当前位置：搜档网 › 圆的方程(教师版)

圆的方程(教师版)

4．1圆的方程

4．1.1 圆的标准方程

求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为点A (－2,3)，半径为2； (2)经过点A (5,1)，圆心为点C (8，－3)．

【思路探究】只要有确定的圆心与半径，就可以写出圆的标准方程．【自主解答】 (1)圆的标准方程为：(x ＋2)2＋(y －3)2＝2.

(2)法一圆的半径为|AC |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心为(8，－3)． ∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. 法二设圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝r 2， ∵点A (5,1)在圆上，

∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r 2，∴r 2＝25， ∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.

直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．

(2012·福建六校联考)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 【解析】 ∵点A (－3，－1)和B (5,5)的中点坐标为(1,2)， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1

2(5＋3)2＋(5＋1)2＝5.

∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 【答案】 D

已知一个圆的圆心在点C (－3，－4)，且经过原点． (1)求该圆的标准方程；

(2)判断点P 1(－1,0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．【

思

路

探

究

】

直接法求圆的标准方程

――→

分析

点与圆心的距离同半径的关系―→下结论

【自主解答】(1)∵圆心是C(－3，－4)，且经过原点，∴圆的半径r＝(－3－0)2＋(－4－0)2＝5，

∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.

(2)∵(－1＋3)2＋(0＋4)2＝4＋16＝25＜5，

∴P1(－1,0)在圆内；

∵(1＋3)2＋(－1＋4)2＝5，∴P2(1，－1)在圆上；

∵(3＋3)2＋(－4＋4)2＝6＞5，∴P3(3，－4)在圆外．

判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：

(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系作出判断：

①d>r，点在圆外；②d＝r，点在圆上；③d

(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：

①当(x0－a)2＋(y0－b)2

②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；

③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外．

点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()

A．在圆外B．在圆内

C．在圆上D．不确定

【解析】把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得

m4＋25>24，故点P在圆外．

【答案】 A

求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．【思路探究】思路一：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，利用A，B及圆心所在位置求参数a，b，r.

思路二：设圆的圆心坐标C(a,2－a)，利用|AC|＝|BC|求a及圆的半径．

思路三：利用圆的几何性质：弦AB的中垂线与直线x＋y－2＝0的交点必为圆心，求圆的标准方程．

【自主解答】法一设所求圆的标准方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由已知条件知?????

(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2

，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2

，

a ＋

b －2＝0，

解此方程组，得????

a ＝1，

b ＝1，

r 2＝4.

故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二设点C 为圆心， ∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a,2－a )．又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |.

∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1.

∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－(－1)

－1－1

＝－1，

∴弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，

由????? y ＝x ，x ＋y －2＝0，得?

????

x ＝1，

y ＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.

给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法： (1)用待定系数法，其一般步骤如下：

①根据题意，设出所求圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ②根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组； ③解方程组，求出a ，b ，r 的值；

④将a ，b ，r 的值代入所设的方程，即为所求圆的方程．

这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．

(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．这种方法要充

分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．如本题法三．

把本例条件“圆心在直线x＋y－2＝0上”换成“圆心在x轴上”，求相应问题．【解】∵圆心在x轴上，

∴设圆心坐标为(a,0)，由题意可知(a－1)2＋1＝(a＋1)2＋1，解得a＝0，

∴圆的半径r＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为x2＋y2＝2.

求圆的标准方程时以“形”代“数”致误

已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．

【错解】如图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.

在Rt△AOC中，

|OC|＝|AC|2－|OA|2

＝52－42＝3.

∴C点坐标(3,0)，

∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.

【错因分析】上述求解的错误在于以“形”代“数”只画出了圆心在x轴正半轴的情况，没有画出圆心在x轴负半轴的情况而产生漏解．

【防范措施】借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致．【正解】由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3，如图所示．

∴圆心坐标为(3,0)或(－3,0)．

∴所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.

1．圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝3的圆心坐标是( ) A ．(2,1) B ．(2，－1) C ．(－2,1) D ．(－2，－1)

【解析】结合圆的标准形式可知，圆C 的圆心坐标为(2，－1)．【答案】 B

2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4

C ．(x －2)2＋(y －2)2＝8

D ．x 2＋y 2＝ 2

【解析】以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x 2＋y 2＝4. 【答案】 B

3．点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，则圆的方程是________．

【解析】因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，故(1＋2)2＋1＝m ，∴m ＝10.即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.

