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高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

定积分与微积分基本定理习题

一、选择题

1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x

d x ，c ＝??0

2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

2．由曲线y ＝x 2

，y ＝x 3

围成的封闭图形面积为( )

练习、设点P 在曲线y ＝x 2

上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x

2

及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )

A.? ????43，169

B.? ????45，169

C.? ??

??43，157 D.? ??

??45，137

3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3

所围成的图形的面积为( ) A ．4

B.4

3

C.18

5

D ．6

4． ?

?1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )

A ．0

B ．2

C ．2＋2cos1

D ．2－2cos1

5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π

B ．3π C.3π

2

D ．π

6．函数F (x )＝??0

x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )

A ．有最大值0，无最小值

B ．有最大值0和最小值－32

3

C ．有最小值－32

3

，无最大值 D ．既无最大值也无最小值

7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2

＋n ，函数f (x )＝??1x 1t

d t ，若f (x )

A.?

??

??36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11

) 8．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )

A.1

π B.2

π

C.

3

π

D.

π4

9．函数f (x )＝?

???

?

x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π

2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )

A.3

2

B ．1

C ．4

D.12

10．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x

3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则?

?m

n g (x )d x

的值是( )

A ．－5

2

B ．－43

C ．－54

D ．－76

11．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为

b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为

c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有

实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )

A.1

3

B.2

3

C.1

2

D.34

12．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2

(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )

A.1

2 B.14 C.13

D.2

5

二、填空题

13．已知函数f (x )＝3x 2

＋2x ＋1，若?

?1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.

14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2

项的系数是________．

15．抛物线y 2

＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．

16．抛物线y 2

＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线

2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．

17．已知函数f (x )＝－x 3

＋ax 2

＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1

12

，则a 的值为________．

三、解答题

18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2

，试在此区间确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋

S 2最小．

1、 [答案] D[解析] a ＝??02x d x ＝12

x 2|02＝2，b ＝??02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝??0

2sin x d x ＝－cos x |02

＝1

－cos2∈(1,2)，∴c

A.1

12

B.1

4

C.1

3

D.

712

2、[答案] A[解析] 由?

????

y ＝x

2

y ＝x 3

得交点为(0,0)，(1,1)．

∴S ＝??0

1(x 2－x 3

)d x ＝

???? ????13x 3－14x 40

1＝112

.

练习； [答案] A[解析] 设P (t ，t 2

)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝??0

t (tx －x 2

)d x ＝t 3

6；S 2＝?

?t

2

(x 2

－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ? ??

??43，169.

3、[答案] A[解析] S ＝??0

2x 3

d x ＝

?

??x 44

2

＝4.

4、[答案] B[解析] ??1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11

＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.

5、[答案] A[解析] 如右图，S ＝∫02π

(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|0

2π

＝2π.

6、[答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，

x 2＝4，

∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－32

3

.

7、[答案] D ；[解析] f (x )＝??1x 1t

d t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0

e 11

.

8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝??0

π

sin x d x ＝－cos x |0π

＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝

S

S 矩形OABC

＝

22π＝1π

. 9、[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝?

?0－2(x ＋2)d x ＋∫π

202cos x d x ＝2＋2＝4.

10、 [答案] A[解析] 由题意可得，当0

所以m ＝1，n ＝4，则??m n g (x )d x ＝??14? ??

??－x 3d x ＝

???－x 2614

＝－5

2

. 11、[答案] A ；[解析] 方程x 2

＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2

－4c ≥0，即b 2

≥c ，

由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝??01b 2

db 1×1

＝1

3

.

12、[答案] C ；

[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝??0

1x 2

d x ＝13x 3|01＝13

，故所

求概率p ＝1

3

.

13、 [答案] －1或13；[解析] ∵??1－1f (x )d x ＝??1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11

＝4，??1－

1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2

＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13

.

14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a ＝∫

π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin

π

2

－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x )6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r

，令3－r ＝

2得，r ＝1，故其系数为(－1)1

×C 61

×25

＝－192.

15、[答案] 18[解析] 由方程组???

??

y 2

＝2x y ＝4－x

解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 2

2

、

x ＝4－y

∴S ＝?

?2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 3

6)|－42

＝18.

16、 [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知?

?0

1ax d x ＝2

3，∴a ＝1，

设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2

＝0，由Δ＝0得，b ＝18，

∴l 方程为16x －8y ＋1＝0. 17、 [答案] －1

[解析] f ′(x )＝－3x 2

＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3

＋ax 2

，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－?

?a

0(－x 3＋ax 2

)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.

18、 [解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－?

?0

t x 2

d x ＝23t 3，

S 2＝??t

1x 2d x －t 2(1－t )＝2

3t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13

(0≤t ≤1)．

又S ′(t )＝4t 2

－2t ＝4t ? ????t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0.

因为当0

2

0.

所以S (t )在区间??????0，12上单调递减，在区间????

??12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.

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