荆州中学高二下学期数学测试卷(13)2015.5.28 CJ

C1荆州中学高二下学期数学测试卷（12）2015.5.28 CJ

一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)。

1．已知随机变量ξ服从正态分布()

2

2,N σ,()40.84P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）

A 0. 41

B 0.84

C O.32

D 0.16

2.如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若AB a =

，AD b = ，1AA c =

，则下列向量中与相等的向量是（ A ．1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+ D ．c b a +-2

1

21 3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球

D ．恰有一个红球与恰有二个红球

4．下面是关于复数1i

z i

=

-+的四个命题： 1:||2

p z =

，223:2:p z i p z =的共轭复数为

12

i

+ 4:p z 的虚部为1- 其中的真命题为 ( )

A 23,p p

B 13,p p

C 24,p p

D 43,p p

5．一质点运动时速度与时间的关系为2)(2+-=t t t v ，质点作直线运动，则此物体在时间[]2,1内的位移为

( )

A 6

17

B

314 C 6

13

D

6

11

6. 某几何体的三视图所示，且该几何体的体积是4，则正视图中的x 的值是 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4

（第6题图） （第7题图）

7．如图所示程序框图中，输出S = （ ） A ．45 B ．55- C ．66- D ．66

8．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =

1,AB =2,3

AC BAC π

=∠=

，则球O 的表面积为 （ ）

A. 16π

B. 12π

C. 8π

D. 4π 9.已知,,a b c 是正实数，则下列说法正确的个数是（ ） ①5

5

32

23

a b a b a b +≥+ ②若b a >，则

b

a

c b c a >++ ③若1a b c ++=，则2

2

2

13

a b c ++≥

④若0,,1a b c <<，则()()()1,1,1a b b c c a ---可都大于14

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10. 已知双曲线22221x y a b

-=的焦点到其渐近线的距离等于4，抛物线2

2y px =的焦点为双曲

线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为8，则抛物线方程为 （ ）

A. 2

4y x = B. 2y = C. 2y = D. 2y =

11.已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈,()a

g x x

=-，若至少存在一个[]01,x e ∈，

使得00()()f x g x >成立，则实数a 的取值范围为 （ ）

A.

[)0,+∞ B. ()0,+∞ C.[)1,+∞ D.()1,+∞

12．如图，我们知道，圆环也可看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的

面积S=π（R 2

-r 2

）=（R-r ）×2π×

2

R r

+所以，圆环的面积等于是以线段AB=R-r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×2

R r

+

为长的矩形面积．请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M={（x ，y ）|

（x-d ）2+y 2≤r 2

}（其中0＜r ＜d ）绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）

A ．2πr 2d

B ．2π2r 2d

C ．2πrd 2

D ．2π2rd 2

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填写在横线上） 13.用数学归纳法证明：*(31)

(1)(2)()()2

n n n n n n n N +++++++=∈ 的第二步 中，当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于

14. 过点(2,1)P 的直线l 与圆2

2:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时，直

线l 的方程为 。

15. 设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤??

-+≥??≥≥?

，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值

为10，则23

a b

+的最小值为________。

16.设k 是一个正整数，1k

x k ??

+ ???

的展开式中第四项的系数为116，记函数

2x y =与kx y = 的图像所围成的阴影部分为S ，任取

]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为

三、解答题(本题共6小题，17题满分10分，18、19、20、21、22题每题12分，共70分，

解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17. 用数学归纳法证明等式：

22121335++?? (2)

(21)(21)

n n n +-+＝242n n n ++对于一切n N +∈都成立．

18．如图，过抛物线()2

:30C y x

x =≥上一点()()2,301A t t t <<的切线为l ，1S 是抛物线C

与切线l 及直线1x =所围成的面积；2S 是抛物线C 与切线l 及直线0x =所围成的图形面积．

(1)求切线l 的方程； (2)用t 表示1S 和2S ；

(3)若1227S S =，求实数t 的值．

19.已知函数2

()1x e f x ax =+，其中a 为正实数

（Ⅰ）当a 4

3

=

时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ?

∠=，

O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点。 （Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；

（Ⅱ）若PD //平面EAC ，并且二面角B AE C --的大小为45

，求

PD

AD

的值。

21．如图，圆C 与y 轴相切于点()0,2T ，与x 轴正半轴相交于两点M 、N （点M 在点N 的左侧），且3MN =。 （Ⅰ）求圆C 的方程；

（Ⅱ）过点M 任作一条直线与椭圆22

:148

x y Γ+=A 、B ，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠。

22．设函数

()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中a 和b 是实数，曲线()y f x =与x 轴相切

于坐标原点．

（Ⅰ）求常数b 的值；

（Ⅱ）当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，不等式1

1111+?

?

?

??+<

n e n 恒成立.

荆州中学高二下学期数学测试卷（12）答案2015.5.28 CJ

一、选择题：DADBA ，DBABD ，BB 二、填空题：13. 32k + 14. 30x y +-= 15. 5 16. 6

1

三、解答题

17证明：（1）当n=1时，左边= 1

3，右边=

2111423

+=+，等式成立。 （2）假设n=k 时，等式成立，即22121335++??…2(21)(21)k k k +-+=242k k

k ++， 那么n=k+1时，22

121335++??……2(21)(21)k k k +-+2(1)(23)(21)k k k ++++ =242k k

k ++2(1)(23)(21)

k k k ++

++ 18.解 (1)因为y ′＝6x ，故在A 点处的导数值为6t ，此时切线的方程为：

y －3t 2＝6t (x －t )，

整理得y ＝6tx －3t 2 (0

t [3x 2－(6tx －3t 2)]d x

＝(x 3－3tx 2＋3t 2x )|0t ＝t 3 (0

S 1＝??t 1[3x 2－(6tx －3t 2)]d x ＝(x 3－3tx 2＋3t 2x )|t 1

＝1－3t ＋3t 2－t 3＝(1－t )3 (0

＝t 3

∴t ＝3

4.

