A
B C
D
P R
图(乙)
A B
C
D 图(甲)
三角形全等
一、选择题
1、(2012年江西南昌十五校联考)如图,在下列条件中,不能..证明△ABD ≌△ACD 的是条件( ).
A. ∠B =∠C ,BD =DC
B.∠ADB =∠ADC ,BD =DC
C.∠B =∠C ,∠BAD =∠CAD
D. BD =DC , AB =AC
答案:A 二、填空题
1、(2012年,辽宁省营口市)如图,在四边形ABCD 中,∠A =90°,AD =4,连接BD ,BD ⊥CD ,∠ADB =∠C .若P 是BC 边上一动点,则DP 长的最小值为 。 答案: 4
2(2012荆州中考模拟).如图, (甲)是四边形纸片ABCD ,其中∠B =120?,∠D =50?。若将其右下角向内折出 PCR ,恰使CP ∥AB ,RC ∥AD ,如图(乙)所示,则∠C = °.
答案:95? 三、解答题
1、(2012年福建福州质量检查)(每小题7分,共14分)
(1) 如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 中点,AE 和延长线与DC 的延长线相交于点F .证明:△ABE ≌△FCE .
(2) 如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角α为45°,看这栋高楼底部的俯角β为60°,热气球与高楼的水平距离AD =80m ,这栋高楼有多高(3≈1.732,
A
B
C
D
E
F
第17(1)题图
A B
C
D
α β
第17(2)题图
第5题
结果保留小数点后一位)?
答案:(1)证明:∵AB 与CD 是平行四边形ABCD 的对边,
∴AB ∥CD , ······························································································· 2分 ∴∠F =∠F AB . ·························································································· 4分 ∵E 是BC 的中点, ∴BE =CE , ······························································ 5分 又∵ ∠AEB =∠FEC , ············································································ 6分 ∴ △ABE ≌△FCE . ·················································································· 7分 (2)解:如图,α=45°,β=60°,AD =80.
在Rt △ADB 中, ∵tan α=BD
AD
,
∴BD =AD ·tan α=80×tan45°=80.………2分 在Rt △ADC 中, ∵tan β=CD AD
,
∴CD =AD ·tan β=80×tan60°=803.……5分
∴BC =BD +CD =80+803≈218.6.
答:这栋楼高约为218.6m . ………………7分
2、(2012昆山一模)
已知:如图所示,在△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB 于点D ,BE 平分∠ABC ,
且BE ⊥AC 于点E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连接DH 与BE 相交于点G . (1)求证:BF =AC
(2)猜想CE 与BG 的数量关系,并证明你的结论.
A
B
C
D
α β
wwwzzstepcom
答案:
3、(2012兴仁中学一模)(10分)如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接DE.延长
DE交AB的延长线于点F.求证:AB=BF.
【答案】解:由□ABCD得AB∥CD,∴∠CDF=∠F,∠CBF=∠C.
又∵E为BC的中点,
∴△DEC≌△FEB.
∴DC=FB.
由□ABCD得AB=CD,D C
F B
A
E
∵DC =FB ,AB =CD , ∴AB =BF .
4.(2012温州市泰顺九校模拟)(本题6分) 如图,已知AD 是△ABC 的角平分线,在不添加
任何辅助线的前提下,要使△AED ≌△AFD ,需添加一个条件是:_______________,并给予证明.
解法一:添加条件:AE =AF , ……2分
证明:在△AED 与△AFD 中,zzstepcom
∵AE =AF ,……1分 ∠EAD =∠F AD ,……1分 AD =AD ,……1分
∴△AED ≌△AFD (SAS ). ……1分
解法二:添加条件:∠EDA =∠FDA ,……2分
证明:在△AED 与△AFD 中, wwwzzstepcom ∵∠EAD =∠F AD ,……1分
AD =AD ,……1分 ∠EDA =∠FDA ,……1分
∴△AED ≌△AFD (ASA ). ……1分 解法三:添加条件:∠DEA =∠DF A 略……6分
5. (2012年江苏海安县质量与反馈)如图,ABC △和ECD △都是等腰直角三角形,
90ACB DCE ==?∠∠,D 为AB 边上一点.
(1)求证:ACE BCD △≌△;
(2)设AC 和DE 交于点M ,若AD =6,BD =8,求ED 与AM 的长.
