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群论(1)第三章

群论-群论基础

物理学中的群论 ——群论基础 主讲翦知渐

群论教材教材与参考书 教材: 自编 参考书群论及其在固体物理中的应用 参考书:群论及其在固体物理中的应用(徐婉棠) 物理学中的群论 (马中骐) 物理学中的群论基础 (约什)

群论-群论基础 第章群论基础 第一章 群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群

§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合 抽象代数研究的对象 什么都不是,所以什么都是 集合的直乘: C=A×B,表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”,也称为A和B的直乘,用符号表示即: , a2,…, a i,…},B={b1, b2,…, b j,…},则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2映射 定义:设A 与B 是两个集合,若有一种规则f ,使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应,这种对应规则f 的一个映射记为 就称为A 到B 的个映射,记为f :A → B f :x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象,而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则:函数

满射 单射 一一映射 逆映射:f -1 恒等映射:e 变换恒等映射: 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换,若 f 是一一映 射则称为对称变换一一变换有性质:射,则称为对称变换。变换有性质: f f -1= f -1f = e

群论

2.由函数基()21,x y x ψ=,()2,x y xy ψ=,和()23,x y y ψ=架设的三维函数空间(二次齐次函数空间)对下列二维空间转动变换R 保持不变,试计算变换R 对应的标量函数变换算符P R 在此函数基中的矩阵形式D(R): ''x x R y y ????= ? ?????,(1)1001R ??= ?-??,(2)1121R ?-=?-? ,(3)cos sin sin cos R αααα-??= ??? . 再把基()2,x y ψ=,试重新计算R P 算符的矩阵形式。 P51 13.群G 由12个元素组成,它的元素乘法表列于下表。1)找出群G 各元素的逆元;2)指出哪些元素可与群中任一元素乘积对易;3)列出各元素的阶;4)指出群G 各类包含的元素;5)找出群G 包含哪些不变子群,列出它们的陪集,并指出它们的商群与什么群同构;6)找出群G 不可约表示的特征表(方法不限); 7)试讨论群G 是否与D 6群同构,是否与T 群同构,如不同构请简要说明理由。

24.群 12)取生成元为A 和B ,它们在二维不可约表示D 中的表示矩阵分别为 ()1001D A ??= ?-??,()0110D B ??= ??? 已知下列两组函数基μψ和υφ在群G 变换中都按此二维不可约表示变换: '''()R P D R μμμμμψψ=∑,''' ()R P D R υυυυυφφ=∑. 试把乘积函数μυψφ组合成按群G 各不可约表示变换的函数基(请注明每个基所属的表示及其行)。 P112 3.分别计算下列R 和S 变换的欧拉角,并写出它们在SO(3)群表示j D 中的表示矩 阵元素()j D R υμ和()j D S υμ 1)()221,,224R αβγ? = ? ? 2)()21,,68S αβγ= --?

狭义相对论应用

第13讲:狭义相对论——应用 内容:§18-4,§18-5 1.狭义相对论的时空观(50分钟) 2.光的多普勒效应 3.狭义相对论动力学的几个结论(50分钟) 4.广义相对论简介 要求: 1.理解狭义相对论的时空观,包括同时性的相对性、长度的收缩与时 间的延缓 2.了解光的多普勒效应。 3.掌握狭义相对论动力学的几个结论,明确当物体运动速度V〈〈C时,相对论力学过渡到牛顿力学,牛顿力学仅适用于低速动动的物体。 4.了解广义相对论的意义。 重点与难点: 1.狭义相对论时空观的理解。 2.狭义相对论动力学的主要结论。 作业: 问题:P213:7,8,9,11 习题:P214:11,12,13,14 复习: ●伽俐略变换式牛顿的绝对时空观 ●迈克尔逊-莫雷实验 ●狭义相对论的基本原理

2 1111β -=,2 2221β -= 2 121β-= 21β -= 2 1β -'21β-'l 观察者与被测物体有相对运动时,长度的测量值等于其原长的21β-倍,即相对观察运动,则在运动方向上缩短,只有原长的21β-倍;??+2v ??+2v

()t t t t t t '?='-'=-=?γγ21/β-

,x x 1=,空间间隔为x x 1='() () 112 122 1212c v c v -= -=(() 2 21c v c --=(() (1222 c c v c =-=()c x x 342 12 12 12=???-??'-'-1033?=?=8103999.0??= =v ()2 1c v t -' ()22 999.011-?=-c v t 23c

知识讲解 相对论简介

相对论简介 编稿:张金虎审稿:XXX 【学习目标】 1.理解经典的相对性原理. 2.理解光的传播与经典的速度合成法则之间的矛盾. 3.理解狭义相对论的两个基本假设. 4.理解同时的相对性. 5.知道时间间隔的相对性和长度的相对性. 6.知道时间和空间不是脱离物质而单独存在的 7.知道相对论的速度叠加公式. 8.知道相对论质量. 9.知道爱因斯坦质能方程. 10.知道广义相对性原理和等效原理. 11.知道光线在引力场中的弯曲及其验证. 【要点梳理】 【高清课堂:相对论简介】 要点一、相对论的诞生 1.惯性系和非惯性系 牛顿运动定律能够成立的参考系叫惯性系,匀速运动的汽车、轮船等作为参考系就是惯性系.牛顿运动定律不成立的参考系称为非惯性系.例如我们坐在加速的车厢里,以车厢为参考系观察路边的树木房屋向后方加速运动,根据牛顿运动定律,房屋树木应该受到不为零的合外力作用,但事实上没有,也就是牛顿运动定律不成立.这里加速的车厢就是非惯性系. 相对于一个惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系. 2.伽利略相对性原理 力学规律在任何惯性系中都是相同的.即任何惯性参考系都是平权的. 这一原理在麦克尔逊—莫雷实验结果面前遇到了困惑,麦克尔逊—莫雷实验和观测表明:不论光源与观察者做怎样的相对运动,光速都是一样的. 3.麦克尔逊—莫雷实验 (1)实验装置,如图所示. (2)实验内容:转动干涉仪,在水平面内不同方向进行光的干涉实验,干涉条纹并没有预期移动. (3)实验原理: 如果两束光的光程一样,或者相差波长的整数倍,在观察屏上就是亮的;若两束光的光程差不是波长的整数倍,就会有不同的干涉结果.由于1M 和2M 不能绝对地垂直,所以在观察屏上可以看到明

