第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)
2.1 证明在定态中,概率流密度与时间无关。
证明:当一个系统处于定态时,其波函数),(t r
?可以写作,
??? ?
?-
=Et i
r t r
exp )(),(φ? 于是便有,
??
?
??=Et i
r t r
exp )(),(*
*
φ? 根据概率流密度的定义式(2.4-4)有,
??
????????
??-
??? ??-???? ????? ??-=
?
?????????????? ??-???? ??-??
???
???? ?????? ??-=
?-?≡????????ψψψ
ψt iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i J
exp exp exp exp 2exp exp exp exp 2)
(2*
**
*
*
*
即有,)(2)(2*
***φφφφ?????-?=?-?=m
i m i J 显然,在定态中概率流密度与时间无关。从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。
2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度:⑴ )exp(11ikr r
=
?,⑵ )exp(12ikr r
-=
?。
从所得结果说明1?表示向外传播的球面波,2?表示向内(即向原点)传播的球面波。
解:在解本题之前,首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式,即
?
θθ?
θ??+??+??=?f r e f r e r f e f r sin 1?1?? ⑴ 首先求解函数1?的概率流密度
r ikr
ikr r ikr ikr
ikr r ikr e mr k r ike r
e e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i m i J ???2)exp()exp()exp()exp(2)
(2222
1*
1*111 =?
????????? ??+--???? ?
?-+-=?
?
?
???---?=
?-?=---????
可见,概率流密度1J 与r
同号,这便意味着1J 的指向是向外的,即1?表示向外传播的球面
波。
⑵ 同理,可以得到2?的概率流密度
r ikr
ikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike r e e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i m i J ???2)exp()exp()exp()exp(2)
(22222*2*222 -=?
????????? ??---???? ??+-=?
?
?
??-?-?-=
?-?=---????
这里的负号,即为概率流密度2J 与r
的符号相反,意味着概率流密度2J 的指向是向内
的,即波函数2?表示向内传播的球面波。 2.3 一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,0,00,
)(
中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:在量子力学中,一维薛定谔方程扮演着非常重要的角色。
其一,一维问题是微分方程中最简单、最基础的问题,通过解一维薛定谔方程,不但可以了解到量子力学中不同于经典力学的结果,如能量的量子化和势垒的贯穿等,还可以解更高维薛定谔方程的基础,如经典的氢原子的结构问题和现代的黑洞的结构问题,这些问题通过分离变量,最终化成求解一维薛定谔方程问题。
其二,随着现代科学技术的发展,在实验室中已经制成了一维的或准一维的系统,这样,求解一维薛定谔方程对于理解这些系统的性质起着至关重要的作用。
一维薛定谔方程的求解一般有两大类:一类是束缚态的求解,即求解束缚态的能级及相应的波函数;一类是散射问题,即求解散射态的反射系数、透射系数以及相应的波函数。这两类问题实质上也是整个初等量子力学所关注的最主要的两类问题。
具体到本题,显然是一维薛定谔方程中的束缚态问题。具体求解如下: 在势阱内)0(a x ≤≤,一维薛定谔方程的定态波动方程为,
)(2)()()(22
2
2
2
2
2
x E dx
x d x E dx
x d ?μ???μ
-
=→
=-
其中0>E ,如果令
E k μ2=
,则上述方程为,
0)()(2
2
2
=+x k dx
x d ??
于是上述方程的解可表示为,
kx B kx A x cos sin )(+=?。
在势阱外),0(a x x ><,根据波函数应满足的连续性和有限性条件可知,
),0(0)(a x x x ><=?
则,由第一个边界条件0)0(=?知,0=B 。于是波函数为,
)0(sin )(≠=A kx A x ?
再根据第二个边界条件0)(=a ?有,
0sin =ka A
这就意味,a
n k n ka ππ=
→=,其中n 为正整数。
由μ
μ2)(22
k E E k =→=,便可求出粒子的能级为,
2
2
222a
n E μπ =
然后,再对波函数进行归一化处理,1|)(|2
=?∞
∞
-dx x ?,即,
2
2
2
02
2|
|2
||)()(sin 1)(sin ||A k ka A k kx d kx dx kx A a
a
=
→
=
→=?
?
于是,a
A 2||=,不失一般性,取a
A 2=。
在此所使用的数学积分公式:
???
