成人高考专升本《高等数学二》公式大全
第一章节公式
1、对数的性质：
①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。 2、对数的运算法则： ①()()
l o g l o g l o g a a a
M N M N M N R =+∈+
， ②()
l o g l o g l o g a a a M
N
M N M N R =-∈+， ③()()
l o g l o g a n a
N n N N R =∈+
④()
l o g l o g a n
a
N n
NNR =∈+1
3、对数换底公式：
l o g l o g l o g l o g (.)l o g b
a a n e g N N b
LN N
e N LN N
====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810 由换底公式推出一些常用的结论：
（1）l o g l o g l o g l o g a b
a b
b a b a ==1
1或· （2）log log a m a n b m
n
b =
（3）l o g l o g a
n
a n
b b =
（4）lo g a m n a m
n
=
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y
x
y=tanx
3π2
π
π2
-
3π2
-π
-
π2
o
y
x
y=cotx
3π2
π
π2
2π
-π
-
π2
o
y
x
三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是?????
?
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，
递减区间是??
?
??
?+
+
2322
2πππ
πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，
递减区间是[]πππ+k k 22，
)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ?
?
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
数列极限的四则运算法则
如果,lim ,lim B y A x n n n n ==∞
→∞
→那么
B
A y x y x n n n n n n n -=-=-∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim B A y x y x n n n n n n n +=+=+∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim
B A y x y x n n n n n n n .(lim ).(lim ).(lim ==∞→∞→∞→） )0(lim lim lim ≠==∞
→∞
→∞→B B A y x y x n n n n n n n
推广：上面法则可以推广到有限．．
多个数列的情况。例如，若{}n
a ，{}n
b ，{}n
c 有极限，
则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞
→∞
→∞
→∞
→++=++lim lim lim )(lim
特别地，如果C 是常数，那么
CA a C a C n n n n n ==∞
→∞
→∞
→lim .lim ).(lim
函数极限的四算运则
如果,)(lim ,)(lim B x g A x f ==那么
B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )(lim )(lim
B
A x g x f x g x f ?=?=?)(lim )(lim )(lim )(lim
)
0)(lim ()(lim )(lim )()(lim ≠===x g B B A x g x f x g x f
推论设)(lim ),(lim ),......(lim ),(lim ),(lim 321x f x f x f x f x f n 都存在，k 为常数，n 为正整数，则有：
)
(lim ....)(lim )(lim )](....)()([lim 2111x f x f x f x f x f x f n n ±±±=±±
)
(lim )]([lim x f k x kf =
n
n x f x f )](lim [)]([lim =
无穷小量的比较：
.0lim ,0lim ,,==βαβα且穷小是同一过程中的两个无设
);(,,0lim
)1(βαβαβ
α
o ==记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim
)2(同阶的无穷小是与就说如果βαβ
α
≠=C C ;~;,1lim
3βαβαβ
α
记作是等价的无穷小量与则称如果）特殊地（= .),0,0(lim
)4(阶的无穷小的是就说如果k k C C k βαβ
α
>≠= .,lim
)5(低阶的无穷小量是比则称如果βαβ
α
∞= ,
0时较：当常用等级无穷小量的比→x .2
1~
cos 1,
~1,~)1ln(,~arctan ,~tan ,~arcsin ,~sin 2
x x x e x x x x x x x x x x x --+ e
n e x e x x x n n x x x x x
=+=+=+=∞→→→→)11(lim )1(lim .)11(lim .1sin lim 1
000对数列有重要极限
第二章节公式
1.导数的定义：
函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是
lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0
Δf
Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记
作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
.
2．导数的几何意义
函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝f ′(x 0)．
3．导函数(导数)
当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)，y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
.
4．几种常见函数的导数
(1)c ′＝0(c 为常数)，(2)(x n
)′＝nx n －1
(n ∈Z )，(3)(a x
)′＝a x
lna(a ＞0,a ≠1), (e x
)′
＝e x
(4)(ln x )′＝1x ，(log a x )′＝1
x
log a e=
a
x ln 1
(a ＞0,a ≠1) (5)(sin x )′＝cos x ，(6)(cos x )′＝－sin x (7) x x 2cos 1)'(tan =
, (8)x
x 2sin 1
)'(cot -=
(9) )11(11)'(arcsin 2
<<--=
x x
x , (10) )11(11)'(arccos 2
<<---
=x x
x
(11) 211)'(arctan x x +=
, (12)2
11
)'cot (x x arc +-=
5．函数的和、差、积、商的导数
(u ±v )′＝u ′±v ′，(uv )′＝u ′v ＋uv ′
? ??