19.解：对)(x f 求导得.)

1(1)(2

22ax ax

ax e x f x

+-+=' ① （I ）当34=

a ，若.2

1,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则

综合①,可知

所以,

2

1

=

x是极小值点,

2

2

=

x

是极大值点.

（II）若)

(x

f为R上的单调函数，则)

(x

f'在R上不变号，结合①与条件a>0，知0

1

2

2≥

+

-ax

ax在R上恒成立，因此,0

)1

(

4

4

42≤

-

=

-

=

?a

a

a

a由此并结合，知.1

0≤

20.解:(I) 因为PD ABCD

⊥平面，PD AC

∴⊥，

又ABCD是菱形，BD AC

∴⊥，故AC⊥平面PBD

∴平面EAC⊥平面.

PBD…….4分

(II)解：连结OE，因为//

PD平面EAC，

所以//

PD OE，所以OE⊥平面,

ABCD

又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，

以O为坐标原点，射线,,

OA OB OE分别为x轴，y轴，z轴建系:

设,,

OB m OE h

==则OA=，

000000

,,),(,,),(,,)

A B m E h

向量

1

010

(,,)

n=为平面AEC的一个法向量……….8分

设平面ABE的一个法向量

2

(,,)

n x y z

=

，

则

2

n AB=

且

2

n BE=

，

即00

my my hz

+=-=

且，

取1

x=，则y z

==，则

2

1(

n=

…10分

12

12

12

45

2

cos cos,

||||

n n

n n

n n

?

∴=<>===

?

解得

h

m

=故222

:::.

PD AD h m h m

===……………………………12分

21.解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（0

r>），依题意，圆心坐标为(,2)

r．…············· 1分∵3

MN=

∴

2

22

3

2

2

r

??

=+

?

??

，解得2

25

4

r=． ························································· 3分∴圆C的方程为()

2

2

525

2

24

x y

??

-+-=

?

??

． ·············································· 5分0

>

a

（Ⅱ）把0y =代入方程()2

2525224x y ?

?-+-= ???

，解得1x =，或4x =，

即点()1,0M ，()4,0N ． ······································································· 6分

当AB x ⊥轴时，由椭圆对称性可知ANM BNM ∠=∠． ································ 7分 当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为()1y k x =-．

联立方程()

22

128y k x x y ?=-?+=?

，消去y 得，()

22222280k x k x k +-+-=． ················· 8分 设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点，则

2122

22k x x k +=+，21228

2

k x x k -?=+． ···························································· 9分 ∵ ()()11222,2y k x y k x =-=-， ∴ ()()1212

1212114444

AN BN k x k x y y k k x x x x --+=+=+---- ()()()()

()()

122112141444k x x k x x x x --+--=

--． ····················································· 10分

∵()()()()()()

22

1221121222281014142588022

k k x x x x x x x x k k ---+--=-++=-+=++，

······································································································· 11分

∴ 0AN BN k k +=，ANM BNM ∠=∠． 综上所述，ANM BNM ∠=∠．································································ 12分

22．解：（Ⅰ）对()f x 求导得：1()ln(1)1ax

f x a x b x

-'=-++

-+，根据条件知(0)0f '=，所以101b b -=?=. ……………2分 （Ⅱ） 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-，01x ≤≤

1()ln(1)11ax

f x a x x

-'=-++

-+ 22

(1)(1)21

()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-

+++. ① 当12

a ≤-时，由于01x ≤≤，有2

21()

()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+，于是()f x '在[0,1]上单调递增，从而()(0)0f x f ''≥=，因此()f x 在[0,1]上单调递增，即()(0)0f x f ≥=而且仅有(0)0f =； …………………………4分

②当31

-≥a 时，由于01x ≤≤，有2

21()0(1)

ax a f x x ++''=-<+，于是()f x '在[0,1]上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有

(0)0f =； …………………………6分

③当3121-<<-a 时，令a

a m 12+-=，当0x m ≤≤时，2

21()

()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+，于是()f x '在[0,]m 上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,]m 上单调递减，

即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.

综上可知，所求实数a 的取值范围是1(,]2

-∞-. ……………8分 （Ⅲ）对要证明的不等式等价变形如下： 对于任意的正整数n ，不等式()??

?

??++<

()??

?

??+??? ??+<

()()11

ln 1011111ln 102n n n n n

???+-< ?????

???????++-> ? ??????? 式式……10分

对于(1)式：相当于（2）中0=a ，情形，有()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而

且仅有(0)0f =.

取1x n =

，得：对于任意正整数n 都有01

11ln <-??? ??+n n 成立； 对于（2）式：相当于（2）中1-=a 情形，对于任意x ∈[0,1]，恒有()0f x ≥而且仅有(0)0f =.

取1x n =，得：对于任意正整数n 都有01

11ln 11>-??? ??+??? ??+n

n n 成立.

因此对于任意正整数n ，不等式1

1111+?

?

? ??+<