学数学方法论有感
数学思想是伴随着数学科学的产生而产生的，是从数学内容中抽象概括、再抽象再概括出来的，因而具有高度的包摄性和可迁移性，是对数学科学的理性认识，是数学的精髓和灵魂。若能领悟到数学思想的存在，则有助于提高分析问题、解决问题的能力，发展创造性思维，有助于形成科学的世界观和方法论。
数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。数学方法论很大程度上可以被说成对于数学思想方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维。数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学有助于我们将数学课“讲活”“讲懂”“讲深”。
在数学方法论中，重点阐述了观察、联想、尝试、试验、归纳猜想、类比推广、模拟、化归、公理化方法、数学悖论等数学论证方法，数学与物理方法，数学智力的开发与创新意识的培养等。如果把这些理论和我们的实践教学活动联系起来将使我们的数学课更加有数学味，帮助学生领会内在的数学思想方法，认识数学的本质特征和应用价值。
数学的思想方法通常隐含在数学知识体系中，不是一个显性的知识点。只有掌握了这些数学知识背后的历史背景和发展的来龙去脉以及当时数学家的思维过程，才能在教学设计中设计适当的教学情景，启发学生积极的思考。
学习了数学方法论后，对于这门学科，我有了以下的心得体会：
提高理解能力和阅读能力。数学的思想和方法对我们理解和阅读问题是十分重要的，例如我们要理解和认识接触到的信息比如文字、图形、声音等方式包含的内容时，常常会用到我们的数学思想和方法。通过抽象与概括、分析和归纳、还有比较、分析等方法来加深我们的理解。这些数学的思想和方法对于我们提高理解能力和阅读能力有着十分重要的作用。
培养良好的逻辑思维。虽然数学方法论并不是主要讨论逻辑科学和思维科学，但是数学方法论实质上是思维活动的方法。数学方法论主要讨论数学逻辑的特点、结构、方法与规律在数学中的应用，从而推广到我们日常的学习和生活当中的应用，对于培养自己良好的逻辑思维有重要的作用。
思考方式的转变。中等数学教我们的是具体解决数学题目的方法，主要在培养数学基础。高等数学教我们的是解决问题的思想和方法。通过学习数学方法论，把以前学过的一些数学思想和方法，例如微分和积分的思想、无限和逼近的思想，抽象与概括、归纳与演绎、归类与分类、比较与类比、分析与综合、联想和直觉等进行了概括和总结。思考方式有了重大的转变，解决问题要想到的不仅仅是眼前看到的一些特点，更加重要的是利用什么样的数学的思想和方法使问题简单化来达到解决问题。
有用的工具。数学的思想和方法并不仅仅是单纯进行理论讨论的内容，现实生活中，数学的思想和方法对于解决实际问题有重要的作用，是解决问题的有力工具。比如在日常经济和管理的决策实践当
中面对一些问题时候，如果没有学习过数学的思想和方法是很难找到解决的方法的。通过学习数学方法论。我们便可以想到比如函数、方程、数形结合、微分和积分的思想方法来解决问题。同时，数学的思想和方法对于日常生活的规划也是产生了重要的帮助。
为了更好的学习数学方法论，利用数学知识技能解决实际问题，我们应该做到以下五点：
一、体会整体思想，培养良好的思想品质
二、体会数形结合思想，提高迁移思维能力
三、休会分类讨论思想，培养思维的全面性
四、体会转化思想，提高解决问题能力
五、体会类比思想，培养创造性思维能力
数学的思想和方法是一个永远值得去研究的学科。数学的思想和方法影响是巨大的，小到我们日常的家庭生活和学习，大到一个国家宏观的经济和管理以及成千上万的公司企业的正常运转都离不开数学的思想和方法。特别是现代经济和管理的复杂性越来越要求更高的数学知识技能和解决实际问题的思想和方法。
数学方法论
1方法论，就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。 2方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的总称 3数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明，与创新法则的一门学问。 4数学方法论的研究意义:一有利于培养数学能力与改革数学教育二，有利于充分发挥数学的功能三有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律 5合情推理:归纳法，类比法，演绎推理；非逻辑推理:数学美学法，直觉法；数学问题的来源:（外）哥尼斯堡七桥问题，（内）哥德巴赫猜想，一笔画问题 6波利亚怎样解题表:理解题目，拟定方案，执行方案，检查回顾 7数学典型方法:模型法，公理法（布尔巴基），构造法（直觉），化归法 8数学解题的四种模式:双轨迹模式，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式 数学问题在数学发展以及数学教育的意义 （一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。” 由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。 数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
数学方法论
chap1 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现，发明与创新等法则的一门学问。 chap2 1.数学问题的来源 （1）外部世界的需求 哥尼斯堡七桥问题 四色问题 （2）数学内部产生的问题 几何三大难题 高次代数方程可解性问题 哥德巴赫猜想
第五公设问题 2.波利亚的数学解题表， 怎样解题表： 理解题目，拟定方案，执行方案，检验回顾。 3.解题模式 双轨迹模式 笛卡儿模式，将所有的问题都转化为代数解方程递归模式 叠加模式
