物理学咬文嚼字之四十一：如何是直？

物理学咬文嚼字

物理学咬文嚼字之四十一

如何是直?

曹则贤

(中国科学院物理研究所 北京 100190

)宁在直中取,不在曲中求.

[明]许仲琳‘封神演义“

摘 要 什么是直的问题关系到物理学对运动和时空结构的理解.英文文献关于直线有r i g h t l i n e ,s t r a i g

h t l i n e ,d i r e c t l i n e ,b e e l i n e 等说法,分子轨道的记号g ,u 也与

直”有关.1) 如果您以为这样的概念很简单,

恭喜您,物理学对您来说太简单了.

笔者注2) P e r p

e n d i c u l a r 的词干为p e n d e r e ,相关的词有p e n d u l u m.P e n d u l u m 汉译单摆,其实p e n d u l u m 意在 垂”而不在 摆”.

笔者注 商朝末年,

渭水河边有处叫磻溪的地方,一位鬓须皆白的老者独坐垂杨之下,悠然垂钓.令人诧异的是,老先生用的鱼钩却不能算是 钩(勾)”,因为它是直的,说不定就是根缝衣针.用直钩(这个说法好像有点别扭)钓鱼这件匪夷所思的事情,符合信息的定义I =-p l o g 2p 所表达的精神,即人咬狗比狗咬人包含更多的信息,因而更有新闻价值.这件新奇事经樵夫二渔父散播出去,传到了当地领导的耳中,终于让老者实现了 非为锦鳞,只钓王侯”的海口.这位姓姜名尚号飞熊的老汉直钩钓鱼,借了俗人的口口相传向领导表达了当官的愿望,与其说是 直中取”,毋宁说是高明的 曲中求”,所以看到领导驾到,还是 忙弃杆一旁,俯伏叩地 ”,猥琐状与俗人无异.元人张明善在小令‘水仙子讽时“中称其为 三脚猫渭水飞熊”,与

两头蛇南阳卧龙”诸葛孔明先生并列,语气好像很有一些不恭敬.可见,这是非曲直不是很好评判的.

物理学中也随处有 直的”这个概念,且也是个需要颠覆思维才能深入理解的一个概念.最常见的概念 直线”就不太好定义.倘若说平面上两点之间距离最短的路径为直线,这只是把问题推给了更难

定义的 平面”和 距离”1

).

如何是直呢?我们中国人有垂直的说法:瓦匠为了保证能把墙砌得直,会从高处用细线垂下一个小重物块,俗称铅垂(图1),则细线此时的状态就是直的,为一垂线(p

l u m b l i n e ).在地面附近, 垂”意味者 直”,这可是有深刻的物理内涵的.按照牛顿力学,地球附近的引力f ∝r r 3

:铅垂受重力下垂,p l u m bl i n e 就是r 的再现,认定p

l u m b l i n e 是直的,其实就相当于认定地球表面附近的空间是平直的.质量不是很大的地球,其引力为

我们定义平直空间提供了物理基础.汉语用 垂直”

翻译p e r p e n d i c u l a r ,属于直译,其名词形式p e r p e n -

d i c u l u m 2)

就是p l u m b l i n e .

图1 铅垂.垂者,直也

物理学的入门概念肯定应该包括直线运动.牛

顿第一定律告诉我们,一个不受外来影响的物体保持其运动状态不变,即保持静止或者作匀速直线运动.牛顿第一定律的原文(拉丁文)为 L e xI

:C o r p

u so m n e p e r s e v e r a r ei ns t a t us u o q u i e s c e n d i v e lm o v e n d i u n i f o r m i t e r i nd i r e c t u m ,n i s i q

u a t e n u s av i r i b u s i m p r e s s i s c o g

i t u r s t a t u mi l l u m m u t a r e ”,所谓的直线地(运动),这里用词为 i nd i r e c t u m (d i r e c t l y )”.在如下的英文翻译中, L a wI :E v e r y

b o d yp e r s i s t si ni t ss t a t eo fb e i n g a

tr e s to ro f m o v i n g u n i f o r m l y s t r a i g h t f o r w a r d ,e x c e p t i n s o f a r a si ti sc o m p e l l e d t o c h a n g ei t s s t a t e b y f

o r c e i m p

r e s s e d ”[1],所谓的直线地(运动)被表述为s t r a i g

h t f o r w a r d .在另一种英文表述中, L a wI :