???
?++=+-=??C
x x xdx C x x xdx )2sin(4121cos )2sin(4
121sin 22
则,对应的波函数为,
?
??
??><≤≤??
?
??=.or 0,
0,0,sin 2)(a x x a x a x n a x π? 最后,作几点说明:
首先,既然n 为正整数,则能量的最小值为)2(2
2
2a μπ ,这是纯粹量子效应的零点
能。
其二,对于无限方势阱,量子化的能量间隔不是等距的。
其三,显然方势阱的宽度越小,相应的能级越高,这也可以看作是海森伯不确定性原理的一个表现:当方势阱的宽度越小,那么粒子位置的不确定度就越小,这样,根据海森伯不确定性原理,粒子的动量的不确定度就越大,于是,相应的能量便越高。
其四,从波函数的形式,基态波函数没有节点,第一激发态有一个节点,第k 个激发态有k 个节点,这表明:当粒子的能级越高,其相应的波函数的空间分布上的起伏就越厉害。
2.4 证明(2.6-14)式中的归一化常数是a
A 1='。
解:已知粒子的波函数为
??
???
≥<+'=a
x a x a x a
n A n ||,0||),(2sin
π? (2.6-14)
对波函数进行归一化处理,
1)(2sin ||1||222
=??
?
??+'→
=??
-∞
∞
-a
a
dx a x a n A dx π? 令上式的左边为A ,再构造B ,即
???
????
??
?
??+'=??
?
??+'=??--a
a
a
a
dx a x a n A B dx a x a n A A )(2cos ||)(2sin ||2222ππ
两式相加,得,
a A B A 2||2
?'=+
两式相减,应用公式,)2cos(sin cos 2
2θθθ=-,有
→??
? ??+'-
??
? ??+'=-??--a
a
a a
dx a x a n A dx a x a n A A B )(2sin ||)(2cos ||2222ππ
0)(sin |
|)(cos ||2
2
=??? ??
+'=
???
??+'=-??--a
a
a a
a a x n d n a
A dx a x a n A A
B πππ 则得,a A A A B B A 2||22)()('==--+,a
A a A A 1||1||22='→='=→
这样所确定出的归一化条件为,
R ),exp(11||∈=
'→=
'δδi a
A a A
由于量子力学中波函数的特殊性质,即如果两个波函数相差一个常数的模
1|)exp(|2
=δi 的相位因子,则这两个波函数将描述相同的物理状态。据此,只须在其中选
择一个波函数即可。
在该题中,选择0=δ,即a A 1=
';也可选择a A 1-='→=πα。
当然还有许多别的选择方式,比如选择a A 1=',或者选择a A 1-='都是对的,
而且描述相同的物理状态。
2.5 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。
解:求一维谐振子处在第一激发态)(1x ?时概率最大的位置,实质上也就是求解
2
1|)(|x ?的最大值时x 所对应的值。
由课本32页“能量n E 所对应的波函数”表达式(2.7-15)的第二式有,
)(2
1exp )()(2
1exp )(12
2112
2x H x N x x H x N x n n n αα?αα???
?
?
?-
=→??
? ?
?-
=
根据课本32页“厄密函数的归一化常数n N ”的表达式(2.7-17)有,
π
απα2!
21=
→=
N n N n
n
根据课本32页“厄密多项式n H ”的表达式(2.7-14)可知,x H αξ221==,则,
x x x ααπα
?221exp 2)(221???
?
