第6讲指数与指数函数(教师版)
第6讲 指数与指数函数
1．根式
(1)根式的概念
①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子n
a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
②a 的n 次方根的表示：
x n
＝a ????x ＝n a （当n 为奇数且n ∈N *
时），
x
n 为偶数且n ∈N *
时）.
(2)根式的性质
①(n
a )n ＝a (n ∈N *)．
②n
a n ＝?????a ，n 为奇数，|a |＝?
????a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a m
n
a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；
②负分数指数幂：a －m n
＝1a m
n ＝1
(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质：
①a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．
[做一做]
1．化简[(－2)6]1
2
－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9
答案：B 2．(2015·大连模拟)函数y ＝2|x |的值域为( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0，1] 答案：B
1．辨明三个易误点
(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0 (3)在解形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围． 2．指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，? ???－1，1a . [做一做] 3．(2015·东北三校联考)函数f (x )＝a x － 1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1 D ．y ＝log 2(2x ) 解析：选A.由f (x )＝a x － 1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上． 4．(2014·高考陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 解析：4a ＝2，a ＝1 2 ，lg x ＝a ，x ＝10a ＝10. 答案：10 5．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0＜a 2－1＜1，即1＜a 2＜2， 得－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2) ,[学生用书P 27～P 28]) 考点一__指数幂的运算________________________ 化简下列各式： (1)0.027－13－????17－2＋????27912－(2－1)0； (2)??? ?56a 1 3b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 2 3b － 3)1 2·ab . 整体式子转化求值问题 [解] (1)原式＝????271 000－1 3－72＋????25912－1 ＝103－49＋5 3 －1＝－45. (2)原式＝????－52a －16b －3÷(2a 13b －32)·a 12b 12 ＝－54a －12b －32·a 12b 1 2 ＝－54b －1＝－54b . [规律方法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 1.化简下列各式： (1)(0.027)23 ＋????27125－13 －????2790.5 ； (2)(2a 23b 12 )(－6a 12b 13 )÷(－3a 16b 56 )． 解：(1)原式＝0.32＋????125271－ 259 ＝9100＋53－53＝9100 . (2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－5 6 ＝4ab 0＝4a . 考点二__指数函数的图象及应用______________ (1)函数y ＝a x －1 a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( ) (2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________． [解析] (1)法一：当a ＞1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0＜1－1 a ＜1，此 时四个选项均不对；当0＜a ＜1时，函数y ＝a x －1 a 是减函数，且其图象可视为是由函数y ＝a x 的图象向下平移1 a 个单位长度得到的，结合各选项知选D. 法二：因为函数y ＝a x －1 a (a ＞0，且a ≠1)的图象必过点(－1，0)，所以选D. (2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)． 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． [答案] (1)D (2)1 [规律方法] 指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时要根据其取值范围进行分类讨论．从甲函数图象通过变换得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的图象变换为甲函数的图象． 2．(1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 (2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________． 解析：(1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x － b 在定义域上单调递减，所以0 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. (2)由于f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )， 即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2， ∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ， ∴m ＋μ＝1. 答案：(1)D (2)1 考点三__指数函数的性质及应用(高频考点)____ 指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现，高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较幂值的大小； (2)解简单指数不等式； (3)研究指数型函数的性质． (1)已知a ＝????1223，b ＝2－43，c ＝????1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c B ．b C ．a D ．a 0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} (3)函数f (x )＝??? ?12－x 2 ＋2x ＋1 的单调减区间为______. 