函数极值点偏移问题

函数极值点偏移问题

在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望而生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助．先看一道试题：

【例1】（2015年蚌埠市高三一质检试题）已知函数f（x）=xe－x．

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证x1+x2＞2．该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想．

解析1．e

第（2）问：

构造函数F（x）=f（1+x）－f（1－x）=（1+x）e－（1+x）－（1－x）ex－1，则F'（x）=x［ex－1－e－（1+x）］，

当x＞0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增，

又F（0）=0，∴F（x）＞0，即f（1+x）＞f（1－x）．

∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，由（1）知x1＜1，x2＞1，所以f（x1）=f（x2）=f［1+（x2－1）］＞f［1－（x2－1）］=f（2－x2），∵x2＞1，∴2－x2＜1，又f（x）在（－∞，1）上单调递增，∴x1＞2－x2，∴x1+x2＞2．

上述解答，通过构造差函数F（x）=f（1+x）－f（1－x），紧接着对F（x）进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作．其解题本质是x1与2－x2的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f（x1）与f（2－x2）的大小关系，再结合f（x）的单调性获得解决．这里的1显然是f（x）的极值点，就是直线y=f（x1）=f（x2）=h被函数y=f（x）图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x2＞2，只需证f（x1）＞f（2－x2），因此，问题本质是证极值点偏移问题．

若设f（x）的极值点为x0，则可将上述的解题策略程序化如下：

①构造差函数F（x）=f（x0+x）－f（x0－x）

②对F（x）求导，判断F'（x）的符号，确定F（x）的单调性，

③结合F（0）=0，判断F（x）的符号，确定f（x0+x）与f（x0－x）的大小关系

④由f（x1）=f（x2）结合③及f（x）的单调性确定x1与2x0－x2（或x2与2x0－x1）的大小关系

【例3】(2010年天津高考理)(本小题满分14分)已知函数(x∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)；

(3)如果,且,证明>2.

(1)解：.令f′(x)=0,解得x＝1.

当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：

x (-∞,1) 1 (1,+∞)

f′(x) + 0 -

f(x) ↗极大值↘

所以f(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1，+∞)内是减函数.

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=.

(2)证明：由题意可知g(x)=f(2-x)，得.

令F(x)=f(x)-g(x)，即.

于是.

当x>1时，2x-2>0，从而-1>0.

又>0,所以F′(x)>0，从而函数F(x)在[1，+∞)上是增函数.

又=0,所以x>1时，有F(x)>F(1)=0，即f(x)>g(x).

(3)证明：①若=0，由(1)及，得=1，与矛盾.

②若>0,由(1)及，得,与

矛盾.

根据①②，得<0.不妨设<1,>1.

由(2)可知，，，

所以,从而.

因为>1,所以<1.

又由(1)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内是增函数，

所以，即>2.

【例2】（2016年全国乙卷21题）

【例3】（2011天津理19题）

【例4】（2010辽宁理19题）（不属于该题型，恒成立问题）

张同语

应用上述提炼的解题策略可以解决下列一类有关函数极值点的偏移问题．例11－xx

e．1+x2

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．（Ⅰ）易知f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．（Ⅱ）易知当x＜1时1－x1－x