狭义相对论的一些介绍

狭义相对论的一些介绍 狭义相对论从提出到现在已经一百多年了,人们对这个理论的认识自然也不能一直停在一百多年前。这篇帖子就是想要帮助大家重新整理一下狭义相对论的思路。 一、我们先来复习一下如何算一条线段的长度。 如果我们在平整的地面画一条短线,如何计算线的长度?这个谁都会算,那就是末端的坐标减去始端的坐标,比如用尺子量, 拿到始端和末端的读书,相减得到直线的长度。 这里量一条直线,一维坐标系就可以了。但是如果我们偏偏要找麻烦呢?非要把这条直线斜着量?那也简单的很:

要测量线段长度也不过是测量出「甲」和「乙」的长度,然后勾股定理算出来。也就是(末端横坐标 - 起始端横座标)^2 + (末端纵坐标 - 起始端纵座标)^2 明显是把这条线拆解成横着的和纵的的嘛~ 如果我们再找麻烦,非要在一个三维的坐标系中来计算呢?那也不难,依葫芦画瓢,把线端拆成三部分:横、纵、竖,这样一来,计算方法就是: (末端横坐标 - 起始端横座标)^2 + (末端纵坐标 - 起始端纵座标)^2 + (末端竖坐标 - 起始端竖座标)^2 依次类推,可以放到任意正整数维的坐标系里面来算。 可是,实际上有个问题,我们这样算长度,是有条件的。那,当然这些方法来自于我们的生活经验,我们的生活经验是,时间是用来给不同的事件加标签用的,加了时间标签就可

以知道事情发生的先后顺序了。 二、闵可夫斯基空间 但是 Einstein 的狭义相对论提出了一种很棒的思路,就是为什么我们非要把自己的眼界放在三维空间中呢?我们可以把时间也放进来作为一个坐标分量,而我们不再去算两个地点的空间距离,而是去算发生的两个事件的间隔(既包含了时间部分,又包含了空间部分)。 我们继续前面的思考。 计算两个点的空间距离的方法我们已经掌握了,那么我们如何通过一种方法来把时间因素也加进来呢? 我们的方法是通过定义一种新的两点距离的计算方法来实现的。我们上面的那种计算两点距离的方法,是在欧几里得空间的距离的计算方法,我们在狭义相对论中定义的新的方法是闵科夫斯基空间的距离计算方法。 比如我们要计算「事件甲」和「事件乙」之间的时空间隔,事件甲发生在「地点甲」,事件乙发生在「地点乙」,那么时空间隔的计算方法是: (地点乙横坐标 - 地点甲横座标)^2 + (地点甲纵坐标 - 地点乙纵座标)^2 + (地点甲竖坐标 - 地点乙竖座标)^2 - (时间乙发生的时间 - 时间甲发生的时间)^2 看啦,只不过是把时间差减掉而已。细心的读者立刻就会提到一个问题: 「咦?你这个计算方法有毛病嘛!!量纲不统一的啊!!!」 没错,你掌握了物理的一大精髓啊,量纲分析是推导完成后首要任务的。不过这里的要改进也忒简单了点,改成这样: (地点乙横坐标 - 地点甲横座标)^2 + (地点甲纵坐标 - 地点乙纵座标)^2 + (地点甲竖坐标 - 地点乙竖座标)^2 - (时间乙发生的时间 - 时间甲发生的时间)^2 * 某个速度^2 好了嘛。其实这就是 1907 年 Minkowski 对 Einstein 的狭义相对论的解释,而这种解释,就是那个年代最杰出的解释。 如果能明白这个距离的定义,狭义相对论最重要的一点您就掌握了。 三、「某个速度」 可是可是,这个「某个速度」是嘛意思啊?这是个什么速度啊??? 什么速度捏?我们只好去搜肠刮肚,找遍我们已知的整个物理规律,发现这样一件很奇妙的事情。那就是 Maxwell 方程组,把四个方程化简下,得到电磁波的波动方程。波动方程告诉我们这样一件事情,那就是这个波速跟时间和空间坐标都没关系。什么意思啊?那就是说这个电磁波的波速不管我们是站在路上看,还是骑车看,还是坐火车看,这个波速都是

