第一章 函数与极限的练习解答
一、P21：1；5
1.设），（），（∞+∞=55--A
，）
，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。
解：),5()3,(+∞-∞= B
A
)5,10[-=B A
),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A
)5,10[)()\(\--=--=B A A B A A
5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？
（1）
x x g x x f lg 2)(,lg )(2==
解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D
),0(+∞=g D 。
（2）
2
)(,)(x x g x x f ==
解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。
（3）
3
3
4
)(x
x x f -=，
3
1)(-?=x x x g
解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。
（4）
x x x g x f 2
2tan sec )(,1)(-==
解：不同。定义域不同，R D f =
},1,0,2
{ ±=+
≠=k k x x D g π
π。
二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）；
P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16.
4.求下列函数的自然定义域：
（1）
23+=x y ；
解：32023-≥?≥+x x 。即：),3
2
[+∞-=D 。
（3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1
10
0102
x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。
（5）
x y sin =；
解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；
解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y
解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D
6.设,3
,3,0,sin )(ππ?≥
作出函数的)(x y ?=图形
解：3
2,34,34,36πππππππ≥-<-<<
， 216sin 6==??
?
??∴ππ?，224sin 4==??? ??ππ?，
22)4sin(4=-=??
? ??ππ?，0)2(=-?。
图形略
7.试证下列函数在指定区间内的单调性：
（2）
),0(,ln +∞+=x x y 。
证明：设210x x <<，则：
)(ln )()
ln ()ln ()()(2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x x f x f 即：
)()(21x f x f <。
∴函数)(x f 在区间),0(+∞内单调递增。
10.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？ （1）
)1(2
2
x x y -=；
（4）)1)(1(+-=x x x y （5）1cos sin +-=x x y 解：（1）
)
()1(]
)(1[)()(2
2
2
2x f x x x x x f =-=---=-
∴)(x f 为偶函数。
（4）
)()1)(1()1)(1(]
1)][(1))[(()(x f x x x x x x x x x x f -=+--=+----=+----=-
∴)(x f 为奇函数。
（5）
)
()(1cos sin 1
)cos()sin()(x f x f x x x x x f -≠≠+--=+---=- ∴)(x f 既非偶函数又非奇函数。
11.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1))2cos(-=x y
：
（3）x y πsin 1+=；（5）x y 2sin =。 解：（1）是周期函数，周期为π2；（3）是周期函数，周期为2；
（5）是周期函数，周期为π。
15.设
)(x f 的定义域]1,0[=D ，求下列各函数的定义域：
（1）)(2
x f ；（3）)0(),(>+a a x f
解：（1）11102
≤≤-?≤≤x x ，即：]1,1[-=D
（3）a x a a x -≤≤-?≤+≤110，即：]1,[a a D --=
16.设??
???>-=<=,
1.1,1,0,
1,1)(x x x x f x
e x g =)(，求
)]([x g f 和
)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。
解
：
?????>-=<=??
???>-=<=??
?
??>-=<=0.10
,00
,11.11,01,11)(.11)(,
01)(,1)]([x x x e e e x g x g x g x g f x x
x
??
???>=<==-,
1.,1,1,1,)]([1)
(x e x x e e
x f g x f 图略。 三、P31 1（1）、（3）、（5）、（7）；2。
1．下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？对收敛数列，通过观察
{}n x 的变化趋势，写出它们的极限。
（1）n n x 21=； （3）212n
x n +=；
（5）n
n n x )1(-=； （7）n
n x n 1-=
解：（1）收敛数列，极限为0；（3）收敛数列，极限为2。
（5）发散数列； （7）发散数列。
2．设数列{}n x 的一般项2
cos 1π
n n x n =
。问?lim =∞→n n x 求出 N ，使当N n >时，n x 与其极限之差的绝对值小于正数ε。当001.0=ε时，求出数N 。
解：（1）0lim =∞
→n
n x ；
（2）,0>?ε
要使επ<≤-=-n
n n
x n 102
cos 10，
只要ε1
>n ，取??
????
