表u 和v 的所有变数，积分是在所有变数的全部区域进行的，则称算符F ∧ 为厄密算符或自轭算符。 我们前面已讨论过的坐标算符、动量算符和 能量算符都是厄密算符 例：证明动量算符x p i x ? =-?是厄密算符 证明： * ** ()x u p vdx u i vdx i u vdx x x ∧ +∞ +∞ +∞ -∞ -∞ -∞ ? ? =-=-??? ?? * *** =[()] =|i u v dx u vdx x x i u v i u vdx x +∞ +∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞ ??--??? -+???? 因为u 和v 都是满足波函数标准条件的波函数，它们在无穷远处的边界应为0，上式右边 第一项为0，而第二项可写为 * *()()x i u vdx p u vdx x +∞ +∞-∞ -∞?-=?? ?，所以有 * *()x x u p vdx p u vdx ∧ +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 故动量算符x p 是厄密算符 二. 厄密算符的性质 1. 厄密算符的本征值都是实数，表示为*λλ= 证明：设F 为厄密算符，λ表示它的的本征值，u 表示对应的本征函数，即： Fu u λ= 由厄密算符的定义式可得：**()u F udx F u udx ∧ ∧ =???**()u udx u udx λλ=??，即 ***u udx u udx λλ=??

由此得：*λλ=即λ是实数。 2. 厄密算符的本征值代表力学量的确定值 表示力学量的算符的本征值是测量该力学量可能得到的数值，这些数值必须是实数，因此表示力学量的算符必须是厄密算符。根据波函数应满足态叠加原理的要求，表示力学量的算符还必须是线性的，因此表示力学量的算符应是线性厄密算符。 那么体系处于什么状态时，力学量具有确定的数值呢? 设体系处于波函数(,)r t ψ所描写的状态。测量力学量为F ，它是一个线性厄密算符。一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值F 趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为 22*2*()()()()F F F F d F F d ττ?=-=ψ?ψ=ψ??ψ?? 因为F 是一个厄密算符，F 是一个实数，因此F ?也是一个厄密算符。因此 2*2**2 ()()()()() =()0 F F d F F d F F d F F d ττττ?=ψ?ψ=ψ??ψ=?ψ?ψ-ψ≥???? 当每次测量结果都相同，测量力学量F 所得结果完全确定时，涨落2()F ?=0。 这种状态称为力学量算符F 的本征态。在这种状态下()0F F F λ-ψ=?ψ=ψ

改进准静态本征函数法求解反应堆时空中子动力学方程

一第50卷第7期 原子能科学技术Vol.50,No.7一2016年7月Atomic Ener gy Science and Technolo gy Jul.2016 改进准静态本征函数法求解反应堆 时空中子动力学方程 李明芮1,黎浩峰1,2,陈文振1,邢一晋1, 3(1.海军工程大学核能科学与工程系,湖北武汉一430033;2.海军司令部核安全部,北京一100841;3.海军装备部驻重庆地区军事代表局,重庆一400000)摘要:本文提出一种改进准静态本征函数法并用于求解时空中子动力学方程三在改进准静态近似条件下,利用因子分解法将中子通量密度分解为幅函数和形状函数,进而采用本征函数法求解形状函数轴向和径向的近似解析解三在求解幅函数过程中,将幅函数化简为点堆模型下的形式进行求解,最终导出反应堆三维时空中子动力学方程的解析解三与其他解析法和数值解相比,改进准静态本征函数法的适用范围更广,计算速度更快三 关键词:改进准静态本征函数法;时空中子动力学;因子分解法 中图分类号:TL326一一一文献标志码:A一一一文章编号:1000-6931(2016)07-1245-06 收稿日期:2015-07-29;修回日期:2015-12-21基金项目:国家自然科学基金资助项目(11301540)作者简介:李明芮(1989 ),男,山东枣庄人,博士研究生,从事核反应堆安全分析研究doi :10.7538/y zk.2016.50.07.1245Im p roved Q uasi -static Ei g enfunction Method for Solvin g S p atial -time Neutron Kinetics E q uation LI Min g -rui 1,LI Hao -fen g 1,2,CHEN Wen -zhen 1,XING Jin 1,3 (1.De p artment o f Nuclear Ener g y Science and En g ineerin g ,Naval Universit y o f En g ineerin g ,Wuhan 430033,China ; 2.Nuclear Sa f et y De p artment o f Naval Command ,Bei j in g 100841,China ; 3.Naval E q ui p ment Bureau o f Chon gq in g ,Chon gq in g 400000,China )Abstract :一An im p roved q uasi -static method was p ro p osed to solve the s p ace -time neu -tron kinetics e q uation.Under the im p roved q uasi -static a pp roximation condition ,the neutron flux densit y was decom p osed into the ran g e -function and sha p e -function b y the factorization method.Then the a pp roximate anal y tical solutions in the axial and radial directions were obtained usin g the ei g enfunction method to solve the sha p e -function.In the solvin g p rocess ,the ran g e -function was sim p lified as the form of p oint reactor model ,and the anal y tical solution of three -dimensional s p ace -time neutron kinetic e q ua -tion for reactor was https://www.sodocs.net/doc/0e1683957.html, p ared with other anal y tical method and numerical solution ,the im p roved q uasi -static ei g enfunction method has wider a pp lication sco p e and faster com p utation s p eed.