答案:(1)证明全等;(2) DE =10; AM =
27
24
. B D C
A
E
F A
D
B
C
E
M
6、(2012温州市泰顺九校模拟) 如图,已知AD 是△ABC 的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED ≌△AFD ,需添加一个条件是:_______________,并给予证明. 答案:解法一:添加条件:AE =AF , ……2分
证明:在△AED 与△AFD 中,zzstepcom
∵AE =AF ,……1分 ∠EAD =∠F AD ,……1分 AD =AD ,……1分
∴△AED ≌△AFD (SAS ). ……1分
解法二:添加条件:∠EDA =∠FDA ,……2分
证明:在△AED 与△AFD 中, ∵∠EAD =∠F AD ,……1分
AD =AD ,……1分 ∠EDA =∠FDA ,……1分
∴△AED ≌△AFD (ASA ). ……1分 解法三:添加条件:∠DEA =∠DF A 略……6分
7(河南省信阳市二中)(9分)已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形,延长BC 到E ,使AE =AB ,连接AC 、DE .
(1)写出图中三对你认为全等的三角形(不再添加其他字母和辅助线); (2)选择你在(1)中写出的任意一对全等三角形进行证明.
答案:(1)①△ABC ≌△CDA ;②△ACE ≌△DEC ;③△CAD ≌△EDA ;
④△ABC ≌△EAD .……………………………………………………………………3分 (2)证明:△ABC ≌△CDA . ………………………………………………………4分 ∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD =BC ,∠DAC =∠BCA .…………………………………………………………6分
第1题图 B D C
A
E
F C
E
D
B
A
又∵AC =CA ,
∴△ABC ≌△CDA (SAS ).…………………………………………………………9分
8、(2012年4月韶山市初三质量检测)如图,矩形ABCD 中,点P 是线段AD 上一动点,O 为BD 的中点, PO 的延长线交BC 于Q .ZXXK (1)求证:△ P O D ≌ △Q O B ;
(2)若AD =8厘米,AB =6厘米,P 从点A 出发,以1厘米/秒的速度向D 运动(不与D 重合).设点P 运动时间为t 秒,请用t 表示PD 的长;并求t 为何值时,四边形P B Q D 是菱形.
【答案】(1)证明: 四边形ABCD 是矩形, ∴AD ∥BC , ∴∠PDO =∠QBO ,又OB =OD ,∠POD =∠QOB , ∴△POD ≌△QOB (2)解法一: PD =8-t
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =90°,
∵AD =8cm ,AB =6cm ,∴BD =10cm ,∴OD =5cm .
当四边形PBQD 是菱形时, PQ ⊥BD ,∴∠POD =∠A ,又∠ODP =∠ADB , ∴△ODP ∽△ADB , ∴
OD AD PD BD =,即58
810
t =-,
解得74t =
,即运动时间为7
4
秒时,四边形PBQD 是菱形. 解法二:PD =8-t
当四边形PBQD 是菱形时,PB =PD =(8-t )cm ,
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =90°,在RT △ABP 中,AB =6cm ,
∴222
AP AB BP +=, ∴2
2
2
6(8)t t +=-,
解得74t =
,即运动时间为7
4
秒时,四边形PBQD 是菱形. 9、(2012年北京市顺义区一诊考试)已知:如图,在ABC △中,AB=AC ,点D 、E 在BC 上,且BD=CE .
求证:∠ADE =∠AED . 证明:∵AB=AC ,
D
C
B
A O 1
2
3 4 ∴B C ∠=∠. 在△ABD 和△ACE 中,
,,,AB AC B C BD CE =??
∠=∠??=?
∴ △ABD ≌△ACE . ∴ AD=AE .
∴∠ADE =∠AED .wwwzzstepcom
10、(2012年北京市延庆县一诊考试)已知:如图,□ABCD 中,点E 是AD 的中点,延长CE 交BA 的延长线于点F .
求证:AB =AF .
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥CD 且AB=CD .
∴∠F =∠2, ∠1=∠D . zzstepcom ∵E 为AD 中点, ∴AE =ED .
在△AEF 和△DEC 中
21F D AE ED ∠=∠??
∠=∠??=?
,,
, ∴△AEF ≌△DEC . tepcom ∴AF =CD . ∴AB =AF .
11、(2012双柏县学业水平模拟考试)如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:OB =OD . 答案 :
证明:在△ABC 和≌△ADC 中
∵ ∠1=∠2 AC =AC ∠3=∠4
E
D C
B
A
E B
C
D
A
F
∴ △ABC ≌△ADC ∴ AB =AD
∴ △ABD 是等腰三角形,且∠1=∠2 ∴ OB =OD [中^国教育%出版~网@*]
12、(2012年4月韶山市初三质量检测)如图,矩形ABCD 中,点P 是线段AD 上一动点,O 为BD 的中点, PO 的延长线交BC 于Q . (1)求证:△ P O D ≌ △Q O B ;
(2)若AD =8厘米,AB =6厘米,P 从点A 出发,以1厘米/秒的速度向D 运动(不与D 重合).设点P 运动时间为t 秒,请用t 表示PD 的长;并求t 为何值时,四边形P B Q D 是菱形.