函数性质的综合应用 [解析] (1)把b 化简为b ＝????124 3，而函数y ＝????12x 在R 上为减函数，43>23>13 ，所以????124 3 3 3 ，即b (2)f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－ x －4. ∴f (x )＝? ????2x －4， x ≥0， 2－x －4，x <0， 当f (x －2)>0时， 有? ????x －2≥02x －2－4>0或?????x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0. (3)u ＝－x 2＋2x ＋1在(－∞，1)上是增函数， 在[1，＋∞)上为减函数； 而函数y ＝????12u 在R 上为减函数， ∴f (x )在(－∞，1)上是减函数． [答案] (1)B (2)B (3)(－∞，1) [规律方法] 利用指数函数的性质解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 3.(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．b >c >a (2)已知函数y ＝2－ x 2 ＋ax ＋1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围． 解析：(1)选A.由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c . (2)解：函数y ＝2 －x 2 ＋ax ＋1 是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成． 因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间 (－∞，a 2]上单调递增，在区间[a 2 ，＋∞)上单调递减，且 函数y ＝2t 在R 上单调递增， 所以函数y ＝2－ x 2 ＋ax ＋1在区间(－∞，a 2]上单调递增，在区间[a 2 ，＋∞)上单调递减． 又因为函数y ＝2－x 2 ＋ax ＋1 在区间(－∞，3)上单调递增，所以3≤a 2 ，即a ≥6. ,[学生用书P 28]) 方法思想——解决与指数函数型有关的值域问题(换元法) 函数f (x )＝????14x －???? 12x ＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________． [解析] 因为x ∈[－3，2]，若令t ＝????12x ，则t ∈????14，8.y ＝t 2－t ＋1＝????t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝3 4 ；当t ＝8时，y max ＝57. 所以函数f (x )的值域为??? ?3 4，57. [答案] ????34，57 [名师点评] (1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈???? 14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量． (2)对于同时含有a x 与a 2x (a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x 进行换元巧解，但一定要注意新元的范围． 已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为 ________． 解析：设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈[－2，2]，所以t ∈???? 19，9.又函数 y ＝9x ＋m ·3x －3在区间 [－2，2]上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间???? 19，9上单调递减，故有－m 2 ≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]． 答案：(－∞，－18] 1．(2015·北京模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝???? 12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选A.∵y ＝??? ?12x ＝2－x ， ∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． 2．已知f (x )＝3x － b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9] D ．[1，＋∞) 解析：选C.由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因f (x )＝3x － 2在[2，4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确． 3．(2015·浙江绍兴一中月考)函数f (x )＝a |x ＋ 1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)＞f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)＜f (1) D ．不能确定 解析：选A.由题意知a ＞1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3＞a 2，∴f (－4)＞f (1)． 4．函数y ＝????12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( ) 解析：选A.由题易知，函数y ＝???? 12x ＋1的图象过点(0，2)关于直线y ＝x 对称的图象一定过(2，0)这个点．由于原函数为减函数，故所求函数也为减函数，由此可以排除B ，C ，D. 5．(2015·浙江丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，1) B ．(－4，3) C ．(－1，2) D ．(－3，4) 解析：选C.原不等式变形为m 2－m ∵函数y ＝????12x 在(－∞，－1]上是减函数， ∴????12x ≥????12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m 等价于m 2－m <2，解得－1 12＝________． 解析：2×312×????3213×1216＝2×312×313×2－13×316×21 3＝2×312＋13＋16×2－13＋13 ＝6. 答案：6 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________． 解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍去)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n . 答案：m ＞n 8．已知函数f (x )＝a 2x － 4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m ，2)，则m ＋n ＝________． 解析：当2x －4＝0，即x ＝2时，y ＝1＋n ，即函数图象恒过点(2，1＋n )，又函数图象恒过定点P (m ，2)，所以m ＝2，1＋n ＝2，即m ＝2，n ＝1，所以m ＋n ＝3. 答案：3 9．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝??? ?122x －x 2 ；(2)y ＝ 32x － 1－19 . 解：(1)显然定义域为R . ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 且y ＝????12x 为减函数． ∴??? ?122x －x 2 ≥????121 ＝1 2. 故函数y ＝??? ? 122x －x 2 的值域为????12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x － 1≥19 ＝3－2， ∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－1 2 ， 此函数的定义域为????