??-=
这里的
ωαm =
,m 为谐振子的质量。于是,有,
)exp(2|)(|2
223
2
1x x x απ
α
?-=
这样,
)exp()22(2|
)(|2
2323
2
1x x x dx
x d ααπ
α
?--=
由
0|
)(|2
1=dx
x d ?,可以得到,
0or ,1
0223
2=±
=→=-x x x x α
α
经过对21|)(|x ?的二阶导数的验证,发现:
0=x 时,21|)(|x ?取极小值(其实也就是零);α1±=x 时,21|)(|x ?取最大值。
[讨论]
⑴ 21|)(|x ?的极小值的位置除了0=x ,实质上还有±∞=x ,但总的来说,这是平庸的解,是所有束缚态系统的普遍性质。
⑵ 注意到21|)(|x ?取最大值的位置是左右对称的,本质上是由于势场的左右对称符合对称性原理,即对称的原因将产生对称的结果。
2.6 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:)()(x U x U =-,证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
求解:根据定态薛定谔方程课本24页式(2.5-3),假设某定态波函数满足以下方程,
)()()()(22
2
2
x E x x U dx
x d m
???=+-
⑴
可以证明,波函数)()(x x -=?φ也同样满足上面的定态方程。 首先注意到,
)()()()()()(x x U x x U x x U --=-=??φ ⑵
以及,
)()(x E x E -=?φ ⑶
2
2
2
2
)()(dx
x d dx
x d -=
?φ ⑷
综合以上各式,有
→→=+-)()()()(22
2
2
x E x x U dx
x d m φφφ
)()()()(22
2
2
x E x x U dx
x d m
-=--+--
???
即,波函数)()(x x -=?φ也同样满足定态方程⑴。
① 把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并,把对应于同一个本征值的本征函数的数目称为简并度。如果属于能量E 的本征态是非简并的,则上面的结果就意味着,
)(c )(x x ??=-
据此可知1c 2=,因而有1c ±=。于是,有
当)()(x x ??=-时称波函数为偶宇称;当)()(x x ??-=-时称波函数为奇宇称。 ② 如果属于能量E 的本征值是简并的,特别地,
)(c )(x x ??≠-
这时,可以构造两个与之相关的波函数,
)()()(),()()(x x x g x x x f --=-+=????,
据此,可知,)()(x f x f =-,因而具有偶宇称;)()(x g x g -=-,因而具有奇宇称。 以上结果本质上是根据哈密顿的对称性去推知它的本征态的对称性。
如果属于某一能量的本征态是非简并的,则该能量本征态会携带哈密顿算符的对称性。 如果属于某一能量的本征态是简并的,则并不是其中的每一个本征态都会携带哈密顿算符的对称性,但总可以通过它们的某种组合使之携带哈密顿算符的对称性。
2.7* 一粒子在一维势阱
??
?≤>>=a
x a x U x U ||,
0||,
0)(0
中运动,求束缚态)0(0U E <<的能级满足的方程。
求解:根据定态薛定谔方程的表达式(p .24,2.5.3):
???E r U m
=+?-)(22
2
(2.5-3)
粒子的波函数满足的定态薛定谔方程为,
a x E m dx
d ≤=+
||,022
22
??
⑴
a x E U m dx
d >=--
||,0)
(22
02
2??
⑵
令
)
(2,2021E U m k mE k -=
=
则方程⑴和⑵可分别写为
a x k dx
d ≤=+||,02
122
?? ⑶
a x k dx
d >=-||,02
22
2?? ⑷
束缚态00U E <<,所以21,k k 都是大于零的实数,则方程⑶和⑷的解为
① 方程⑷的解为,a x x k A -<=),exp(21?,(-∞→x 时,1?有限), ② 方程⑶的解为,a x x k B ≤=||),cos(12?, (偶宇称), ③ 方程⑶的解为,a x x k B ≤=||),sin(12?,(奇宇称),
④ 方程⑷的解为,a x x k A >-=),exp(23?,(∞→x 时,3?有限)。 再根据波函数的单值性和连续性,有
偶宇称
)cos()exp(12a k B a k A =- ⑸ )sin()exp(1122a k B k a k A k =-
⑹
奇宇称
)sin()exp(12a k B a k A -=- ⑺ )cos()exp(1122a k B k a k A k =- ⑻
由式⑹/⑸得,
1
21)tan(k k a k =
(偶宇称) ⑼
由式⑺/⑻得,
2
11)tan(k k a k -
= (奇宇称) ⑽
将21,k k 的表达式分别代入⑼和⑽,利用
1csc cot ,1sec tan 2
2
2
2
-=-=θθθθ
化简,整理得,
02
2cos U E E ma =????
???
(偶宇称) ⑾
22sin U E E ma =???
?
?
??
(奇宇称) ⑿
即为约束态)0(0U E <<的能级满足的方程。
2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为,
???
??
?