【答案】(1)证明: 四边形ABCD 是矩形, ∴AD ∥BC , ∴∠PDO =∠QBO ,又OB =OD ,∠POD =∠QOB , ∴△POD ≌△QOB (2)解法一: PD =8-t
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =90°,
∵AD =8cm ,AB =6cm ,∴BD =10cm ,∴OD =5cm .
当四边形PBQD 是菱形时, PQ ⊥BD ,∴∠POD =∠A ,又∠ODP =∠ADB , ∴△ODP ∽△ADB ,
∴
OD AD PD BD =,即58
810
t =-,
解得74t =
,即运动时间为7
4
秒时,四边形PBQD 是菱形. 解法二:PD =8-t
当四边形PBQD 是菱形时,PB =PD =(8-t )cm ,
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =90°,在RT △ABP 中,AB =6cm ,
∴222
AP AB BP +=, ∴2
2
2
6(8)t t +=-,
解得74t =
,即运动时间为7
4
秒时,四边形PBQD 是菱形. 13、(2012年北京市顺义区一诊考试)已知:如图,在ABC △中,AB=AC ,点D 、E 在BC 上,且BD=CE .
求证:∠ADE =∠AED .
证明:∵AB=AC ,
∴B C ∠=∠. 在△ABD 和△ACE 中,
,,,AB AC B C BD CE =??
∠=∠??=?
∴ △ABD ≌△ACE . ∴ AD=AE . wwwzzstepcom
∴∠ADE =∠AED .
14、(2012年北京市延庆县一诊考试)已知:如图,□ABCD 中,点E 是AD 的中点,延长CE 交BA 的延长线于点F .
求证:AB =AF .
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥CD 且AB=CD .[:学科网] ∴∠F =∠2, ∠1=∠D . zzstepcom ∵E 为AD 中点, ∴AE =ED .
在△AEF 和△DEC 中
21F D AE ED ∠=∠??
∠=∠??=?
,,
,wwwzzstepcom ∴△AEF ≌△DEC . tepcom ∴AF =CD . ∴AB =AF .
15、(杭州市2012年中考数学模拟)如图,已知:点B 、E 、C 、F 在同一直线上,AB =DE ,∠A =∠D ,AC ∥DF .
求证: BE =CF . 证明:∵AC ∥DF ∴∠ACB =∠F 在△ABC 与△DEF 中
E
D C
B
A
E
B
C
D
A
F
ACB F A D
AB DE ∠=∠??
∠=∠??=?
∴ △ABC ≌△DEF ∴ BC = EF ∴ BC –EC = EF –EC 即BE = CF
16.(杭州市2012年中考数学模拟)如图,在边长为6的正方形ABCD 中,点P 在AB 上从A 向B 运动,连接DP 交AC 于点,Q 连接.BQ
⑴ 试证明:无论点P 运动到AB 上何处时,都有;ADQ ABQ ???
⑵ 当ADQ ?的面积与正方形ABCD 面积之比为1:6时,求BQ 的长度,并直接写出....
此时点P 在AB 上的位置.
答案:(1) 证明:在正方形ABCD 中,[:Zxxk .Com ]
AD AB
DAQ BAQ AQ AQ =??
∠=∠??=?
∴ADQ ABQ ?? (2) 解:∵ADQ ?的面积与正方形ABCD 面积之比为1:6且正方形面积为36
∴ADQ ?的面积为6
过点Q 作QE AD ⊥于,E QF AB ⊥于,F ∵ADQ ABQ ?? ∴QE QF = ∴
1
62
AD QE ?= ∴2QE QF ==
∵90BAD QEA QFA ∠=∠=∠=
∴四边形AEQF 为矩形 ∴2AF QE ==
∴624BF =-=
在Rt QBF ?中,22
222425BQ QF BF =+=+=
此时P 在AB 的中点位置(或者回答此时3AP =)
A
B
C D P
Q
A
B
C
D P
Q
E F
17. (杭州市2012年中考数学模拟)如图:在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,与两坐标轴交点为点A 和点C ,与抛物线
2y ax ax b =++交于点B ,其中点A (0,2),点B (– 3,1),抛物线与y 轴交点D (0,– 2).
(1) 求抛物线的解析式; (2) 求点C 的坐标;
(3) 在抛物线上是否还存在点P (点B 除外),使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:
解:(1) 将(–3,1),(0,–2)代入得:1193222a a b a b
b ?
=-+=?????-=???=-?