所以f（x）＞0，当x＞1时＜0，2＞0，1+x1+x2f（x）＜0．∵f（x1）=f （x2）且x1≠x2，不妨设x1＜

x2，由（Ⅰ）知x1＜0，0＜x2＜1．

下面证明：当0＜x＜1时f（x）＜f（－x）即证：1－xx1+x－x1+xx

＜＜0．2e2e．即证：（1－x）e－1+x1+xex

构造F（x）=（1－x）ex－则F'（x）=－xe－x（e2x－1）

∵0＜x＜1，∴F'（x）＜0，∴F（x）在（0，1）单调递减，从而F（x）＜F（0）=0

即（1－x）ex－f（x）＜f（－x）．

又0＜x2＜1，∴f（x1）=f（x2）=f（0+x2）＜∵x1－x2∈（－∞，0），f （x）在f（0－x2）=f（－x2），

（－∞，0）上单调递增，所以x1＜－x2，即x1+x2＜0．

评注例2

第（Ⅱ）问不等式右边的0恰好是函数的极（2011年高考数学辽宁卷）已知函数值点，因此，该问本质上是证明极值点偏右问题．f（x）=lnx－ax2+（2－a）x

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；证明：当0＜x＜（Ⅱ）设a＞0，x）＞f（1

－x）；a

11时，f（+aa

1+x

＜0，所以，当0＜x＜1时，ex

1+x

，ex

解析

（2013年高考湖南卷）已知函数f（x）=

·14·中学生理科应试2015．5，6

构造“辅助元”解题的十种策略

四川省资阳市外国语实验学校

有些数学问题的解决，若按常规思路寻求突破，，往往非常棘手，甚至一时受阻，这时若调整思维方式，考察题目中有关数学式子的结构特征，尝试构造一个或多个“辅助元”来替代原来的“元”，这样做，可以减少变元的个数，降低变元的次数，化简表达式，更重要的是能够将原问题转化成熟悉的或容易解决的新问题，而且有效地降低了问题的难度，具有化繁为简、化难为易的解答功效．本文结合实例介绍构造“辅助元”解题的十种策略，供大家参考．

一、对偶代换

对偶代换是指对于某些结构特殊的三角函数问题、求数列中若干项的和或积的问题、题中给出的条件含有倒数和的问题等等，可以通过合理构造对偶关系，并通过对对偶关系进行适当的和、差、积运算，则往B两（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A、

证明：f'（x0）＜0．点，线段AB中点的横坐标为x0，（Ⅰ）易得f（x）的定义域为（0，+∞），

（1）若a≤0时，则f（x）在（0，+∞）单调递增；（2）11

在（，若a＞0时，则f（x）在（0）上单调递增，

aa+∞）上单调递减．

（Ⅱ）构造函数F（x）=f（11+x）－f（－x）aa

解析

（641300）蔡勇全黄正兵

往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．

例1

求sin220°+cos280°+的值．

解析令M=sin220°+cos280°+

=cos220°+sin280°+=sin20°cos80°，Ncos20°sin80°，由此可以得到M+N（sin20°cos80°+cos20°sin80°）+（sin220°+

°①，cos220°）+（cos280°+sin280°）=2+sin20°cos80°－cos20°sin80°）并且可得M－N=×+（sin220°－cos220°）+（cos280°－sin280°）=sin（－60°）－cos40°+cos160°=－2sin100°sin60°－311 ，M=，由①+②可得2M=即sin220°+②，

224=1/4．cos280°+偏左问题．

例3

（2015年安徽省皖中省示范高中联考试

题）已知函数f（x）=ex－2x+2a．

（1）求函数f（x）的单调区间；

x2，（2）若存在两个不相等的正数x1，假设f（x1）求证：f'（12＜0（f'（x）为函数=f（x2）成立，f（x）的导函数）．

解析

（1）易求得f（x）的递减区间为（－∞，ln2），

递增区间为（ln2，+∞），ln2为f（x）的极小值点．

（2）构造函数F（x）=f（ln2+x）－f（ln2－x）=eln2+x

－2（ln2+x）－eln2－x+2（ln2－x）=2（ex－e－x－2x）．∴F（x）在（0，F'（x）=2（ex+e－x－2）≥0，

+∞）单调递增，又F（0）=0，∴在（0，+∞）上F（x）＞0，即f（ln2+x）＞f（ln2－x），又∵x1，x2为不相等的两个正数，不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜ln2，x2＞ln2，∴f（x1）=f（x2）=f［ln2+（x2－ln2）］＞f［ln2－（x2－ln2）］=f（2ln2－x2），∵0＜又f（x）在（－∞，ln2）单调x1＜ln2，2ln2－x2＜ln2，递减，∴x1＜2ln2－x2，∴＜ln2，又f'（x）

