第五节 指数与指数函数
考纲解读
1. 了解指数函数模型的实际背景.
2. 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算及性质.
3. 理解指数函数的概念和单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.
4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究
指数函数是中学数学中基本初等函数之一,这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主,主要考查指数函数的性质及应用,一般以选择题和填空题的形式出现,例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等,但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲
一、指数的运算性质 当a >0,b >0时,有 (1)a m a n
=a
m +n
(m ,n ∈R );
(2)m
m n n a a a
-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R );
(4)(ab )m =a m b m (m ∈R );
(5)p
p a a
-=1
(p ∈Q ) (6)m
m n n a a =(m ,n ∈N +)
二、指数函数
(1)一般地,形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数; (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1
0 图象 (1)定义域:R (1)定义域:R 值域 (2)值域:(0,+∞) (2)值域:(0,+∞) (3)过定点(0,1) (3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0 y =1?x =0 y >1?x <0 (5)0 y =1?x =0 y >1?x >0 题型归纳及思路提示 题型23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示 利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =,()f x a b >,()f x a b <的形式常用“化同底”转化,再利用指数函数单调性解决;或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算 例2.48化简并求值. (1)若a =2,b =4 1 的值; (2)若x x -+=1 12 2 3, x x x x - -+-+-332 2 223 2 的值; (3)设n n a --= 1120142014 2 (n ∈N +) ,求)n a 的值. 分析:利用指数运算性质解题. = == . 当a =2,b =4 ,原式===12 . (2)先对所给条件作等价变形: ()x x x x - -+=+-=-=111 2 22 22327, ()()x x x x x x -- -+=++-=?=331112 2 2 2 13618, x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故 x x x x - -+--==+--332 2 22 31831 24723 . (3)因为n n a - -= 1120142014 2 ,所以( )n n a - ++=1122 2014201412 , n n n n n a --- +--= - =1111120142014 2014201420142 2 . 所以)n a -=12014. 变式1 设2a =5b =m ,且a b +=11 2,则m =( ). A. B. 10 C. 20 D. 100 二、指数方程 例2.49 解下列方程 (1)9x -4?3x +3=0;(2)()()x x ?= 29643827 ; 分析:对于(1)方程,将其化简为统一的底数,9x =(3x )2;对于()()x x ?293 8 ,对其底进行化简运算. 解析:(1)9x -4?3x +3=0?(3x )2-4?3x +3=0,令t=3x (t>0),则原方程变形为t 2-4t+3=0, 得t 1=1,t 2=3,即x =131或x =233,故x 1=0,x 2=1.故原方程的解为x 1=0,x 2=1. (2)由()()x x ?=2964 3827,可得()x ?=33294383 即()()x =33443,所以()()x -=33344,得x =-3. 故原方程的解为x =-3. 变式1 方程9x -6?3x -7=0的解是________. 变式2 关于x 的方程()x a a +=-3 2325有负实数根,则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式 例2.50若对x ∈[1,2],不等式x m +>22恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:利用指数函数的单调性转化不等式. 解析:因为函数y =2x 是R 上的增函数,又因为x ∈[1,2],不等式x m +>22恒成立,即对?x ∈[1,2],不等式x +m >1恒成立?函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1,而y =x +m 在[1,2]上是增函数,其最小值是1+m ,所以1+m >1,即m >0. 所以实数m 的取值范围是{m |m >0}. 变式1 已知对任意x ∈R ,不等式()x mx m x x -+++>2 2241122恒成立,求m 的取值范围. 变式2 函数()x f x x -= -21 的定义域为集合A ,关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ,求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 题型24 指数函数的图像及性质 思路提示 解决指数函数有关问题,思路是从它们的图像与性质考虑,按照数形结合的思路分析,从图像与性质找到解题的突破口,但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x b f x a -=的图象如图2-14所示,其中a ,b 为常数,则下列结论中正确的是( ). A. a >1,b <0 B. a >1,b >0 C. 0 D. 0 解析:由图2-14可知0 a -∈(0,1),故- b >0,得b <0,故选D. 评注:若本题中的函数变为()x f x a b =-,则答案又应是什么?由图2-14 可知?(x ) 单调递减,即0 y a b =-的图像,故00且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限,则一定有( ). A. 00 B. a >1且b >0 C. 01且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a =- 1 (a >0,a ≠1)的图象可能是( ). 变式3 已知实数a ,b 满足()()a b =11 23 ,下列5个关系式:①0 其中不可..能.成立的有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 例2.52 函数?(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析:指数函数的图像恒过定点(0,1),即a 0=1. 解析:因为函数?(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1),又函数?(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数?(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的,故函数?(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数?(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数?(x)=ax+x-2的图像过定点________. 变式3 ?(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上,则m n +11 的最小值为________. 二、指数函数的性质(单调性、最值(值域)) 例2.53 函数?(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ,则a 的值是_______. 分析:本题考查指数函数的单调性. 解析:当0 ,得 a a =22,又0 ; 当a >1时,函数?(x )=a x 在[1,2]上单调递增,故在[1,2]上最大值为a 2,最小值为a ,那么a a a -=22,得a a =232 ,又a >1,所以a = 3 2 . 综上所述,a 的值是12或3 2 . 评注:函数?(x )=a x (a >0且a ≠1),不论01都是单调的,故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22,解得a =12或a =32 . 变式1 函数?(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍,则a =_____. 