=ε1N 即可。
（3）当001.0=ε时，1000=N 。
四、P37：1；P38：2；3；4。
1．对图1-28所示的函数)(x f ，求下列极限，如极限不存在，说明理由。
（1）
)(lim 2x f x -→；（2）)(lim 1x f x -→；（3）)(lim 0
x f x → 解：（1）0)(lim
2
=-→x f x
（2）1-)(lim 1
=-→x f x （3）
1)1(lim )(lim )00(0
-=-==--
-→→x x x f f
1)1(lim )(lim )00(0
===++
+→→x x x f f )00(1-=-≠f
∴)(lim 0
x f x →不存在。
2．对图1-29所示的函数)(x f ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
（1）)(lim 0x f x →不存在；（2）0)(lim 0=→x f x ；（3）1)(lim 0=→x f x ； （4）
0)(lim 1=→x f x ；（5）)(lim 1
x f x →不存在； （6）对每个),1,1(0
-∈x )(lim 0
x f x
x →存在。 解：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）对；（6）对。
3．对图1-30所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ （1）1)(lim 1
=+-→x f x ； （2）)(lim 1
x f x --→不存在；
（3）
0)(lim 0=→x f x ；（4）1)(lim 0=→x f x ；（5）1)(lim -1
=→x f x ； （6）
0)(lim 1
=+
→x f x ；（7）0)(lim -2
=→x f x ；（8）0)(lim 2
=→x f x 。
解：（1）对；（2）对；（3）对；（4）错；（5）对；（6）对；（7）对；（8）错。
4．求x
x x x x x f ==)(,)(?当0→x 时的左右极限，并说明它们
在0→x 时的极限是否存在。
解： 11lim lim )(lim )00(000====--
--→→→x x x x x
x f f
11lim lim )(lim )00(0
00====++++→→→x x x x x
x f f )00(-=f ，
∴1)(lim 0
=→x f x
1)1(lim lim )(lim )00(0
00-=-=-==--
--→→→x x x x x
x ?? 11lim lim )(lim )00(0
00====++++→→→x x x x x
x ??)00(1-=-≠?
∴)(lim 0
x x ?→不存在。
五、P49：1（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）；2；3。
1．计算下列极限：
（1）3522lim -+→x x x ；（3）1
122
21lim -+-→x x x x ；（5）h x h x h 2
20)(lim -+→；
（7）12122lim ---∞→x x x x ； （9）4
58
62
24lim +-+-→x x x x x ；
（11）)2
141211(lim n n ++++
∞→ ；
（13）3
5)
3)(2)(1(lim n
n n n n +++∞→
解：（1）932543
535lim lim lim lim lim
2
2
2
2
222-=-+=-+=-+→→→→→x x x x x x x x x （3）11)1)(1()1(1
12lim lim lim 12
12
21+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x 01
11
111
lim lim lim lim 1
1
1
1
=+-=+-→→→→x x x x x x
（5）h
x
h hx x h x h x h h 2
2202202)(lim lim
-++=-+→→
x
x h x h x h h xh h h h h 2022)2(2lim lim lim lim 0002
0=+=+=+=+=→→→→ （7）)
112()11(121222222lim lim x
x x x x x x x x x ---=---∞
→∞→ 2100201)112()11(22lim lim =
---=---=∞→∞→x
x x x x （9）)
1)(4()2)(4(4586lim lim 42
2
4----=+-+-→→x x x x x x x x x x
321424)
1()2(12lim lim
lim 4
44=--=--=--=→→→x x x x x x x
（11）221121
121
1)2141211(lim lim ==--=++++∞→∞→n n n n
（13）5
15)
31)(21)(11(5)3)(2)(1(lim lim 3
=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n 。
2．计算下列极限：
（1）2
2
32)
2(2lim -+→x x x x ；（2）122
lim +∞→x x x ；（3）)12(3
lim +-∞
→x x x
解：（1） 16)2(,0)
2(2
32
2
2
lim lim =+=-→→x x x x x
∴02)2(23
2
2lim =+-→x x x x ，从而∞=-+→22
3
2)
2(2lim x x x x （2） 000)1
2(1222
lim lim =+=+=+∞→∞→x x x x x x ∴∞=+∞→122lim
x x
x （3） 0
2
1
01
1
2111
213
2
3
3
lim
lim
=?=+-?=+-∞
→∞
→x
x
x x x x x
∴∞=+-∞
→)12(3
lim x x x 。
3．计算下列极限：
（1）x x x 1sin 2
0lim →； （2）x
x
x arctan lim ∞→
解：（1） 02
0lim =→x x ，且11sin
≤x
，∴01sin 20lim =→x x x （2） 01lim =∞→x x ，且2arctan π≤x ，∴0arctan lim
=∞→x
x
x 六、P56：1（2）（4）（6）；2（1）（3）；4（2）；P59：2；
P60：4（1）（3）
1．计算下列极限：P56
（2）x x x 3tan lim 0→；（4）x x x cot lim 0→；（
6）)0(2sin 2lim ≠∞→x x n n
n 。 解：（2）x
x
x 3tan lim 0→
2．计算下列极限：P56
（1）()x
x x 1
1lim -→；（3）x
x x x 21lim ??
