一元二次方程的解法 解题步骤是什么

一元二次方程的解法解题步骤是什么

一元二次方程的解法有公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。其中ax2叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数；c 叫作常数项。

1 怎样求解一元二次方程方法一、公式法

先判断△=b2-4ac，

若△若△=0，

原方程有两个相同的解为：

X=-b/（2a）；

若△>0，

原方程的解为：

X=（（-b）±√（△））/（2a）。

方法二、配方法

先把常数c 移到方程右边得：

aX2+bX=-c

将二次项系数化为1 得：

X2+（b/a）X=- c/a

方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得：

X2+（b/a）X +（b/（2a））2=- c/a +（b/（2a））2

方程化为:

（b+（2a））2=- c/a +（b/（2a））2

一元二次方程定义及其解法

班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法） 一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点 重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材 知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最

高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。 自主练习： 下列方程中，是一元二次方程的有 。（填序号） ①2 5x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥2 04y y -=。 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。

2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是 一个非负数，即把一个方程转化成()2 x n p +=（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作： （1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举 例：解方程2230 +-=， x x （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配 方。举例：解方程22230 +-=。 x x 4. ()2 += x n p x n p +=（p≥0）的解法：对于方程()2

《一元二次方程解法》练习题(基础)

九年级数学上册《一元二次方程解法》练习题 一、填空题 1.一元二次方程的一般形式是____ ______.其解为1x =__________,2x =____________. 2.将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是__________. 3.方程)0(02≠=+a c ax 的解的情况是：当0>ac 时_________；当0=ac 时___________；当0

一元二次方程应用题经典题 型汇总含答案

z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1　恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解　设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%) (1+x)2＝193.6， 即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答　这两个月的平均增长率是10%. 说明　这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2　益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解　根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答　需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明　商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

三、储蓄问题 例3　王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解　设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得 90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答　第一次存款的年利率约是2.04%. 说明　这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4　一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解　设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答　渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

一元二次方程及解法经典习题及解析

┃知识归纳┃ 1．一元二次方程的概念 只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数． 2．一元二次方程的解法 一元二次方程有四种解法：法、法、法和法． [注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0. 3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac (1)Δ>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (2)Δ＝0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (3)Δ<0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝. [注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0. 四大解法 一、开平方法 方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)

二、配方法 “配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方，求解 三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 解题技巧： 先考虑开平方法,

一元二次方程的知识点梳理

一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．． 就是一元二次方程。 )0(02≠=++a c bx “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+ ++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 ()m x m m x ±=?≥=,02 对于()m a x =+2，()()2 2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132 =--x

一元二次方程及一元二次方程的解法测试题(绝对经典)

. 第二章一元二次方程单元测验 一、选择题：(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） （A ）22)1(2-=-x x （B ）01232=+-x x （C ）042=-x x （D ）02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为（ ） （A ）4121==x x （B ）2121==x x （C ）,01=x 212=x （D ）,2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ） （A ）因式分解法 （B ）直接开平方法 （C ）配方法 （D ）公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2 –3x + 4＝0 （B ）x 2–x –3＝0 （C ）x 2–12x + 36＝0 （D ）x 2–2x + 3＝0 5、已知ｍ是方程012 =--x x 的一个根，则代数ｍ2 －ｍ的值等于 （ ） A 、１ B 、－１ C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +（ ） A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48＝0的解, 则这个三角形 的周长是（ ）（A ）11 （B ）17 （C ）17或19 （D ）19 8. 下列说法中正确的是 （ ）（A ）方程2 80x -=有两个相等的实数根; （B ）方程252x x =-没有实数根;（C ）如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么0?=; （D ）如果a c 、异号，那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）–1 （D ）0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0，那么 （ ） （A ）0==q p ; （B ）0,0≠=q p ; （C ）0,0=≠q p ; （D ）0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是 （ ） A ． 若x 2=4，则x ＝2 B ．方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1 C ．若x 2 +2x +k =0有一根为2，则8＝－k D ．若分式1 2 32－＋－x x x 值为零，则x ＝1，2 二、填空题：(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时，分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ，则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中，024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20，则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元，今年上升到720万元，如果这两年平均每年增长率相同，则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ，则k =____________。 15.已知关于x 的方程（2k+1）x 2 －kx+3=0，当k______时，?方程为一元二次方程，? 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．