chap3合情推理 1.类比推理是根据两个对象有部分属性相同或相似，从而推出它们的其它属性也相同或相似的推理，它是由特殊到特殊的思维过程 举一例 作用: （1）数与式的类比 （2）类比在求解问题中也有着广泛的应用 （3）类比可用于猜测进行检验 2.归纳法 归纳是指通过对特殊的观察和综合去发现一般规律。它是由特殊到一般的推理形式 归纳法的类型及特点 完全归纳法，是研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。 特点：1.对科学作用不大 2.有助于问题的证明或解答 不完全归纳法，是通过对某类事物中部分对象的研究，概括关于该类事物的一般结论。 作用，1有助于数学发现 2归纳推理具有或然性
3.数学归纳法 数学归纳法不属于合情推理，为演绎推理。 合情推理:前提是真，结论不一定为真 数学归纳法，前提是真，结论一定为真 常见的形式 第一数学归纳法 第二数学归纳法 反向归纳法 二重归纳法 4.数学合情推理在数学教育中的意义 （即归纳，类比，观察，实验） chap4 数学中的典型方法，包括数学公理化方法，数学模型方法，数学结构方法，数学构造方法 1.所谓公理化方法就是尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公里，公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法 公理化方法的现实原型，欧几里得的《几何原本》 数学公理化方法的特点与基本问题 特点:公理系统是一个有序的整体 公理系统是纯粹的演绎系统 公理系统是形式化的 $希尔伯特公理体系（数学公理化方法的产生与发展）
数学方法论
数学方法论 1研究数学方法论的意义和目的 什么叫方法论？方法论（methodology）就是把某种共同的发展规律和研究方法作为对象的一门学问。如所知，各门科学都有方法论，数学当然也有它自已的方法论。 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。 数这是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起业还具有较高的抽象性特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。因此，数学研究工作者、数学业教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。 由于数学领域的许多概念与理论题材都是通过人脑的抽象思维形式表现出来的，这里不仅包含有思维对象（数学本体）的辩证法，而且还有着思维运动过程（认识与反映过程）的辩证法，所以数学方法论还给哲学家、自然辩证法研究工作者以及心理学家们提供了值得分析研究的素材。凡是看过恩格斯《自然
辩证法》的读者都知道，即使在初等数学里也充满着辨证法。 我们又知道，数学方法论中的许多方法和原理是从数学发展史中总结归纳出来的，所以数学工作者还必须学习一点数学史。 从近代数发展史中，我们看到有许多杰出的数学家曾转绕着数学基础问题展开了一系列争论，以致形成了各个著名的流派，如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派与柏拉图主义派等。直到现今，这些流派的观点主张对数学体系的内在发展，还产生着不同程度的影响。 各个数学流派对数学基础问题的研究，各有其方法论主张。事实上，他们各有所偏，各有所见。只有运用科学的反映论，才能从他们的观点主张中分析总结出较为正确的数学方法论观点。因此，对于今日的数学工作者来说，无论为了掌握、运用或者去发展数学方法论，都必须自觉地采取科学的反映观点（即辩证法的反映观点）去考察问题和分析问题。 2宏观方法论与微观的方法论 数学科学的发展规律可以从数学发展史的丰富材料中归纳分析出来。由于数学史是人类社会科学技术发展史的一个组成部分，数学发展的巨大动力源泉
数学史和数学方法论
第一部分数学史 第一章数学的起源和远古数学文献 1.计数意识的起源。 数学的起源和人类文明的起源几乎是同步的。恩格斯在《反杜林论》中指出：“和其他各门科学一样，数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。”“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法。随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。 2.埃及的两种主要的数学纸草书、埃及数制，埃及几何的突出成就。 著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。 埃及数制：据史料记载，早在公元前4000年左右，埃及就有了象形文字，在这种文字中他们以10为基数进行记数。这些文字是用单独的图画来表示一个数的，1是垂直的木棍，10是放牛用的弯曲工具，102是一端卷起的测量绳，103是一朵莲花，104是竖着的手指，105是小鸟，106是举起双手受惊的人，107是太阳。古埃及人单独或重复使用这些符号并将其依次排起来就可表示所有的数。这种记数法虽然以10为基数，用的是十进制，但并非位值制。由于缺乏位值制概念，这种记数法也存在着许多困难，例如：25346就需要用上20个记数符号，这对于算术和代数的 发展是极为不利的。 埃及几何的突出成就：埃及几 何的突出成就是金字塔数学。古埃 及人留下来的数学文献极少，但现 存的活文献——金字塔，却给现代 人留下了许多数学之谜。多少年 来，许多学者对埃及金字塔都进行 了实地考察，对于建于公元前3000 年至公元前2000年的古建筑提出 了不少难解之谜，尤其围绕着最大 的金字塔——胡夫金字塔（建于约 前26世纪）提出了下面这些不可 思议的问题：（1）塔底每边长 232m，误差小于20cm，塔高 146.5m，东南西北角误差仅为 1.27cm，直角误差仅为12”，方位 误差在2’~5’之间，这样的精确 度就是现代建筑也望尘莫及。（2） 用来砌塔的石块达230万块之多， 重量从2.5吨到50吨不等，石块间 的接缝之小连铅笔刀也难以插入。 （3）塔高的10亿倍恰巧等于地球 到太阳的距离，而塔底与塔高的2 倍之比近似等于3.1416，这是公元 3世纪时人们才得到的圆周率的最 高精度。（4）穿过塔的子午线恰 好把地球上的陆地与海洋分为两 半，而塔的重心正好落在引力中心 线上。它充分体现了古埃及人精确 的几何测量技术和高超的建筑技 术。 3.巴比伦数制和解二次方程 的方法。普林顿322号泥板书的数 学意义。 