E v e r y b o d yp

r e s e r v e si ni t ss t a t eo fr e s t ,o ro f u n i f o r m m o t i o ni nar i g h t l i n e ,u n l e s s i t i sc o m -

p e l l e dt o c h a n g et h a ts t a t e b y f o r c e si m p

r e s s e d t h e r e u p o n ”[2],直线地(运动)则被表述为 i na r i g h t l i n e ”.如众所知,d i r e c t l i n e ,s t r a i g

h t l i n e ,以及r i g

h t l i n e 都可汉译为直线.3) R u l e r (统治者)们认为他们有 r e c h t ”决定老百姓的行为,都非常辛勤地为百姓制定行为的准则(r u l e r ,尺子).

笔者注4) L e a s t a c t i o n ,译为最小作用量,有其不妥的地方,a c t i o n i sa c -

t i o n

,而不是什么量.容后议. 笔者注感觉上,牛顿第一定律中的惯性运动用a r i g

h t l i n e 表述正规一些.R i g

h t ,来自德语的r e c h t (权力二正确的),拉丁语词源为l e g

e r e (统治,t o r u l e ),有用r u l e r

(统治者二尺子)3)规定好了的意思,所以是直的.R i g

h t ,还有正二正派二正直二正当二正确二正义的二令人满意的二右侧的(法语的直朝前走,T o u t

d r o i t ,其中的d r o i t 和r i g

h t 的意义几乎完全重合)等等意思.R i g h t a n g l e ,直角,指的是垂线和地平面上的线(a h o r i z o n t a l b a s e l i n e )之间的夹角 若引力取有心力的形式且是在欧几里得空间中,则这个论断是有物理保障的.R i g h t a n g l e 是拉丁语a n g u -

l u s r e c t u s 的借用,r e c t u s (u p r i g

h t ),即有垂直之意.S t r a i g h t l i n e 也是数学和物理语境中关于直线的常用说法,如 t od r a was t r a i g h t l i n e (划一条直线)”, t h ee q u a t i o no fas t r a i g h tl i n ei su s u a l l y

w r i t t e nt h i s w a y (

直线的方程经常表达如下):y =

k x +b ”, t o m o v ea l o n g as t r a i g h t l i n e ”,等等.S t r a i g

h t 还是一个比较生活化的词汇,如 s e t t h e m a t t e r s t r a i g h t (厘清关系)”, g o s t r a i g h t (循规蹈矩二直截了当)”等.D i r e c t l i n e 字面上是直线,

其代表的事物表观上却可能是弯的,译为 直达(通)线”

更恰当些,如 c a l l e dd i r e c t l i n e t oZ h o n g

n a n h a i ”.这里,d i r e c t 强调的是l e a s t a c t i o n (最少动作)4

),已经包含物理学的精义了.D i r e c t (d i r e c t i o n )出现在如下关于直线的循环定义中,如 as t r a i g

h tl i n e h a v i n g t h es a m ed i r e c t i o nt h r o u g h o u t i t sl e n g

t h ;h a v i n g n oc u r v a t u r eo r a n g u l a r i t y ”.D i r e c t 这个词来自拉丁语动词d i r i g e r e ,有t ok e e p s t r a i g h t 的意思,强调一种努力.比如d i r e c t c u r r e n t (

直流电),并不是说电流是直的,而是说它一直努力保持其值的稳恒.