一元二次方程根的非对称式值及构造一元二次方程解题

例题选讲 例1设m、n是一元二次方程0 7 3 2= - +x x的两 根，求n m m+ +4 2的值。(2012江苏南通中考) 例2 已知x1，x2是方程0 5 3 42= - -x x的两根， 求2 12 43 x x +的值。 例3 已知m、n是方程0 1 2= - -x x的两个实数 根，求()2 2 2- +n m m的值。(浙江绍兴竞赛) 例4 已知m、n是方程0 5 2 2= - +x x的两个实数 根，求代数式n m mn m+ + -3 2的值。 (2014呼和浩特中考) 习题精练 1．已知x1，x2是方程0 3 4 2= - +x x的两个实数 根，且2 122 2(53)2 x x x a +-+=，求a的值。 (江苏南通中考) 2．设x1，x2是方程0 4 2= - +x x的两个实数根， 求10 52 2 3 1 + -x x的值。(第21届江苏数学竞赛) 3．设x1，x2是方程0 3 2= - +x x的两根，求代数 式19 42 2 3 1 + -x x的值。(全国初中数学联赛) 4．设x1，x2是方程0 1 2= - +x x的两根，求代数 式3 2 5 1 10 4x x+的值。

例 1 已知实数a 、b 满足0122 =--a a ， 0122 =--b b ，且b a ≠，求a b b a +的值。 【变式】已知实数a 、b 满足0122 =--a a ， 0122=--b b ，求 a b b a +的值。 例2若1≠ab ，且09201 352 =++a a ，05201392=++b b ，求b a 的值。 (全国初中数学联赛) 例3 已知m 、n 为实数，且满足05232 =--m m ， 03252=-+n n ，求n m 1 - 的值。(江苏竞赛) 习题精练 1．设0122 =-+a a ，0122 4 =--b b ，且 012 ≠-ab ，求代数式2015 221??? ? ??++a b ab 的值。 2．设实数s 、t 分别满足0199192 =++s s ， 019992=++t t ，且1≠st ，求 t s st 1 4++的值。 3．若实数x 、y 满足 162523 535=+++y x ， 16 3533 535=+++y x ，求x+y 的值。

一元二次方程的解法大全

一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】 把方程ax2+c＝0(a≠0)， 这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 例：用直接开平方法解方程： 1．9x2-25＝0； 2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3)． 解：1．9x2-25＝0 9x2＝25 2．(3x+2)2-4＝0 (3x+2)2＝4 3x+2＝±2 3x＝-2±2

∴x1＝x2＝3． 4．(2x+3)2＝3(4x+3) 4x2+12x+9＝12x+9 4x2＝0 ∴x1＝x＝0． 【配方法解一元二次方程】 将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如 x2+ 例：用配方法解下列方程： 1．x2-4x-3＝0；2．6x2+x＝35； 3．4x2+4x+1＝7；4．2x2-3x-3＝0． 解：1．x2-4x-3＝0 x2-4x＝3 x2-4x+4＝3+4 (x-2)2＝7 2．6x2+x＝35

3．4x2+4x+1＝7 4．2x2-3x-3＝0 【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a

广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。 例：用公式法解一元二次方程： 2．2x2+7x-4＝0； 4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)． 2．2x2+7x-4＝0 ∵a＝2，b＝7，c＝-4． b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝81

一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x ] 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 配方法解一元二次方程的步骤： 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 * 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） （1）当b 2-4ac>0时，=1x ，=2x 。 （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）当b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 $ 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 7．x 2＋4x －3=0 8． .03232=--x x 方法四：因式分解法 因式分解的方法： （1）提公因式法： （2）… （3）公式法：平方差： 完全平方： （4）十字相乘法： 一、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x