巴比伦数制：巴比伦人采用 60进位制记数法，采用了位置值 制，其记数法主要用加法原则并辅 之以乘法原则，高位数写在低位数 之左。但是由于巴比伦的位值制没 有零的记号，所以巴比伦的位值制 记数法并不完善，它所表示的数需 根据上、下文才能确定。巴比伦人 经常使用分数，且其分母总是常数 60，巴比伦人把分数当作“整体” 看待而并不看做一的几分之几。由 此可见，巴比伦记数并不属于严格 的位值制记数法。 解二次方程的方法：巴比伦数 他 们用特殊的方法能够解出一些一 次、二次甚至三次、四次方程。例 如：问题——求一个数，使它与其 倒数之和等于给定的数。用现代记 号表示即相当于： 。 这实际上是相当于解x2－bx ＋1＝0这样的一元二次方程。对于 这个二次方程，巴比伦人给出的答 案是： 普林顿322号泥板书的数学 意义：关于巴比伦数学，很令人感 兴趣的是“普林顿322号”泥板书 即1923年由收藏家普林顿收藏、 现存于哥伦比亚大学珍本图书馆 的第322号收藏品。该品有4列数 字，共15行，其数字皆为楔形文 字，跟普通的账单一样。认真研究 就会发现：两列中的对应数字（除 4个例外）构成一边长为整数的直 角三角形的斜边和一个直角边。现 在人们把（3，4，5）这样一组能 作为直角三角形的边的正整数称 为毕氏三数。从中可以看到巴比伦 的数学成果是十分丰富的。 第二章希腊数学的兴起和 发展 1.泰勒斯发现的数学定理和初 创的证明，毕达哥拉斯学派、柏拉 图学派的主要数学成就。 泰勒斯（约公元前624~前547 年）是希腊数学史上第一个著名数 学家，在历史上享有“希腊科学之 父”美称，被誉为“希腊七贤之一”， 比我国孔子还早100年。他创立了 爱奥尼亚学派。他发现的数学定 理：（1 分；（2）等腰三角形的两底角相 等；（3）两直线相交时，对顶角 相等；（4）若已知三角形的一边 和两邻角，则此三角形完全确定； （5）半圆周角是直角。他初创的 证明：他关于“等腰三角形底角相 等”的证明是这样进行的：如图所 示，α=β，γ=δ（同一弓形的角）， α—γ=β—δ（等量减等量差相 等），则∠OAB=∠OBA。尽管当 时人们对于角的概念还不完善，但 这一证明并不失为早起数学证明 的典范。世界演绎几何正是从这里 开始的。 毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯 学派亦称“南意大利学派”，是一个 集政治、学术、宗教三位于一体的 组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所 创立。产生于公元前6世纪末，公 元前5世纪被迫解散，其成员大多 是数学家、天文学家、音乐家。它 是西方美学史上最早探讨美的本 质的学派。毕达哥拉斯学派以“万 物皆数”， 事物的性质是由某种数量关系 决定的，万物按照一定的数量比 例而构成和谐的秩序；据说毕达 哥拉斯学派最早发现了所谓“黄 金分割”规律，而获得关于比例 的形式美的规律。毕达哥拉斯学 派的美学观点是客观唯心主义 的，对柏拉图、新柏拉图主义及 文艺复兴时期的 名的“勾股定理”，据说，毕达哥 拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了 一百头牛，也正是由于勾股定理 的发现，导致无理数的发现，由 此产生了第一次数学危机。 柏拉图学派的主要数学成就。 柏拉图学派的代表人物是 柏拉图（约前427年－前347年）， 他年轻时曾跟随希腊哲学家苏 格拉底学习哲学，受到逻辑思想 影响，尔后成为雅典举世瞩目的 大哲学家．柏拉图从毕达哥拉斯 学派吸收了许多数学观点，并运 用到自己的学说中，古希腊伟大 的哲学家，也是全部西方哲学乃至 整个西方文化最伟大的哲学家和 思想家之一，他和老师苏格拉底， 学生亚里士多德并称为古希腊三 大哲学家。他认为“数学是一切知 识中的最高形式”。公元前387年， 他在雅典城郊创办学园，世人称之 为柏拉图学园。该学园活动时间长 达900年，一直到公元529年学园 被封闭为止。柏拉图在数学的理想 思维上有重要贡献，他认为数学真 理只有通过概念思维才能被发现。 他坚持准确定义、清楚假设和逻辑 证明，并首先提出了系统的演绎推 理法则。柏拉图学派还发现了圆锥 曲线。 2.芝诺悖论，毕达哥拉斯—— 柏拉图的宇宙设计说，亚里士多德 的数学哲学。 芝诺悖论是古希腊数学家 芝诺提系 不可分性的哲学悖论。这些悖论 《物 理学》一书中而为后人所知。芝 诺提出这些悖论是为了支持他 老师巴门尼德关于“存在”不动、 是一的学说。这些悖论中最著名 的两个是：“阿基里斯跑不过乌 龟”和“飞矢不动”。这些方法现 解释，但还是无法用微积分解 决，因为微积分原理存在的前提 是存在广延（如，有广延的线段 经过无限分割，还是由有广延的 线段组成，而不是由无广延的点 组成。），而芝诺悖论中既承认广 延，又强调无广延的点。这些悖 论之所以难以解决，是因为它集 中强调后来笛卡尔和伽桑迪为 代表的的机械论的分歧点。这些 1/0=无 穷。
数学方法论必做作业
数学方法论第二章作业 ：学号： 设x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，且x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0,求证：n是4的倍数。 证明： ∵x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0 ① 由于x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，根据正负抵消规律，n必为偶数。 设n=2k,k∈N+，方程①可变形为： ∵x1x2+x2x3+…x n-1x n+x n x1= （1+1+…+1）（k个）+（-1-1-…-1）（k个）=0 ② ∴（x1x2）（x2x3）……（x n-1x n）（x n x1）=1k（-1)k =(x1x2……x n)2=1 从而k必为偶数，设k=2m,m∈N+，易得n=4m，m属于N+得证n是4的倍数。 数学方法论第五章作业 ：学号： 5.何谓计算证明法，有哪些具体的计算证明方法，它们又各是如何进行应用的，并应注意什么问题？