??u v ′＝u ′v －uv ′v 2，(ku )′＝cu ′(k 为常数)．
(uvw )′＝u ′vw ＋uv ′w + uvw ′
微分公式：
（1）为常数）c o c d ()(= 为任意实数）
）（a dx ax x d a a ()(21-=
),1,0(ln 1)(log )3(≠>=
a a dx a x d x
a
dx x x d 1)(ln = )1,0(ln )(4≠>=a a adx a a d x x ）（
dx
e e d x x =)(
xdx x d cos )(sin )5(=
xdx x d sin )(cos )6(-=
(7) dx x x d 2cos 1)(tan =
, (8)dx x
x d 2
sin 1
)(cot -= (9) dx x
x 2
11)'(arcsin -=
, (10) dx x
x 2
11)'(arccos --
=
(11) dx x x d 211)(arctan +=
, (12) dx x
x arc d 2
11
)cot (+-= 6．微分的四算运则
d(u ±v )＝d u ±d v ， d(uv )＝v du ＋udv
)0()(2
≠-=v v
udv
vdu v u d d(ku )＝k du (k 为常数)． 洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
）或‘∞===→→→()('')(''lim )(')(lim )()(lim
A x g x f x g x f x g x f a x a x a
x
7.导数的应用：
)('x f =0 的点为函数)(x f 的驻点，求极值；
(1)0x x <时，
0)('>x f ;
时0x x >,
0)'( 为极大值点 的极大值，为则00)()(x x f x f ; (2)0x x <时， 0)(' 时0x x >, 0)'(>x f , 为极小值点 的极大值，为则00)()(x x f x f ; (3) 不是极值点。不是极值，么的两端的符号相同，那在如果000)()('x x f x x f ; )(''x f =0 的点为函数)(x f 的拐点，求凹凸区间； 为凸的（下凹）取值范围内，曲线的)(0)(''x f y x x f =< 为凹的（上凹）取值范围内，曲线的)(0)(''x f y x x f => 第三章知识点概况 不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作? dx x f )(，并称 ? 为积分符号，函数 ) (x f 为被积函数， dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。 ?+=C x F dx x f )()(因此 不定积分的性质： ??==dx x f dx x f d x f dx x f )()()(]')()[1(或 ??+=+=C x F x dF C x F dx x F )()()()(')2(或 ????±±±=±±±dx x dx x dx x f dx x x x f )(....)()()](....)()([)3(ψ?ψ? ) 0()()()4(≠=??k k dx x f k dx x kf 为常数且 基本积分公式： C dx =?0)1( ) 1(11)2(1 -≠++= +?a C x a dx x a a C x dx x +=?ln 1)3( )1,0(ln 1)4(≠>+= ?a a C a a dx a x x C e dx e x x +=?)5( C x xdx +-=?cos sin )6( C x xdx +=?sin cos )7( C x dx x +=? tan cos 1 )8(2 C x dx x +-=? cot sin 1 )9(2 C x dx x +=? arcsin -11)10(2 C x dx x +=+? arctan 11 )11(2 换元积分（凑微分）法： 1.凑微分。对不定积分?dx x g )(，将被积表达式g(x)dx 凑成? =dx x x dx x g )(')]([)(?? 2.作变量代换。令 ???===du u f dx x x f dx x g dx x x d du x u )()(')]([)()(')(),(变换带量凑微分代入上式得：则?????3.用公式积分，，并用)(x u ?=换式中的u C x F C u F du u f ++?)]([)()(?回代公式 常用的凑微分公式主要有： )()(1 )(1b ax d b ax f a dx b ax f ++= +）（)()(1 )(21b ax d b ax f ka dx x b ax f k k k k ++=?+-）（ )()(21 )(3x d x f dx x x f =? ）（ )1()1(1)1(42x d x f dx x x f -=?）（ )()()(5x x x x e d e f dx e e f =?）（ )(ln )(ln 1 )(ln 6x d x f dx x x f =?）（ )(sin )(sin cos )(sin 7x d x f xdx x f =?）（ )(cos )(cos sin )(cos 8x d x f xdx x f -=?）（ )(tan )(tan cos 1 )(tan 92x d x f dx x x f =? ）（ )(cot )(cot sin 1 )(cot 102x d x f dx x x f -=?）（ )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin 112 x d x f dx x x f =-? ）（ )(arccos )(arccos 11)(arccos 122x d x f dx x x f -=-?）（ )(arctan )(arctan 11 )(arctan 132 x d x f dx x x f =+? ）（ )0)()()((ln ) () ('14≠=x x d dx x x ????） （ 分部积分法： ??????-=-=+=+=udv uv vdu vdu uv udv udv vdu uv x udv vdu uv d 或移项得积分得两边对)(适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u 和dv 的选取法 dx e dv x P u dx x P e ax ax ==?),()(1设）（ axdx dv x P u axdx x P sin ),(sin )(2==?