函数图像的研究一对一辅导讲义
教学目标
1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；
2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求 值域、求单调区间等问题中的应用．
重点、难点
教学重点：三角函数的图像和基本性质。
教学难点：三角函数图像的由来与函数y=Asin(wx+?)性质图像的平移。
考点及考试要求 考点：三角函数的定义域值域、周期、三角函数的单调性、三角函数的对称
性
教 学 内 容
第一课时 三角函数的性质
一、函数的周期
1、周期函数的定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。若函数)(x f 的周期为T ，则 也是)(x f 的周期。即
0,),(...)2()()(≠∈+=+=+=k Z k kT x f T x f T x f x f
2、正弦函数R x x y ∈=,sin 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期是 ；
3、余弦函数R x x y ∈=,cos 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期是 ；
4、正切函数ππ
k x x y +≠
=2
,tan 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期是
5、函数,),sin(R x x A y ∈+=?ω（其中?ω,,A 为常数，且0,0>≠ωA ）是周期函数，它的最小正周期T = ；
6、函数,),cos(R x x A y ∈+=?ω（其中?ω,,A 为常数，且0,0>≠ωA ）是周期函数，它的最小正 周期T = ；
7.函数)tan(π+=wx A y ，它的最小正周期T
知识梳理
课堂演练：
1、函数x y 2sin 2=的最小正周期为____________；
2、函数32
1
cos
2+=x y 的最小正周期为____________； 二、三角函数的奇偶性与对称性 1、奇偶性
（1）正弦函数的奇偶性：如果点),(y x 是函数x y sin =的图象上任意一点，那么与它关于原点 对称的点__________也在函数x y sin =的图象上，这时我们说函数x y sin =是_______函 数。即：若__________________，则称函数)(x f 为奇函数。
（2）余弦函数的奇偶性：如果点),(y x 是函数x y cos =的图象上任意一点，那么与它关于y 轴 对称的点___________也在函数x y cos =的图象上，这时我们说函数x y cos =是_______函 数。即：若__________________，则称函数)(x f 为偶函数。
2、单调性
（1）正弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数，其值从
1-增大到1；在每一上闭区间______________________________上都是减函数，其值从1减 小到1-。
（2）余弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数，其值从
1-增大到1。在每一个闭区间______________________________上都是减函数，其值从1减 小到1-。 3、对称轴、对称中心
正弦曲线的对称轴为________________________；对称中心为_______________________；
余弦曲线的对称轴为________________________；对称中心为_______________________；
正切曲线的对称中心为
第二课时 函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0）的图象
一、创设情境
上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x ±k)，y = sinwx ，y = Asinx 的图像和函数y =sinx 图像的关系，那么函数y = Asin(wx+?)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx 的图像有何关系呢？三、尝试探究
1. 函数y = Asin(wx+?)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+?)的图像和函数y = sinx 图像的关系，我们先来用“五
点
法”作函数y = Asin(wx+?)的图像。 例：作函数y = 3sin(2x+
3
π
)的简图。 解：⑴设Z= 2x +3π，那么3xin(2x+3π)= 3sin Z ，x=2z 3
π-=6
2z π-，分别取z = 0，2π，π，23π，
2π，则得x 为6π-，12π，3π，127π，65π，所对应的五点为函数y=3sin(x 3
π
-)在一个周期[6
π
-
，
6
5π
]图象上起关键作用的点。 ⑵列表
x
6
π- 12
π 3
π 12
7π 6
5π 2x+3
π
2
π π 2
3π 2π
sin(2x+
3π) 0 1 0
-1 0
3sin(2x+3
π) 0 3 0 -3 0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx 图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx 的图像是怎样经过平移变化 →周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+?)图像的。 归纳1：先把函数y = sinx 的图像上的所有点向左平行移动3π个单位，得到y = sin(x 3 +3
π
)的图像，再把y = sin(x +3π
)的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的2
1倍(纵坐标不变)，得到y = sin(2x +
3π)的图像，再把y = sin(2x +3
π
)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，从而得到y = 3sin(2x +
3
π
)图像。
归纳2：函数y = Asin(wx+?)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx 的图像上所有的点向左(?>0)或向右(?<0)平移|?|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(0 ω 1 倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 1. 函数y = Asin(wx+?)的图像的画法。 为了探讨函数y = Asin(wx+?)的图像和函数y = sinx 图像的关系，我们先来用“五点 法”作函数y = Asin(wx+?)的图像。 例：作函数y = 3sin(2x+ 3 π )的简图。 解：⑴设Z= 2x +3π，那么3xin(2x+3π)= 3sin Z ，x=2z 3 π-=6 2z π-，分别取z = 0，2π，π，23π， 2π，则得x 为6π- ，12π，3π，127π，65π，所对应的五点为函数y=3sin(x 3 π-)在一个周期[6π-， 6 5π ]图象上起关键作用的点。 ⑵列表 x 6 π- 12 π 3 π 12 7π 6 5π 2x+ 3π 0 2 π π 2 3π 2π sin(2x+ 3 π) 0 1 0 -1 0 3 sin(2x+3 π ) 0 3 0 -3 0 ⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略) 2. 函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx 图像的关系。 利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx 的图像是怎样经过平移变化 →周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+?)图像的。 四、指导创新 上面我们学习了函数y = Asin(wx+?)的图像可由y = sinx 图像平移变换→周期变换→振幅变换 的顺序而得到，若按下列顺序得到y = Asin(wx+?)的图象吗？ ⑴周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶平移变换→振幅变换→周期变换 教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律： 若周期变换在前，平移变换在后，则得到的函数图像不是函数y = Asin(wx+?)的图像，振 幅变换出现在前或后不会影响得到函数y = Asin(wx+?)的图像。 教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数y = Asin(wx+?) (A>0，w>0)图像的原因，并通过 在平移变换过程中的单位变换而调整到函数y = Asin(wx+?)图像的一般公式。 原因：y = sinx 倍 伸长或缩短周期变换 ω ??????→?1 y =Asinwx 个单位 平移平移变换 ??????→? y = sinw(x+?) = sin(wx+w ?) 倍 伸长或缩短振幅变换A ?????→?y = Asin(wx+w ?) 一般公式：将平移变换单位改为：w ?即可。 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期： (1)) 2 3sin(x y π π-=；(2))6 3tan(π-=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 考向指引 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ②形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 【例2】?(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2 的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x )4 |(|π ≤x 的最大值与最小值． (1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域； (2))1cos 2lg(sin )4tan(--= x x x y π (3)已知)(x f 的定义域为]1,0[，求)(cos x f 的定义域. 考向三 三角函数的单调性 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】?求下列函数的单调递增区间． (1))23cos(x y -=π，(2))324sin(21x y -=π，(3))3 3tan(π-=x y . 函数f (x )＝sin )32(π +-x 的单调减区间为 ． 考向四 三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 【例4】?(1)函数y ＝cos )32(π +x 图象的对称轴方程可能是( )． A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π 12 (2)若0＜α＜π2，)4 2sin()(απ ++=x x g 是偶函数，则α的值为________． (1)函数y ＝2sin(3x ＋φ))2 |(|π ?< 的一条对称轴为x ＝π 12，则φ＝________. (2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________. 第三课时 函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0）的图象课堂检测 1．函数y = 2 sin x + 2的最大值和最小值分别为 ( ) A ．2，- 2 B ．4，0 C ．2，0 D ．4，- 4 2．要得到函数y = sin (2x -3 π )的图象，只要将函数y = sin2x 的图象 ( ) A ．向左平行移动3 π 个单位 B ．向右平行移动3 π 个单位 C ．向左平行移动6 π 个单位 D ．向右平行移动 6 π 个单位 3．函数y = 2cos 1x -的定义域____________________，值域________________，当y = 0时x 的集 合为______________________． 4．函数223=-f (x )cos x sin xcos x 的最小正周期是_________． 5．函数y = 3cos (1 2x -3π )的增区间是____________________． 6．函数y = cos 2x - 3cos x 的最小值是_________ 7．函数y = tan (2x +4π )的图象与x 轴交点的横坐标是___________________，与y 轴交点的纵坐标是_______，周期是________，定义域为___________________，它的奇偶性是___________________． 8．如图，给出函数y = f (x ) = A sin (ωx + ?) (其中A>0，ω>0，|?|< 2 π) 的图象的一段，则函数f (x )的解析式为 ______________________． 9．给出下列命题： ① 存在实数x ，使得sin x cos x = 1成立； ② 存在实数x ，使得sin x + cos x =32 成立； ③ 函数y = sin (52 π - 2x )是偶函数； ④ 方程x = 8 π 是函数y = sin (2x + 54 π )的图象的一条对称轴方程； ⑤ 若α，β是第一象限角，且α > β，则tan α > tan β． 课前检测 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 10．已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ??=+- ??? ，ππ42x ?? ∈????，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ?? ∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 11．已知函数f (x ) = a sin x + a cos x + 1 - a (a ∈ R)，x ∈ [0， 2 π ]，若定义在非零实数集上的奇函数g (x )在(0，+ ∞)上是增函数，且g (2) = 0，求当g [ f (x )] < 0恒成立时实数a 的取值范围．