概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

第二章练习题(答案)

一、单项选择题

1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为

3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1]

4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C )

5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是

(A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p?

(c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2

6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C )

F(x) =

o,

kx+b 、 x<0 0 < x< x>

则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0

龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In

2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数

(A ) z 7

fl -cosx ； 2 0, f sinx,

A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0);

B. f (x)

1, x < 0

[cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负

D. f (x)在(-叫+00)内连续

A. P {X O }

B. f(x)= f(-x)

C. p{xl} D ? F(x) = l-F(-x)

A.递增

B.递减

C.不变

D.不能确定

7.设片3与

E（力分别为随机变量X、兀的分布函数，为使F（沪aF?—胡（力是某一随机变量的分布函数，在下列给定的多组数值中应取（A ）

&设心与人是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为ft （力和f2（力，分布函数分别为川力和E （力，则

（A）亡（力+負（力必为某个随机变量的概率密度；

（B） f心）临（力必为某个随机变量的概率密度；

（C）川力+￡（力必为某个随机变量的分布函数；

（D）FAx）吠（力必为某个随机变量的分布函数。

9.设连续随机变量X的密度函数满足f（x） = f（-x） , F（x）是X的分布函

则P( XI > 2004)=(D )

(A) 2-F(2004) ；(B) 2F(2004)-1 ； (C) l-2F(2004)；(D) 2[l-F(2004)].

10.每次试验成功率为p（Ovpvl）,进行重复试验，直到第十次试验才取得4次成功的概率为(B )

A、C^p4(l-p)6

B、C^p4(l-p)6

C、C^p4(l-p)5

D、C；p“l-p)6

11-设随机变量x的概率密度为f（週严（弋GV+J则其分布函数

F (x)是(B )

(A) F (x) =■

1 X .

2e，X<(B) F (x)=

J,x>0

A

|e\x<0

l--e_x,x>0

2

2

D

.

1 , -e\x<0

2 (D) F (x) =

2

Lx>0 二、填空题

1.设随机变量x 的概率密度为

1 .a f(x) = — e 4 , -oo

KY=aX + b ?N(0,1) (a >0),贝(|a= —, b= 41 ?

_ -----------

0 x<-l

2. 已知随机变量X 的分布函数F(x)=二"J,则X 的分布律为

0.7 l

1 x>3

X -1 1 3

F 0.4 0.3 0.3

3. 设三次独立试验中，事件川出现的概率相等，如果已知力至少出现一 次的概率等于菩，则事件虫在一次试验中出现的概率为1/3

?

4. X ?B(2, p),Y ?B(4, p),已知 p{X^l} = |,

则 p{Y>l} = g

o 1 三、计算题

1.设连续型随机变量X 的分布函数为F(x)= A+Barctanx,-8VXV+00.求

⑴ 常数虫和〃；(2) X 落入区间(71)的概率；(3)X 的概率密度f(x)

(1) A=1/2,B=1/TT ; (2)1/2; (3) f(x)=i 宀 (-oo

71 1+X 2

、 1- —e"x (c) F (x) =r 2 ' l,x>0 x<0

0, x<-a, 2?设连续型随机变量无的分布函数为F(x) = < A+Barcsm-, -aa,

a>0,求：(1)常数人 B\(2)P {|X |<^}； (3)概率密度 f (x)?

(1) A=1/2,B=1/TT ; (2) 1/3; (3) f(x)二 n 傅二

0,

|x| > a

3.若??U[0, 5],求方程x2+? x +l=0有实根的概率.

求(1)系数 k ； (1) § 的分布函数；(3) Pfe

(2) Y=e-2X (3) Y=X ，的概率分布.

6.设X ?N (0, 1)求丫次的概率密度。

7?进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p,试求以下事件的概 率：(1)直到第「次才成功；

(2) 第】次成功之前恰失败k 次；

(3) 在D 次中取得r(l

(4) 直到第1】次才取得r(l

解：(1) P = p(i-p)T (2) P = c ；；i_1P r d-P )k

(3) P = c ；p r (i-P )M (4) P = c ：：p 「(i_p )円

8?投掷“次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。

解 若口为奇数，显然，出现正反面次数不可能相等，故所求概率为0; 若为偶数，“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各口/2次”，

投掷n 次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为:

[0, n 为奇数 ----- 2分

故所求为：(c ：「2T, n 为偶数 12分 9?某科统考成绩近似服从

4.设连续型随机变量歹的概率密度为f(x)=

o;2:2 < < >- XXX <- 5-已知随机变量才的概率密度为f(x) = e"\x>0, a x<0-

求随机变量(1) Y=2X,

N(70, 102),在参加统考的人数中，及格者100

人(及格分数为60分)，计算

(1)不及格人数；

(2)成绩前10名的人数在考生中所占的比例；

(3)估计排名第10名考生的成绩。

解，设考生的统考成绩为X, X?N(70, 1O2).设参加统考的人数为n, 则

P{x^6O}=l-0(^^)=0 (1) =0.8413,—=0.8413.

10 11

(1)不及格人数占统考人数的15.87%,不及格人数为0.1587n^l9Ao ⑵ 前10名考生所占比例为更4%

II

(3)设第10 名考生成绩为X。分,P{XMx。}二0? 08413, P{X

O x<- 1

10?离散型随机变量X的分布函数F(x)=(a，-1 S x VI,且P(x=2)= 1.

-a, 1 < x<2

la + b, x > 2

求a,b及x的分布律.

