§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分
(A)
1．利用定积分定义计算由抛物线12
+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所
围成的图形的面积。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ?
=1
12)1xdx 4
1)
21
2π
=
-?
dx x
?-
=π
π0sin )
3xdx ??
-
=2
2
20
cos 2cos )4π
ππ
xdx xdx
3．估计下列各积分的值 ?
33
1arctan )
1xdx x dx e
x
x ?-0
2
2)2
4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小
?2
1
ln )1xdx 与dx x ?2
1
2)(ln dx e x
?10)2与?+1
)1(dx x
5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20
2
1)1 ?+32
41)2x x t dt dx d
?x
x
dt t dx d cos sin 2)cos()3π
6．计算下列极限
x
dt t x
x ?→0
20
cos lim
)1 x
dt t x
x cos 1)sin 1ln(lim
)20
-+?→
2
2
20
)1(lim )3x x
t x xe
dt e t ?
+→
7．当x 为何值时，函数?
-=x
t dt te x I 0
2
)(有极值？
8．计算下列各积分 dx x
x )1
()12
1
42?
+
dx x x )1()294+?
?
--212
12)
1()3x dx ?
+a
x a dx
30
2
2)
4
?---+2
11)5e x
dx
?π20sin )6dx x
dx x x ?
-π
3sin sin )7
?
2
)()8dx x f ，其中???
??+=22
11)(x x x f
1
1>≤x x
9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：
?-
=π
π
0cos )1kxdx πππ
=?-kxdx 2cos )2
?-
=?π
π
0sin cos )3lxdx kx ?-=π
π
0sin sin )4lxdx kx
10.计算下列定积分 ?
-π
θθ0
3
)sin 1()1d ?26
2cos )2π
πudu
dx x
x ?
-12
1221)3 dx x a x a 2202)4-? ?
+3
1
2
2
1)5x
x
dx dx x ?
-21
3
2)
1(1)
6
?
-22
21
)7x x dx ?
--1
1
45)
8x
xdx
?
-a
x
a xdx 20
2
2
3)9 dt te
t ?
-
102
2)10
?-++0
2222)11x x dx
?-
22
2cos cos )12π
πxdx x
?-
-22
3cos cos )13π
π
dx x x ?
-++2
221)(cos )14x
dx
x x x ?
+π
2cos 1)
15dx x
11.利用函数的奇偶性计算下列积分
?-22
4
cos 4)1π
πθθd dx x
x ?
--212
12
2
1)(arcsin )2
dx x x x
x ?-++5
524
231
2sin )3
12．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：?
?-+=b
a
b
a
dx x b a f dx x f )()(
13．证明：)0(111
121
2
>+=+??x x dx x dx x x
14．计算下列定积分
?
-1
0)1dx xe x
?3
42sin )
2π
πdx x x
dx x
x
?
4
1
ln )3 ?10
arctan )4xdx x
?
20
2cos )5π
xdx e x
dx x x ?π
2)sin ()6
?
e
dx x 1)sin(ln )7 dx x e
e
?
1ln )
8
15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。 1）?
∞
+1
4x
dx 2）?+∞-0dx e ax
()0>a 3）dx e
e x x ?
∞
+-+0
1
4）?+∞->>0)0,0(sin ωωp tdt e pt 5）?
-1
2
1x xdx 6）
?
-2
1
1
x xdx
7）?∞
+∞-++2
22x x dx
8）()?-e x x dx 12ln 1
(B)
1．填空： 1）________)12111(
lim =++++++∞
→n
n n n n Λ。 2）估计定积分的值：_____sin 1____342≤+≤
?π
πx dx
。
3）运用积分中值定理可得：?-→x
a a
x x f dt t f a
x )(()(1lim
是连续函数）＝________，______)0(sin lim =>?
+∞→a dx x
x
a
n n
n 。 4）_______sin lim 3
2
=?
-
→x
dt t x x 。
5）设dt t x F x ?=
2
)
(2sin )(?
，其中)(x ?为可导函数，则_____________)(='x F 。
6）设)(x f 为连续函数，且满足?
-=1
3,)(x x dt t f 则______)7(=f 。
7）已知
,6
1
2
ln 2π
=
-?
a
x
e dx 则___________=a 。
8)________sin 12sin 2
2824
23=?????
?+++??-dx x x x x x π
π。 9)若
[],0)1(,1)()(1
=='+?f dx e x f x f x
则________)0(=f 。
10)广义积分
?
∞
+2
)(ln k
x x dx
，当______k 时收敛，广义积分
?