x1+x2

＜ln2，从而12

2

2a3x2

=ln（1+ax）－ln（1－ax）－2ax，F'（x）=．

1－a2x2

1

时，F'（x）＞0，F（0）=0，所以当0＜x＜aF（x）＞0，即当0＜x＜

111

时，+x）＞f（－x）．f（aaa

（Ⅲ）由（Ⅰ）得当a≤0，函数f（x）的图象与x

轴至多有一个交点，不符合题意，故a＞0．

B（x2，0＜x1＜x2，则x2＞不妨设A（x1，0），0），1121

＞x1＞0－x1＞＞－x1＞0aaaa

112

－x1）=f+（－x1）］＞由（Ⅱ）知f（aaaf（x1）=0=f（x2），从而x2＞2

－x1，于是x0=a

=ex－2是单调递增函数，

x1+x21

＞，由（Ⅰ）知f'（x0）＜0．2a

评注

本题同例2类似，实际上是证明极值点

∴f'（12）＜f'（ln2）=0．

评注同样，本题也是证明极值点偏右的问题．

极值点偏移问题专题

极值点偏移问题专题（0)——偏移新花样（拐点偏移） 例１已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ,2x 满足()()12+=4f x f x , 求证：122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 = +210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+,()1=0f '',则（1,2)是()f x 图像的拐点,若拐点(１,２）也是()f x 的对称 中心,则有12=2x x +,证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移,作图如下 想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-,(]0,1x ∈,则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????

() () 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? , 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移(()00 f x '=) 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 120120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题(１)——对称化构造（常规套路） 例1（２０１0天津） 已知函数()e x f x x- =． (１）求函数() f x的单调区间和极值； (2)已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称,证明:当1 x> ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>

极值点偏移问题

极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；

极值点偏移第2招--含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>， 因此只要证明：1 21 t t e t e +?>-01)1(2>+--?t t e e t ， 再次换元令x t x e t ln , 1=>=，即证),1(,01 ) 1(2ln +∞∈>+-- x x x x 构造新函数2(1) ()ln 1 x F x x x -=- +，0)1(=F 求导2 ' 22 14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=- =>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.

★例 2. 已知函数()ln f x x ax =-，a为常数，若函数() f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 . x x e ?> 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 x x >， ∵ 1122 ln0,ln0 x ax x ax -=-=，∴ 12121212 ln ln(),ln ln() x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴12 12 ln ln x x a x x - = - ，欲证明2 12 x x e >，即证 12 ln ln2 x x +>. ∵ 1212 ln ln() x x a x x +=+，∴即证 12 2 a x x > + ， ∴原命题等价于证明12 1212 ln ln2 x x x x x x - > -+ ，即证：112 212 2() ln x x x x x x - > + ，令1 2 ,(1) x t t x =>，构造 2(1) ln, 1 )1 ( t t g t t t - =-> + ，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 ln ln ln , ln x x x x a x x x x ==?=设2 12 1 ,,(1) x x x t t x <=>， 则11 21 11 ln ln ln , ln ln tx t x x tx t t x x + ==?=， 反解出： 1211 ln ln ln ln,ln ln ln ln ln 111 t t t t x x tx t x t t t t ===+=+= --- ， 故2 1212 1 ln ln2ln2 1 t x x e x x t t + >?+>?> - ，转化成法二，下同，略.

极值点偏移问题的两种常见解法之比较

极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x

极值点偏移问题专题.(精选)

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????

() ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>

函数极值点偏移问题

函数极值点偏移问题 在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望而生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助．先看一道试题： 【例1】（2015年蚌埠市高三一质检试题）已知函数f（x）=xe－x． （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证x1+x2＞2．该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想． 解析1．e 第（2）问： 构造函数F（x）=f（1+x）－f（1－x）=（1+x）e－（1+x）－（1－x）ex－1，则F'（x）=x［ex－1－e－（1+x）］， 当x＞0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增， 又F（0）=0，∴F（x）＞0，即f（1+x）＞f（1－x）． ∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，由（1）知x1＜1，x2＞1，所以f（x1）=f（x2）=f［1+（x2－1）］＞f［1－（x2－1）］=f（2－x2），∵x2＞1，∴2－x2＜1，又f（x）在（－∞，1）上单调递增，∴x1＞2－x2，∴x1+x2＞2． 上述解答，通过构造差函数F（x）=f（1+x）－f（1－x），紧接着对F（x）进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作．其解题本质是x1与2－x2的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f（x1）与f（2－x2）的大小关系，再结合f（x）的单调性获得解决．这里的1显然是f（x）的极值点，就是直线y=f（x1）=f（x2）=h被函数y=f（x）图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x2＞2，只需证f（x1）＞f（2－x2），因此，问题本质是证极值点偏移问题． 若设f（x）的极值点为x0，则可将上述的解题策略程序化如下： ①构造差函数F（x）=f（x0+x）－f（x0－x） ②对F（x）求导，判断F'（x）的符号，确定F（x）的单调性， ③结合F（0）=0，判断F（x）的符号，确定f（x0+x）与f（x0－x）的大小关系