－1 2，＋∞， 由上可知32x － 1－19 ≥0，∴y ≥0. 即函数的值域为[0，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝??? ? 13ax 2 －4x ＋3 . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝???13－x 2 －4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3， 由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝????13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)， 单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝????13g （x ）， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有???? ?a ＞0， 3a －4a ＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. (3)由指数函数的性质知， 要使y ＝??? ? 13g （x ） 的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ， 因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R .) 故a 的值为0. 1．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x 是指数函数，则“f (2)>g (2)”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.由题可得，a ，b >0且a ，b ≠1，充分性：f (2)＝a 2，g (2)＝b 2，由f (2)>g (2)知，a 2>b 2，再结合y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，可知a >b ，故充分性成立；必要性：由题可知 a > b >0，构造h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x b x ＝???a b x ，显然a b >1，所以h (x )单调递增，故h (2)＝a 2 b 2>h (0)＝1，所 以a 2>b 2 ，故必要性成立．故选C. 2．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝??? ? 110x 在x ∈[0，4]上解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选D.由f (x －1)＝f (x ＋1)，可知T ＝2. ∵x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，又∵f (x )是偶函数， ∴可得图象如图所示． ∴f (x )＝???? 110x 在x ∈[0，4]上解的个数是4.故选D. 3．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝? ????f （x ），x ≥0，f （－x ），x ＜0，则函数g (x )的最小值是________． 解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －1 2 x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x ＜0时，g (x ) ＝f (－x )＝2－ x －12 －x 为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 答案：0 4．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________，最小值为________． 解析：由3|x |＝1，得x ＝0，由3|x |＝9，得x ＝±2，故满足题意的定义域可以为[－2，m ](0≤m ≤2)或[n ，2](－2≤n ≤0)，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2. 答案：4 2 5．已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2－ x 2－x ＋1＋2 是奇函数． (1)求b 的值； (2)对于任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0有解，求k 的取值范围． 解：(1)由f (x )为奇函数，知f (0)＝b －1 4 ＝0，∴b ＝1. (2)∵f (x )为奇函数，由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0，得 f (t 2－2t ) 由(1)知b ＝1时，f (x )＝1－2－ x 2－x ＋1＋2 ＝－12＋1 2－x ＋1在R 上是增函数，∴t 2－2t 即k >3t 2－2t ＝3????t －132－13≥－13 . ∴k 的取值范围为k >－1 3 . 6．(选做题)已知函数f (x )＝????13x ，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为 h (a )． (1)求h (a )； (2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3； ②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)∵x ∈[－1，1]，∴f (x )＝????13x ∈????13，3， 设t ＝????13x ∈????13，3. 则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <1 3时，y min ＝h (a )＝φ????13＝289－2a 3； 当1 3 ≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a . ∴h (a )＝???? ?289－2a 3，a <13 ，3－a 2 ，13 ≤a ≤3， 12－6a ，a >3. (2)假设存在m ，n 满足题意． ∵m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]， ∴? ????12－6m ＝n 2 ， ①12－6n ＝m 2 ， ② ②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )， 即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾， ∴满足题意的m ，n 不存在． .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 第五节 指数与指数函数 考纲解读 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质. 3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲 一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n =a m +n (m ,n ∈R )； (2)m m n n a a a -=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )； (4)(ab )m =a m b m (m ∈R )； (5)p p a a -=1 (p ∈Q ) (6)m m n n a a =(m ,n ∈N +) 二、指数函数 (1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 00 y =1?x =0 y >1?x <0 (5)0 专题二函数概念与基本初等函数I 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019 年 1. 