-b
a
k
a x dx
)
(当_______k 时收敛。 2．汽车以每小时36km 速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度2
/5s m a -=刹
车，问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？
3．计算下列极限： 1）10
2
2
2
cos lim x
dt
t x x x ?-→ 2）)
1ln(cos lim
2
2
x tdt
x x +?→
3）??→x
t
x
t x dt
te
dt e 0
22
2
2
)(lim
4）1
)(arctan lim
2
2+?
+∞
→x dt t x
x
4．求下列由参数方程给出或隐函数方程所决定的y 对x 的导数
dx
dy 1）??
???==??t
t udu y udu x 00cos sin 1） 由?
?=+y
x
t tdt dt e 0
0cos 所决定的隐函数)(x y y =。
5．设??
???=0sin 21)(x
x f ππ><≤≤x x x 或00，求?=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式。
6．设[]b a x f ,)(在上连续，在),(b a 内可导，且0)(≤'x f ， ?-=x
a dt t f a
x x F )(1)(，证明在),(b a 内有0)(≤'x F 。
7．证明：?
?-=
-1
1
)1()1(dx x x dx x x m
n n
m 。
8．若)(x f 在[]1,0上连续，证明：
1）??=20
20
)(cos )(sin π
π
dx x f dx x f
2）??
=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf , 由此计算：?
+π
2
cos 1sin dx x
x
x
9．证明：
???
==20
20
)(cos 2)(sin 2)(sin π
π
π
dx x f dx x f dx x f
并计算：?
+π
2sin 11
dx x
10．若)(t f 是连续函数且为奇函数，证明
?
x
dt t f 0
)(是偶函数；若)(t f 是连续函数且为偶函
数，证明
?
x
dt t f 0
)(是奇函数。
11．计算下列定积分： 1)dx x x x e
?
+1
2)
ln 1(ln 2)dx x x x ?++20cos 1sin π
3)?
+40
)tan 1ln(π
dx x 4)?
-+a
x
a x dx 0
2
2
5)dx x ?
-20
2sin 1π 6)
?
+20
2
cos 1π
x
dx
7)设?????++=1
1
11)(x e x
x f 00
<≥x x ，求dx x f ?-20)1(。
8）
dx e
x x ?
-2
ln 0
32
9）dx xe x ?π
2cos
10）dx x x ?-+1
02)
2()1ln( 11）dx x m
?-102
2)1(（m 为自然数）
12）[]{}
)(()()()(22x f dx x a x f x f x a a
m ?--+
-+为连续函数，m 为自然数）
13）?
-+2
23
21
dx x x 14）?=π0(sin m xdx x I m m 为自然数）
12.已知1)(=πf ，且[],3sin )()(0
=''+?xdx x f x f π
其中)(x f ''连续，求)0(f 。
13．当k 为何值时，反常积分
?
∞
+2
)
(ln k
x x dx
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值时，这反常积分取得最小值？
14．推公式计算反常积分dx e x I x n n -+∞
?
=0
(C)
1．计算下列极限：
1）∑=∞→+n i n n i
n 1
11lim 2) )0(21lim 1>++++∞→p n n p p p p n Λ 3) n
n n
n !
ln
lim ∞
→ 2．设)(x f 在[)+∞,0内连续且0)(>x f ，证明函数??=x x
dt
t f dt t tf x F 0
0)()()(在[)+∞,0内为单调增加函数。
3．设)(x f 在区间[]b a ,上连续，且0)(>x f ，
[]?
?∈+=x
b
x a
b a x t f dt
dt t f x F ,,)
()()(， 证明：1）2)(≥'x F
2）方程0)(=x F 在区间()b a ,内有且仅有一个根。
4．设)(x f 在[]b a ,上连续，且0)(>x f ，证明：在),(b a 内有且仅有一点ξ使下式
?
?
=ξ
ξ
a
b
dx x f dx x f )
(1
)(成立。 5．计算下列积分： 1）?
--1
1
2),max (dx e e x x
2）?
40
2tan π
xdx n
3)dx x x ?++1
021)1ln(
6．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，证明：?+l
a a dx x f )(的值与a 无关。 7．设
)(x f 为连续函数，证明：dt du u f dt t x t f x
x
t
))(())((000???=-
8．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上均连续，证明：
1）???
