江苏省宿迁市2020学年高二数学上学期期末考试试题
(考试时间120分钟,试卷满分160分)< 注意事项:
1.答题前,请您将自己的座位号填写在答题卡上规定的地方,准考证号的条形码粘贴在答题卡上规定的地方.
2.答题时,请使用0.5毫米的黑色 中性(签字)笔或碳素笔书写,字迹工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.请保持卡面清洁,不折叠,不破损. 参考公式:])(...)()[(),...(1
22221221x x x x x x S x x x n
x n n -++-+-=+++=
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1. 写出命题“1>
,2
x N x ∈?”的否定: ▲ . 2. 某中学生一周内每日睡眠时间分别是6,6,7,x ,7,8,9(单位:小时),若该组数据的平均数为7,则该组数据的方差为 ▲ .
3.在平面直角坐标系xOy 中,已知点M (3,0)到抛物线)02px (p >2
=y 准线的距离为4,则p 的值为 ▲ .
4. 运行如图所示的伪代码,其结果为 ▲ .
5. 如图,圆和其内接正三角形,若在圆面上任意取一点,则点恰好落在三角形外的概率为 ▲ .
6. 如图是某算法流程图,则程序运行后输出的值为 ▲ .
7. 一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球,其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球. 若从中1次随机摸出2只球,则2只球颜色相同的概率为 ▲ . 8. 若曲线在处切线的斜率为2,则实数的值为 ▲ .
9. 已知双曲线C: )0b >,0(a >122
22=-b
y a x 的一个焦点坐标为(2,0),且它的一条渐近线与直
线03:=+y x l 垂直,则双曲线C 的标准方程为 ▲ .
10. 若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议,则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为 ▲ .
11. 若直线t x y +=与方程211y x -=-所表示的曲线恰有两个不同的交点,则实数t 的取值范围为 ▲ .
12. 已知椭圆)0b >,0(a >122
22=+b
y a x 的左焦点为F ,左顶点为A ,上顶点为B.若点F 到直线
AB 的距离为
17
2b
,则该椭圆的离心率为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆4)(:2
2
1=-+t y x C ,圆14)2(:2
2
2=+-y x C .若圆C 1上存在点P ,过点P 作圆C 2的切线,切点为Q ,且PQ PO 2=
,则实数t 的取值范围为 ▲ .
14. 已知函数x
e ax x
f +=)( (a 为常数,e 为自然对数的底数),若对任意的]2,1[-∈x ,
0)(≥x f 恒成立,则实数a 的取值范围为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,15—17每题14分,18—20每题16分,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题:p :指数函数x
a m y )3(+-=是减函数;命题R m q ∈?:,使关于x 的方程
02=+-m x x 有实数解,其中R m a ∈,.
(1)当a=0时,若p 为真命题,求m 的取值范围; (2)当a=-2时,若p 且q 为假命题,求m 的取值范围.
16.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享助力单车”在很多城市相继出现.某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度,随机调查了100名用户,得到用户的满意度评分(满分10分),现将评分分为5组,如下表:
(1)求表格中的a ,b ,c 的值; (2)估计用户的满意度评分的平均数;
(3)若从这100名用户中随机抽取25人,估计满意度评分低于6分的人数为多少?
17.在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC ?的顶点坐标分别是A (0,0),B (2,2),C )3,1(-, 记ABC ?外接圆为圆M. (1)求圆M 的方程;
(2)在圆M 上是否存在点P ,使得422=-PB PA ?若存在,求点P 的个数;若不存在, 说明理由。
18. 如图,已知A 、B 两个城镇相距20公里,设M 是中点,在AB 的中垂线上有一高铁站P ,PM 的距离为10公里.为方便居民出行,在线段PM 上任取一点O (点O 与、P 、M 不重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到O 处,再铺设快速路分别到A 、B 两处.因地质条件等各种因素,其中快速路PO 造价为1.5百万元/公里,快速路OA 造价为1百万元/公里,快速路OB 造价为2百万元/公里,设)(rad OAM θ=∠,总造价为y (单位:百万元). (1)求y 关于θ的函数关系式,并指出函数的定义域; (2)求总造价的最小值,并求出此时θ的值.
19.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)23
,1(P 在椭圆M 上,且)0b >,0(a >12222=+b
y a x 椭圆M 的离心率为
2
3
. (1)求椭圆M 的标准方程;
(2)记椭圆M 的左、右顶点分别为A 1、A 2,点C 是轴上任意一点(异于A 1、A 2,O 点),过点C 的直线l 与椭圆M 相交于E,F 两点.
①若点C 的坐标为)0,3(,直线EF 的斜率为-1,求AEF ?的面积;
②若点C 的坐标为(1,0),连结A 1E,A 2F 交于点G ,记直线A 1E,GC,A 2F 的斜率分别为321,,k k k ,证明:2
3
1k k k +是定值.