【答案】 (x ＋2)2＋y 2＝10

4．已知两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．

【解】由已知条件及圆的性质可知，圆心M 在直径PQ 的中点处， ∴圆心M 的坐标为(0,1)，

半径r ＝12|PQ |＝1

2×(－5－5)2＋(6＋4)2＝5 2.

∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50. ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5

∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ， ∴点B 在圆上．

∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52>r ， ∴点

在

圆外

一、选择题

1．下面各点在圆(x －1)2＋(y －1)2＝2上的是( ) A ．(1,1) B ．(2,1) C ．(0,0) D ．(2，2)

【解析】经验证点(0,0)满足圆的方程(x －1)2＋(y －1)2＝2. 【答案】 C

2．(2013·周口高一检测)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝9

【解析】由题意可知，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，故选D. 【答案】 D

3．(2013·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －4)2＝25 B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x －4)2＋y 2＝25 D ．(x ＋4)2＋y 2＝25

【解析】由题意，圆的半径r ＝(0－3)2＋(4－0)2＝5，则圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25. 【答案】 A

4．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100

【解析】圆心为AB 的中点(－1,1)，半径为12|AB |＝1

2(3＋5)2＋(－2－4)2＝5，∴圆的

方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.

【答案】 B

5．(2013·绍兴高一检测)已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )

A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13

B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13

C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52

D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52

【解析】如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.

故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.

【答案】 B 二、填空题

6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．

【解析】圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，由点P (－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，解得r 2＝25.

故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝25

7．点P (1，－1)在圆x 2＋y 2＝r 的外部，则实数r 的取值范围是________．【解析】由题意得12＋(－1)2>r ，即r <2，又r >0，故r 的取值范围是(0,2)．【答案】 (0,2)

8．(2013·浏阳高一检测)经过圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________．

【解析】圆心C 的坐标为(－1,2)，又直线的斜率为1，故所求直线的方程为：y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 【答案】 x －y ＋3＝0 三、解答题

9．(2012·长春高一检测)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程．【解】由A (－1,4)，B (3,2)可得直线AB 的斜率k AB ＝4－2－1－3

＝－1

2，AB 的中点M (－1＋32，

4＋22

)，即M (1,3)，

∴直线AB 的垂直平分线的方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0，令x ＝0得y ＝1，即所求圆的圆心为C (0,1)．

圆的半径为r ＝|AC |＝12＋(4－1)2＝10. 所以，所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.

10．已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：

(1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部．【解】 (1)∵点A 在圆内部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，

即2a ＋5<0，解得a <－52.故a 的取值范围是{a |a <－5

}．

(2)将点A (1,2)坐标代入圆的方程，得(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－5

2，故a 的值为

－52

. (3)∵点A 在圆的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2，即2a ＋5>0，解得a >－52.故a 的取值范围是{a |a >－5

}．

11．(思维拓展题)平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？

【解】能．

设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得 ????

a 2

＋(1－b )2

＝r 2

，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，

解得????

a ＝1，

b ＝3，

r ＝ 5.

∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.

将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D 点坐标适合此圆的方程．故A

，

四

点

在

同

一

圆上

(教师用书独具)

已知圆过两点A (3,1)，B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的方程．【思路探究】由已知条件可设出圆的标准方程，利用待定系数法或几何性质确定圆心坐标和半径．

【自主解答】法一设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，

依题意?????

(3－a )2＋(1－b )2＝r 2

，(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2

，

3a －b －2＝0，

即?????

a 2

＋b 2

－6a －2b ＝r 2

－10，a 2＋b 2

＋2a －6b ＝r 2

－10，3a －b －2＝0，

解得????

a ＝2，

b ＝4，

r ＝10.

∴所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.

法二直线AB 的斜率k ＝3－1－1－3＝－1

2，可知AB 垂直平分线m 的斜率为2.

AB 中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝3－12＝1，y ＝1＋3

2＝2.

因此m 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.

又圆心在直线3x －y －2＝0上，∴圆心在这两条直线的交点上．

联立方程组????? 2x －y ＝0，3x －y －2＝0，得?????

x ＝2，

y ＝4.

设圆心为C ，∴圆心坐标为(2,4)．又半径r ＝|CA |＝10，

则所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.

法三设圆心为C ，∵圆心在直线3x －y －2＝0上，故可设圆心C 的坐标为(a,3a －2)．

又∵|CA |＝|CB |，故(a －3)2＋(3a －2－1)2＝(a ＋1)2＋(3a －2－3)2. 解得a ＝2，∴圆心为(2,4)，半径r ＝|CA |＝10. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.