直线的英文表述还有b e e l i n e ,源于这样的认识:蜜蜂采花以后会直接飞回蜂房,例句有 m a k ea

b e e l i n e f o r a no b j

e c t (直奔某个目标而去)”.字面上看起来是 直线的”还有r e c t i l i n e a r 一词,

有沿着直线的二形成直线的二由直线围成的二能保直线的等意思.理想气体分子在容器中运动的径迹,就是r e c t i l i n e a r ,即除了因碰撞改变方向外,其它时间都沿a r i g

h t l i n e 运动;在光学中,r e c t i l i n e a r 指的是能保持 线段”不变形的性质.R e c t i l i n e a r 如果用汉语的 由线段围成的”来理解,可能做不到正确地望文生义,如r e c t i l i n e a r

p o l y g o n ,是指顶角全是直角的多边形,这里 r e c t i -

”显然是取u p r i g

h t (取直角)的意思.R i g h t l i n e 对应的德语词为d i eG e r a d e l i n i e ,其中的g e r a d e 对应英文的s t r a i g

h t .往前直走,s t r a i g

h t f o r w a r d ,在德语为g e r a d e a u s .G e r a d e 也出现在英文物理学文献中,取的是英文e v e n 在 t o g e t e v e n (

扯平了)”里的意思.谈及分子轨道的偶对称性(e v e ns y mm e t r y )和奇对称性(o d ds y mm e t r y )时,还是保留了使用德语词g e r a d e (e v e n )和u n -g e r a d e (o d d )的习惯.在分子轨道记号中,g (g

e r a d e )表示偶对称的,u (u n g

e r a d e )表示奇对称的,比如关于π-轨道的πu ,πg .因此,就有了g ?g 或者g ?u 之类的关于轨道间跃迁的记号.对于多光子激发过程,因为光子角动量l =1,则偶数个光子激发过程对应的选择定则为g ?g 以及u ?u ,奇数个光子激发过程对应的选择定则为g ?u 以及u ?g .

上面谈到b e e l i n e 被理解为直线(as t r a i g

h t l i n e ),不过,如果采花地点离蜂房足够远的话,这蜜蜂的s t r a i g h t f o r w a r d 飞行径迹,一如飞机的航线(图2

),应该沿着以地心为中心之球面的某个大圆,因此是曲线的(c u r v i l i n e a r ).如果我们认定地球表面附近的空间是欧几里得的,则从地面上的一点到另一点的s t r a i g h t f o r w a r d 径迹在以地心为中心之球面的某个大圆上,这可以看作是曲线,或者 球面约束下”的直线.我们完全有两种不同的态度来看待地球上两点沿大圆的连线.如果我们认定有一个平直的三维欧几里得空间,地球表面是嵌在(n e s t i n )

三维空间中的球面,则其上沿大圆的两点之间的连线

是曲线(c u r v i l i n e a r );但是,一个几何体完全可以依靠其本身得到描述,地球表面就是一个s e l f -d e f i n e d 空间,其上沿大圆的两点之间的连线就是a s t r a i g

h t l i n e 物理上一只蜜蜂就是这样s t r a i g h t f o r w a r d l y

从一点飞向另一点的.

1919年,

关于直线的定义经受了一次震动.这一年,两支科考队在日食发生时其光线经过太阳附近而到达地球的恒星位置进行了观测,确定恒星光

线经过太阳附近时确实发生了弯曲(图3).

这是对物理学咬文嚼字

图2 飞机航线

受球面约束的直线爱因斯坦广义相对论的一个重要论断的支持,该论断称大质量物体周围的空间是弯曲的.这里,自然地带来了一个观念上的冲击:我们是认定光线被重力场弯曲了呢,还是认为重力场弯曲了时空,而看起来弯曲的光线只不过是弯曲时空里的as t r a i g h t l i n e 呢?显然,后一种观点有个方便之处,就是光线保持同样的行为:在任何空间中,光线都沿空间的直线前行.而所谓的直线,不妨就认为是光线的几何化.

图3 恒星光线经过太阳附近时会被弯曲.此时在地球上的观测位置(我们的视觉习惯以为它应该出现的位置)并不是恒星的实际位置5)

5

) 我们的眼睛以及我们对光学仪器成像的诠释一直下意识地认为远处光线是沿直线,想象中的欧几里得意义上的直线,到达我们的.我们的这种意识是那样的顽固,以致于我们宁愿认为广义相对论不好理解,而且甘愿让魔术师用几片镜子骗我们.