二次函数与一元二次方程

复习 1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；② ；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④ 2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：① ；② ；③ ；④．其中正确的结论是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 3.已知二次函数的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：① ②b-2a=0；③；④ ． 其中正确的是( ) A.③ B.②③ C.③④ D.①② 4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：

A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 二次函数与一元二次方程（讲义） ? 课前预习 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应 的二元一次方程组的解． 3 则一次函数 y =3x -3 与y =-3x +3的交点 P 的坐 标是 _______ ． 请思考：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根，可否看作是二次函数y = ax 2 +bx +c 与 x 轴交点的横 坐标，即方程组 y = ax + bx + c 的解中x 的值. y =0 2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如： 1. 如：已知方程组y -3x +3=0 2 y + 3 x - 6 = 0 4 的解为x = 3 ， y =1 以下结论：① ；② ；③c-a=2；④方程 有两个相等的实数根．其中正 交点在（0，2）的下方．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）

《一元二次方程》解题技巧

《一元二次方程》解题技巧 安福县城关中学 曹经富 近几年各类考试中有关一元二次方程的概念及根的意义的考查成为高频考点，解这类题的关键是从概念及根的本质上入手和切入，现结合几例进行说明，希望能给同学们带来一定的启示与帮助. ◆类型一： 巧用一元二次方程的定义解题 【例1】若关于x 的方程27(3)320 m m x mx --+-=是一元二次方程，则m =___________. 【解析】一元二次方程包含三要素：⑴只含有一个未知数；⑵未知数最高次数为2；⑶整式方程， 依题意得27230 m m ?-=?-≠?，解得3m =-； 【答案】3- 【小结】有关一元二次方程的概念，要把握二次项的系数不为0，且未知数的最高次数为2.，综合考虑构造成方程或不等式解决 ◆类型二： 巧用一元二次方程的根的意义解题 【例2】关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是_______; 【解析】把0代入一元二次方程22(1)10a x x a -++-=即可得到关于a 的一元二 次方程210a -=，从而求得1a =±，但二次项的系数10a -≠，即1a ≠，所以1a =-； 【答案】1- 【小结】将已知一元二次方程的根代入方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件. 【例3】已知n m ,是方程0122 =--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） A ．－5 B ．5 C ．-9 D ．9 【解析】由于m 、n 分别是方程0122=--x x 的根，代入得m 2-2m -1=0， n 2-2n -1=0，即m 2-2m =1，n 2-2n =1，变形得7m 2-14m =7，3n 2-6n =3，因此（7+a ）(3-7)=8，所以a =-9． 【答案】C 【小结】从方程的根入手，将其代入，进而构造出一个新的等式或方程，在解本题的过程中，还应有一种数学整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m 2-14m 、3n 2-6n 与已知方程之间的关系．从而便问题得到快速求解. ◆类型三： 巧构一元二次方程的根 【例4】已知一元二次方程2 0ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）满足

一元二次方程系列证明

一、构造法： 例题：(x^3)/(x+1)=(x^3)/(x+1)+(x^2)/(x+1)-(x^2)/(x+1)-x/(x+1)+x/(x+1)+1/(x+1)-1/(x+1) =(x^3+x^2)/(x+1)-(x^2+x)/(x+1)+(x+1)/(x+1)-1/(x+1) =x^2-x+1-1/(x+1) 二、一元二次方程标准式：ax^2+bx+c=0 三、若b^2-4ac=△≥0，则方程有解； 若b^2-4ac=△＜0，则方程无解。 四、配方： ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x)+c =a(x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2)+c =a(x^2+(b/a)x+(b/2a)^2)-a·(b/2a)^2+c =a(x+b/2a)^2-(b^2)/4a+4ac/4a =a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a 例题：解一元二次方程x^2+3x+1=0 解：∵x^2+3x+1=x^2+3x+9/4-9/4+1 =(x^2+3x+9/4)-5/4 =(x+3/2)^2-5/4=0 ∴(x+3/2)^2=5/4=(√5)^2/(2^2) =(√5/2)^2 ∴x+3/2=±√5/2 ∴(1)x+3/2=√5/2 x=√5/2-3/2 =(√5-3)/2 (2)x+3/2=-√5/2 x=-√5/2-3/2 =-(√5/2+3/2) =-(√5+3)/2 五、因式分解公式： ∵ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a=0 ∴a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a 又∵a≠0 ∴(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2 =(√(b^2-4ac))^2/(2a)^2 =(√(b^2-4ac)/2a)^2 ∴x+b/2a=±(√(b^2-4ac))/2a ∴x=-b/2a+(±√(b^2-4ac))/2a =(-b±√(b^2-4ac))/2a 例题：解一元二次方程x^2+3x+1=0 解：x'、x''=(-3±√(3^2-4·1·1))/(2·1) =(±√5-3)/2 (1)x'、x''=(√5-3)/2 (2)x'、x''=(-√5-3)/2 =-(√5+3)/2 尖锋自编 2012.03.18