狭义相对论的整个推导过程

狭义相对论的整个推导过程 一、两大假设 1.惯性系的平权 2.光速不变原理 二、洛仑兹变换 令x’=k1(x-ut) x=k2(x’+ut’) 根据假设1,有k1=k2 令k1=k2=γ 所以x’x=γ^2(x-ut)(x’+ut’) 根据假设2,有 x=ct,x’=ct’ 所以c^2tt’=γ^2(c-u)(c+u)tt’ 所以γ=1/sqr(1-u^2/c^2) 所以x’=γ(x-ut) x=γ(x’+ut’) 由x’=γ(x-ut),得 ct’=γ(x-ut) 所以t’=γ(x/c-ut/c) 所以t’=γ(t-ux/c^2) 同理,有t=γ(t’+ux’/c^2) 因为很自然的有 y’=y,z’=z y=y’,z=z’ 所以 x’=γ(x-ut) x=γ(x’+ut’) y’=y y=y’ z’=z z=z’ t’=γ(t-ux/c^2) t=γ(t’+ux’/c^2)

其中:γ=1/sqr(1-u^2/c^2) 三、洛仑兹速度变换 v x’=dx’/dt’=(dx’/dt)*[1/(dt’/dt)]=(v x-u)/(1-uv x/c^2) v y’=dy’/dt’=(dy’/dt)*[1/(dt’/dt)]=v y sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2) v z’=dz’/dt’=(dz’/dt)*[1/(dt’/dt)]=v z sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2) 同理,有 v x=(v x’+u)/(1+uv x’/c^2) v y=v y’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2) v z=v z’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2) 所以 v x’=(v x-u)/(1-uv x/c^2) v x=(v x’+u)/(1+uv x’/c^2) v y’= v y sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2) v y=v y’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2) v z’=v z sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2) v z=v z’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2)四、 因为t’=γ(t-ux/c^2) 所以t1’=γ(t1-ux1/c^2) t2’=γ(t2-ux2/c^2) 所以t’=t2’-t1’=γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2] (x1=x2) 所以t’=γt 又因为x=γ(x’+ut’) 所以 x1=γ(x1’+ut1’) X2=γ(x2’+ut2’) 所以l0=x2-x1=γ[(x2’-x1’)+u(t2’-t1’)] 所以l0=γl 所以l=l0/γ 所以 t’=γt’, l=l0/γ其中:γ=1/sqr(1-u^2/c^2) 五、

相对论简介

相对论简介 教学目的: 1.了解相对论的诞生及发展历程 2.了解时间和空间的相对性 3.了解狭义相对论和广义相对论的内容 教学重点:时间和空间的相对性、狭义相对论和广义相对论 教学难点:时间和空间的相对性 教学过程: 一、狭义相对论的基本假设 牛顿力学是在研究宏观物体的低速(与光速相比)运动时总结出来的.对于微观粒子,牛顿力学并不适用,在这一章中我们还将看到,对于高速运动,即使是宏观物体,牛顿力学也不适用. 19世纪后半叶,关于电磁场的研究不断深入,人们认识到了光的电磁本质.我们已经知道,电磁波是以巨大的速度传播的,因此在电磁场的研究中不断遇到一些矛盾,这些矛盾导致了相对论的出现. 相对论不仅给出了物体在高速运动时所遵循的规律,而且改变了我们对于时间和空间的认识,它的建立在物理学和哲学的发展史上树立了一座重要的里程碑. 经典的相对性原理 如果牛顿运动定律在某个参考系中成立,这个参考系叫做惯性系,相对一个惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系. 我们引用伽利略的一段话,生动地描述了一艘平稳行驶的大船里发生的事情.“船停着不动时,你留神观察,小虫都以等速向各方向飞行,鱼向各个方向随意游动,水滴滴进下面的罐中;你把任何东西扔给你的朋友时,只要距离相等,向这一方向不比向另一方向用更多的力.你双脚齐跳,无论向哪个方向跳过的距离都相同.当你仔细观察这些事情之后,再使船以任何速度前进,只要运动是匀速的,也不忽左忽右地摆动,你将发现,所有上述现象丝毫没有变化.你也无法从其中任何一个现象来确定,船是在运动还是停着不动”通过这段描述以及日常经验,人们很容易相信这样一个论述:力学规律在任何惯性系中都是相同的.这个论述叫做伽利略相对性原理.相对性原理可以有不同的表述.例如还可以表述为:在一个惯性参考系内进行任何力学实验都不能判断它是否在相对于另一个惯性参考系做匀速直线运动;或者说,任何惯性系都是平权的. 在不同的参考系中观察,物体的运动情况可能不同,例如在一个参考系中物体是静止的,在另一个参考系中看,它可能是运动的,在不同的参考系中它们运动的速度和方向也可能不同.但是,它们在不同的惯性系中遵从的力学规律是一样的,例如遵从同样的牛顿运动定律、同样的运动合成法则…… 光速引起的困难 自从麦克斯韦预言了光的电磁本质以及电磁波的速度以后,物理学家们就在思考,这个速度是对哪一个参考系说的?如果存在一个特殊的参考系O,光对这个参考系的速度是c,另一个参考系O′以速度v沿光传播的方向相对参考系O运动,那么在O′中观测到的光速就应该是c-v,如果参考系O′逆着光的传播方向运动,在参考系O′中观测到的光速就应该是c+v. 由于一般物体的运动速度比光速小得多,c+v和c-v与光速c的差别很小,在19世纪的技术条件下很难直接测量,于是物理学家们设计了许多巧妙的实验,力图测出不同参考系中光速的差别.最著名的一个实验是美籍物理学家麦克尔逊设计的.他把一束光分成互相垂直的两束,一束的传播方向和地球运动的方向一致,另一束和地球运动的方向垂直,然后使它们发生干涉,如果不同方向上的光速有微小的差别,当两束光互相置换时干涉条纹就会发生变化.由于地球在宇宙中运动的速度很大,希望它对光速能有较大的影响.但是,这个实验和其他实验都表明,不论光源和观察者做怎样的相对运动,光速都是相同的.这些否定的结果使当时的物理学家感到震惊,因为它和传统的观念,例如速度合成的法则,是矛盾的.