变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1 变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9],则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ). A. [2.4] B. [4,16] 3 D. [4,12] 例2.54 函数x x y a --+=+2 481 45(0 分析:复合函数x x y a --+=+2 481 45内层为二次函数,外层为指数型函数,根据复合函数单调性判定法求解. 解析:因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减,在(-∞,-1]上单调递增,且y =a x (0 x y a --+=+2 481 45(0 变式1 函数() f x 1________. 变式2 求函数()()()x x f x =-+11 142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域. 变式3 已知0≤x ≤2,求函数x x a y a -=-?++1 2 2 4 212 的最大值和最小值. 变式4 设函数y =?(x )在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数k ,定义函数(),(), k f x f x k ?=?? ()()f x k f x k ≤>,取函数 ?(x )=2-|x |,当k = 1 2 时,函数?k (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞) 变式5 若函数||()x y m -=+11 2的图像与x 轴有公共点,则m 的取值范围是________. 变式6 已知函数()||x f x -=-21,x ∈R ,若方程?(x )=a 有两个不同实根,则a 的取值范围是__________. 题型25 指数函数中的恒成立问题 思路提示 (1)利用数形结合思想,结合指数函数图像求解. (2)分离自变量与参变量,利用等价转化思想,转化为函数的最值问题求解. 例2.55 设()x x f x a =++?124(x ∈R),当x ∈(-∞,-1]时,?(x )的图象在x 轴上方,求实数a 的取值范围. 分析:本题等价于当x ≤1时,x x a ++?124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ,转化为求解函数的最值. 解析:因为当x ∈(-∞,1]时,?(x )的图像在x 轴上方,所以对于任意x ≤1,x x a ++?124>0恒成立,即 x x a +>-21 4 (x ≤1)恒成立. 令()()()x x x x u x +=-=--2111 424(x ≤1),a >u (x )max ,x ∈(-∞,1]. 因为()x y =12,()x y =1 4 均是减函数, 所以u (x )在(-∞,1]上单调递增,故当x =1时,max ()()u x u ==-314,故a >-3 4. 故实数a 的取值范围为(-3 4 ,+∞). 变式1 已知函数()()x x a f x a a a -= --2 1 (a >0且a ≠1). (1)判断函数?(x )的奇偶性; (2)讨论函数?(x )的单调性; (3)当x ∈[-1,1]时,?(x )≥b 恒成立,求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数. (1) 求a,b 的值. (2) 若对任意的t R ∈,不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22 x x f x =- ,若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 最有效训练题8(限时45分钟) 1.函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数,则有( ) A a=1或a=2 B a=1 C a=2 D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.51231 4,8,()2 y y y -===,则( ) A 312y y y >> B 213y y y >> C 123y y y >> D 132y y y >> 3.设函数()f x 定义在实数集上,其图像关于直线x=1对称,且当1x ≥时,()31x f x =-,则有( ) A 132()()()323f f f << B 231()()()323f f f << C 213()()()332f f f << D 321()()()233 f f f << 4. 函数()22x x f x -=-是( ) A 奇函数,在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数,在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数,在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数,在区间(,0)-∞上单调递减. 5.若关于x 的方程9(4)340x x a ++?+=有解,则实数a 的取值范围是( ) A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞- 6.函数 221(0) (1)(0) (){ ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调,则a 的取值范围是( ) A (,(1,2]-∞ B [1)[2,)-+∞ C (1) D )+∞ 7.不等式22 23330x x a a ?-+-->,当01x ≤≤时,恒成立,则实数a 的取值范围为 . 8. 函数1 (2 y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -?+-=有两个 不同实数根,则实数k 的取值范围为 . 10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+,且在[0,1]x ∈时,()f x x =,则关于x 的方程1()()10 x f x =,在[0,2014]x ∈上的解的个数是 . 11.已知函数()x f x b a =?(其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A (1,6),B (3,24). (1)确定()f x . (2)若不等式11()()0x x m a b +-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立,求实数m 的取值范围. 12.已知函数1()(),[1,1]3 x f x x =∈-,函数2 ()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a); (2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件:①3m n >>;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为22 [,]n m .若存在,求出m,n 的值;若不存在,说明理由. 指数函数及其性质应用 1.指数函数概念 叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 一般地,函数 2. 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点,即当时,. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针 方向看图象,逐渐减小. 指数函数题型训练 题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型 (1)21 51- ? ?? ?? 3 251?? ? ?? (2) 2.51.7 3 1.7 (3)0.8 14?? ? ?? 1.8 12?? ??? (4) 0.5 a ()0.6 0,1a a a >≠ 归纳: 2、“同指不同底”型 (1)5 6 311?? ? ?? 5 6 833?? ? ?? (2)9 2 4 归纳: 3、“不同底不同指”型 (1)0.3 1.7 3.1 0.9 (2) 2.5 1.7 30.7 (3)0.1 0.8 - 0.2 9 - (4)b a (01)a b a b <<< (5) 1 23-?? ? ?? 13 3 归纳: 综合类:(1)已知232()3 a =,132()3 b =,232 ()5c =则a 、b 、c 的大小关系为 (2)如果0m <,则2m a =,1 ()2 m b =,0.2m c =则a 、b 、c 的大小关系为 题型二 过定点问题 1、函数33x y a -=+恒过定点 2、函数()150,1x y a a a +=->≠图像必过定点,这个定点是 3、已知对不同的a 值,函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ,则P 点的坐标 是 归纳: 题型三 解指数函数不等式 1、2212 2≤?? ? ??-x 2、 8 21()33 x x --< 3、0.225x < 4、221(2)(2)x x a a a a -++>++ 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{>< 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.(完整word版)指数函数题型归纳
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