一元二次方程解题规律与方法

一元二次方程综合培优 ◆温故而知新 1、对下列各式进行配方： ⑴错误！不能通过编辑域代码创建对象。； ⑵错误！不能通过编辑域代码创建对象。；（3）错误！不能通过编辑域代码创建对象。 2.设a 、b 为实数,求a 2 +2ab+2b 2 －4b+5的最小值时，则a ＝ ，b ＝ 。 3.已知关于x 的一元二次方程4x 2 +4kx+k 2 =0的一个根是–2，那么k=____. 4.已知α，β是方程0522 =-+x x 的两个实数根，则α2+β2 +2α+2β的值为_________. 5.在关于x 的方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)中, ____________叫做一元二次方程的根的判别式.记作：Δ. (1)b 2－4ac>0 ? 方程有两个_________的实数根. (2)b 2 －4ac=0 ? 方程有两个_______的实数根. (3)b 2 －4ac<0 ? 方程________实数根. (4)b 2 －4ac ≥0 ? 方程___________两个实数根. 6.判别式只能对一元二次方程使用，因此使用判别式解题的前提是：二次项系数a ≠___ _. 7.求判别式的值，必须先把方程化为一元二次方程的______形式.即 。 8.已知a 、b 、c 为任意实数，则方程 0)(22=-++-c ab x a b x 的根的情况是 。 9、关于x 的方程(m －2)x 2 －2(m －1)x+m+1=0,m 取什么值时: (1)有两个不等的实数根?(2)有两个实数根?(3)无实根?(4)有两个相等的实数根?（5）只有一个实数根？ 10. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0,Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2,那么x 1+x 2=______,x 1x 2=_____. 11.韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用， x 1+x 2 =－b a ，x 1x 2= c a 成立的条件是：a_ __, Δ_____. 12.根据乘法公式填空:(1)x 12 +x 22 =(x 1+x 2)2 －______；(2)(x 1－x 2)2 =(x 1+x 2)2 －_______； （3）2212122221212 22221)(4___)(___1 1x x x x x x x x x x -+=+=+；(4). 丨x 1-x 2丨= a ? . 13.已知方程2x 2 +(8k+1)x+8k 2=0的两个根互为倒数，则k=_______。 14.若方程(m-7)x 2 -（m-1）x+1=0的两个根异号，则m 的取值范围是__________. 15. 以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是________________________. 16.以 和 为根的整系数一元二次方程是_________________. 17．若一元二次方程(二次项系数为1)的两根之比是3∶4，且Δ＝4，则这个一元二次方程是___________. 18．若方程ax 2 +bx+c=0有两个实数根x 1和x 2,那么二次三项式ax 2 +bx+c 分解因式的结果是:ax 2 +bx+c=-__________. 19.在实数范围内分解因式：(x 2 +x)2 -2x(x+1)-3= ______________________.

一元二次方程的解法 有哪些简便解题步骤

一元二次方程怎么解呢，有哪些解题的步骤呢，下面小编为大家提供一元二次方程有 哪些解题方法，仅供大家参考。 一元二次方程的解题方法有哪些 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法： 用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b^2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

《一元二次方程的解法》规律总结

《一元二次方程的解法》规律总结 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2 =++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法． 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的 实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2 =++的根的判别式． △>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根．