?>≤≤-<
≤<∞=b
x b x a U a x U x x U ,0,0,0,
)(10
求束缚态的能级满足的方程。
求解:根据定态薛定谔方程的表达式(p .24,2.5.3):
???E r U m
=+?-)(22
2
(2.5-3)
)
(x U
对于束缚态情况能级0 在区域Ⅰ)0( 0,01<=x ? 在区域Ⅱ)0(a x <≤中,波函数满足方程, a x k dx d <≤=-0,022 2222 ?? ⑴ 其中, ) (202E U k -= μ 方程⑴的解为, a x x k A x k A <≤'+-=0),exp()exp(222? 在区域Ⅲ)(b x a ≤≤中,波函数满足方程, b x a k dx d ≤≤=+,032 3232 ?? ⑵ 其中, ) (213U E m k += 方程⑵的解为, b x a x k B ≤≤+=),sin(33δ? 在区域Ⅳ)(b x >中,波函数满足方程, b x k dx d >=-,042 4242 ?? ⑶ 其中, mE k 24-= 方程⑶的解为, b x x k C >-=),exp(44?,(0,4→∞→?x ,有限) 利用波函数的单值性和连续性,有 ① 在0=x 处, 00)0()0(21='+→==A A ?? ② 在a x =处, ? ? ?+='+--+='+-)cos()exp()exp() sin()exp()exp(332222322δδa k B k a k A k a k A k a k B a k A a k A )(th )exp()exp()exp()exp()tan(22 3 2222233a k k k a k a k a k a k k k a k ?=-+--?= +?δ ⑷ 其中, ) exp()exp()exp()exp()(th 22222a k a k a k a k a k -+--= ⑸ ③ 在b x =处, ?? ?--=+-=+)exp()cos() exp()sin(4433 43b k C k b k B k b k C b k B δδ 4 33)tan(k k b k - =+?δ ⑹ 将⑷和⑹式代入关系式⑺, []) tan()tan(1)tan()tan()(tan 33333δδδδ++++-+= -b k a k b k a k b a k ⑺ 得到 []) (th )(th )(tan 22 342322433a k k k k k k a k k k b a k -+= - ⑻ [例题] 1. 证明:函数?? ? ??-=223 321exp )32(3)(x x x x αααπα ?是线性谐振子的波函数,并求此波函数对应的能量。 解题思路:首先求解题示函数)(x ?关于x 的二阶导数22 dx d ?,并将其代入线性谐振子的 薛定谔方程(2.7-1)式, 0212222 2 2 =?? ? ??-+?ω? x m E dx d m (2.7-1) 将求出的能级和“线性谐振子的能级”表达式 (2.7-8) (2.7-8) 的结果加以比较,来判断题示波函数是否满足线性谐振子的条件。 证明:首先计算题示波函数关于x 的一阶导数: () ?? ? ??-?-+-?= →→ ? ???? ???? ??-= 222 345223 321exp 3923)(21exp )32(3)(x x x x dx d x x x dx d x dx d ααααπα ?αααπα? 再来计算题示波函数关于x 的二阶导数: () ?? ? ??-?+-++-?= →?? ?? ????? ??-?-+-?=223 35573352 2 222 34522 21exp )392188(3)(21exp 3923)(x x x x x x dx x d x x x dx d dx x d ααααααπα ?ααααπα? ?? ? ??-?-?-=→ ?? ? ??-?--?= → ??? ??-?+-?= → 223 32 2 4 2 2 223 32242 2 223 35572 2 21exp )32(3) 7()(21exp )32)(7(3)(21exp )21172(3)(x x x x dx x d x x x x dx x d x x x x dx x d αααπα αα?αααααπα ?ααααπα ? 最后得到, )()7()(2 2422 x x dx x d ?αα?-=→ 然后将题示波函数关于x 的二阶导数代入线性谐振子的薛定谔方程(2.7-1)式 )()(2 1)(22 22 22 x E x x m x dx d m ??ω?=+ - (2.7-1) 的左边,即 )(2 1)(2)(27Left 2 22 42 2 2 x x m x x m x m ?ω?α?α + - = 将关系式, ωαm = 代入上式, ) (2 7)(21)(21)(27Left )(2 1)(2)(27Left 2 2222 222 2 2 x x x m x x m x x x m x x m m x m m ω??ω?ωω??ω?ω?ω =+-=+? ?? ??-??= 而线性谐振子的薛定谔方程(2.7-1)式右边)(Right x E ?=。可见当ω 2 7=E 时,左 边等于右边。根据“线性谐振子的能级”表达式 (2.7-8), ???=??? ? ? +=,2,1,0,21n n E n ω 可知3=n ,则, ?? ? ??-= 223 321exp )32(3)(x x x x αααπα ? 是线性谐振子的波函数,其对应的能量为ω 27= E 。 2*. 求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的概率(选学内容)。 求解:基态能量为ω 2 10= E ,设基态的经典界限的位置为a ,则有 02 201 2 12 1a m a a m E == = →= = α ω ωω 根据课本32页“能量n E 所对应的波函数”表达式(2.7-15)的第二式有, )(2exp )()(2exp )(0220022x H x N x x H x N x n n n αα?αα???? ? ??-=→???? ??-= 根据课本32页“厄密函数的归一化常数n N ”的表达式(2.7-17)有, π απα= →= 0! 2N n N n n 再根据课本32页“厄密多项式n H ”的表达式(2.7-14)可知,10=H 。则, ??? ? ??-= 2202exp )(x x απα ? 这里的 ωαm = ,m 为谐振子的质量。于是得到基态微观线性谐振子概率表达式, )exp(|)(|2 22 0x x απ α?ω-= = 在界限外发现振子的概率为 ???∞ ∞ -∞--=??? ? ??-+-= 00 )()exp(2 )exp()exp(2 22 222a a a x d x dx x dx x ααπ ααπαω 令x y α=,则有 ??∞ ∞ -= -= 1 2 2 2 )exp(2 )()exp(2 dy y x d x a π αα π ω 应用公式,π= -?∞ ∞ -dy y )exp(2 ,则, ???∞ -∞-∞ ∞ ---=??? ? ?? ---= 1 2 1 2 2)exp(2 2)exp()exp(2dy y dy y dy y ππππω 在此令2 t y = ,则有, ??