解得 ∴ 抛物线的解析式为:211
222
y x x =
+- zzstepcom (2) 过B 作BE ⊥x 轴于E ,则E (–3,0),易证△BEC ≌△COA
∴ BE = AO = 2 CO = 1 ∴ C (–1,0)
(3) 延长BC 到P ,使CP = BC ,连结AP ,
则△ACP 为以AC 为直角边的等腰直角三角形 过P 作PF ⊥x 轴于F ,易证△BEC ≌△DFC ∴ CF = CE = 2 PF= BE = 1 ∴ P (1,– 1)
将(1,– 1)代入抛物线的解析式满足 若90CAP ∠=?,AC = AP 则四边形ABCP 为平行四边形
过P 作PG ⊥y 轴于G ,易证△PGA ≌△CEB ∴ PG = 2 AG = 1 ∴ P (2,1)在抛物线上
∴ 存在P (1,– 1),(2,1)满足条件
18.(海南省2012年中考数学科模拟)(本题满分11分)如图,在正方形ABCD 中,E
是
AB 边上任意一点,BG ⊥CE ,垂足为点O ,交AC 于点F ,交AD 于点G 。证明:BE =AG ; (1) 点E 位于什么位置时,∠AEF =∠CEB ,说明理由。 答案:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ABC =∠BAD =90°,∴∠1+∠3=90°, ∵BG ⊥CE ,∴∠BOC =90°∴∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠2 ………………………2分 在△GAB 和△EBC 中,
∵∠GAB =∠EBC =90°,AB =BC ,∠1=∠2
∴△GAB ≌△EBC (ASA ) …………4分zzstepcom ∴AG =BE ………………………… 5分
(2)解:当点E 位于线段AB 中点时,∠AEF =∠CEB …… 6分 理由如下:若当点E 位于线段AB 中点时,则AE =BE , 由(1)可知,AG =BE ∴AG =AE …………………… 7分
∵四边形ABCD 是正方形,∴∠GAF =∠EAF =45°… 8分wwwzzstepcom 又∵AF =AF ,∴△GAF ≌△EAF (SAS )
∴∠AGF =∠AEF ………………………………………10分zzstepcom 由(1)知,△GAB ≌△EBC ∴∠AGF =∠CEB ,
∴∠AEF =∠CEB ………………………………… 11分 19 (柳州市2012年中考数学模拟试题) ( 6分)如图,已知,等腰Rt △OAB 中,
∠AOB =90o ,等腰Rt △EOF 中,∠EOF =90o ,连结AE 、BF . 求证:(1)AE=BF ;
(2)AE ⊥BF .
答案:
证明:(1)在△AEO 与△BFO 中,∵Rt △OAB 与Rt △EOF 等腰直角三角形,∴AO=OB ,OE=OF ,∠AOE =90o
-∠BOE =∠BOF ,∴△AEO ≌△BFO ,∴AE=BF ;
( 2)延长AE 交BF 于D ,交OB 于C ,则∠BCD =∠ACO , 由(1)知:∠OAC =∠OBF ,∴∠BDA =∠AOB =90o,∴AE ⊥BF .
E
B
A
O
F
G C
D 第23题图
1
E B A O F
G
C
D
第23题图
3
2
20、(2012年上海金山区中考模拟)在平行四边形ABCD 中,以点A 为圆心,AB 为半径的圆,交BC 于点E .
(1)求证:ABC ?≌EAD ?;
(2)如果AC AB ⊥,6=AB ,5
3
cos =∠B ,zzstepcom
求EC 的长.
答案:
解: (1)∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD=BC, AD ∥BC ……………………………………………………………1分 ∴EAD AEB ∠=∠ ∵AB 与AE 为圆的半径
∴AB=AE ………………………………………………………………………1分 ∴B AEB ∠=∠ ZXXK
∴EAD B ∠=∠………………………………………………………………1分 ∴△ABC ≌△EAD ……………………………………………………………1分 (2) ∵AB ⊥AC ∴?=∠90BAC ∴在直角三角形△ABC 中,BC
AB
B =∠cos …………………………………1分 ∵B ∠cos =
5
3
,AB=6 ∴BC=10 ……………………………………………1分 过圆心A 作BC AH ⊥,H 为垂足
∴BH=HE ………………………………………………………………………1分 ∴在直角三角形△ABH 中,AB
BH
B =∠cos zzstepcom ∴
653BH =
∴5
18
=BH ……………………………………………………2分 ∴536=BE ∴5
14
=EC …………………………………………………1分
zzstepcom
21、(盐城市亭湖区2012年第一次调研考试)(本题满分8分)
如图,△ABC 中,AB =AC ,若点D 在AB 上,点E 在AC 上,请你加上一个条件,使结论BE =CD 成立,同时补全图形,并证明此结论。[:学科网]
E D
C
B
A
A
D E
B C
解:附加的条件可以是:①BD=CE,②AD=AE,③∠EBC=∠DCB,④∠ABE=∠ACD,⑤BE、CD分别为∠ABC,∠ACB的平分线中任选一个;利用△ABE≌△ACD得证BE=CD