群论 第一章

第一章第一章 抽象群概论 §1 什么是群什么是群??群公理 不同元素的集合不同元素的集合,,赋予一定的合成规则赋予一定的合成规则((称为群称为群““乘法乘法””—— 加、乘、对易子等对易子等)。)。满足下列满足下列条件条件((群公理群公理)) : (1)封闭性 i g 和G g j ∈,则G g g g k j i ∈=?; (2)结合律 )()(k j i k j i g g g g g g ??=??; (3)存在唯一的单位元素e (或E )G ∈ ,对任一元素j g 有j j j e g g e g ?=?=; (4)对每一元素有逆元对每一元素有逆元,,对i g 有 1 ?i g ,使e g g i i =??1 。 阶 —— 群元的个数群元的个数::阶有限为有限群阶有限为有限群;;阶无穷为无限群阶无穷为无限群。。无限群又分无限离散和无限连续无限群又分无限离散和无限连续。。 注:1. 乘法不可对易乘法不可对易,,即i j j i g g g g ?≠?。若可对易若可对易,,则称为阿贝尔称为阿贝尔((Abel )群。 2. 若G c b a ∈,,,则G 中包含p l k c b a ,,(其中p l k ,,为整数为整数))。 例1.复数1,i ,-1,-i 组成四阶群组成四阶群。。 四阶循环群 —— 由一个元素由一个元素,,i (或-i )出发出发,,由它及其幂由它及其幂次次生成整个群G ,称为循环群称为循环群。。循环群必是阿贝尔群环群必是阿贝尔群。。n 阶循环群可表为{23,,...n a a a a e =}。 例2.所有实数组合所有实数组合,,加法运算下成群加法运算下成群。。全体正实数在乘法运算下成连续群全体正实数在乘法运算下成连续群。。 例3.定轴转动定轴转动::Π<Θ≤20,)2(SO 无限连续群无限连续群。。特例 —— 转角为m 倍n π ?2=构成n 阶群n C ;定点转动定点转动((三维空间转动三维空间转动)) :),,(γβαR ,)3(SO 群。 例4.两矩阵 ?? 1001....1001在矩阵乘法下成群在矩阵乘法下成群。。 例5.所有非奇异n 阶矩阵阶矩阵((n n ×,detA 0≠)在矩阵乘法下成群在矩阵乘法下成群。。 例6.若K 为正整数为正整数。。K 个正整数0,1,2…K 1?在加法模K 下成群下成群((钟群钟群)) 。 加法模K :()/l m K +的余数的余数。。 例7.若P 为大于1的素数的素数,,则P 1?个整数1,2…P 1?在乘法模P 下成群下成群。。 乘法模P :/lm P 的余数的余数。。 阶3≤n 的群必是循环的群必是循环群群。 循环群必是阿贝尔群循环群必是阿贝尔群,,但反之不真但反之不真。。如四阶V 群:{}c b a e ,,,满足;c ba ab == ;a cb bc == ;b ac ca == 222a b c e ===。 c b a ,,称为二阶元称为二阶元,,即若e a k =,则k 为a 的阶的阶。。 V 群是最低阶的非循环群群是最低阶的非循环群,,物理上对应于Lorentz 时空变换群时空变换群::e —— 恒等变换恒等变换;;a —— 空

狭义相对论基础简介5 洛伦兹变换

五、洛伦兹变换 1、以伽利略和牛顿为代表的经典物理学认为存在一个“绝对时空”。时间在任何系统中都是均匀流逝的,与物质的运动无关;空间不过是物质运动的背景;时间与空间完全独立,空间不能干扰时间,时间也无法干扰空间。 在此认识的基础上,两个惯性系之间的坐标变换遵从“伽利略变换”。如图,有惯性系S 与S ′,他们的只在x 轴有相对运动速度为v ,而在其他两个维度没有相互运动,以两个惯性系坐标原点重合为计时0点,S 系中任意一点P 的坐标(x ,y ,z )在S ′系中为表达为P ′(x ′,y ′,z ′),坐标变换形式如下: ?????íì===+=?????íì===-=' '''''''t t z z y y vt x x t t z z y y vt x x 或 以上变换形式似乎是天经地义的事情。但根据光速不变原理,运动的物体时间膨胀且空间收缩,在S 系中P 点是不运动的,但在S ′系看来P 点以速度v 朝反方向移动。 2、狭义相对论的两个基本假设 (1)光速不变 (2)在任何惯性系中时间与空间都是均匀的 3、推导 3.1 因为y 轴与z 轴没有相互运动,所以y ′=y ,z ′=z 是很容易得到的。 3.2 根据假设(2),两个惯性系中的坐标变换必须是线性的。可以设)''(vt x k x +=,那么)(''vt x k x -=,由于两个坐标系地位等同,完全对称,因此k=k ′,)('vt x k x -=。 3.3 根据假设(1),从计时0点瞬间从坐标原点发出一粒光子,在S 系中光子移动的距离(或光子此时的坐标)为x =ct ,在S ′系中光子移动的距离(或光子此时的坐标)为x ′=ct ′ 得到: ))((')'')(()'')(()]([)]''([''2222v c v c tt k vt ct vt ct k vt x vt x k vt x k vt x k tt c xx +-=+-=+-=-×+== 即:))((22v c v c k c +-= 解出:22 1c v k -= 3.4 将以上k 值带入)''(vt x k x +=和)('vt x k x -=中,得到 y y'