笔者注6) 其实,

如你观察人,或者狗,的目的明确的运动,会发现它们一定采取距离最短路径.这也是草地上插 禁止践踏”的标语牌往往少有效果的原因,因为它违反最基本的科学原理. 笔者注 在非欧几何中,或者说在弯曲空间中,测地线(g e o d e s i c ,来自土地丈量的实践)取代了 s t r a i g

h t l i n e

”的概念.对于度规张量为g 的黎曼流形M ,针对一条参数化形式为γ(t )的曲线可定义能量泛函E (γ)=12

∫g γ(t

)(γ四

(t ),γ四

(t )d t ),则关于能量泛函的E u l e r -L a g r a n g

e 方程为d 2x λd t

2+Γλμ

νd x μ

d t d x νd t =0,其中Γλ

μ

ν是C h r i s t o f f e l 符号.这就是测地线方程,可看作是流形上自由粒子的轨迹.此公式反映广义相对论的一个重要思想:在引力场中,粒子沿引力所决定的流形上的测地线运动.当然,在黎曼几何中,测地线并不完全等同于距离最短曲线,区别在于测地线只是局域意义上的两点间的最短距离,且是用 匀速”参数化的.球上的大圆被两点分成的两个弧都是测地线,但只有一个是最短距离.

关于粒子运动走最短路径的思想,古已有之6).

早在人们对光的本性进行深入讨论之前,F e r m a t (1601 1665)就提出了F e r m a t ’s p r i n c i p

l eo f l e a s t t i m e

:两点间光束的路径是用时最短的路径,即最小化1c ∫

b

a

n d s 的路径,其中n 为折射率.H a m i l t o n 将这个思想类比到力学领域,认为运动的轨迹是将

∫

b a

m v d s 最小化的路径,此即所谓的最小作用原理(l e a s t a c t i o n p r i n c i p l e ).H a m i l t o n ,当然还有M a u -

p e r t u i s ,E u l e r 以及L a g r a n g e 等人,由此奠定了理论物理研究的范式.此话题太大,容以后讨论.最短路径,且不管是什么量最短,应该是直线的物理定义.直,就是不弯,不瞎耽误功夫(l e a s t a c t i o n )!确定了目的(终点)和环境(流形的度规)之后,以最短路径直扑目标,此乃粒子以及粒子之上层建筑(比如看见骨头的狗)的基本行为模式.

人类对于运动轨迹,以及存在之外形,所表现的

曲直有天然的敏感,这可能和我们是用眼睛观察世界,而光线在到达我们眼睛前的局域环境中基本上是处在均匀介质中因而沿欧几里得几何意义上的直线传播有关.人类本能地抽象出欧几里得几何意义上的直线的概念,且 直”是个被赋予了正直二正义二正当等内容的词.与直线偏离的各种曲线中,圆具有最为人们接受的品质(圆和直线就全局等曲率这一点来

看,它们是等价的,可以以相同的方式由线段加平移构造出来),因而也得到了最深入的研究和最广泛的应用.实际上,欧几里得几何的对象就是s t r a i g

h t l i n e ,各种r e c t i l i n e a r 的图形和圆.或许古人认识到直线和圆是世界之形象的代表性抽象,所以赋予了造物主以手持圆规(图4)或者圆规加距尺(图5)的形象.图4 油画T h e a n c i e n t o f d a y s (W i l l i a mB l a k e ,1794).构造天地的上帝手中所执的就是圆规.这暗示空间本来就是弯曲的?

物理学咬文嚼字

图5 新疆吐鲁番地区发现的伏羲女娲图.伏羲二女娲分别呈男女形象侧身相对,各扬举一手,伏羲执矩,女娲执规 搁笔时忽然想到,爱因斯坦能够弄出广义相对论这种与空间曲直有关的理论,是否和德意志民族的较真性格有关?而懒得分辨是非曲直的地方,怕是很多大学里连广义相对论的课都开不出来吧.

参考文献

[1] N e w t o nI.T h eP r i n c i p i a(A n e wt r a n s l a t i o nb y I.B.C o h e n

a n dA.W h i t m a n),U n i v e r s i t y o fC a l i f o r n i a p r e s s,1999

[2] C o o p e r s m i t h J.E n e r g y:t h e S u b t l eC o n c e p t.O x f o r dU n i v e r s i-

t y P r e s s,2010

物理学咬文嚼字