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极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。 证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1 f x1 +f x2=2f1 f x =2 10 +2x x f x =2 2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2 对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0 x11x2，要证 x1x22 x22x11 f x2f 2 x1 4f x1f2x1 4f x1f2x1 F x f x f2x， x0,1 ，则 F x f x f2x 2 2x12 2 2x 1 x2x

1 ， 4 1 x 1 0 x 2x 得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。 2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1 、极值点偏移（ f x00 ） 二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x 1 f x 2 x 2 2x x 1 x1x22x0 2 、拐点偏移 f x00 f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1 x1 x2 2x0 x2 2x0 x1 极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路） 例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x． （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时，

3.不含参数的极值点偏移问题

3不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例1：已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==， 即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.x x +>

法2：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得212 1x x x e x -=， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入式，得11 t t x e x +=， 反解出11 t t x e =-， 则121221t t x x x t t e +=+= +-，故要证122x x +>， 即证221 t t t e +>-， 又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0 t t t e +-->， 构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t G t t e G t te '''=-+=>， 故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=， 从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=， 即证：②式成立，也即原不等式X1+X2＞2成立

极值点偏移问题专题(二)——函数的选取(操作细节)

这或许是史上最全的极值点偏移系列文章公众号极值点偏移系列文章，关注后按提示word分享 极值点偏移（0）——偏移新花样（拐点偏移） 极值点偏移（1）——对称化构造（常规套路） 极值点偏移（2）——函数的选取（操作细节） 极值点偏移（3）——变更结论（操作细节） 极值点偏移（4）——比值代换（解题方法） 极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归） 极值点偏移（6）——泰勒展开（本质回归） 极值点偏移（7）——好题精选一题多解23例 其他相关文章 极值点偏移（8）——好题精选一题多解23例 极值点偏移（9）——好题精选一题多解23例

极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节） 例4 已知函数()e x f x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ． （1）求a 的取值范围； （2）求证：1202x x x +<； （3）求证：122x x +>； （4）求证：121x x <． 解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上Z ，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上]，在()ln ,a +∞上Z ，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a ．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）． （3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件： ()e e 0e x x x f x ax ax a x =-=?=?=，记函数()e x g x x =，则有()()12g x g x a ==． 求导得()()2e 1x x g x x -'=，则1是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>；顺带地，也可证（4）中结论121x x <．

高中数学极值点偏移问题

一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<

1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大 值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则 则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f( )-f( , F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f( ( f(x+) 与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 ③判断F(x)符号从而确定f(x+),f( 的大小关系; 假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f( ④

(完整版)极值点偏移问题专题——对数平均不等式

极值点偏移——对数平均不等式（本质回归） 笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链： ， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且 ，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为． 先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设 ，则， ，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平 ，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试． 证法2（比值代换） 令，则 ，构造函数可证． 证法3（主元法） 不妨设 ， 1 1 1ln 2e e 2ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a ---??-+?? < <<<<< ? ?+ -?? ??a b a b ≠ln ln a b a b --a b ln ln 2 a b a b a b -+< -()()(),,,G a b L a b A a b <<0 ln ln a b R a b -= >-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1k f x x '= -()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<< 2 2a b k ab k +>??()()11ln ln 2ln 2 b t b t a b a b a b t -+-+<