p144-173 讲稿北师大的群论

第三章 完全转动群 复习: 正当转动矩阵为 ?? ? ? ? ??-++------++-+----+=)cos 1(cos sin )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1() cos 1(cos sin )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1()cos 1(cos 2 2 2?ν?? λ?νμ?μ?νλ?λ?μν?μ??ν?μλ?μ?λν?ν?λμ?λ?R 可以验证满足detR=1, ?χcos 21)(+=R 用欧拉角表示的正当转动矩阵 ???? ? ? ?-????? ? ?-????? ? ?-=10 00cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos 10 00cos sin 0sin cos ),,(γγ γγ ββββαα ααγβαR ?? ? ? ? ??+-+---=βγββγβαγαβαγγαγβαβαγ αβαγγ αγβαcos sin sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos 可以验证 1),,(det =γβαR 三维空间中全部的正当转动,构成三维空间中的正当转动群,或称为三维完全转动群。记作SO(3). 三维空间中全部的正当转动与非正当转动,

构成一个群,称为三维空间中的正交群, 或称为三维转动反演群。 记作O(3). §3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示 函数变换算符P R z L i z e P ?,θθ -= (3.2-5) L i e P ?- =ωθθω?,? (3.2-18) 下面构造SO(3)群的12+l 维的表示: l 一定的12+l 个球谐函数),(?θm l Y ,构成一个 12+l 维的完备的表示空间 ∑= ' '',?),?(),(),(m m m l m l m l D Y Y P αω ?θ?θαω 表示的特征标: α α?α?θθ?θim m l im m l m l z e Y e P Y P --==),()(cos ),() (, 得到第m 列的表示矩阵元 m m im m m l e z D ''),(δαα -= (3.2-28) 表示矩阵为

北大.群论.讲义.王宏利.第一章习题

1.1 证明:只有一个三阶群。 1.2 证明:两个子群的交集为子群。 1.3 证明:有两个四阶群,并且都是阿贝尔群。 1.4 生成矩阵群,它的两个元素是:?? ??????????-0110,0110,此群的阶是多少,共有多少个共轭类。 1.5 试问下列三个矩阵在矩阵乘法下是否组成一个群: ????? ???????=????????????=????????????=0010000110000100,0100001000011000,1000010000100001B A E 。 至少需要添加几个矩阵才能构成群,求出这些增加的矩阵,以及群的共轭类。 1.6 考虑下列六个函数的集合: x x x f x x f x x f x x x f x x f x x f /)1()( );1/(1)( ;/1)(); 1/()( ;1)( ;)(654321-=-==-=-==, 定义两个函数的合成运算为把一个函数替换到另一个中,如))(())((3535x f f x f f =。证明该集合在此合成法则下是一个群,且该群与正三角对称性群(二面体群)D 3群同构。 1.7 设C i 为群中一个类,C i *为C i 中元素的逆的集合,证明C i *也是一个类。 1.8 求出下列置换的逆, ???? ??=64821753876543211p ,??? ? ??=34718652876543212p , 并验证1112121)(---=p p p p 。 1.9 找出三阶对称群S3的所有子群,并指出哪个子群是不变子群,哪个子群是 含元素(123)的循环群。 1.10求6阶循环群的所有不变子群,以及其对应的商群。 1.11用两个元素A 和B 生成一个群使得它仅仅遵从关系式A 2=B k =(AB)2=E, 式中 k 是大于1的有限整数。 1.12求D 3群的自同构群,它是内自同构群吗? 1.13设群只有一个阶为2的元素h ,证明:对任意g ∈G ,有gh=hg 。 1.14在D 4群中,取子群},,,{321r r r e G =,},{2a e G =,证明:214G G D S ?=。

相对论知识点

高二物理《相对论简介》知识点学习 相对论分为广义相对论和狭义相对论,高二物理相对论简介知识点介绍了在不同的惯性参考系,一切物理规律都是相同的精彩内容,赶紧收藏了! 1、惯性系:如果牛顿运动定律在某个参考系中成立,这个 参考系叫做惯性系。相对于一个惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系。相对于一个惯性系做变速运动的另一个参考系是非惯性系,在非惯性系中牛顿运动定律不成立。 2、伽利略相对性原理:力学规律在任何惯性系中都是相同的。 3、狭义相对性原理:一切物理定律在任何惯性系中都是相 同的。 4、广义相对性原理:物理规律在任何参考系中都是相同的。 5、经典速度变换公式(是矢量式) 6、狭义相对论的两个基本假设:

(1)狭义相对性原理,如3所述; (2)光速不变原理:真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的。 7、广义相对论的两条基本原理: (1)广义相对性原理 (2)等效原理:一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价。 8、由狭义相对论推出的六个重要结论(所有结论都已经完全得到证实): (1)“同时”是相对的。 (2)长度是相对的。 (3)时间是相对的。

(4)质量是相对的。 (静质量)是在相对被测物静止的参考系中所测得的质量(动质量)是在相对被测物以速运动的参考系中所测得的质量。 (5)相对论速度变换公式 (6)相对论质能关系公式: 9、由广义相对论得出的几个结论: (1)物质的引力场使光线弯曲。如远处的星光经过太阳附近时发生偏折。 (2)物质的引力场使时间变慢。如引力红移:同种原子在强引力场中发光的频率比在较小引力场中发光的频率低。 10、根据经典相对性原理:在一个惯性系内进行的任何力学实验都不能判断这个惯性系是否相对于另一个惯性系做匀速直线运动。 11、狭义相对论指出:光速C是自然界中速度的极限。