解析由题意知，m 太阳 E E 太阳 ，将数据代入，可得lg 太阳10.1 m lg E 天狼星天狼星 2 ， E 天狼星 所以 E .故选A. 太阳 10 10.1 E 天狼星 sin xx , x[ n,n ], 2.解析因为cos x x f x 2 sin x x f x sin x x xcos x x 2 2 所 cos x x 所以f x为 [ n,n ]上的奇函数，因此排除A; n 0 ，因此排除B，C； sin n n f n 又 又 cos n n 2 1 n 2 故选D．3.解析：由函数y ，y log x 1 ，单调性相反，且函数 x 1 log a 1 a 图像恒 a x 2 2 1 可各满足要求的图象为D.故选D.过 ,0 2 2010-2018 年 1 1. D【解析】c log 1 y log x 为增函数， 3 log 5，因为 3 5 3 7 所以 log 5 log 3 3 log 3 1. 3 2 因为函数 1 x 1 1 1 0 y （）为减函数，所以（）（）1,故c a b,故选D. 3 4 2. B【解析】当x 0时，因为 ex 4 ex 4 x 0 ，所以此时 x e e f (x) x 2 1 0 ，故排除A. D； 1 又f (1) e 2 e ，故排除C,选B. 3. B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x, y),则其关于直线x 1的对称 点的坐标为(2 x, y) ,由对称性知点(2 x, y) 在函数f (x) ln x 的图象上,所以y ln(2 x) ,故选B. 解法二由题意知,对称轴上的点(1, 0) 即在函数y ln x 的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验, 排除A, 2(1 x) ，0 x 2知，f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, 2) 上 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 第五节 指数与指数函数 1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点． 3．了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是重要的函数模型． 知识梳理 一、指数 1．根式． (1)定义：如果x n ＝a 那么x 叫做a 的n 次方根(其中n >1，且n ∈N )，式子n a 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)性质． ①当n 为奇数时，n a n ＝a ； 当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝? ???? a ，a ≥0，－a ，a <0. ②负数没有偶次方根． ③零的任何次方根都是零． 2．幂的有关概念． (1)正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 a (n ∈N * )． (2)零指数幂：a 0＝1(a ≠0)． (3)负整数指数幂：a － p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)． (4)正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． (5)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． (6)零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的性质． (1)a r a s ＝a s ＋ r (a ＞0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝a sr (a ＞0，r ，s ∈Q )． (3)( ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 二、指数函数的定义 形如 y ＝ a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)． 三、指数函数的图象和性质 基础自测 1．化简x 3·3y xy (a ，b 为正数)的结果是( ) A ．x 13·y －16 B ．x 12·y 16 C ．x ·y 16 D ．x ·y －1 6 第5讲 指数与指数函数 基础知识整合 一、指数及指数运算 1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果□ 01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 — n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个□ 02正数，负数的n 次方根是一个□ 03负数 n a 零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有□04两个，它们互为□ 05相反数 ±n a (a ＞0) 负数没有偶次方 根 2．分数指数幂 (1)a m n ＝□ n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (2)a －m n ＝□ 071 a m n ＝□ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 二、指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数□ 09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数． 2．指数函数的图象和性质 底数 a >1 00时，恒有y >1； 当x <0时，恒有0 第五节指数与指数函数 【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 1 2 ， 1 3 的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)( n a)n＝a． (2)当n为奇数时， n a n＝a． (3)当n为偶数时， n a n＝|a|＝ ?? ? ??a （a≥0） －a （a＜0） . (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n＝ n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－ m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域R 值域(0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1 2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案：B 3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0) 解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)． 答案：A 4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]． §2.2.1 分数指数幂（1） 【教学目标】 1．理解n 次方根及根式的概念； 2．掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值； 3．提高观察、抽象的能力． 【课前导学】 1．如果2x a =，则x 称为a 的 ； 如果3x a =，则x 称为a 的 ． 2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈，则x 称为a 的 ；0的n 次实数方根等于 ． 3. 