1．由于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中含有三个参数a ，b ，r ，因此需要三个独立的条件才能确定一个圆的标准方程．

2．求圆的标准方程常有以上三种方法，其中方法三最为简捷，方法二是几何法，巧用了圆的几何性质，方法一是通法，用方程的观点确定a ，b ，r 的值．

求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的标准方程．【解】法一设点C 为圆心， ∵点C 在直线l ：x －2y －3＝0上， ∴可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |，

∴(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2.

∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，

由条件知?????

(2－a )2

＋(－3－b )2

＝r 2

，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2

，

a －2

b －3＝0，

解得????

a ＝－1，

b ＝－2，

r 2＝10，

故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三线段AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝－3－(－5)2－(－2)＝1

，所以弦AB 的垂直平分线的斜

率k ＝－2，

所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即y ＝－2x －4.

故圆心是直线y ＝－2x －4与直线x －2y －3＝0的交点，

由????? y ＝－2x －4，x －2y －3＝0，得?????

x ＝－1，

y ＝－2，

即圆心为(－1，－2)，圆的半径为r ＝(－1－2)2＋(－2＋3)2＝10，所以所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.

4．1.2 圆的一般方程

(教师用书独具)

●三维目标 1．知识与技能

(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点．

(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径． (3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程． (4)能用坐标法求动点的轨迹方程．

2．过程与方法

(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．

(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．

3．情感、态度与价值观

(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．

(2)培养学生勇于思考、探究问题的精神．

●重点难点

重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程．

难点：用坐标法求动点的轨迹方程．

重点突破：以教材的思考为切入点，采取由特殊到一般、由具体到抽象的方法，结合圆的标准方程，突破“二元二次方程同圆的关系”这一重难点，通过学生探究合作与交流，结合题组训练，引导学生进一步掌握用“待定系数法”求解圆的一般方程；借助多媒体演示及学生的直观感知突破“求动点的轨迹方程”这一难点．

(教师用书独具)

●教学建议

本节课是上节课的拓展和延伸，可采用开门见山、单刀直入的引入方法，让学生通过对一组二元二次方程的观察比较，分析讨论，得出圆的一般方程的形式，并指明“二元二次方程”同“圆”的关系，培养学生分类讨论的思想意识．考虑到“用相关点法求动点的轨迹方程”的难度，教学时可结合一些具体例子，让学生分组协作，通过组内讨论的方式找出动点的轨迹与已知曲线的关系，教师适时点拨，这样学生既掌握了用相关点法求动点轨迹的问题，又对一般的轨迹问题有了了解，为今后进一步学习轨迹问题奠定基础．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：二元二次方程同圆什么关系？?引导学生结合配方法及圆的标准方程得出圆的一般方程形式.?通过引导学生回答所提问题理解二元二次方程同圆的关系及表示圆的条件.?通过例1及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的概念.

?通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的求法.?通过例3及其变式训练，初步培养学生解决与圆相关的轨迹问题.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.?

完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开可得到一个什么式子？【提示】 x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 2．观察以下三个方程： (1)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0； (2)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0； (3)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.

先将它们分别配方，分析它们分别表示什么图形？

【提示】 (1)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝－6，不表示任何图形． (2)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝0，表示点(－1，－1)． (3)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，表示圆．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)表示的图形

(1)变形：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2

－4F

(2)图形：①当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为(－D 2，－E

2)，半径为

D 2＋

E 2－4

F ，方程(*)称为圆的一般方程； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程(*)表示一个点(－D 2，－E

)；

③当

D 2

＋

E 2－

4F <0时，方程(*)不表示任何图形

下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径． (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.

【思路探究】分析每个方程是否具有圆的一般方程的特征，也可以把方程配方观察求解．

【自主解答】 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．

(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项， ∴它不能表示圆．

(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．

(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为(x －54)2＋y 2＝(54)2，

∴它表示以(54，0)为圆心，5

4为半径长的圆．

二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.

如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________．【解析】由题意可知(－2)2＋12－4k >0，即k <5

【答案】 (－∞，5

)

(2013·周口高一检测)求过三点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)的圆的方程，并求这个圆

的半径长和圆心坐标．

【思路探究】设圆的一般式方程

――→过点O 、M 、N 求圆的一般式方程――→

公式法

求圆心坐标、半径

【自主解答】设圆的一般式方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意可知点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)满足圆的方程，即 ????

