勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
a 、
b ，斜边长为
c ，再做三
个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab
c ab b a 21
4214222?+=?++，整理得222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、
C 三点在一条直线上，C 、G
、D 三点在一条直线上. ∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF .
∵∠AEH + ∠AHE = 90o,
∴∠AEH + ∠BEF = 90o.
∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA .
∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o,
∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
∴ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴
()2
22
14c ab b a +?=+. ∴2
2
2
c b a =+.
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB .
∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o.
∴EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2
a b -.
∴()22
214c a b ab =-+?.
∴2
2
2
c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfiel
d 证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面
积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵Rt ΔEAD ≌Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC .
∵∠AED + ∠ADE = 90o,
∴∠AED + ∠BEC = 90o.
∴∠DEC = 180o―90o= 90o.
∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
它的面积等于221c .
又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴ AD ∥BC .
∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2
21
b a +.
∴()2
2212122
1
c ab b a +?=+. ∴2
22c b a =+.
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .
∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt ΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED ，
∵∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴∠BED + ∠GEF = 90°，
∴∠BEG =180o―90o= 90o.
又∵AB = BE = EG = GA = c ，
∴ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD, ∴∠ABC = ∠EBD .
∴∠EBD + ∠CBE = 90o. 即∠CBD= 90o.
又∵∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，
BC = BD = a .
∴BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则
,
21
222ab S b a ?+=+ ab
S c 21
22?+=,
∴2
2
2
c b a =+.
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条
直线上.
过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .
过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵∠BCA = 90o，QP ∥BC ， ∴∠MPC = 90o，
∵BM ⊥PQ ， ∴∠BMP = 90o，
∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90o. ∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴∠QBM = ∠ABC ，
又∵∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c ， ∴Rt ΔBMQ ≌Rt ΔBCA .
同理可证Rt ΔQNF ≌Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点
在一条直线上，连结
BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点 L .
∵AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ，
∵ΔFAB 的面积等于221a
，
ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∴ 矩形ADLM 的面积 =2
a .
同理可证，矩形MLEB 的面积 =2
b .
∵ 正方形ADEB 的面积
= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴222b a c += ，即 2
22c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
在ΔADC 和ΔACB 中，
∵∠ADC = ∠ACB = 90o，
∠CAD = ∠BAC ，
∴ΔADC ∽ΔACB .
AD ∶AC = AC ∶AB ， 即AB AD AC ?=2
.
同理可证，ΔCDB ∽ΔACB ，从而有AB BD BC ?=2
.
∴()2
2
2
AB AB DB AD BC AC =?+=+，即 2
2
2
c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .
∵∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴∠DAH = ∠BAC .
又∵∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，
AD = AB = c ， ∴Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA . ∴DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，
所以 Rt ΔAPB ≌Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵Rt ΔDGT ≌Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA . ∴Rt ΔDGT ≌Rt ΔDHA .
∴DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴DGFH 是一个边长为a 的正方形.
∴GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .
∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为
543212S S S S S c ++++=①
∵
()[]()[]a b a a b b S S S -+?-+=
++21
438=
ab b 212-， 985S S S +=，
∴824321
S ab b S S --=+= 812
S S b --.②
把②代入①，得
98812212S S S S b S S c ++--++=
=
922S S b ++ = 22a b +.
∴2
2
2
c b a =+.
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴∠TBH = ∠ABE . 又∵∠BTH = ∠BEA = 90o， BT = BE = b ，
∴Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE . ∴HT = AE = a . ∴GH = GT ―HT = b ―a . 又∵∠GHF + ∠BHT = 90o， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o， ∴∠GHF = ∠DBC .
∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90o， ∴Rt ΔHGF ≌Rt ΔBDC . 即27S S =.
过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌Rt ΔQAM .即58S S =.
由Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .
∵∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE ， ∴∠FQM = ∠CAR .
又∵∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a ，
∴Rt ΔQMF ≌Rt ΔARC . 即64S S =.
∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，
又∵27S S =，58S S =，64S S =，
∴
8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++
=2
c ，
即 2
2
2
c b a =+.
【证法11】（利用切割线定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90o，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
AD AE AC ?=2
=()()BD AB BE AB -+
=()()a c a c -+
= 2
2a c -，
即2
22a c b -=，
∴2
2
2
c b a =+.
【证法12】
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）.过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，
则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
BD AC BC AD DC AB ?+?=?，
∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ， ∴222AC BC AB +=，即 2
22b a c +=， ∴2
22c b a =+.
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .
∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，
∴()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+
= CD CE += r + r = 2r,
即r c b a 2=-+， ∴c r b a +=+2.
∴()()2
22c r b a +=+，
即 ()2
22242c rc r ab b a ++=++，
∵
ab S ABC 21=
?，