20.设函数x x x g R a x a x x f ln )(),(1ln )(-=∈-+=,. (1)当1=a 时,求曲线)(x f 在1=x 处的切线方程; (2)求函数)(x f 在],1[e 上的最小值(e 为自然对数的底数);
(3)是否存在实数a ,使得)()(x g x f ≥对任意正实数x 均成立?若存在,求出所有满足条件的实数a 的值;若不存在,请说明理由.
高二数学参考答案与评分标准
1. *2
, 1≤?∈x x N 2.
8
7
3.2
4.19
5.1- 6,41
7. 415 8.1- 9.22
13y x -= 10.56 11.(1,2]-- 12.13
13.?-? 14.1
[e,]e
-
15.解(1)当0a =时,指数函数(3)x y m a =-+化为(3)x y m =-
因为指数函数(3)x y m =-是减函数,所以031m <-< ..................4分 即23m <<
所以实数m 的取值范围为(2,3).......................................6分 (2)当2a =-时,指数函数(3)x y m a =-+化为(1)x y m =- 若命题p 为真命题,则011m <-<,即01m <<
所以p 为假命题时m 的取值范围是0m ≤或1m ≥......................8分 命题q 为真命题时,即关于x 的方程20x x m -+=有实数解, 所以140m ?=-≥,解得14
m ≤
, 所以命题q 为假命题时m 的取值范围为1
4
m >
........................10分 因为p 且q 为假命题,所以p 为假命题或者q 为假命题................12分 所以实数m 满足0m ≤或1m ≥或14m >
,即0m ≤或14
m > 所以实数m 的取值范围为(]1,0,4??
-∞?+∞ ???
..........................14分
16.解:(1)37a =,0.1b =,0.32c =....................................3分
(2)10.05+30.1+50.37+70.32+90.16=5.88?????...................9分 (3)()250.050.10.3713?++=.....................................13分 答:(1)表格中的37a =,0.1b =,0.32c =;
(2)估计用户的满意度评分的平均数为5.88;
(3)若从这100名用户中随机抽取25人,估计满意度评分低于6分的人数为13 ....................................................................14分
17.解:(1)设ABC ?外接圆M 的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=,
将(0,0),(2,2),(1,A B C
代入上述方程得:0228040
F D E D ?=?
++=??
+=? ............2分
解得 400D E F =-??
=??=?
.............................................4分
则圆M 的方程为22
40x y x +-= ..................................6分 (2)设点P 的坐标为),(y x ,
因为422=+PB PA ,所以2222(2)(2)4,x y x y +----=
化简得:30x y +-=.................................................8分 即考察直线30x y +-=与圆C 的位置关系 .............................10分 点M 到直线30x y +-=
的距离为2d =
=
< .................12分 所以直线30x y +-=与圆M 相交,故满足条件的点P 有两个。 . .........14分 18.解:(1)OAM θ∠=Q ,PM AB ⊥
,cos 10
θBO AO =
=10tan OM θ=,10-10tan OP θ=......................2分 1010
12(1010tan ) 1.5cos cos y θθθ∴=?+?+-?
30=15tan 15cos θθ-+ 2=15tan +cos ()15θθ-(0)4πθ<<....................................7分
(定义域不写扣1分) (2)设22sin ()tan cos cos f θ
θθθθ
-=
-=
则22cos sin (2sin )()cos f θθθθθ-+-'=
22sin 1
cos θθ
-=
....................................................10分
令()=0f θ',1sin =2θ又04πθ<<,所以=6
π
θ.
当06πθ<≤,1
sin 2
θ<,()0f θ'<,()y f θ=单调递减;
当6ππθ<<4,1
sin 2θ>,()0f θ'>,()y f θ=单调递增;....................14分 所以()f q
的最小值为()6f π
分
答:y
的最小值为(百万元),此时6
p
q =
..........................16分 19.解:(1)
因为222
22
3141a b c a a b c
?
?+=???
?=???=+??,得224,1a b ==,
所以椭圆的标准方程是2
214x y +=.......................................2分
(2)设E F 、的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,
①直线l
:0x y +-=
代入椭圆方程得:2510y --=,
所以12121
5
y y y y +==-g
12y y -==
分 所以
1A EF
121
2
?=??-S AC y y
12)2=?
......................... .......................6分 ②直线 11:(2)AG y k x =+,联立方程组122
(2)
44
y k x x y =+??