答：把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法,该方法一般思路单纯(即使算式紧杂但难度降低),较易著手,且能对免添加过多的辅助线。 1、代数法 代数法一一用代数知识来研究或证明几何问题的方法,该方法常用于涉及度关系的几何问题,主要用代数上的恒等变形方程知识。 教材上对于该方法的两个例题中,例5.1较简单。 2、三角法 三角法一用三角加识来研究或证明几何或代数间题的方法,该方法主要用三角函数、三角换元法、三角恒等变换,解三角方程、证明三角不等式等方面的知识。 3、坐标法 坐标法一一通过建立坐标系,用解析几何的知识证明几何问题的方法。 此法使用时注意选取坐标轴和原点尽量为已知元素(减少辅助线),尽量减少参数(可取单位1),以便点坐标或曲线方程表达简单、运算方便。 4、复数法 复数法一一用复数知识解答其他数学问题的方法。 5、向量法 向量法一一将几何问题转化为向量计算问题的方法,该方法对于几何中的平行、垂直、线共点、点共线等问题往往更有效。
《数学方法论》数学中使用的一般科学方法
第一章数学中使用的一般科学方法（共10学时） [教学目的和要求] 要求学生通过本章的学习，掌握在数学研究及数学解题中如何使用观察与实验、比较与分类、归纳与类比这三类科学方法，并能独立运用这些方法解决数学问题。 [教学内容] 第一节观察与实验（2学时） 1．观察与实验是收集科学事实，获取感性经验，形成、发展和检验科学理论的主要方法 2．观察与实验在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 第二节比较与分类（2学时） 1. 比较与分类是分析、整理知识的主要方法 2. 比较与分类在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 第三节归纳与类比（4学时） 1. 归纳与类比是提出数学猜想的主要方法 2. 归纳与类比在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 习题课（2学时） 通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 [教学重点] 观察与实验、比较与分类、归纳与类比方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 [教学难点] 根据已有的事实材料如何运用归纳与类比方法提出数学猜想。 [教学建议] 本章内容是课程的重点内容，建议通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 ［教学过程］ 在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家或是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们的研究和探索中诞生的。 综观人类的科学认识史，大凡以算法为主导的数学发展时期，人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。”（吴文俊），而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。而包括20世纪最伟大的数学家冯··诺伊曼就曾指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，并分为数众多而无意义的支流。唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童。”（引自《数学家谈数学本质》） 菲尔兹奖获得者，日本数学家小平邦彦说过：“物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学，在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。”由此可见，在数学研究和解题中广泛运用一般科学方法是不可避免的。因为数学
数学方法论模拟试卷
第1页，共6页 第2页，共6页 任课教师签名： 命题教师签名： 系主任签名： 主管院长签名： A. 函数的本质是变量间的对应 B. 解析表达式就是函数 C. 函数是两个非空数集间的映射 D. 函数y=2与y=2x 0是同一函数 9．数学中存在的有[ ] A. 黄金椭圆 B. 欧拉三角形 C. 黄金四边形 D. 黄金曲线 10．整数分为奇数、偶数，还可分为质数、合数、0和1。这是[ ] A. 一次划分 B. 复分 C. 二分法 D. 连续划分 11．正方形概念与菱形概念是[ ] A. 交叉关系 B. 从属关系 C. 矛盾关系 D. 对立关系 12．与圆命名有关的名人有[ ] A.拿破仑 B. 赵爽 C. 柯西 D. 牛顿 13．欧拉圆又称为 [ ] A. 九点圆 B.庞加莱圆 C. 黎曼圆 D.都不是 14．属于“因果归纳法”的有( )。 A ． 求同法 B ．数学归纳法 C ． 枚举归纳法 D ．联想法 15．截立方体得到的多边形有( )种。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 16．与耐普尔共享发明对数的数学家有( ) A ．笛卡尔 B ．泰勒 C ．别尔基 D ．开普勒 17．“数学来源于逻辑”的观点来自于[ ] A. 罗素 B. 布劳威尔 C. 希尔伯特 D. 布尔巴基 18． “或”是[ ] 逻辑联结词 A. 合取式的 B. 析取式的 C. 等价式的 D. 都不是 19．联结判断与判断的是[ ] A. 判断 B. 推理 C. 证明 D. 都不是 20．与集中思维一致的是 [ ] A. 求异思维 B. 辐合思维 C. 发散思维 D. 幅射思维
数学方法论
数学方法论 李逸周 《陶哲轩教你学数学》 一、解题策略 首先以下题为例讲解解题策略: Q1.三角形三边长是公差为d的等差数列，面积t，求边长和角度。 1.理解问题 类型：①证明、推算型②求值型 给定信息相近答案 or 修改要求 推导、计算调整逼近 值正确答案原要求 ③是否存在型：举反例 2.理解已知信息 3.理解所求目标 4.选择恰当符号 5.表达画图 6.“修改”问题 7.简化、充分利用所给信息 对于Q1，将在理解问题、已知信息和所求目标的基础上，选择恰当的符号将已知条件和所求目标表达出来，并画图。