?
??+∞
→。
4．利用极限存在准则证明：P56
（2）11211
222
lim =??? ??++++++∞→ππ
πn n n n n n
2．当1→x 时，无穷小x -1和（1）3
1x -，（2）()2
12
1x -是否同阶？是否等价？P59
4．利用等价无穷小的性质，求下列极限：P60
（1）x x x 23tan lim 0→；（3）x
x x x 3
0sin sin tan lim -→。
七、P74：总复习题1；3（1）P75：5；9；12
1．在“充分”“ 必要” 和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：P74 （1）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的 必要 条件。数列{}n x 收敛是数
列
{}n x 有界的 充分 条件。
（2）
)(x f 在0x 的某个去心领域内有界是)(lim 0
x f x x →存在的 必要 条
件。)(lim
x f x x →存在是)(x f 在0x 的某个去心领域内有界的 充分 条件。
（3）
)(x f 在0x 的某个去心领域内无界是∞=→)(lim 0
x f x x 的 必要 条
件。∞=→)(lim 0
x f x x 是)(x f 在0x 的某个去心领域内无界的 充分 条件。
（4）
)(x f 当0x x →时的右极限)(0
+
x f 及左极限)(0
-x f 都存在
且相等是)(lim 0
x f x x →存在的 充分必要 条件。
3．选择以下两题中给出的四个结论中的一个正确的结论。P74
（1）设232)(-+=x
x
x f ，则当0→x 时，有（）
。 （A ）)(x f 与x 是等价无穷小；（B ）)(x f 与x 同阶但非等价无穷小； （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小；（D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小。 5．设
???>≤=,0,,0,0)(x x x x f ???>-≤=,
0,,0,0)(2
x x x x g
求)]([x f f ，)]([x g g ，)]([x g f ，)]([x f g 。P75
9．求下列极限：P75
（1）22
1)1(1lim -+-→x x x x ； （2）)1(2
lim x x x x -++∞→；
（3）1)1232(lim +∞→++x x x x ； （4）3
0sin tan lim x
x x x -→；
（5）)0,0,0(31
0lim >>>??
? ??++→c b a c b a x
x
x x x ； （6）()x
x x tan 2
sin lim π
→
12证明．P75
11211
1
222lim =??? ??++++++∞→n n n n n
八、P65：2；3；P70：3（1）（3）（5）（7）；4（2）（4）（6）；6
2．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：P65
（1）???≤<-≤≤=;
21,2,
10,)(2
x x x x x f
（2）???>-<≤≤-=.
11,1,11,
)(x x x x x f 或
3．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：P65
（1）,2
31
2
2
+--=x x x y ;2,1==x x
（2）x x y tan =，);2,1,0(2
, ±±=+
==k k x k x π
ππ
（3）,1
cos 2
x
y =;0=x
（4）???>-≤-=,
1,3,
1,1x x x x y .1=x
3．求下列极限：P70 （1）522
lim
+-→x x x ； （3）)2cos 2ln(lim 2
x x π
→
；
（5）1
45lim
1---→x x x x ； （7）x x x x x --++∞→2
2lim 。
4．求下列极限：P70
（2）x
x x sin ln lim 0→； （4）()x x x 2cot 2
0tan 31lim +→；
（6）x
x x x
x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim
6．P70设函数
??
?≥+<=.
0,,0,
)(x x a x e x f x
应当怎样选择数a ，使得)(x f 成为在),(+∞-∞内的连续函数。
九、P75：3（2）；4；10；11；P56：4（3）；
3．选择以下两题中给出的四个结论中的一个正确的结论。P75
（2）设
,1
1)(1
1+-=
x
x
e e x
f ，则0=x 是)(x f 的（ B ）。
（A ）可去间断点。 （B ）跳跃间断点。 （C ）第二类间断点。 （D ）连续点。
4．设)(x f 的定义域是【0，1】，求下列函数的定义域：P75
（1）)(x
e f ；（2）)(ln x f ；（3）)(arctan x f ；（4）)(cos x f 。
10．P75设
?????≤+>=.
0,,
0,1sin )(2
x x a x x
x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，应当怎样选择数a ？
11．P75设
?????≤<-+>=-.
01),1ln(,0,)(1
1
x x x e x f x 求的间断点，并说明间断点所属类型。