+=?得:
1122221(41)161640k x k x k +++-=
则2211112211164822,4141
k k x x k k ---?==++所以,1121441k
y k =+
所以211
2
211824(,)4141
k k E k k -++ .....................................8分 同理可得: 233
2233
824(,)4141k k F k k --++ (9)
分
又因为,,C E F 三点共线,所以EC
FC k k =,即E F C
E
C
F C C
y y
y y x x x x --=
--,将
,,C E F 三点坐标
代入上式得:21
22
31221322
1344004141
=2882114141
k k k k k k k k ---++----++,化简得3122134411243k k k k -=--
整理得: 1313(3)(14)0k k k k -+=g
,因为130k k >,所以1330k k -=即133k k =..11分
又联立
{
A E 11A F 11:(2):(2)
l y k x l y k x =+=-得131331312()4(,)k k k k
G k k k k +-- ......................12分 所以13
2
31131
2113131
31
40412212()261
G
G
k k y
k k k k k k k x k k k k k k k --=====-++-- 所以
131
21
422k k k k k +==...............................................14分 当11x =
时,点(1,E F G
或(1,(4,E F G ,均满足
13
2
2k k k +=. 所以13
2
k k k
+为定值......................................... ........ 16分
20.解:(1)因为函数()ln 1f x x a x =+-,且1a =, 所以()ln 1f x x x =+-,()0,.x ∈+∞ 所以()f x x
1
1'=+
....................................................1分 所以()11f =,().f '=12
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程是()y x 21=-,即x y 220--=....2分 (2)因为函数()()ln 10f x x a x x =+->,所以().a x a f x x x
1+'=+
= 1°当≥a 0时,()f x 0'>,所以()f x 在()0,+∞上单调递增. 所以函数()f x 在
[]1,e 上的最小值是()10.f =............................4分
2°当a <0时,令()f x 0'>,即x a 0+>,所以.x a >- 令()f x 0'<,即x a 0+<,所以.x a <- (i )当a 01<-≤,即a 1≥-时,()f x 在[]1,e 上单调递增,
所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()10.f = (ii )当a e 1<-<,即e a 1-≤≤-时,()f x 在[]1,a -上单调递减,在(],a e -上单调
递增,所以()f x 在
[]1,e 上的最小值是()()ln 1.f a a a a -=-+--
(iii )当a e -≥,即a e ≤-时,
()f x 在[]1,e 上单调递减,
所以
()f x 在[]1,e 上的最小值是()1f e e a =+-............................7分
综上所述,当a 1≥-时,()f x 在[]1,e 上的最小值是()10.f =
当e a -≤≤-1时,()f x 在[]1,e 上的最小值是()()ln 1.f a a a a -=-+--
当a e ≤-时,
()f x 在[]1,e 上的最小值是()1f e e a =+-...................8分
(3)令()()()h x f x g x =-,
则()2ln 1ln h x x x x x =--+,且(1)h =0
若'(1)0h =,即2ln10a ++=,得2a =-.................................9分 若2a =-时,()2ln 1ln h x x x x x =--+,2
'()2ln h x x x
=-+ 令2()2ln s x x x =-
+,则221
'()+s x x x
=0>,则()s x 在(0,)+∞上是增函数, 而'(1)0h =,则有
当01x <<时,'()'(1)0h x h <=,当1x >时,'()'(1)0h x h >=, 所以当1x =时,()h x 有极小值,也是最小值,则有
()()()(1)0h x f x g x h =-≥=成立........................................10分
当2a <-时, ()ln 1ln h x x a x x x =+-+,(0x >),'()2ln a
h x x x
=+
+ 则'(1)20h a =+<,111
'()22ln()ln()0222
h a a a -=-+-=->
所以在1
(1,)2
a -内存在0x ,使0'()0h x =,即当01x x <<时,有'()0h x <,
则()h x 在0(1,)x 是减函数,则有()(1)0h x h <=,即()()f x g x <这与()()f x g x ≥不符, 则2a <-不成立;……………………………………………………………………14分
当20a -<<时,'()2ln a
h x x x
=+
+
'(1)20h a =+>,111
'()22ln()ln()0222
h a a a -=-+-=-<
则()h x 在0(,1)x 是增函数,则有()(1)0h x h <=,即()()f x g x <这与()()f x g x ≥不符;
当0a ≥时,则1111111
()ln()1ln()110h a a a e e e e e e e
=+-+=---=--<,则有
11
()()f g e e
<,这与()()f x g x ≥不符合.
绽上所述,当且仅当2a =-时,()()f x g x ≥在定义域上恒成立. ………………16分
延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考 试试题高二数学(理)(A ) 说明:卷面考查分(3分)由教学处单独组织考评,计入总分。 考试时间:100分钟 满分:100分 第Ⅰ卷(共40分) 一.选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列{a n }中,若a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2.过点P (-2,3)的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=-92x 或x 2=43y B .y 2=92x 或x 2=43 y C .y 2=92x 或x 2=-43y D .y 2=-92x 或x 2=-43 y 3.设命题p :?x ∈R ,x 2+1>0,则﹁p 为( ) A .?x 0∈R ,x 20+1>0 B .?x 0∈R ,x 2 0+1≤0 C .?x 0∈R ,x 20+1<0 D .?x ∈R ,x 2+1≤0 4.命题甲:动点P 到两定点A ,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数);命题乙:P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.不等式x 2-x -6x -1 >0的解集为( ) A.{}x |x <-2或x >3 B.{}x |x <-2或1 高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是 ( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)职业高中高二期末考试数学试卷
高二数学期末试卷(理科)