我们会想到利用一下几种方式求解： 正弦定理 余弦定理 三角形面积公式 海伦公式：t 2=s (s ?a )(s ?b )(s ?c) ,(s 为半周长） 经分析可知可以利用海伦公式解答Q1。 二、数论 同余：a ≡b (mod n ) ? n|a ?b (一）位数 1.“有限”类型 Q1证：在任意18个连续三位数中，至少存在一个整数，可以被他的位数和整除。 在解这道题之前有必要储备这样一个知识点：n 是9的倍数是n 的各位数字之和是9的倍数的充要条件。 接着我们来证明上面的这道题。 证明：设三位数abc =100a +10b +c α β γ b -d b +d b
(题目被转化为证明：a+b+c|abc,并且增加条件：这个整数是9的倍数且是18的倍数） ∵9|abc ∴9|a+b+c ∵1≤a+b+c≤27 ∴a+b+c=9,18,27 ∵a+b+c=9或18 ∴a+b+c|18 ∴18|abc ∴a+b+c|abc 得证。 2.“重排”问题 Q2是否存在一个2的幂，其位数重新排列之后成为另一个2的幂（首位不为0）。 分析：要解这道需要有这样一个知识储备：任意整数总是与其位数和模9相等。 我们列出部分2的幂及其位数和、模9的结果进行观察 可猜测并证明2n+6=2n26=2n64与2n模9相同，因此找不到符
数学方法论___论文
（关于“方差”的理解） 摘要：本文主要讲述概率统计中的方差以及其意义和方差在人们生活中的应用，同时还会介绍方差分析法，让大家更详细的了解方差，增加同学们对数学学习的兴趣。 关键词方差协方差方差分析法 1.方差简介 方差的定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X 的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，由方差定义的数学表达式可以看出，方差实际上是随机变量X与它的平均值E(X)离差平方的期望值，它的大小自然可以衡量随机变量的稳定状态，所以方差反映了随机变量的变异特征。对于一个随机变量来讲，方差D(X)是一个稳定常数，不再是随机的了。 由随机变量函数的数学期望计算公式可得: (1)若X为离散型随机变量，且X的概率分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则D(X)= E(X-E(X))2 (2)若X为连续型随机变量,X~ f (x),则D(X)= E(X-E(X))2 方差的性质： (1)如果C是一个常数，则D(X)； (2)如果C是一个常数，则D(X+C)=D(X)； (3)如果a是一个常数，则D(aX+C)=a^2D(X)； (4)设X与Y相互独立，则D(X+-Y)=D(X)+D(Y)； (5)设X与Y是两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；若X 的取值比较分散，则方差D(X)较大。因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。下面是一些概率统计中常见的随机变量的期望和方差随机变量X。【1】 X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p) X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p) X服从泊松分布，即X~ π(λ),则E(X)= λ，D(X)= λ X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12 X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2) X 服从正态分布，即X~N(μ，σ^2), 则E(x)=μ，D(X)=σ^2 X 服从标准正态分布，即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1 2方差的应用 随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的十分重要的指标。例如某地区地震仪上描出的曲线如果起伏很大，这说明该地区地下活动异常，是地震的预兆；某天股市中股票价格出现异常波动，这就预示着社会经济将有重大事件发生；一台仪器在测量某一元件的某
数学方法论考试题型及答案
数学方法论考试题型，及答案 1、解题策略：解题策略是指解答数学问题时，总体上所采取的方针、原则和方案。解题策略不同于具体的解题方法，它是指导方法的原则，是对解题途径的概括性认识和宏观把握，体现了选择的机智和组合的艺术，因而是最高层次的解题方法。（346页） 2、欧几里得几何公理，其主要内容有：23条定义，5条公设，9条公理，465条定理。 3、问题解决的要素：问题表征，问题解决的程序、模式在认。（276页） 4差异分析策略：通过分析条件与结论之间的差异，并不断缩小目标差来完成的策略。一般 来说，知识综合跨度较小、注重形式变换的题目，应用差异分析策略常能奏效，比如某些恒 等式、条件等式或不等式的证明题、平面几何和立体几何证明题。在使用差异分析策略时， 寻找差异是基础，消除差异是目标，转化是差异是关键。（376页） 5因果关系归纳法：因果关系归纳法是指以某类事物的部分对象的因果关系作为前提，而得 出一般性结论的推理方法。（54页） 6公理化方法：公理化方法就是选取尽可能少得一组原始概念和不加证明的一组公理，以此 为出发点，应用逻辑推理规则，把一门科学建立成为一门演绎系统的一种方法。（172页） 7发生性思维：发生性思维是所给的信息中产生信息，从同一来源产生各种各样为数众多的 信息。即从问题的多种可能方向扩散出去，探索问题的多种解法。它的特点是：1.多端：可 使思维广阔；2.伸缩：对一个问题能根据客观情况的变化而变化，可使思维灵活；3.新颖： 可使思维具有独创性。（232页） 8化归转化策略：化，就是变化原问题，转化原问题，变换原问题；归，说的是变化、转化、 变换原问题是有目的，有方向的，其目的就是变化出一个已知数学模型，就是通过变化使面 临的问题转化为自己会解决的问题。化归转化策略涉及三个基本要素，即化归的对象、目标 和方法。化归的对象就是我们所面临的数学问题，化归的目标就是某一已知的数学模型，化 归的方法就是数学思想方法。