高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 <

2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性

极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链： 1 1 1 ln 2 e e 2 ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a - - - ?? -+ ?? <<<<<< ? ? +- ???? ， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a b≠，定义 ln ln a b a b - - 为a，b的对数平均值，且 ln ln2 a b a b a b -+ << - ，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为 ()()() ,,, G a b L a b A a b <<． 先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造）设0 ln ln a b R a b - => - ，则l n l n k a k b a b -=-， ln ln k a a k b b -=-，构造函数()ln f x k x x =-，则()() f a f b =．由()1 k f x x '=-得 ()0 f k '=，且() f x在() 0,k 上，在() ,k+∞ 上，x k =为() f x的极大值点．对数 平均不等式即 2 a b k + <，等价于 2 2 a b k ab k +> ? ?< ? ，这是两个常规的极值点偏移问题， 留给读者尝试． 证法2（比值代换）令1 a t b => ，则 ()() 11 ln ln2ln2 b t b t a b a b a b t -+ -+ <，

导数的极值点偏移问题

导数极值点偏移问题 如上图所示，0x 为函数的极值点，0x 处对应的曲线的切线的斜率为0 极值点左移：0212x x x >+，22 1x x x += 处切线与x 轴不平行 极值点右移：0212x x x <+，2 2 1x x x +=处切线与x 轴不平行 由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有()020' 21' =?? ? ??+x f x x f 。当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，()020'21'=>?? ? ??+x f x x f ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有()020'21'=-=，且03x x <，故()()13x f x f >，即 ()()1202x f x x f >-，故我们可以构造函数()()()1202x f x x f x F --=，只需要判断函数

()x F 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足()0min >x F ，我们就可以得 到0212x x x <+。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。 做题步骤： （1）求极值点0x ； （2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移； （4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论； （5）若极值点求不出来，由' 0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.

极值点偏移问题的处理策略及探究

极值点偏移问题的处理策略 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像 没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 【处理策略】 一、不含参数的问题. 例1.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2. x x +> 【解析】法一：()(1)x f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上 单调递增，在(1,)+∞上单调递减， x →-∞时，()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 函 数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且 1 (1)f e =,如图所示. 由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<， 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则 21 ()(1)(1)(1)0x x x F x f x f x e e +'''=++-= ->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增， ()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为 122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2. x x +>

专题1.1 初识极值点偏移(解析版)-20届高考压轴题讲义(解答题)

一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则 2 21x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若2 21x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x += ，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f . 三、问题初现，形神合聚 ★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x . 所以)2()2(x h x h -<+， 所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==， 因为21，即421>+x x .学科&网 ★已知函数x x f ln )(=的图象1C 与函数)0(2 1)(2≠+=a bx ax x g 的图象2C 交于Q P ,，过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点N M ,，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？

极值点偏移问题的处理策略及探究

极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类 问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】 【处理策略】 一、不含参数的问题. 例1.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，

证明：12 2. x x +> 【解析】法一：()(1)x f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上 单调递增，在(1,)+∞上单调递减，x →-∞时， ()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →，函 数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且1 (1)f e = ,如图所示.由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<，构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈，则21 ()(1)(1)1)0x x x F x f x f x e e +'''=++-= ->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增， ()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以122x x -<，即证12 2. x x +>法二：欲证122x x +>，即证212x x >-，由法一知1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =，故也即证11()(2)f x f x <-，构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明 ()0H x <对(0,1)x ∈恒成立. 由221()()(2)(1)0x x x H x f x f x e e --'''=+-= ->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立. 法三：由12()()f x f x =，得1 212x x x e x e --=，化简得212 1 x x x e x -= …①，不妨设21x x >，由法一知，121o x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式，

专题1.6 极值点偏移第四招——含指数式的极值点偏移问题-2121届高考数学压轴题讲义(解答题)

近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系.要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系.这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究. ★（2016年新课标I 卷理数压轴21题）已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点21,x x .证明： 122x x +< . 法二：参变分离再构造差量函数 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠， 故可整理得：()() ()() 1 2 122 2 122211x x x e x e a x x ---==--设()()() 221x x e g x x -=-，则()() 12g x g x =那么()()() 2 3 21'1x x g x e x -+=-， 当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．学科*网 设0m >，构造代数式：

()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-?? +--= -=+ ?+?? 设()2111 m m h m e m -=++，0m >则()() 2 22 2'01m m h m e m = >+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=． 因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-． 由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有12 1x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--?->=????????而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->?->整理得：122x x +<． 法三：参变分离再构造对称函数 由法二，得()()() 2 21x x e g x x -=-，构造()()(2),((,1))G x g x g x x =--∈-∞，利用单调性可证，此处略.学科*网