狭义相对论基础简介7 质量增大

七、质量增大 1、有两个惯性系S 与S ′, S ′相对于S 与向右以速度u 作匀速直线运动。 2、现在某人在S ′系中,有一个相对静止的质量为M 的物块在某一时刻裂分为质量相同的两个物块A 、B , 并超 x ′轴向左右两个方向飞去。 根据质量守恒:M m m B A 2 1''== 根据动量守恒:) (0'0''''>=×+×B B B A A v v m v m 解得:'''v v v B A -=-= 3、S 系的人观察A 、B 这两个物块,设他测得的A 块的质量为m A ,速度为v A ;B 块的质量为m B ,速度为 v B 。 根据质量守恒:M m m B A =+ (1) 根据动量守恒:u M v m v m B B A A ×=×+×………(2) 3.1 根据速度合成公式求得速度v A 与v B '1''1'c uv v u c uv v u v A A A --=++= ,'1''1'c uv v u c uv v u v B B B +×=++= 为了计算方便,假定u v =' 以上两式计算结果为: 0=A v (3) 2212c u u v B +=………(4) 将(4)式进行整理得到:

2 222 2222 22 112442022)1(c v c v c v c v u v u u c v u c u v B B B B B B B ×-±=-±==+×-×=+×解得: 由于u < v B < c 故:22211c v c v u B B ×--=………(5) 3.2 由于0=A v ,相对于S 系静止,它的质量为“静质量”m 0 即:m A = m 0 (6) 3.3 将(3)、(5)、(6)带入(1)与(2),重新得到方程组 ??? ??íì×--×=×=+222011c v c v M v m M m m B B B B B 解得: 220 1c v m m B B -= (6) 4、一般地,可将(6)式写为: 这就是运动物体质量增大的表达式。

群论第一章‘作业’

1. G 是实数对(a,b ),a ≠0的集合,在G 上定义乘法(a,b )?(c,d )=(ac,ad +b )。证明G 是群。 2. 证明所有的2维转动 (cos θsin θ?sin θcos θ),θ∈,0,2π) 构成群。 3. 证明:上三角矩阵 (1α01),α∈R 在矩阵乘法下构成群。 4. 在偶数阶群G 中,方程g 2=1总有偶数个解。 5. 设G 是一个半群。如果 i) G 中含有左单位元e ,即,?g ∈G,ea =a , ii) G 中每个元素a 都有左逆a ?1,使得a ?1a =e , 试证G 是群。 6. 令G 是半群。如果对任意a,b ∈G ,方程xa =b 和方程ay =b 在G 内有解,则G 是群。 7. 设A,B 是群G 的两个子群。试证:AB ≤G 当且仅当 AB =BA 。 8. 如果R 是群G 对于子群A 的右陪集代表元系,则R ?1是群G 对于A 的左陪集代表元系。 9. 群G 的指数为2 的子群一定是G 的正规子群。 10. 证明群G 的中心C(G)是正规子群。 11. G 是实数对(a,b ),a ≠0的集合,在G 上定义乘法(a,b )?(c,d )=(ac,ad +b )。试证 K =*(1,b )|b ∈R +是G 的正规子群,且G K ??R ?。这里R 是实数集合,R ?是非零实数的乘法群。 12. 证明正实数乘法群和实数加法群同构。 13. N ?G 。证明映射 π:G →G N ?,π(g )=gN =g? 是同态映射,并求同态核ker π。 14. 试求群SU (3)={U|U ?U =1,det U =1;U jk ∈C,j,k =1,2,3.}的中心。 15. 设f:G →H 是群同态。证明:如果g ∈G 是有限阶元素,则f (g )的阶整除g 的阶。 16. 如图,正四面体有哪些对称轴?写出正四面体对称群T 中的所有元素,并按图中的顶点编号给出其置换表示。 17. 给出正三角形对称群D 3对于其3阶子群的左诱导表 示。 18. G =K ?H,N H =*(1K , )| ∈H +?H,N K = *(k,1H )|k ∈K +?K ,证明(1)N H ?G ,(2)N K ?G ,(3)N K N H =G 。 19. 给出正方形对称群D 4的所有元素,并找出其所有的共轭等价类。 20. 在D 4群中,记所有的纯转动构成的子群为R ;绕某一个对角线(如BD )转1800为a ,子群*e,a +记做M 。证明D 4?R ?S M 。 21. 如图所示,玩具的两个圆盘可以各自绕中心旋转。求这个玩具的变换群,作它的置 换表示。说明是否可以变成下面的两种图样;如果可以,按什么步骤可以做到。 1 2 3 44