11?巴拿赫火柴盒问题：波兰数学家巴拿赫(Banach)随身带着两盒火柴,

分别放在左右两个衣袋里，每盒各有Ji根火柴。每次使用时，他随机地从其中一盒中取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下K根火柴的概率。

解：A：“取左衣袋盒中火柴”，B：“取右衣袋盒中火柴”。

P(A)=P(B)=l/2. 若Banach首次发现他左衣袋盒中火柴用完，这时事件A已

经是第n+1次

发生了，而此时他右衣袋盒中火柴恰好剩k根一相当于他在此前已在右衣袋中取走了n-k根火柴，即B发生了n-k次，即一共做了n-k+n+l=2n k+1

次随机试验，其中A发生了n+1次，B发生了n-k次，在这2n-k+l次试

验中，第2n—k+l次是A发生，前面的次试验中，A发生了n次，B

发生了"k 次,这时概率为P(A)C人/P(A))n(P(B))n-k =ic?n_k(i)2n-k

由对称性知，他右衣袋盒中火柴用完，而左衣袋盒中火柴恰好剩k根的概率也是扌C人亠匚

所以，将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率为

C

n /1、2n_k

2n - °

四.应用题

1.某家电维修站保养本地区某品牌的600台电视机，已知每台电视机的故障率为0. 005 o

(1)如果维修站有4名维修工，每台只需1人维修，求电视机能及时维

修的概率。

(2)维修站需配备多少维修工，才能使及时维修的概率不少于96%。

解：设同一时刻发生故障的电视机台数为X, X~B(600, 0. 005),由于n

很大，而P较小，可以利用泊松定理计算。A=np=3,所以

P{X^4}=l-0.1847=0. 8153 (査表)

P{XWn} M0. 96,査表知n=6,即需配备6名维修工。

2?人寿保险问题：某单位有2500个职工参加某保险公司的人寿保险。根据

以前的统计资料，在1年内每个人死亡的概率为0.0001 o每个参保人1年付给保险公司120元保险费,而在死亡时其家属从保险公司领取20000元,

求(不计利息)下列事件的概率。

(A)保险公司亏本。

(B)保险公司1年获利不少于十万元。

解：设这2500人中有k个人死亡。则保险公司亏本当且仅当20000k>

2500*120,即k>15.由二项概率公式知，1年中有k个人死亡的概率为

C^soo (0. OOOl)k (0.9999)2500-k.

k=0,l,2, ,2500

所以，保险公司亏本的概率

P(A)吃聲％° (0.0001)k (0?9999严007

^0.000001 (由此可见保险公司亏本几乎不可能)

保险公司1年获利不少于十万元等价于

2500*120-20000k^ 1(^ 即k^lO

保险公司1年获利不少于十万元的概率为

P(B)=Sk=o C愿oo (0 0001)k (0.9999严

^0.999993662 (由此可见保险公司1年获利不少于十万元几乎是必然的) 对保险公司来说，保险费收太少了，获利将减少，保险费收太多了，参保人数将减少，获利也将减少。因此在死亡率不变与参保对象已知的情况下, 为了保证公司的利益，收多少保险费就是很重要的问题。

(C)从而提出如下的问题:

对2500个参保对象（每人死亡率为0.0001）每人每年至少收多少保险费

才能使公司以不低于0.99的概率每年获利不少于10万元？（赔偿费不

变）由上面知，设X为每人每年所交保险费，由

2500x-20000k^ IO：,得xM8k+40,这是一个不定方程。又因

X R=O C25OO（0.0001）k（0.9999）2SOO-k=0.99784>0.99,故xM56,即2500

个人每人每年交给公司56元保险费，就能使公司以不低于0.99的概率每

年获利不少于10万元。

由于保险公司之间竞争激烈，为了吸引参保者，挤垮对手，保险费还可以再降低，比如20元，只要不亏本就行。因此保险公司将会考虑如下问题

（D）在死亡率与赔偿费不变的情况下，每人每年交给保险公司20元保险

费，保险公司至少需要吸引多少个参保者才能以不小于0.99的概率不亏本？解^设y为参保人数，k仍为参保者的死亡数，类似地有20厂20000kN0, 即y>1000k,此仍是一个不定方程。当k=l,y^lOOO,

C|ooo (O.OOO1)1 (0.9999)1°°°一1=0.09049

又(O.9999)1000 =0.90483,从而

Sk=o c iooo (0.0001)k (O.9999)loo°-k=0.99532

所以保险公司只需吸引1000个人参保就能以不小于0.99的概率不亏本。

五.证明题

1 ?设随机变量歹具有对称的分布密度函数P（Q,即P（x）=P（-x）,记它的分布函数为F（x）。证明对任意的a>0,有

F(-a) = 1-F(a) =——「p(x)dx

(1) 3 2 J。"；

(2)P(l^|

(3)P(|f|>a) = 2(l-F(a))o

解(1)由于P(x)=P(-x),故匸p(x)dx= [X p(x)dx, J：p(x)dx=[p(x)dx,

Lx P(x)dx= 而 F (-a) = p(x)dx=p p(x)dx=f p(x)dx-匸p(x)dx = 1 - F (a)

,即证(1)式；

(2)由(1)式，P(<|va)=P(_a vf va) = F(a)-F(-a) = 2F(a)_l,即得⑵式；

(3)由(2)式，P(l^l^a) = l-P(|4l