若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作n a ； 若0>a 则为 数，若o a <则为 数；若n 是偶数，且0>a ，则a 的n 次实数方根为 ；负数没有 次实数方根． 4. 式子n a ()1,n n N * >∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ； n = ． 5. 若n = ；若n = ． 【例题讲解】 例1．求下列各式的值： （1）2 （2）3 （3 （4 *变式：解下列方程（1）3216x =-； （2）422240x x --= 例2．设－3 §2.2.1 分数指数幂（2） 【教学目标】 1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化； 2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简． 3．会对根式、分数指数幂进行互化； 4．培养学生用联系观点看问题． 【课前导学】 1．正数的分数指数幂的意义： （1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义m n a -= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 2．分数指数幂的运算性质： 即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈， ()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈． 3．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用. 4. 0的正分数指数幂等于 . 【例题讲解】 例1．求值（1） 12100， （2）23 8， （3）()32 9-， （4） 34 181- ?? ??? ． 例2．用分数指数幂表示下列各式(0)a >： （1）a ；（2 ；（3． 幂函数与指数函数得区别 1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0； 当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。 ? 幂函数得性质: 根据图象，幂函数性质归纳如下： （１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1); （2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。 指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。 思考讨论: (１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。 专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数 答案部分 2019年 1. 解析 由题意知，lg 2E m m E 5 -=太阳太阳天狼星天狼星，将数据代入，可得lg 10.1E E =太阳天狼星 ， 所以 10.1 10E E =太阳天狼星 .故选A. 2.解析 因为()2 sin cos x x f x x x +=+，π[]πx ∈-，， 所以()()()22 sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-= ==--++， 所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ； 又()22 sin πππ π0cos ππ1π f +==>+-+，因此排除B ，C ； 故选D ． 3.解析：由函数1x y a = ，1log 2a y x ??=+ ???，单调性相反，且函数1log 2a y x ? ?=+ ??? 图像恒 过1 ,02?? ??? 可各满足要求的图象为D .故选D ． 2010-2018年 1．D 【解析】1 33 1 log log 55 c ==，因为3log y x =为增函数， 所以33 37 log 5log log 312 >>=． 因为函数1()4x y =为减函数，所以10311()()144<=，故c a b >>，故选D ． 2．B 【解析】当0 又1 (1)2=- >f e e ，故排除C ，选B ． 3．B 【解析】解法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称 点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以 ln(2)y x =-，故选B ． 解法二 由题意知，对称轴上的点(1,0)即在函数ln y x =的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B ． 4．C 【解析】由2(1) ()(2) x f x x x -'= -，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上 单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确． 5．D 【解析】由2 280x x -->，得2x <-或4x >，设2 28u x x =--，则 (,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性 质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 6．C 【解析】函数()f x 为奇函数，所以221 (log )(log 5)5 a f f =-=， 又222log 5log 4.1log 42>>=，0.8 122<<， 由题意，a b c >>，选C ． 7．B 【解析】由11 ()3 ()(3())()33 x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选B ． 8．A 【解析】对于A,令()e 2 x x g x -=?,1 1()e (22ln )e 2(1ln )022 x x x x x g x ---'=+=+>， 则()g x 在R 上单调递增，故()f x 具有M 性质,故选A ． 9．D 【解析】设361 80310 M x N ==，两边取对数得， 361 36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810 x ==-=?-≈， 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 指数与指数函数 指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 a >1 00时，y >1； 当x <0时，0 C.y ＝a (1＋xp %)(0 2.1.2 指数函数及其性质（一） 一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数 的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质， 本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。 二、问题引领： 1、指数函数的概念、图象和性质 2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数 ,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与 0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析： 例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。 分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π， ()2f π∴= 即2 a π=，解得1 2 a π= ()2x f x π∴=，即：()( )()10 12 1 01,12f f f ππππ -====-== 。 