求和符号西格马
求和符号西格马
数学中常遇到众多项的和的问题，为了表述的方便，引入了用求和符号简单表述的方法。并且，在数学的很多地方，都起到了重要的作用。 1 求和符号的一般规律 下面的和式
n a a a a ++++ 321
可以简单的表示为∑=n
i i a 1
。
这里的整数i 是变量，而i a 是i 的函数。1=i 指出了i 所取的最小值，n 指出了i 所取的最大值。
当然，i 不是必须从1开始，它可以从小于等于n 的任何一个整数m 开始，如
∑=+++++=n
m
i n m m m i
a a a a a
21
特殊地，有∑==n
n
i n i a a 。
了解了求和符号的一般规律，可以使复杂的问题简单化。下面我们着手进行这些规律的研究。
定理1：∑∑∑+===+
=
n
m i i
m
i i
n
i i a
a
a 1
1
1
，其中m 是介于1和n 间的整数。
证明：很明显，这是加法结合律的必然结果。相当于把n 个数分成了两部分，分别求和后再求和。
定理2：∑∑∑===+
=
+n
i i
n
i i
n
i i i b
a
b a 1
1
1
证明：由加法的交换律和结合律可知
()()()()
()()
∑∑∑===+
=
+++++=+++++++=+n
i i
n
i i
n n n n n
i i i
b
a
b b b a a a b a b a b a b a b a
1
1
21213322111
很明显，上面的两项和的问题可以扩展到多项，更一般地，有
定理3：∑∑∑∑∑=====+
++
+
=
++++n
i ki
n
i i
n
i i
n
i i
n
i ki i i i a
a
a
a
a a a a 1
1
31
21
11
321
这个结果可以由定理2简单地推出。
对于i ki i i i a a a a a ==== 321，有
∑∑===n
i i n
i i
a k ka
1
1
其中k 为常数，且为整数。这个结果告诉我们求和符号里面的整数常数可以提到求和符号的外边来。不但如此，我们还可以将这个整数常数推广成任意的常数。
定理4：∑∑===n
i i n
i i a r ra 1
1
，其中的r 为任意常数。
证明：()∑∑===+++=+++=n
i i n n n
i i a r a a a r ra ra ra ra 1
21211
可见，定理4是乘法分配律的结果。
例1：已知()2
11
+=
∑=n n i n
i ，试求()∑=-n
i i 1
12。
解：()()()2
1
1
1
1
1
2
12121212n n n n i i i n
i n
i n
i n
i n
i =-+?
=-=-+
=
-∑∑∑∑∑=====。
例1实际上是证明了从1开始的连续n 项奇数的和等于2n 。
例2：已知()2
11
+=
∑=n n i n
i ，试求∑=n
i i 12。
解：由二项式定理可知：()1331233
+++=+i i i i ，这说明
()
∑∑∑∑∑=====+
++=
+n
i n i n
i n i n
i i i i
i 1
1
1
2
1
3
1
3
1331 （1）
注意到
()
()3
3
3
3
13
1321+++++=+∑=n n i n
i
3
3331
3
321n i
n
i ++++=∑=
有()()1113
1
3
1
3
-+=-
+∑∑==n i
i n
i n i （2）
将这个结果代入（1）式有
()
∑∑∑===+
+=-+n
i n i n
i i i n 1
1
1
2
3
13311
将()2
11
+=
∑=n n i n
i 代入可得：()()n n n i n n
i ++?
+=-+∑=2
133111
23
整理可得：()()1216
11
2++=
∑=n n n i n
i 。
例2实际上是求出了从1开始的n 个连续自然数平方的和。
一般来说，类似于定理2的∑∑∑===?=
n
i i
n
i i
n
i i i b
a b a 1
1
1
是不成立的，∑=n
i i i b a 1
描述的是n 项的和，
而∑∑==?n
i i n
i i b a 1
1
描述的是2
n 项的和，而且这些项包含∑=n
i i i b a 1
的所有项。
2 双重求和与平面阵列
数列每一项都由相互独立的两个数i 和j 决定，即数列是i 、j 的二元函数，它的一般项记为
ij a 。取n i ,,3,2,1 =，m j ,,3,2,1 =，则ij a 表示了下面阵列的所有项
nm
n n n m m
m a a a a a a a a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,,,,,321333323122322211131211
（3） 这m n ?项的和，简略地记为∑∑==m
j n
i ij
a 11
，符号∑∑
==m
j n
i 11
是一个整体，称为双重求和符号。它
与前面讨论的求和符号有什么联系吗？下面我们进行这个讨论。
求阵列（3）所有项的和可以有很多种方法，这里我们着重指出两种。一种是先求各行的和，再将各行的和累加；另一种是先求各列的和，再将各列的和累加。 先按行求和，有
∑∑∑∑∑∑======???
? ??=+
++
+
n i m
j ij
m
j nj
m
j j m
j j m
j j a a a a a 11
1
1
31
21
1 先按列求和，有
∑∑∑∑∑∑======??
? ??=+
++
+
m
j n i ij n
i im
n
i i n
i i n
i i a a
a
a
a
111
1
3
1
2
1
1
由于不管是∑∑==m
j n
i ij a 11、∑∑==?
??
? ??n
i m
j ij
a 11
还是∑∑==???
??m
j n i ij a 11，表示的都是阵列（3）所有项的和。因此有：
定理5：∑∑∑∑∑∑======??
?
??=???
?
??=m
j n i ij n
i m
j ij
m
j n
i ij a a a 1111
11
这表明，双重求和可以化成对i 和j 的累次求和来进行，并且与求和的顺序无关。即，我们即可以先对i 求和也可以先对j 求和。
例3：设j i a ij +=，试求∑∑==m
j n
i ij
a
11
。
解：
()()()()()[]
()()()()()
12
12121121213211
1111
1
11
++=
+++=++=??????++=++++++++=+=
∑∑∑∑∑∑∑∑========n m mn m mn n mn j n n n nj n n j n j j j j i a
m
j m j m
j m j m
j n i m
j n
i ij
例4：求∑∑==m
j n
i ij 11
。
解：
()()()()()()114
1
21212
1321
1
11
++=+?+=
+=++++=
∑
∑∑∑====n m mn n n m m i m m mi i i i ij n
i n i m
j n
i 上面的两个例题实际上是解决了n m ?阵内所有项和的问题（如图1、图2所示）。
图1
图2