?≤b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()())()((22
2
2) []≤+?2
12
)
)()((
b
a
dx x g x f ??+b
a
b
a
dx x g dx x f 2
122
12))(())((
9．设)(x f 在区间[]b a ,上连续，)(x g 在区间[]b a ,上连续且不变号， 证明至少存在一点[]b a ,∈ξ，使下列等式成立
?
b
a
dx x g x f )()(＝?b
a
dx x g f )()(ξ（积分第一中值定理）
第五章 定积分答案 习 题 答 案
（A ）
1．)()(3
13
3a b a b -+-
3．1）
≤9
π?3
31arctan xdx x π3
2≤ 2）≤-22e dx e x
x ?-02
2
412--≤e
4．1）
?
>
2
1
ln xdx dx x ?
2
1
2
)(ln dx e x
?1
)2>?+1
)1(dx x
5．1）x x 214
?+ 2）8
12
21213x
x x
x +-
+
3）)sin cos()cos (sin 2
x x x π?- 6．1）1 2）1 3）1
7．当0=x 时
8．1）852
2）6145 3）3π
4）a
3π 5）－1 6）4 7）1 8）3
8
10．1）34-π 2)836-π 3)4
1π
- 4)
π164a 5)3322-
6)33 7)12π 8)6
1 9)a )13(- 10)2
1
1--e
11)
2π
12)3
2
13)
3
4
14)22 11．1）π2
3
2）3243π 3）0
12．提示：令x b a t -+= 13．提示：令x
t 1=
14．1）1－
e
2
2）23ln 21)9341(+-π 3))12ln 2(4- 4)214-π
5))2(5
1-π
e 6）
463ππ- 7)
)11cos 1sin (21
+-e e 8))11(2e
- 15．1）
31 2）a 1 3）4
π
4）22ωω+p
5）1 6）322
7）π 8）2
π
(B)
1．填空：
1）原式＝?=+1
02ln 11
dx x 2）18
sin 121342πππ
π≤
+≤?x dx 3）)(a f ，0 4）3
2- 5）)())((sin 2
x x ??'?- 6）121
7）0 8）384
105π
9）－1 10）1,1<>k k 2．)(10m s =
3．1）10
22
2
cos lim
x dt
t x x x ?-→＝940102cos 2lim x x x x x ?-→＝8405cos 1lim x x x -→＝101
2）原式＝2
2cos lim
x tdt x x ?→＝x
x x x 2cos 2lim 20?→＝1 3）原式＝2
2
2
20
2lim
x x
x
t x e
x e dt e ???→＝2
4）原式＝1
22)(arctan lim 22++∞→x x x x ＝16
2
π
4．1）t t t dt
dx dt dy
dx dy csc sin cos ===
2）对方程两边同时求x 的导数得：y e
x
y cos -
=' 5． ??
??
?
????=-==Φ??π
001sin 21)cos 1(21sin 210)(xdx x xdx x x ππ>≤<≤x x x 00
6．提示：2
)
()())(()(a x dt
t f a x x f x F x
a
---='?＝
2
)
()
)(())((a x a x f a x x f ----ξ ＝
a
x f x f --)
()(ξ )(x a <<ξ
7．提示：令t x =-1，利用定积分的换元法
8．1）令x t -=
2
π
2）令x t -=π
9．提示：令
?
π
)(sin dx x f ＝?20
)(sin π
dx x f ?+π
π2
)(sin dx x f
对
?
π
π
2
)(sin dx x f ，令x t -=
2
π
，利用换元法得结果。
10．提示：令?
=
x
dt t f x F 0
)()(，则有?
-=-x
dt t f x F 0
)()(，
再利用换元法得结果。
11．1）2ln 2
1
2）原式＝?++2
0cos 1π
dx x x ?
+2
cos 1sin π
dx x x ＝2
π
3）
2ln 8
π（提示：令)4
μπ
-=
x 4）令4
,
sin π
t a x =
5）)12(2- 6）
2
2π
7）原式＝
???
=+=--2
1
2
1
)()()(dt t f dt t f dt t f )1ln(11-++e
8）原式＝)2ln 1(4
1
212ln 022-=-?-x de x 9）原式＝
?
-=+π
π0
5
)1(322cos 1e dx x e x
10）原式＝??+?-+=-+1
010)1121(2ln 21)1ln(dx x x x d x ＝2ln 3
1
-
11）原式＝
?
-+2
)
1)(3(1
dx x x
＝
??-++-+211
0)1)(3(1)1)(3(1dx x x dx x x 12．提示：考虑
?