F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，

解得????

D ＝－8，

E ＝6，

F ＝0.

所以，所求圆的一般方程是

x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0化为标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. ∴圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r ＝5.

1．一般地，所求的圆经过几点且不易得知圆心和半径，常选用一般式． 2．圆的一般式方程中也含有三个未知参数，求解时也需要三个独立的条件．

已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程．【解】设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得????

2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，

3D －E ＋F ＋10＝0，

解得????

D ＝－8，

E ＝－2，

F ＝12，

即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.

已知点A (4,0)，P 是圆x ＋y ＝1上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程．【思路探究】本题考查动点轨迹方程的求法，关键是寻找动点M 的横、纵坐标之间的关系．

【自主解答】设M (x ，y )，由于M 是AP 的中点， ∴P 点的坐标是(2x －4,2y )． ∵P 是圆x 2＋y 2＝1上的点， ∴(2x －4)2＋(2y )2＝1.

即动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1

本题是运用代入法求轨迹方程．用动点坐标表示相关坐标，再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法．

经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为________．

【解析】设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意可知?

????

x 0＝x ，y 0＝2y .

又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，

故x 20＋y 20＝4，即x 2＋4y 2

＝4，

所以，所求轨迹方程为x 2＋4y 2＝4. 【答

案

】

x 2

＋

4y 2

＝

忽略圆的一般方程中D 2＋E 2－4F >0致误

已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围．【错解】因为点A (a,2)在圆的外部，所以a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，解得a >2.

故所求a 的范围为(2，＋∞)．

【错因分析】上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”．【防范措施】对于二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0只有在D 2＋E 2－4F >0的前提下，它才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D 2＋E 2－4F >0.

【正解】因为点A 在圆的外部，所以有

????

a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，(－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )>0，解得?????

a >2，a <94，即2

所以a 的取值范围为(2，9

)．

1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．

2．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．

1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2,1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9

【解析】圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 【答案】 A

2．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．

x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上， ∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 【答案】 x 2＋y 2＝4

3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是________．【解析】由(－4)2＋22－4×5k >0，得k <1. 【答案】 (－∞，1)

4．已知圆C 过点O (0,0)，A (1,0)，B (0，－1)，求圆C 的方程．

【解】设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将O ，A ，B 三点坐标依次代入，得 ????

F ＝0，1＋D ＋F ＝0，(－1)2－E ＋F ＝0，

解之得D ＝－1，E ＝1，F ＝0. 所以

1．(2013·聊城高二检测)方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ＝2 C ．a ＝－2 D ．a ＝1

【解析】由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1. 【答案】 A

2．(2013·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )

【解析】方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E

)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.

【答案】 A

3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )

【解析】原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )．【答案】 D

4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2

，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或3

C ．2或0

D ．－2或0

【解析】由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝2

2得a ＝0或a ＝2.故选C.

【答案】 C

5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )

【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2 即(x －2)2＋y 2＝4.

故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π. 【答案】 B 二、填空题

6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 【解析】由题意可知

解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4. 【答案】 4

7．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________．【解析】圆的半径r ＝1

2(－2)2＋62－4×8＝2，

故圆的周长为22π. 【答案】 22π

8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．

【解析】设M 的坐标为(x ，y )，

由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上，故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题

9．(2013·济宁高一检测)设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；

(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．

【解】 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.

(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1. 又k CP ＝1－03－2

＝1，∴k ＝－1.

∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.

10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是

，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．【解】设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|P A |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2，整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.

∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；

当λ≠1时，方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λ(λ－1)]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1

，0)为圆心，3λ

|λ－1|

为半径的圆．

11．(思维拓展题)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆．

(1)求圆M 的方程；

(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由．【解】 (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，

解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .

∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0. (2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.

由?

????

3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.

∴圆M 过定点(0，－

3).

(教师用书独具)

等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

【思路探究】用直接法求轨迹方程，但必须考虑点C 是三角形的另一顶点，即A ，B ，C 三点不能共线，这一点容易被忽略，应注意．

【自主解答】设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得：

(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.