设）（ axdx dv x P u axdx x P cos ),(cos )(3==?设）（ dx x P dv x u xdx x P )(,ln ln )(4==?设）（ dx x P dv x u xdx x P )(,arcsin arcsin )(5==?设）（dx x P dv x u xdx x P )(,arctan arctan )(6==?设）（为任意选取，其中为任意选取，其中）（v u bxdx e v u bxdx e ax ax ,cos ,sin 7?? 上述式中的P （x)为x 的多项式，a,b 为常数。 一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。 定积分: 此式子是个常数△） （△i n i i b a x f n dx x f )(lim )(10∑? =∞→=→ξ (1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有 ?? =b a b a dt t f dx x f )()( （2）在定积分的定义中，我们假定a =a b b a dx x f dx x f )(-)( 如果a=b,则规定： 0)(? =a a dx x f （3）对于定义在],[a a -上的连续奇（偶）函数)(x f ，有 0)(=? -dx x f a a )(x f 为奇函数 ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( )(x f 为偶函数 定积分的性质： 为常数））（k dx x kf dx x kf b a ()()(1?=???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([2）（ 的内外点） 为）（b a c dx x f dx x f dx x f b c c a b a ,()()()(3???±=（单调性） 则上总有）如果在区间（??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f b a )()(),()(],[4a b dx b a -=?15）（) ()()(],[)(6a b M dx x f a b m b a x f m M b a -≤≤-?则有上的最大值和最小值，在区间分别是和）设（) )(()(],[],[)(7a b f dx x f b a b a x f b a -=?ξξ使得下式成立：，上至少存在一点上连续，则在在闭区间函数）积分中值定理：如果（定积分的计算： 一、变上限函数 设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的任一点，于是，()x f 在区间[]b a ,上的定积分为 ()dx x f x a ? 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 ()dt t f x a ? 如果上限x 在区[]b a ,间上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值 与之对应，所以定积分在[]b a ,上定义了一个以x 为自变量的函数()x ?，我们把()x ?称为函数()x f 在区间[]b a ,上变上限函数 记为()()() b x a dt t f x x a ≤≤=?? 推理：? ==x a x f dt t f x )(]')([ )('φ )(')]([)('])([]')([)(') () (x a x a f x b x b f dt t f x x b x a -==? φ 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度()()()0?t v t v 作直线运动，那么在时间区间[]b a ,上所经过的 路程s 为 ()dt t v s b a ?= 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数()t s ，那么物体从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 ()()()a s b s dt t v b a -=? 由导数的物理意义可知：()()t v t s =' 即()t s 是()t v 一个原函数，因此，为了求出定积分 ()dt t v b a ?，应先求出被积函数()t v 的原函数()t s ，再求()t s 在区间[]b a ,上的增量()() b s a s -即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分()dx x f b a ?的一般方法： 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，()x F 是()x f 的一个原函数，即()()x f x F =' ， 则 ()()()a F b F dx x f b a -=? 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 )()() ()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数 的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 定积分的换元公式： ? ?=b a dt t t f dx x f β α ??)(')([)(计算要领是： ) ('],[)(,)(t t x b a x t t x ?βα?βα?有连续导数上在且变到严格单调地从时，变到从，要求当作代换==图 5-11 定积分的分部积分法： ??-=b a b a b a dx vu uv dx uv '' 5.4.2定积分求平面图形的面积 1.直角坐标系下面积的计算 (1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述. (2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==， ))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）. 下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈. ②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高 )()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素 dx x g x f dA )]()([-=. ③写出积分表达式，即 ?