∞-∞-???? ??--=?? ? ?????? ??-- =2 22 22exp 21 2222exp 2 2dt t t d t ππω 而 ?∞-???? ??-2 22exp 21 dt t π为正态分布函数 ?∞-???? ??-= t dt t t 2exp 21 )(2π? 在2=t 时的函数。当2=t 时查表可得:92.0)2(≈?,所以, 16.092.022=?-≈ω 可见,在经典极限外发现振子的概率为0.16。 关于薛定谔方程 一.定义及重要性 薛定谔方程(Schrdinger equation)是由奥地利物理学家薛定谔提 出的量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假定, 其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合 建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动,每个微观系统都 有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式 以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程,亦是量子力学的一个基 本假定,它的正确性只能靠实验来检验。 二.表达式 三.定态方程 ()() 2 2 2 V r E r m η ψψ + ?? -?= ?? ?? 所谓势场,就是粒子在其中会有势能的场,比如电场就是一个带电粒子的势场;所谓定态,就是假设波函数不随时间变化。 其中,E是粒子本身的能量;v(x,y,z)是描述势场的函数,假设不随时间变化。 2 2 22222 z y x ??????++=? 可化为 d 0)(222 =-+ψψv E h m dx 薛定谔方程的解法 一. 初值解法;欧拉法,龙格库塔法 二. 边值解法;差分法,打靶法,有限元法 龙格库塔法(对欧拉法的完善) 给定初值问题 ). ()()((3) ) ,(),()( ,,(2) )(),( 311212 2111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==?????=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββα βα 清华大学大学物理习题库:量子物理 一、选择题 1.4185:已知一单色光照射在钠表面上,测得光电子的最大动能是1.2 eV ,而钠的红限波长是5400 ?,那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? [ ] 2.4244:在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片,其红限波长为??。今用单色光照射,发现有电子放出,有些放出的电子(质量为m ,电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动,那末此照射光光子的能量是: (A) 0λhc (B) 0λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ [ ] 3.4383:用频率为??的单色光照射某种金属时,逸出光电子的最大动能为E K ;若改用 频率为2??的单色光照射此种金属时,则逸出光电子的最大动能为: (A) 2 E K (B) 2h ??- E K (C) h ??- E K (D) h ??+ E K [ ] 4.4737: 在康普顿效应实验中,若散射光波长是入射光波长的1.2倍,则散射光光子能量?与反冲电子动能E K 之比??/ E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 [ ] 5.4190:要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV [ ] 6.4197:由氢原子理论知,当大量氢原子处于n =3的激发态时,原子跃迁将发出: (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 [ ] 7.4748:已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ,当氢原子从能量为-0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV [ ] 8.4750:在气体放电管中,用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子,此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ,10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ,10.2 eV 和 3.4 eV [ ] 9.4241: 若?粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动,则?粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh [ ] 10.4770:如果两种不同质量的粒子,其德布罗意波长相同,则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 [ ] 一维定态薛定谔方程 的应用 授课人: 物理科学与技术学院 势 阱 日常生活中的各种井(阱) 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型,因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U () U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型, 应用定态薛定谔方程求解波函数, 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱 建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ,由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) : 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( ): 令: 2 22mE k =得通解: ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大,所以粒子不可能在阱外出现,或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+= 利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?,(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??, 0?