（350页） 9数形结合的三种途径：坐标联系、审视联系、构造联系。（369） 10解题“三部曲”是指：观察—联想—转化。（309） 11问题的基本成分：1.给定，即一组给予的信息；2.目标，问题要求的或结尾的状态，即关 于构成问题的结论描述；3.障碍，思维者无法立即找到正确答案，必须通过一定的方式来 改变给定状态，逐步达到目标状态。（271页） 12接近联想：接近联想又称为形似联想，主要由概念、原理、法则的接近而产生的联想。 它是由命题的已知条件和结论的外表形态与结构特征，想到相关的、相似的定义、定理、公 式和图形等。它是一种由此及彼，由表及里的联想，一般教材在学习定理、法则和公式之后 的巩固和练习题中，大都借助于这种思想，使学生巩固知识，灵活地运用接近联想，从而提 高解题技巧和创新能力。 13完全归纳法：完全归纳法，是根据对某类事物的全体对象的考察，发现他们都具有某一 种属性，从而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。完全归纳法又分为穷 举归纳法和类分法两种类型。（52页） 14多步映射：在利用RMI原则解决数学问题时，经常需要通过多次映射与反演才能在原像 关系结构系统中确定原像目标x。这种通过多次映射与反演使问题获解得方法，称为多步关 系映射反演原则，简称多步映射。（120页） 15公理化方法的作用：数学公理化方法在整理数学知识，促使新理论的建立，以及对整个 科学理论的表述方面都有着重要的作用：（一）公理化方法是整理、分析、加工、系统化数 学经验材料，建立科学理论体系的工具；（二）数学公理化有利于比较数学各个分支的实质 性差异，促进数学的探索与基础研究，推动数学新理论的产生；（三）数学公理化方法在科 学方法上，对各门科学起着示范作用。（176页）
数学方法论的重要性
数学方法论的重要性 ——评《数学方法论简明教程》 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问.数学是基础学科，其应用在生活的各个方面，生活处处都会用到数学，例如去商店买东西好利用数学来计算价格。但是在经过观察你也会发现我们在初中、高中所学习到的知识在你毕业后，几乎不会用到，尽管知道在打篮球投篮于初中所学的一元二次函数有关，但是是不会利用列方程来计算投篮的最佳位置.虽然中学所学的知识在生活中不经常被用到，甚至没过几年就已经忘记，但是数学精神，数学的思维方法、研究方式、推理方法是随时地发生作用，使我们一直收益.因此，数学方法论在数学教学中的地位越来越突出，在中小学数学新课程中也是十分重要的内容. 《数学方法论简明教程》这本书共分为10章，本书的开始先介绍了数学方法论的学科性质、研究对象、发展简史，以及其的研究意义，并在此基础上结合实例介绍化归法、类比与归纳、联想与自觉、论证方法、抽象方法、模型方法、试验方法、美学方法及其数学语言的运用等.全面的概括了中小学数学中需要用到的数学方法及数学思想，该书中既包括了数学中的逻辑方法，如归纳法、抽象方法、论证方法和模型方法；同时，又包括数学中的试验方法和数学中的发现、发明及创新的方法，例如书中例举到的类比与归纳、联想与直觉、试验方法等.本书以基础数学的方法论为重点，从理论和实际运用中基本问题进行介绍，通过先归纳再举例，从特殊到一般对各种题型进行归纳总结，非常全面的向我们展示并列举了数学中常见的各类题型的解题思路. 正如古人所说的，学习有法，学无定法，贵在得法，这在学习数学的过程中体现得更加明显.在过去的学习过程中，对于数学解题中我们对于各种题型虽然都遇到过，但是却没有进行具体的归纳总结，没有确切地确定一定具体的方法.对于数学专业的而言，如果没有掌握数学方法及数学思想，就相当于没学过数学一样，只是单纯的会做题，久而久之会失去学习数学的兴趣.然而，当我们了解并掌握了数学的思想方法后，再利用例题进行加强巩固总有一种醍醐灌顶、荡气回肠的感觉. 从我们刚开始学习数学时，一般会想到这样两个问题：一是为什么要学习数学，二是怎样学习数学，有什么方法.在《数学方法论简明教程》一书中不仅教会了我们怎么样学习数学，还告诉了我们学习数学的通用方法使我们更好的学好数学，灵活运用，举一反三. 这本书不仅对于我们数学专业学习数学，解题有着重要的作用，同时对于不从事数学方面的工作的人来说也是很有价值的.大多数人可能会认为数学对于大多数不从事理工专业技术工作的人来说是没有什么直接用途.正如韩寒曾说的那样，在我们的生活中用到的数学大概到小学三年级能熟练计算加减乘除就已经足够了.然后在以后多年的学习数学，实际上塑造了我们一种理性的、条理的、系统化的思维方式.这种思维方式可以运用到解决生活中的诸多问题时，都有非常的作用，例如严谨的思考、分类的思想、排序的思想等.本书用大量的篇幅讨论了数学思维的问题，同时对数学直觉、数学美、数学创造发明思维过程的研究，使数学方法论的研究更具有了启发性、开放性，强调数学思维在数学方法论中的作用，强调灵活性、启发性为当前数学方法论与素质教育相结合找到了重要的切
《数学方法论》数学模型方法
第三章数学模型方法 在现代社会，随着数学和科学技术的飞速发展，以及电子计算机的广泛使用，科学技术数学化的进程正日益加速。任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定的数学体系，也就是说建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。从历史上来看，一些传统的自然科学学科，如力学、物理学，是比较容易建立数学模型的，原因是这些学科其对象的各因子之间的界限比较分明，对它们进行量的测定也较为简便。但是在其他一些学科，如生物学、社会学科和人文科学，就不太容易建立数学模型。不过这种情况，由于数学本身的充分发展，尤其是现代数学向高维、高次、多变量的推进，应用数学和模糊数学的建立，统计方法的广泛运用，计算工具的进步。特别是运算能力以数量级速度飞跃提高；再加上系统科学的发展以及各门科学技术自身的深入研究……使得数学建模越出了自然科学、工程建设等传统领域，迅速地向经济、管理、社会等领域扩展，成为一种解决问题的强有力的数学方法。我们可以这样说，没有不需使用数学的科学，只有尚未使用数学的科学。一切科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。 