-=b a dx x g x f A )]()([. ⑶求由两条曲线)(),(y x y x ?ψ==，))()((y y ?ψ≤及直线d y c y ==,所围成平 面图形（如图5.9）的面积. 这里取y 为积分变量，],[d c y ∈， 用类似 (2)的方法可以推出： ?-=d c dy y y A )]()([ψ?. 第四章知识点多元函数微分学 §4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念 )(x f y = )(x g y = y a o dx x x + b x 图 5.8 )(y x ψ= o )(y x ?= x y d y+dy y c 1. 二元函数的定义：D y x y x f z ∈=),(),( )(f D 定义域： 2. 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） Z=ax+by+c 表示一个平面； 222y x R z --= 表示球心在原点、半径为R 的上半个球面； 22y x z += ，表示开口向上的圆锥面； 2 2 y x z +=，表示开口向上的旋转剖物面。 ㈡. 二元函数的极限和连续： 1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点)0 ,0(.1y x 可除外）（点)0,0(y x A y x f y y x x =→→),(0 0lim 2、。极限存在，且等于在则称A y x y x f z )0,0(),(= 2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点)0 ,0(1y x ) ,0(),(0 0lim 2 y x f y x f y y x x =→→ 处连续。在则称)0 ,0(),(y x y x f z = ㈢.偏导数： 改变量。 保持不变时，得到一个而（△在处取得改变量△当自变量的某个邻域内有定义，在点设函数定义0),00)0,0(),,(:y y x x x y x y x f z =≠= x y x f y x x f x y x x f x ?-?+→?= ') ,0()0,0 (0 lim )0 ,0(的偏导数：对 y y x f y y x f y y x y f y ?-?+→?= ') ,0()0,0(0 lim )0 ,0(的偏导数：对 的偏导数。处对在分别为函数y x y x y x f y x y f y x x f ,)0 ,0(),()0,0(),0,0(''处的偏导数记为：内任意点在),(),(y x D y x f z = x z x z x y x f y x x f '=??=??=') ,(),( y z y z y y x f y x y f ' =??=??= ') ,(),( ㈣.全微分： 1.定义：z=f(x,y) ),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?若)(ρo y B x A +?+?= , 2)(2)(y x o y x B A △△较高阶的无穷小量（）是比（无关，、与、其中，+= ??ρρρ则称处的全微分是 函数),(y x f z y B x A =?+? y B x A y x df dz ?+?==),(:则),(y x f z =是 在点(x,y)处的全微分。 3. 全微分与偏导数的关系 .),(),(),,(D y x y x y f y x x f ∈''连续，定理：若 处可微且在点则：),(),(y x y x f z = dy y x y f dx y x x f dz ),(),('+'= ㈤.复全函数的偏导数： 1.),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===设 ： [] ) ,(),,(y x v y x u f z =∴ x v v z x u u z x z ??? ??+?????=??则： y v v z y u u z y z ?????+?????=?? 2. )(),(),,(x v v x u u v u f y ===设 )] (),([x v x u f y =∴ ㈥.隐含数的偏导数： 1. 0),,(,0),,(≠'==z F y x f z z y x F 且设 z F y F y z z F x F x z ''- =??'' - =??,则 2. 0),(,0),(≠'==y F x f y y x F 且设 y F x F dx dy ''- =则 ㈦.二阶偏导数： )(22 "),(x z x x z xx z y x xx f ????= ??=='' dx dv v y dx du u y dx dy ???+???= )( 2 2 "),(y z y y z yy z y x yy f ????=??=='' )(2 "),(x z y y x z xy z y x xy f ????= ???=='' )(2 "),(y z x x y z yx z y x yx f ????= ???=='' 的连续函数时，为和结论：当y x y x yx f y x xy f ,),(),(''''),(),(y x yx f y x xy f ''=''则： （八）隐函数的导数和偏导数 的导数 对，可以求出所确定的）对于方程x y x f y y x F y x x F y y x F y )(0,(),('') ,('=== ),,(),,(.... ..........),,(),,(z y x z F z y x y F y z z y x y F z y x x F x z ''= ??''= ?? (九).二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： 某一个邻域内有定义，在设)0 ,0(),(y x y x z [] )0 ,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若 , )(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。 