点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。 例题2：1、设1111333b a ???? <<< ? ????? ，求,,a b a a a b 的大小关系。 2、 比较235 4 0.5,1.2,1的大小。 分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。 解：1、因为函数13x y ?? = ??? 在R 上为减函数，又由1111333b a ????<<< ? ?????， 所以得：01a b <<<， 因为当01a <<时，函数x y a =为减函数，又a b <， 所以a b a a >，因为函数x y a =与x y b =在R 上同为减函数且当0x >时， 随着x 的增大，函数x y a =比函数x y b =减小的快，所以a a a b <， 即b a a a a b <<。 第四节 非线性回归模型 前面讨论的线性回归模型 n i b x b x b b y i ki i i i ,,2,122110 =+++++=ε 其结构具有两个特点：（1）被解释变量y 是解释变量的线性函数，即关于解释变量线性；（2）被解释变量y 也是参数的线性函数，即关于参数线性。但是在现实经济问题的研究中，经济变量之间大多数是非线性关系，即模型为非线性回归模型。对非线性模型，通常将其转化成线性模型进行估计。本节将讨论非线性回归模型的参数估计方法以及非线性模型中参数的特定含义。 一、 可线性化模型 在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有： （一） 倒数变换模型（双曲函数模型） 模型如下： ε++=x b a y 1 ε++=x b a y 11 设： y y x x 11==* *或 即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型，所以称该模型为倒数变换模型。 倒数变换模型有一个明显特征：随着x 的无限扩大，y 将趋近于极限值a(或1/a)，即有一个渐近下限或上限。有些经济现象（如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、菲得普斯曲线等）恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。 （二） 双对数模型（幂函数模型） 模型如下： ε++=x b a y ln ln 设： x x y y ln ln ==* * 则将其转换成线性回归模型： ε++=* *bx a y 对于双对数模型，因为有： 的增长速度 的增长速度x y x x y y x dx y dy x d y d b =??≈==////ln ln 因此，双对数模型中的回归系数b 恰好就是被解释变量y 关于解释变量x 的弹性。即当x 增长1%时y 的增长率。由于弹性是经济分析中的一个十分重要的指标（需求函数中的价格弹性、收入弹性、生产函数中的资金弹性、劳动弹性等），如果所研究的经济关系可以用双对数模型描述，则估计模型之后就可以直接利用系数b 进行弹性分析。因此，双对数模型是人们经常采用的一类非线性回归模型。 （三） 半对数模型 模型如下： 分数指数幂与指数函数 本节主要学习分数指数幂与指数函数． 1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质： （1）a m a n ＝a m ＋ n ；（2）a m ÷a n ＝a m － n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ； （4）（ab ）n ＝a n b n ；（5）（b a ）n ＝n n b a 若（b ≠0）． 注意：a 0＝1（a ≠0）、a － n ＝ n a 1 （n 为正整数，a ≠0）. 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发． 从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6 a ＝a 3＝2 6a ， 12 3 a ＝a 4＝3 12a ．于是我们规定： （1）n m a ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）n m a －＝ n m a 1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）； （3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋ s ；（2）（a r ）s ＝a rs ； （3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数． 3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性． （1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝ 21、4 3 等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性． 4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型． 5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指 高一指数与指数函数基础练习试题 （一）指数 1、化简［3 2 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．212- B ．3 12- C ．2 12 - - D ．6 52- 3、化简 4 2 16 13 2 33 2)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是（ ） A ． a b B ．ab C ． b a D ．a 2b 4、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、1 132 12 -- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1 (027 .0143 23 1+-+-----=__________． 6、 32 113 2132)(---- ÷a b b a b a b a =__________． 7、48373)27102(1.0)972(032 221 +-++--π=__________。 8、)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 9 、416 0.250 3 21648200549 -+---）（）（） =__________。 10、已知),0(),(21>>+= b a a b b a x 求1 22--x x ab 的值。 11、若32 12 1=+-x x ，求 2 3 222 32 3-+-+-- x x x x 的值。 （二）指数函数 一、指数函数的定义问题 1、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 2、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。 3、若21025x =，则10x -等于 （ ） A 、 15 B 、15- C 、150 D 、1625 4、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比 较，变化的情况是（ ） A 、减少7.84% B 、增加7.84% C 、减少9.5% D 、不增不减 5、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f (一)指数函数的定义 一般地，函数y =a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc
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