数学模型方法越来越受到人们的重视，同时也引起了国际数学教育界的高度重视。这是因为：第一，随着科学技术向更高层次发展，要求人们解决各类实际问题更加精确化和定量化，而数学建模正是从定性和定量的角度去分析和解决实际问题；第二，计算技术的日新月异，高速、大型计算机的惊人发展，便得过去即使有了数学模型也无法求解的问题迎刃而解；第三，21世纪，我们面临最大的挑战是人才的培养问题，教育的根本任务是提高人的基本素质，而数学建模在培养学生分析问题和解决问题的能力、创新的思维能力等方面起到很好的作用。 §3.1 数学模型的意义 所谓数学模型（mathematical model），就是用数学的语言和方法对各种实际对象作出抽象或模仿而形成的一种数学结构。建立数学模型的过程叫做数学建模（mathematical modelling）。将所考察的实际问题，化为数学问题，构造出相应数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解决，这种解决问题的方法叫做数学模型方法。在许多场合下，数学建模与数学模型方法是作为同义词运用的。 数学模型是通过抽象和简化，使用数学语言对实际问题的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。因此它不能等同于实际对象本身，它必须舍弃实际对象的质的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主要性质和因素。因此数学模型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原形，但这种反映仅仅是一种近似和模拟。然而，正是由于用与之相应的数学模型去代替实际对象，才有可能把所研究的问题表达为数学问题，并使用与对象的质的规定性无关的数学工具去分析和处理问题，才能充分发挥数学工具在解决问题时的巨大作用。使我们能够深化对所研究的实际问题的认识。例如力学中著名的牛顿第二定律 2/dt 2 F 就是描述受力物体的运动规律的一个成功的数学模型。其中x(t)表示运动物 md x 体在时刻t的位置，m为物体的质量，而F表示运动期间物体所受的外力。模型忽略了物体的形状和大小，由于它抓住了物体受力运动的主要因素，这一定律的出现大大深化了力与物
数学方法论论文完整版
数学方法论论文 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
研究生课程论文 论文题目 数学归纳法在中学数学中的灵活使用 课程名称 数学方法论 专 业 学科教学（数学） 年 级 研一 学 院 数计院 日期(年月日) 2014年1月14日 数学归纳法在中学数学中的灵活使用 摘 要：本文主要从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的原理与方法、理论 与应用进行分析,并介绍了数学归纳法在解决几何证明、数列证明、不等式证明和 数的整除证明等方面的灵活运用，目的是通过应用数学归纳法解题从而培养学生的 运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。 关键词：数学归纳法；中学数学；问题分析 每一个数学研究工作者都必须精通某些微观的数学方法论，才能有效地开展科 研工作，获得丰硕成果。教师们也必须熟知这些方法论才能实行启发式教学法。下 面就让我来介绍数学归纳法在中学数学中的灵活使用。 数学归纳法是数学中一种证明与自然数 n 有关的数学命题的重要方法，是通 过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题 的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上 证明这一规律的一般性。合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个 重要内容。 首先我们来看看数学归纳法的基本原理，数学归纳法来源于皮亚诺(peano)自 然数公理，自然数有以下性质： (1)1是自然数字； (2)每一个确定的自然数α,都有一个确定的后继数β,β也是自然数； (3)1不是任何自然数的后继数； (4)一个数只能是某一个数的后继数,后者根本不是后继数,即当βα=n 的时候 一定有βα=； (5)任意一个自然数的集合如果包含1，并且包含α，也一定包含α的后继 数 β,那么这个集合包含所有的自然数。 性质(5)就是数学归纳法的根据。
数学方法论的心得体会
数学方法论的心得体会 教科院10教本班曹春燕2010694103 首先，很荣幸有机会修到李立莉老师的数学方法论。记得大三的时候上过李立莉老师的高等数学。那时候，我心里就很敬佩李立莉老师。为什么呢？因为觉得李老师年纪轻轻就可以到大学任教。而且身为一个女生，居然能将数学科目学得这么好。在我心里，一直觉得数学科目能学得特别棒的基本上都是男生。 我觉得李老师上我们毕业班学生的课肯定特别辛苦与委屈。因为我们都经常跑出去找工作，把老师冷落在课室了。但是我很敬佩李老师，因为李老师没有因为我们是毕业班的学生而不尽心尽力。李老师依然很认真备课，很认真、很负责地给我们上课。我觉得这是难能可贵的。所以，从李老师身上，我首先学到的是一种敬业精神。 李老师或许不知道，她带给了我一些正能量，给了我很大的鼓励。李老师的经历告诉我：女生也一样可以把数学科目学好，只要肯努力、肯用心，一定可以把数学科目拿下。其实，这给了我另一个启发：只要肯努力、肯用心，什么都难不倒我们，千万不要为自己找借口。 在李老师的数学方法论课上，我不但学到一种敬业精神，一种自信，其实，我还学到很多其他知识。 第一，数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。数学方法论很大程度上可以被说成对于数学思想方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维。数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学，有助于我们将数学课“讲活”“讲懂”“讲深”。 在数学方法论中，重点阐述了观察、联想、尝试、试验、归纳猜想、类比推广、模拟、化归、公理化方法、数学悖论等数学论证方法，数学与物理方法，数学智力的开发与创新意识的培养等。如果把这些理论和我们的实践教学活动联系起来，将使我们的数学课更加有数学味，帮助学生领会内在的数学思想方法，认识数学的本质特征和应用价值。 数学的思想方法通常隐含在数学知识体系中，不是一个显性的知识点。只有掌握了这些数学知识背后的历史背景和发展的来龙去脉以及当时数学家的思维过程，才能在教学设计中设计适当的教学情景，启发学生积极的思考。 第二，学习数学方法论，可以提高我们的理解能力和阅读能力。数学的思想和方法对我们理解和阅读问题是十分重要的，例如我们要理解和认识接触到的信息，比如文字、图形、