或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆ 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件： )0 ,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若= 两个一阶偏导数存在，则： 0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0 ,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='=' 的驻点。 称为),(y x f z = 的必要条件，定理的结论是极值存在 2 而非充分条件。 例： 12 2 +-=x y z ?? ?===+='=-='00 00 0202y x y y z x x z 解出驻点 1)0,0(=z 112 ),0(0,0>+=≠=y y z y x 时，当 112 )0,(0,0<+-==≠x x z y x 时，当 ∴驻点不一定是极值点。 3. 极值的充分条件： 的某个领域内在设：函数)0 ,0(),(y x y x f y = 为驻点，有二阶偏导数，且)0 ,0(y x [ ] )0,0()0,0(2 )0 ,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''?''-''= 若： ?? ??>''?<''<为极小值。 时，为极大值。 时，且当：)0,0(0)0 ,0()0,0(0)0 ,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。当：)0 ,0(,0y x f p ?> 不能确定。当：?=,0p 求二元极值的方法： 出驻点。一阶偏导数等于零，解求一阶偏导数，令两个 1 。 判断驻点是否是极值点根据极值的充分条件，求出,2p 极值。若驻点是极值点，求出 3 二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ222 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④2 2cos 11sin 2 22 θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+= 第五章排列与组合 （1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。 （2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。 排列：从n 个不同元素里，任取)1(n m ≤≤个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n 个不同元素里取出m 个元素的一个排列，计算公式： 1 !0,!)! (!)]1()......[2)(1(==-= ----=n n n P m n n m n n n n m n P 规定 组合：从n 个不同元素里，任取)1(n m ≤≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素里取 出m 个元素的一个组合，组合总数记为） 或（n n m n C ，计算公式： 1 0)! (!!! )] 1()......[2)(1(=-= ----= n C m n m n m m n n n n m n C 规定 11 ),2 (-+=+-=m n C m n C m n C n m m n n C m n C ＞组合的性质： m m P m n P m n C m m P m n C m n P = ?=或 第六章概率论 符号 概率论 集合论 样本空间 全集 不可能事件 空集 基本事件 集合的元素 A 事件 子集 A 的对立事件 A 的余集 事件A 发生导致 事件B 发生 A 是B 的子集 A=B A 与B 两事件相等 集合A 与B 相等 事件A 与事件B 至少有一个发生 A 与B 的并集 事件A 与事件B 同时发生 A 与B 的交集 A-B 事件A 发生而事件B 不发生 A 与B 的差集 事件A 与事件B 互不相容 A 与 B 没有相同元素 由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就 可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。 各事件的关系运算如图示： 9.完备事件组 n个事件，如果满足下列条件： （1）； （2）， 则称其为完备事件组。 显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。 10.事件运算的运算规则： （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律 率的古典定义 定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为。 概率的基本性质与运算法则 性质1.0≤P(A)≤1 特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1 性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A) 性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。 推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B) 推论2.对任一事件A,有 推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 条件概率、乘法公式、事件的独立性 条件概率 定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称 类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为 概率的乘法公式 乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有 事件的独立性 一般地说, P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独 立。 定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立。独立试验 序列概型 在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为 一维随机变量及其概率分布 （一）随机变量 1.