这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．

因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)．又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52

≠2，即点C 不能为(5，－1)．

故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．

一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系．把等量关系用数学语言表达出来，

高中数学圆的方程典型例题总结归纳(极力推荐)

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k

人教版高中数学《圆的标准方程》教案导学案

圆的标准方程一、教学目标 (一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程． (二)能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． (三)学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．二、教材分析 1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． (解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． (解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．) 三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．四、教学过程 (一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题

高一数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．

高二数学《圆的普通方程》学案

高二数学《圆的普通方程》学案【学习目标】１、使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径、２、使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力、３、通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础、【重点难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、教学难点：(1)圆的一般方程的特点、(2)和圆相关的轨迹问题【使用说明及学法指导】 1、先学习课本然后开始做导学案； 2、要回忆一下二元二次方程的一般式。预习案一、知识梳理 1、圆的一般方程其中圆心为半径为 2、形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲线表示圆的条件 3、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：二、问题导学 1、直线的方程和圆的方程中的是指什么？ 2、如何求点的轨迹方程？三，预习自测

1、求下列圆的半径和圆心坐标： (1) x+y-8x+6y=0 (2)x+y+2by=0 （3） 2、方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的条件是（）Ａ、k＞4或者k＜－1 Ｂ、－1＜k＜4 Ｃ、k=4或者k=－1 Ｄ、以上答案都不对 3、圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ、F=0，DE≠0 Ｂ、E2＋F2=0，D≠0 Ｃ、D2＋F2=0，E≠0 Ｄ、D2＋E2=0，F≠04、过点A（－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为、探究案一，合作探究例1：求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程，并求圆心坐标和半径。例2：已知线段的端点的坐标是，端点在圆运动，求线段的中点的轨迹方程。二、课堂训练与检测１、方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋ 16m4+9=0表示圆，则实数m的取值范围是Ａ、－＜m＜1 Ｂ、－1＜m＜Ｃ、m＜－或m＞1 Ｄ、m＜－1或m＞２、方程x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于直线x＋y=0对称，则有Ａ、D＋E=0 Ｂ、D＋F=0 Ｃ、E＋F=0 Ｄ、D＋E＋F=0３、经过三点A(0，0)、B(1，0)、C(2，1)的圆的方程为（）Ａ、x2

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．典型例题三例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C

圆的标准方程公开课教学设计

4.1.1圆的标准方程一、教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用。同时，圆是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，培养学生的创造和应用意识，本节内容我采用“引导探究”型教学模式进行教学设计。二、三维目标 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。 2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力。三、教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用。四、教学难点会根据不同的已知条件，会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。五、课时安排 1课时六、教学过程设计

七、板书设计

八、教学反思圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程是本节课的重点和难点。为此我设置了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点。利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，增强学生应用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，在例题二中我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。本设计把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣，完成本节的学习任务。不足之处： 1、对学生研究还不够，对难点的突破还不够。如：例二用待定系数法求圆的标准方程时，学生对求方程组的解还存在疑问，而我在上课的时候忽视了这点，没有及时学生引导如何求解这类方程组。 2、课堂让学生自行探究还不够，大部分还是教师引导比较多。如：例二用几何法解圆的方程时，如果让学生先思考然后把过程写出来之后再进行引导会更好一些。

高中数学《圆的标准方程》导学案

2.1 圆的标准方程 [学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【主干自填】 1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程 (1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □ 04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 4．点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较：若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上；若|CM |>r ，则点M 在□08圆外；若|CM |

(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2；点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2

圆的方程经典题目带答案

圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程（1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围（2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值

（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长（3）以)2,1(为中点的弦的方程（4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程（5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求：（1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系（2）求它们的公共弦所在的方程（3）求公共弦长（4）求公共弦为直径的圆的方程．题型五、最值问题思路1：几何意义思路2：参数方程思路3、换元法思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值（2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________

《圆的一般方程》教案(公开课)

《圆的一般方程》教案一、教学目标 (一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． (三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．二、教材分析 1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．) 2．难点：圆的一般方程的特点． (解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．) 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0． (解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．) 三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．四、教学过程 (一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成

x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． (二)圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法． 2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． (三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0． (2) 与圆的一般方程

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

直线与圆的方程的应用导学案

4.2.3直线与圆的方程的应用 1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 3．会用“数形结合”的数学思想解决问题． 138140 ，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有 . 2．圆224450 x y x y ++--=和圆2284 x y x y +-+ 70 +=的位置关系为. 3．过两圆22640 x y x +--=和22628 x y y ++- =的交点的直线方程. 二、新课导学 ※学习探究 1．直线方程有几种形式? 分别是? 2．圆的方程有几种形式?分别是哪些? 3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程? 什么条件下用一般方程? 4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? ※典型例题例 1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20 AB m =,拱高4 OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 22 A B的高度(精确0.01m) 变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.