29 数学方法论研究的新发展_评_数学思维与数学方法论_
98 数学教育学报第11卷 [2] 李刚．计算机辅助教学与数学多媒体课件的制作[J]．数学教育学报，1999，8（2）：38–41．[3] 吴华．谈CAI在数学学科教学中的应用[J]．数学教育学报，1998，7（2）：62–64． Investigation and Analysis about the Computer Assisted Instruction of Mathematics YUAN Zhi-qiang (Department of Mathematics, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China) Abstract: Investigated and analyzed the effect of using the Computer Assisted Instruction of Mathematics, draw several conclusions: Computer Assisted Instruction of mathematics could attract the students’ attention and improve the students’ interest in mathematics, which also could help the students to understand mathematics better. Based on the situation, some suggestions about improving the Computer Assisted Instruction of mathematics had been given from the design and using of the mathematics’ courseware. Key words: computer assisted instruction of mathematics; investigation; suggestion [责任编校：陈汉君] 数学方法论研究的新发展 ——评《数学思维与数学方法论》 中国数学方法论的研究始于徐利治教授，然而数学方法论的研究与教学对高师院校数学教育的巨大影响恐怕是当时的人们所始料不及的．郑毓信教授作为徐利治教授的学生和最初合作者，多年来一直从事数学哲学和数学方法论的研究．最近，郑毓信教授等人合著的《数学思维与数学方法论》一书，对数学方法论的研究提出了一些新的思考，给出了某些相关的理论构建，把目前国内的数学方法论的研究又向前推进了一步．同国内近些年出版的一些数学方法论的著作相比较可以发现《数学思维与数学方法论》一书具有以下3个突出的特点． （1）突出了数学方法论研究的国际比较内容，并把数学方法的研究提升到一个数学哲学的层面上给予思考．本书把国外有关数学方法论研究的最近发展状况同我国数学方法论的研究进行了广泛的比较与整合．本书中另一个特点是郑毓信教授运用他的数学哲学的理论素养，运用一种模式论的数学观，把数学抽象度的分析方法引入了数学方法论的研究．在有关数学概念的生成、分析和组织方面的研究中，数学抽象度分析法的运用使数学方法论的研究有了一个新的理论武器．应当说这为数学方法论的研究开辟了一个新的研究课题． （2）突出了数学方法论与心理学领域的研究和互补，从而为当前国内数学方法论的研究提供了一个新的理论框架．现代的数学观正在把数学由静态的绝对主义的数学观转变到动态的、经验和拟经验的数学观，数学不再是一个简单的演绎理论的集合，而是一个由语言、方法、问题、命题等多种成分组成的复合体．正是这种现代数学观的演变，使人们在思考数学方法论的研究和发展时，确认了认知心理学研究在解题中的作用，书中提出的有关“必要的知识、解题策略、元认知和观念”4个要素，已经大大超越了传统数学方法论中有关解题方法和技巧的研究，实际上已经把数学方法论的研究带入到了心理学和数学教育学的一个交叉领域． （3）突出了数学思维作为数学方法论研究对象的意义和重要性．中国数学方法论的初始阶段并没有认识到数学思维在数学方法论中的作用．当时的数学方法论注重的是数学方法的具体形式，并没有认识到构成数学方法表象形式的思维方式和思维过程．现代的数学教育理论认为，数学教学的心理学基础已经转向认知理论和建构主义，数学学习是一个连续不断的同化、建构的思维活动．毫无疑问作为数学方法的研究，必须把这种思维形式、思维过程作为一种研究的对象．本书用大量的篇幅讨论了数学思维的问题，同时对数学直觉、数学美、数学创造发明思维过程的研究，使数学方法论的研究更具有了启发性、开放性．书中强调在数学方法论的研究中“应当大力提供头脑的开放性与思维的灵活性”．可以认为强调数学思维在数学方法论中的作用，强调灵活性、启发性为当前数学方法论与素质教育相结合找到了重要的切入点．通观全书，《数学思维与数学方法论》作为郑毓信教授“数学、哲学、文化、教育系列”丛书之一，具有浓重的数学、哲学和数学文化的思考，这使得本书具有较高的理论品位和价值．但是掩卷思考，笔者认为，本书尚有2点缺憾．其一，数学教育具有极大的实践性，以案例分析为代表的现代数学教育的实验方法，应是数学方法论应用和检验的标准．对于这一点，本书论述略显单薄．其二，国外的“问题解决”的数学教育研究已经对西方的数学教学产生了具体的、直接的带有指导性意义的作用．比较而言，本书在切入素质教育及论述分析当前具体数学教学改革方面尚欠深刻．我国的数学方法论的研究和教学活动与当前的数学教育的改革仍存在一定的距离．让专家的研究结果，让数学方法论的研究，来影响或指导数学教育的改革还任重而道远．（四平师范学院王宪昌供稿）