随机变量 定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值 与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作。 2.离散型随机变量 定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。 （二）分布函数与概率分布 1.分布函数 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称 为随机变量X的分布函数。 分布函数F(x)有以下性质： 成人高考专升本高等数 学公式大全 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 2016年成人高考(专升本)高等数学公式大全 提高成绩的途径大致可以分为两种：一是提高数学整体的素质和能力，更好的驾驭考试;二是熟悉考试特点，掌握考试方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。 如果说在复习中，上面两种方法那一种更能在最短的时间内提成人高考试的分数呢？对于前者，是需要我们在整个高中乃至以前的学习积累下来的综合能力，这个能力的提高需要时间和积累，在短期内的提高是有限的;对于后者能力的了解和掌握对短期内迅速提成人高考试成绩的成效是很明显的。而且，在一般的学校教育中，往往只重视前者而忽视后者。我们用以下几个等式可以很好的说明上述两者的关系和作用。 一流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 顶尖的成绩 一流的数学能力 + 二流的考试方法和技巧 = 二流的成绩 二流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 二流的成绩其实对于考试方法和技巧的掌握，大致包含以下几个方面： 一、熟悉考试题型，合理安排做题时间。 其实，不仅仅是数学考试，在参任何一门考试之前，你都要弄清楚或明确几个问题：考试一共有多长时间，总分多少，选择、填空和其他 主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。 拿安徽省的数学成人高考题为例，安徽省数学成人高考满分为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。 一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照尚博学校的教学标准是让学生在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。 二、确保正确率，学会取舍，敢于放弃。 考试时，一定要根据自己的情况进行取舍，这样做的目的是：确保会做的题目一定能够拿分，部分会做或不太会做的题目尽量多拿分，一定不可能做出的题目，尽量少投入时间甚至压根就不去想。 对于基础较好的学生，如果感觉前面的选择填空题做的很顺利，时间很充裕，在前面几道大题稳步完成的情况下，可以冲击下最后的压轴题，向高分冲击。对于基础一般的学生，首先要保证的是前面的填空选择题大部分分值一定能够稳拿，甚至是拿满分。对于大题的前几题，也尽量多花点时间，一定不要在会做的题目上无谓失分，对于大题的后两 20XX年成人高等学校招生全国统一考试 高等数学 答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。 一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。 正确答案：A 【名师解析】根据函数的连续性立即得出结果 【名师点评】这是计算极限最常见的题型。在教学中一直被高度重视。 正确答案：C 【名师解析】使用基本初等函数求导公式 【名师点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。 正确答案：B 【名师解析】根据基本初等函数求导公式和复合函数求导法则 正确答案：D 【名师解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定 【名师点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。 正确答案：A 【名师解析】基本积分公式 【名师点评】这是每年都有的题目。 【名师解析】求出积分区间，确定被积函数，计算定积分即可。 【名师点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。应当也一直是教学的重点 正确答案：C 【名师解析】变上限定积分求导 【名师点评】这类问题一直是考试的热点，也始终是讲课的重点。 正确答案：D 【名师解析】把x看成常数，对y求偏导 【名师点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容 正确答案：A 10、袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，从中一次任取2个乒乓球，则取出的2个球均为白色球的概率为 【名师点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。 二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。 正确答案：0 【名师解析】直接代公式即可。 【名师点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。 正确答案：1 【名师解析】考查等价无穷小的定义 【名师点评】无穷小量的比较也是重点。本题是最常见的且比较简单的情况。 【名师解析】 性），分别求出左右极限并比较。 【名师点评】这道题有点难度，以往试题也少见。 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 成人高考高数一复习资料 1.理解极限的概念（对极限定义、、等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 1.数列 按一定顺序排列的无穷多个数 称为数列，记作，其中每一个数称为数列的项，第n 项。为数列的一 般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，，… （2） （3） （4）1 ，0，1，0，…，… 都是数列。 在几何上，数 列 可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴 上的点 。 