群论电子版第四章

第四章点群及其应用 4.1 点群 点群是正交群?的离散子群.离散群?是指这个群对三维空间中的任意矢量?作用后,得到点集 ? 并使空间的每一个有界子集中只包含这个点集的有限个点。在点群的全部正交变换下三维空间至少有一点是不动的,所以,点群不包括平移(等距离变换),点群是有限的离散群。 如果一个系统在某一正交变换下不变(即与自身重合),那么这个变换就是系统的一个对称操作.一个系统拥有的对称操作越多,表明它的对称性越高.一个系统的全部对称操作组成的群是点群,称为这个系统的对称性群。乍看起来,点群好像会有很多,其实不然.下面就来找出全部可能的点群。 正当转动点群由于正当转动与非正当转动是一一对应的,所以可先从正当转动出发,找出全部可能的正当转动点群,然后适当地配上非正当转动,就可以找到全部可能的点群。 正当转动点群的群元都是一些绕某轴转动?角的操作(记作? ),而且同样的操作连续实行m次的的话,系统应与最初情况一样,即?。因此,m是大于等于1的整数。相应于? 转动轴则称为m度轴。如果能够知道在三维空间中能有几种m 度轴,而且这些m度轴是如何配置组成正当转动点群的,那么,正当转动点群的数目也就知道了。这种设想可以用下面的方法来实现。 以坐标原点为球心画一个单位半径的球。如果存在一个m度轴的话,那么这个轴就必与球面交于两点?及?。当绕这m度轴转动时,球面上的点将移动至球面上的其他位置(如从?),但?和?却保持不动,这种点成为极点。若转轴是一个m度轴,则极点就称为m重极点。绕m度轴转动的操作是?,?,?,这些操作构成了一个循环群?,它是点群?的一个子群。可见子群?的每个群元都保持m重极点?,?不动。如果点群?不是子群?本身,那么,必然存在某些群元?而不属?。?也是一个转动操作,其作用是m重极点从?移动到?(?移动到?)处,?点同样也是m重极点,因为?表示由于?的作用,m度轴?移至?,转动?角后又将?轴转回?处。可见?轴是与?轴等价的m度轴(?,?是共轭元),而?则与?一样是个m重极点。由群?中的操作(如?)联系起来的极点的集合{?}称为一个极点星,用?来标记。其中m是转动的度数,?是极点的个数。?点和?点有时属于同一组星,有时由于群中没有把?点变到?点的操作而分属不同的星。极点星中的极点数?就是点群?按子群?作陪集分解时陪集代表元的数目。因为陪集代表元?不属于?,可将极点?移至?。若点群?还包含有另外的?度轴,则?亦可按子群?的陪集分解而得到另一组?重极点的极点星?。设点群共有?组极点星,则共有?个极点。由于点群?的阶为?,除单位元外,?个群元中的每一个都有两个极点,所以群?应有?个极点。于是? 4.1——1 由点群?按子群?的陪集分解: ? 得 ? 4.1——2 其中?为群?的阶,将上式带入式?,即得 ? 4.1——3 因为出去恒等操作自身组成群?外,?与?都应是大于2的整数。所以,式?右边满足不等式 ? 4.1——4 因此,式?的左边也满足不等式

狭义相对论基础简介9 四维时空

九、狭义相对论总结与四维时空 1、狭义相对论的两个公设 (1)光速不变 (2)在一切惯性系中物理学规律保持不变 2、从以上两条假设可以推导出洛伦兹变换 ?????? ? ? ?????íì--===--=2222 2 1'''1)('c v x c v t t z z y y c v vt x x 或 ?????? ? ? ?????íì -+===-+=2222 2 1''' '1)''(c v x c v t t z z y y c v vt x x 我们定义: 3、洛伦兹变换为 4、速度合成公式为

5、从洛伦兹变换可以推导一系列时空效应 ?? ?? ??? í ì×==×==×=2 020 c m mc E m m l l t t g g g g 质能方程:质量增大:空间收缩:时间膨胀: 6、四维时空 在闵可夫斯基(爱因斯坦的大学数学老师,20世纪排名前100的数学家)看来,时间和空间是互相不独立的,他提出了“四维时空”的概念。在四维时空中,时间坐标轴t 与空间的三个坐标轴x ,y ,z 均相互垂直(这在三维世界中的是无法用形象的图形表达出来的),时间坐标轴t 有一个特定,它只能取正值或零而不能取负值(不允许时间倒流)。 闵可夫斯基认为,任何物质在“四维时空”中的运动合速度都是光速c ,如果某一物质在时间轴方向运动速度越快,则其在空间中的速度就越低;反之,如果在空间中的运动速度越快,则在时间中的运动速度就越低。 如图,两个物质A 与B 在时空中运动,他们的速度都是c ,他们在时间坐标与空间坐标的分量表达通式为: q q sin ][cos ][×=×=c t v c s v 其中表示速度c 与空间坐标space 的夹角。 夹角θ越大,表明物体在空间中运行速度越慢,在时 间中运行速度越快;θ越小,物体在空间中运行速度越快,在时间中运行速度越慢。看来这个夹角与物体在空间中运行速度有关。图中,A 物质在空间中速度较低,而B 物质在时间中速度较低。 time space A B

广义相对论简介由牛顿力学到狭义相对论基本观念的发展是其一

广义相对论简介 由牛顿力学到狭义相对论,基本观念的发展是,其一:由一切惯性系对力学规律平权到一切惯性系对所有物理规律平权;其二:由绝对时空到时空与运动有关。 爱因斯坦进一步地思考:非惯性系与惯性系会不平权吗?物质与运动密不可分,那么时空与物质有什么关系? 关于惯性和引力的思考,是开启这一迷宫大门的钥匙,最终导致广义相对论的建立。 一、广义相对论的基本原理 1. 等效原理 (1) 惯性质量与引力质量 实验事实:引力场中同一处,任何自由物体有相同的加速度a 。 根据上述事实及力学定律,可得任一物体的惯性质量m I 与引力质量m G 满足==)(g a I G m m 常量,与运动物体性质无关,选择合适的单位,可令I m =G m =m ,即惯性质量与引力质量相等。从而,在引力场中自由飞行的物体,其加速度a 必等于当地的引力强度g 。 (2) 惯性力与引力 已知在非惯性系中引入惯性力后,可应用力学规律,而惯性力m m F I I ∝∝。在此基础上,讨论下述假想实验。 自由空间中的加速电梯S '(如图1) 以S '为参考系,无法区分ma 是惯性力还是引力。因此,也可以认为S '是在引力场中匀速运动的电梯。 引力场中自由下落的电梯S *(如图2) 以S *为参考系,无法区分是二力平衡还是无引力。因此,也可认为S *是自由空间中匀速运动的电梯。