?--=''π
π
π
sin )(0)(cos sin xdx x f x xf xdx f
得2)0(=f
(C)
1．1）原式＝
)122(3
2
11
-=
+?
dx x 2）原式＝∞
→n lim
)21(1p p p p p n n n n n +++Λ＝?+=101
1
p dx x p
3）原式＝∑=∞→∞→==n k n n n n k
n n n n 1
ln 1lim !ln 1lim ?-=101ln xdx
2．证明：???-=
'x
x
x dt t f dt
t tf x f dt t f x xf x F 0
2
)
)(()()()()()(
3．证明：1）显然)
(1)()(x f x f x F +
=' 2)
(1
)
(2)(,0)(=≥'∴>x f x f x F x f Θ 2）由)(x f 在[]b a ,上连续知)(x F 在[]b a ,上连续 又由1）知02)(>≥'x F )(x F ∴在[]b a ,上单调递增。 又?
<=
a
b
dt t f a F 0)
(1
)(，()?>=b a dt t f b F 0)(
∴方程0)(=x F 在（a ，b ）内有且仅有一个根。
4．令dx x f dx x f x F x
a
b
x
?
?
+=
)
(1
)()(，下证明同3。
5．1）原式＝
?
?--=+0
1
1
2dx e dx e x x =+---0
121
10
2x x
e e 22123e e ++-
2）令n I ＝
??
-=-40
2224
2)1(sec tan tan π
πdx x x xdx n n
＝
?
?---40
40
2
22
2tan
tan tan
π
π
xdx x xd n n =
?---40
22tan 121
π
xdx n n 得递推式：11
21
---=n n I n I ，而?==40041π
πdx I
3) 令t x tan = 原式＝
()?
+4
tan 1ln π
dt t 又令u t -=
4
π
则有
()??
??
?
??+=+40
40
tan 12ln tan 1ln π
π
du u dt t
()?+-=
40
tan 1ln 2ln 4
π
π
dt t ， 所以原式2ln 8
π
=
6．证明：?+l
a a
dx x f )(＝???+++l
a l a l
dx x f dx x f dx x f )()()(0
对
?+l
a l
dx x f )(，令t l x +=，??+=∴+a
l a l
dt t l f dx x f 0
)()(
)(x f Θ是以l 为周期的连续函数，)()(t f t l f =+∴ ????
-==+=∴
+a a
a l
a a
dx x f dt t f dt t l f dx x f 0
)()()()(
于是得：?
+l
a a
dx x f )(＝?l
dx x f 0
)( 结论成立。
7．证明：令
?
=t
t F du u f 0
)()(，右边＝??-=x x
x
t tdF t tF dt t F 0
0)()()(
＝??
?-=-x
x
x dt t tf dt t f x dt t tf x xF 0
)()()()(
＝
?
-x
dt t f t x 0
)()(＝左边
8．证明：1）对λ?，由题设[]0)()(2
≥+?b
a
dx x g x f λ 即
?
??≥++b
a
b
a
b
a
dx x g dx x g x f dx x f 0)()()(2)(222λλ
∴必有
0)()(4))()(222
2
≤?-???
b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f （
即结论成立。
2）用1）结论即得。
9．证明：由)(x f 在[]b a ,上连续知：M m ,?，有 []M x f m b a x ≤≤∈?)(,, 于是：???
≤≤b
a
b a
b
a
dx x g M dx x g x f dx x g m
)()()()(
由)(x g 在[]b a ,上连续且不变号，不妨设0)(>x g
（)(x g ＝0结论自然成立），则
?
>b
a
dx x g 0)(
M dx
x g dx
x g x f m b
a
b
a
≤≤
∴?
?)()()( ，由闭区间上连续函数性质知：
至少存在一点ξ，使?
?=
b
a
b
a
dx
x g dx
x g x f f )()()()(ξ，即结论成立。
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
第五章定积分及其应用
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分典型例题11198
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
不定积分例题及答案
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
高中数学定积分计算习题
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
不定积分_定积分复习题与答案
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<
第五章 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用 定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。 一、知识网络 定积分??? ???? ?? ? ???? ????????Γ?????-函数审敛法和计算 定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用?????????） （变力作功等其它弧长体积 面积 微元法 二、典型例题 例1 . 求极限 x x dt xt x x 2sin )sin(lim 2302 ?→。 [分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在 被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。 [解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2 ?2 )2(x ，4 sin x ?4 x ，)0(→x ，因此再 利用洛必达法则有 原式=230 20 )2(sin 1lim 2 x x dx u x x x ? →=54060 2024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=? =12 1 12lim 440=→x x x 例2. 求极限 n n n n n n )2()2)(1(1lim ???++∞→. [分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和
不定积分-定积分复习题及答案-精品
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）
定积分计算例题
第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y