2. 数列的极限 定义对于数列 ，如果当 时， 无限地趋于一个常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列以常数A 为极限，或称数列收敛于A ，记作 否则称数列 没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 数列极限的几何意义：将常数A 及数列的项 依次用数轴上的 点表示，若数列以A 为极限，就表示当n 趋于无穷大时，点 可以无限 定理 1.1（惟一性）若数列 收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。 定理 1.3（两面夹定理）若数列 ，， 满足不等式 且 。 定理1.4 若数列单调有界，则它必有极限。 下面我们给出数列极限的四则运算定理。 定理 1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念1.当时函数的极限 （1）当时 的极限 定义 对于函数，如果当x 无限地趋于时，函数 无限地趋于一个常数A ，则称当时，函数 的极限是A ，记作 或 （当时） （2 ）当 时 的左极限 定义 对于函数 ，如果当x 从 的左边无限地趋于时，函数 无 限地趋于一个常数A ，则称当 时，函数 的左极限是A ，记作 或 例如函数 当x 从0的左边无限地趋于0时，无限地趋于一个常数1.我们称：当 时，的左极限是1，即有 （3 ）当 时， 的右极限 定义 对于函数 ，如果当x 从 的右边无限地趋于时，函数 无 限地趋于一个常数A ，则称当 时，函数 的右极限是A ，记作 或 又如函数 当x 从0的右边无限地趋于0时， 无限地趋于一个常数-1 。因此有 这就是说，对于函数 当时，的左极限是1，而右极限是 -1，即 但是对于函数 ，当 时， 的左极限是2，而右极限是2。 显然，函数的左极限、右极限 与函数的极限 之间 有以下关系： 定理1.6 当 时，函数 的极限等于A 的必要充分条件是 这就是说：如果当时，函数 的极限等于A ，则必定有左、右极限 都等于A 。 反之，如果左、右极限都等于A ，则必有。 这个结论很容易直接由它们的定义得到。 以上讲的是当时，函数的极限存在的情况，对于某些函数的某些点 处，当 时， 的极限也可能不存在。 2.当时，函数的极限 （1）当 时，函数 的极限 定义 对于函数 ，如果当 时， 无限地趋于一个常数A ， 则称当 时，函数 的极限是A ，记作或 （当 时） （2）当时，函数 的极限 定义 对于函数 ，如果当时， 无限地趋于一个常数A ， 则称当 时，函数的极限是A ，记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样，只不过在数列极限的定义中一定表示，且n 是正整数；而在这个定义中，则要明确写出， 且其中的x 不一定是整数。 成人高考数学知识点总结 (B) 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 (C) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (D) 甲是乙的充分必要条件 2、设命题甲：x=1 ； 命题乙:02=-x x (A) 甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 (B) 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 (C) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (D) 甲是乙的充分必要条件 3、设x 、y 是实数，则22y x =的充分必要条件是 （A ）x=y （B ）x=-y （C ）33y x = （D ）|x|=|y| (一) 不等式的性质 [说明] 判断不等式是否成立，在试题中也常出现。一定要明白不等式性质中的条件是什么结论是什么；此外用作差比较法可解决一些问题；最后还可根据函数单调性判断某些不等式能否成立（见指数函数对数函数） 1、若a 握这些基础知识并提高运算能力 1、不等式组? ??->->-2154723x x 的解集为 2、解不等式 03452>+-x x (三) 解绝对值不等式 [说明] 这部分内容重要，在历年试题中几乎都出 现过。有时直接求解集，有时转为求函数定义 域等问题。 1、不等式| 3x-1 | < 1的解集为 | 3x-1 | ≥ 1 的解集为 2、 解不等式 6|1|3<+≤x 3、设集合}1|||{≤=x x A ，集合x x B |{=>0} 求B A ? (四) 解一元二次不等式 [说明] 求一元二次不等式解集，主要用在求函数 定义域。基本要求是对应的一元二次方程有 不相等实根的情形。 1、不等式12>x 的解集是 2、不等式012112<-+x x 的解集是 3、不等式4 382>-x x 的解集是 (五) 指数与对数 [说明] 没有冗长的计算和太多的技巧。要掌握幂的运算法则和对数运算法则，此外就是指数式与对数式互换。第4题在近几年试题中不曾出现。 成人高考高升专数学常用知识点及公式 第1章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第2章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生 改变）。 2013年成人高等学校专升本招生全国统一考试 高等数学（二） 答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．． 。 选择题 一、选择题：1~10 小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信点．．．．．．．．．． 上． 。 1、2 2lim x cos x x π → = A. 2 π B. 2 π - C. 2 π D. 2 π - 2、设函数ln 3x y e =-，则 dy dx = A. x e B. 1 3 x e + C. 13 D. 13 x e - 3、设函数()ln(3)f x x =，则'(2)f = A. 6 B. ln 6 C. 12 D. 16 4、设函数3()1f x x =-在区间(,)-∞+∞ A.单调增加 B.单调减少 C.先单调增加，后单调减少 D.先单调减少，后单调增加 5、 2 1 dx x ?= A. 1 C x + B. 2 ln x C + C. 1 C x - + D. 2 1C x + 6、 2 (1) x d dt t dx +?