′ 图1 自由空间中的加速电梯S ′ 图1 引力场中自由下落的电梯S * 以上二例表明,由I m =G m ,可导出惯性力与引力的力学效应不可区分,或者说,一加速参考系与引力场等效。当然,由于真实引力场大范围空间内不均匀,因此,这种等效只在较小范围空间内才成立,我们称之为局域等效。 (3) 等效原理 弱等效原理:局域内加速参考系与引力场的一切力学效应等效。 强等效原理:局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效。 广义相对论的等效原理是指强等效原理。 (4) 对惯性系的再认识——局域惯性系 按牛顿力学的定义,惯性定律成立的参考系叫惯性系。恒星参考系是很好的惯性系,不存在严格符合此定义的真正的惯性系。惯性系之间无相对加速度。 按爱因斯坦的定义,狭义相对论成立的参考系,或(总)引力为零的参考系叫惯性系。因此,以引力场中自由降落的物体为参考的局域参考系是严格的惯性系,简称为局惯系。 引力场中任一时空点的邻域内均可建立局惯系,在此参考系内运用狭义相对论。同一时空点的各局惯系间无相对加速度,不同时空点的各局惯系间有相对加速度。 2. 广义相对性原理 原理叙述为:一切参考系对物理规律平权,即物理规律在一切参考系中的表述形式相同。 为了在广义相对性原理的基础上建立广义相对论理论,爱因斯坦所做的进一步工作是使引力几何化,即把引力场化作时空几何结构加以表述。对广义相对论普遍理论的研究数学上涉及黎曼几何、张量分析等,超出本简介范围,下面只作浅显的说明。 二、引力场的时空弯曲 1. 弯曲空间的概念 从高维平直空间可观测低维平直空间与弯曲空间的差异。 平面——二维平直空间内:测地线(即两点间距离的极值线)为直线,三角形内角和= ,

第8章 群论参考答案

第8章群论习题解答提示 1. 仅平凡群{e}有零元,独异点(单位半群)的幂等元不一定惟一,但群的幂等元惟一。 3. (P170) 由于变换(映射)的复合运算ο是可以结合的,恒等变换I=f 1,0 ∈G,显然I为G 单位元。下面只证明复合运算ο在G上是封闭的,且G中每个元素有单位元。 事实上,a,b,c,d∈Q,且a,c≠0,对于x∈Q,有 (f ab οf cd )(x)=f ab (f cd (x))=a(cx+d)+b=acx+(ad+b), 又ac≠0,ac,ad+b∈Q,故=f ac,ad+b ∈G,所以,复合运算在G上是封闭的。 f a,b∈G,a≠0,a,b∈Q,取f1/a,-b/a∈G,有 f a,b οf 1/a,-b/a =f a(1/a),a(-b/a)+b =f 1,0 所以,f ab 存在逆元f。 综上,G关于变换的复合运算ο构成群。 4. 设是单位半群,e是单位元,H是S中所有可逆元素的集合。 显然单位元e是可逆元,所以e∈H,H非空。 若a,b∈H,则存在a-1,b-1∈S,使得a-1*a=a*a-1=e,b-1*b=b*b-1=e, 于是,(b-1*a-1)*(a*b)=(a*b)*(b-1*a-1)=e,因此a*b也是可逆元, 故a*b∈H,是一代数结构。 因为H是S的子集,所以运算*在H上也是可结合的,e是的单位元。 ?a∈H,必有a-1∈S,使得a-1*a=a*a-1=e,所以a是a-1的逆元,因此a-1∈H。 由上证得,是一个群。 6. 在等式两边同时左乘x-1,有axba=bc,再在等式两边同时左乘a-1,右乘a-1b-1,有 x=a-1bca-1b-1故方程存在解。 再证惟一性。若方程存在两解,设为x,y,即有axba=bc=ayba,由于G是群,满足消去律,有x=y。故解是惟一的。 7. 必要性显然。下面证明充分性。 设|G|=n,G={a 1,a 2 ,…,a n }。 任意a,b∈G,由G满足消去律易得 b∈{aa 1,aa 2 ,…,aa n },即b∈G. 于是,在G中必存在aa i =b(1≤i≤n),即方程ax=b在G中有解。 同理,方程ya=b在G中也有解。 所以,根据例8.4的结论知,G作成群。 8. 注意Abel群的可交换性。 9. 设G={e,a,b},e为单位元,则因为e*b=b,由群的消去律,a*b≠b;因为a*e=a,由群的消去律,a*b≠a;因此a*b=e。于是有b*a=b*a*b*b-1=b*(a*b)*b-1=b*e*b-1=e, 因此 a*b=b*a。故是交换群。证毕。 10. 任意a∈G,则在序列a,a2,a3,?,a|G|+1中至少有两个元素相同,不妨设a r=a s (1≤s

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