372-关于力学量算符本征函数的正交归一性

关于力学量算符本征函数的正交归一性 一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期 量子力学中关于力学量的基本假设要求： 设某力学量用算符A ?表示，则 n n n a A ??=?（分立谱） （1） a a a A ??=?（连续谱） （2） 1 力学量用线性厄米算符表示； 2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A ?的本征函数n ?或a ?展开： n n n c ?ψ∑= （3） da a c a ?=?ψ)( （4） 3 几率描述： 在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ?、a ?均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)( 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。 例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 其归一化系数a A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数??ψim m m e A =)(的归一化系数为 π 21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所

有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 ●力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交 力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。 ●力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交 几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的

372-关于力学量算符本征函数的正交归一性

关于力学量算符本征函数的正交归一性 一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期 量子力学中关于力学量的基本假设要求： 设某力学量用算符A ?表示，则 n n n a A ??=?（分立谱） （1） a a a A ??=?（连续谱） （2） 1 力学量用线性厄米算符表示； 2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A ?的本征函数n ?或a ?展开： n n n c ?ψ∑= （3） da a c a ?=?ψ)( （4） 3 几率描述： 在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ?、a ?均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2 n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)( 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。 例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 ?????<+>=a x a x a n A a x x n n )(2sin 0)(πψ

其归一化系数a A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数??ψim m m e A =)(的归一化系数为π 21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 ● 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交 力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。 ● 力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交 几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的

厄米算符本征函数的正交性

3.4 厄米算符本征函数的正交性 力学量算符本征值，本征函数,厄米算符 现讨论厄米算符的本征函数的基本性质，正交性 动 量 算 符 的 本 征 函 数 p ψ本征值为 p 32 *1()(2) () i p r p p p r ce c d p p ψπψψτδ?' == '=-? *0p p p p d ψψτ''≠=? 属于动量算符不同本征值的两个本征函数,p p ψψ'相互正交 厄米算符的特点：本 征函数正交 证明：设力学量算符?F ， 本征值 123,,,n λλλλ 本征函数 123,,,n φφφφ 取属于不同本征值的任意两个本征波函数波函数k l λλ≠ 因为k l λλ≠所以 * 0k l d φφτ=? 以上证明过程对分立谱，连续谱都成立 但注意：对分立谱k λ组成分立谱，波函数k φ已归一* 1k k d φφτ=? 由以上两式*k l kl d φφτδ=? 其中1,0,kl k l k l δ=?=?≠? 对连续谱λ 组成分立谱，波函数λφ归一为δ 函数* ()d λλφφτδλλ''=-? 满足以上两式的函数系，称为正交归一系。 以上无简并情况 简并情况---〉同一本征值对应多个波函数（状态） 如力学量算符?F 的一个本征值n λ是f 度简并

此处多讲！一般来说以上这些函数在满足本征方程外，还有更大的自由，所以并不 一定相互正交 但我们总可以用个2f 常数, ,1,2,,ij A i j f = 把以上 f 个函数ni φ 线性组合成 f 个新函数ni ψ相互正交 上结论能否成立，关键是能否找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ满足正 交归一 即*n j n j j j d ψψτδ''=? 即 f 个新函数n i ψ相互组合，共有22 (1)222 f f f f f C -= =-个类似以上的方程且'' 0j j j j δ≠= 由归一性*1 1,2,,n j n j d j f ψψτ==? 共 f 个找到2 f 个常数i j A ， 使组成的新函数n i ψ 满足正交归一 受限制方程数22 222 22f f f f N f f C f -=+= +=+ 系数i j A 有2f 个 ，大于方程的个数N ，所以总可以找到2f 个系数i j A 组成 f 个新函数n i ψ满足正交性且新函数是力学量?F 的本征函数，本征值为n λ 即 例：力学量算符?F 某本征值λ2度简并本征函数1,2φφ本征值为λ设正交 归一的波函数 1111122 2211222c c c c ?φφ?φφ=+=+ 由正交归一** * 1211220, 1, 1d d d ??τ??τ??τ===??? 已作过的几个厄米算符的本征函数

厄米算符的对易关系(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 §6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ= ψ I. (6. 42)

2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有 ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+,

(满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为 线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄 米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有

)?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律， 即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义

A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米 算符，除非这两个厄米算符可对 易。具体而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有

§6 - 3 厄米算符的对易关系

§6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ= ψ I. (6. 42) 2 ) 算符A?和B?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有

ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++,

(满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45)

问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算

符，除非这两个厄米算符可对易。具体 而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当0]?,?[=B A 或B A A B ????=时，才有 B A B A ??)??(=+, 这时两个厄米算符A ?与B ?的积B A ??才是厄米算符。 ● 对易式满足下列恒等式： ]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A ±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A +=,