= A. 2 (1)x + B. 0 C. 31(1)3 x + D. 2(1)x + 7、曲线||y x =与直线2y =所围成的平面图形的面积为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8、设函数cos()z x y =+，则 (1,1)|z x ?=? A. cos 2 B. cos 2- C. sin 2 D. -sin 2 9、设函数y z xe =，则 2 z x y ???= A. x e B. y e C. y xe D.x ye 10、设A ，B 是两随机事件，则事件A B -表示 A.事件A ，B 都发生 B.事件B 发生而事件A 不发生 C.事件A 发生而事件B 不发生 D.事件A ，B 都不发生 非选择题 二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分，将答案填写在答题卡相应题．．．．．． 号后．．。 11、3123x x lim x →-= _______________. 12、设函数ln ,1,(),1x x f x a x x ≥?=?- 2011-15成考数学真题题型分类汇总（文） 一、 集合与简易逻辑 (2011) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1 专升本高等数学公式 一、求极限方法： 1、当x 趋于常数0x 时的极限： 02 2 00x x lim(ax bx c)ax bx c →++=++；0000 0ax b cx d ax b lim cx d cx d x x ++≠+??????→ ++→当； 00000cx d ,ax b ax b lim cx d x x +=+≠+???????????→∞+→当但； 222000ax bx f cx dx e ,ax bx f lim x x cx dx e ++++=++=??????????????→→++当且可以约去公因式后再求解。 2、当x 趋于常数∞时的极限： 1n n ax bx f n m,lim {x cx dx e n m -++???+>=∞???????????????→→∞++???+只须比较分子、分母的最高次幂若则。若n 成人高考高升专数学笔记 第一章 集合和简易逻辑 一 、 考点：交集、并集、补集 概念：（必考） 1、由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”（求公共元素） A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B} 2、由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”（求全部元素） A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} 3、如果已知全集为U ，且集合A 包含于U ，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 的补集，记作, 读作“A 补” ={ x|x ∈U ，且x A } 今年选择题第一题必考： 例1、设集合，集合 ，则集合（ D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 例2、集合U={1,2,3,4,5,6,7} ,，集合 ，则 （C ）， =（D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现 二、考点：简易逻辑 概念： 在一个数学命题中，往往由条件A 和结论B 两部分构成，写成“如果A 成立，那么B 成立”。 1. 充分条件：如果A 成立，那么B 成立，记作“A →B ”“A 推出B ，B 不能推出A ”。 2. 必要条件：如果B 成立，那么A 成立，记作“A ←B ”“B 推出A ，A 不能推出B ”。 3. 充要条件：如果A →B,又有A ←B ，记作“A ←B ”“A 推出B ，B 推出A ”。 解析：分析A 和B 的关系，是A 推出B 还是B 推出A ，然后进行判断 第二章 不等式和不等式组 三 、 考点：不等式的性质 1. 如果a>b ，那么ba ，那么ab ，且b>c ，那么a>c 3. 如果a>b ，存在一个c （c 可以为正数、负数或一个整式），那么a+c>b+c ，a-c>b-c 4. 如果a>b ，c>0，那么ac>bc （两边同乘、除一个正数，不等号不变） 5. 如果a>b ，c<0，那么ac 学习必备欢迎下载 成人高考高升专数学常用知识点及公式 温馨提示：数学公式不能死记硬背，而是理解掌握后灵活运用，上课 第一章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第二章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号 要发生改变）。 全国成人高考数学公式汇总 1.平方差公式 2 2 ))((b a b a b a -=-+完全平方公式 2 2 2 2)(b ab a b a +±=± 2.一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式 a ac b b x 242-±-=. 3.充分条件与必要条件： B A ? A 叫B 的充分条件 B A ? A 叫B 的必要条件 B A ? A 叫B 的充分必要条件(充要条件) 4.函数定义域的求法:(1)分母不能为0；(2)偶次根内大于等于0；(3)对数的真数 大于0. 5.函数的奇偶性： 奇函数(图象关于原点对称):y=sinx 、y=tanx 、y=n x (n 为奇数) 偶函数(图象关于y 轴对称)：y=c(常量函数)、y=cosx 、y=n x (n 为偶数) 奇+奇=奇、偶+偶=偶、奇+偶=非奇非偶、奇?奇=偶、偶?偶=偶、奇?偶=奇 6.二次函数的图象和性质:y=ax 2 +bx+c(a ≠0) a >0 a <0 图象 顶点 24(,)24b ac b a a -- 对称轴 2b x a =- 单调性 (,]2b a -∞- 为减区间[,)2b a - +∞为增区间 (,]2b a -∞-为增区间[,)2b a - +∞为减区间 最值 当2b x a =-时，2min 44ac b y a -= 当2b x a =- 时，2 max 44ac b y a -= o x y o x y成人高考专升本高等数学公式大全
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