※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积. 练2. 讨论直线2y x =+ 与曲线y =的交点个数. 三、总结提升 ※ 学习小结 1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”. 2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决 ※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）. A ．()2 244x y -+= B ．()2 2416x y -+= C ． 22(4)4x y +-= D ．22(4)16x y +-= 2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x 的最大值为（） A ．1 3. 圆22 2430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有（）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 圆()()22 114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 . 5. 求圆()()22 114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 .

圆与方程导学案

§圆的标准方程学习目标 1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程； 2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 124~ P 127，找出疑惑之处） 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ 2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学 ※ 学习探究新知：圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的方程222()()x a y b r -+-=叫做圆的标准方程. 特殊：若圆心为坐标原点，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r += 探究：确定圆的标准方程的基本要素？ ※ 典型例题例写出圆心为(2,3)A -，半径长为5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上. 小结：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： ⑴2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外； ⑵2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上； ⑶2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内. 变式:ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B - (2,8)C -，求它的外接圆的方程反思： 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r 的方程组，求,,a b r 或直接求出圆心(,)a b 和半径r . 2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r 的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r 的值，并代入所设的方程，得到圆的方程. 例 2 已知圆C 经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在直线:10l x y -+=上,求此圆的标准方程. ※ 动手试试练1. 已知圆经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -的圆的标准方程.

人教版高中数学《圆的一般方程》教案导学案

圆的一般方程一、教学目标（一）知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．（二）能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．（三）学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．二、教材分析 1．重点：（1）能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．（解决办法：（1）要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；（2）加强这方面题型训练．） 2．难点：圆的一般方程的特点．（解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．） 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F> 0．（解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．）三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．四、教学过程（一）复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，现将展开可得x2+y2- 2ax-2by+a 2+b2-r2=0 ．可见，任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程” ( 二) 圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1) 当D2+E2-4F>0 时，方程(1) 与标准方程比较，可以看出方程半径的圆； (3) 当D2+E2-4F<0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法． 2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F> 0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． ( 三) 圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=．0 (2)

高中数学学案：圆的方程

高中数学学案:圆的方程 1. 掌握圆的标准方程和圆的一般方程，理解方程中各字母参数的实际意义. 2. 能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程. 注重数形结合的思想方法，并灵活运用平面几何的知识解决有关圆的问题. 3. 会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用. 1. 阅读:必修2第107～110页. 2. 解悟:①圆的标准方程和一般方程的结构有什么特征？其中各参数有怎样的含义？②方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆需要什么条件？③圆的标准方程和一般方程如何转化？ 3. 践习:在教材空白处，完成必修2第111页练习第3、4、5题. 基础诊断 1. 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为－1 ；若方程x 2＋y 2＋ 4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为 ? ?? ??－∞，14∪(1，＋∞) . 解析:若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则???a 2＝a ＋2≠0， ? ????2a a ＋22－4a a ＋2>0，解得a ＝－1.若x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则4m 2－5m ＋1>0，解得m<14或m>1. 2. 已知A ，B 两点的坐标分别为(0，4)，(4，6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －5)2＝5 . 解析:由题意得，圆心即AB 的中点(2，5)，半径为12AB ＝12（0－4）2＋（4－6）2＝5，故以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －5)2＝5. 3. 已知圆过点(1，2)，圆心在y 轴上，半径为1，则该圆的方程为 x 2＋(y －2)2＝1 Ｗ. 解析:设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 4. 如果点P(1，1)在圆(x －a)2＋(y －a)2＝4的内部，那么实数a

(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)

标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程（1）；点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系：当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内（2）一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点；当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（）Ａ．以(1，- 2) 为圆心，为半径的圆Ｂ．以(1，2) 为圆心，为半径的圆Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心，为半径的圆Ｄ．以(-1，2) 为圆心，为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（）Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是． 1 D 2 + E 2 - 4F

圆的方程(教师版)

高中数学圆的方程典型例题总结归纳(极力推荐)

人教版高中数学《圆的标准方程》教案导学案

高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题

高二数学《圆的普通方程》学案

高一数学圆的方程经典例题

圆的标准方程公开课教学设计

高中数学《圆的标准方程》导学案

圆的方程经典题目带答案

《圆的一般方程》教案(公开课)

最新椭圆及其标准方程导学案

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

直线与圆的方程的应用导学案

圆与方程导学案

人教版高中数学《圆的一般方程》教案导学案

最新高中数学-必修二-圆与方程-经典例题--整理

高中数学学案：圆的方程

(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)

相关文档

最新文档