=π n k a =()1,2,3n =???, 实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法 一.实验目的 1.掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。 2.掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理,会调用相应的子程序求解具体问题。 二.实验内容 1.问题描述 以/2ω/()m ω为长度单位,一维谐振子的哈密顿量为 2 202d H x dx =-+, 其本征值为21n E n =+,本证波函数为 2 /2)()n n x H x ?=-, 其中()n H x 为厄米多项式,满足递推关系 11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。 用矩阵方法求 2 22d H x x dx =-++ 的本证能量和相应的波函数。 2.问题分析 H E ψψ= 0()|j j j t c ψ?∞ ==>∑ 0||i i j i j i j c E c x Ec ??∞ =+<>=∑ 11|j j j x ???-+>=>> 11||||j j j j x x ????-+<>= <>= 0010010 112111,211,11,1 n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------?????????????????????????=??????????????????????? ? 3.程序编写 子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集(第二版)》第三章 徐士良,P97 4.实验要求 ◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。 ◆取n=8,给出H 的全部特征值和相应的特征向量。 5.实验步骤 ● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。 ● 创建新工作区shiyan03。 ● 创建新项目xm3。 ● 创建源程序文件xm3.f90,编辑输入源程序文本。 ● 编译、构建、运行、调试程序。 6.实验结果 程序设计: 清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读 一、选择题 1.4185:已知一单色光照射在钠表面上, 测得光电子的最大动能是1.2 eV ,而钠的红限波 长是5400 ?,那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? [ ] 2.4244:在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片,其红限波长为λ0。今用单色光照射,发现 有电子放出,有些放出的电子(质量为m ,电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动,那末此照射光光子的能量是: (A) (B) (C) (D) [ ] 3.4383:用频率为ν 的单色光照射某种金 属时,逸出光电子的最大动能为E K ;若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电 子的最大动能为: (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K [ ] 4.4737: 在康普顿效应实验中,若散射光 波长是入射光波长的1.2倍,则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 [ ] 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+ 5.4190:要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV [] 6.4197:由氢原子理论知,当大量氢原子处于n =3的激发态时,原子跃迁将发出: (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱[] 7.4748:已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV,当氢原子从能量为-0.85 eV的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV [] 8.4750:在气体放电管中,用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子,此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV,10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV,10.2 eV和 3.4 eV [] 9.4241:若 粒子(电荷为2e)在磁感应 薛定谔方程 在一维空间里,一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为 ;(1) 其中,是质量,是位置,是相依于时间的波函数,是约化普朗克常数,是位势。类似地,在三维空间里,一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为 。(2) 假若,系统有个粒子,则波函数是定义于 -位形空间,所有可能的粒子位置空间。用方程表达, 。 其中,波函数的第个参数是第个粒子的位置。所以,第个粒子的位置是。 不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不相依于时间,又称为本征能量薛定谔方程,或定态薛定谔方程。顾名思义,本征能量薛定谔方程,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法,猜想的函数形式为 ; 其中,是分离常数,是对应于的函数.稍回儿,我们会察觉就是能量. 代入这猜想解,经过一番运算,含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程: 。 类似地,方程 (2) 变为 。 历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子,光波的粒子;也就是说,光波具有粒子的性质,一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里,能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同,所以,连带地,光子的动量与波数成正比。 1924年,路易·德布罗意提出一个惊人的假设,每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年,克林顿·戴维和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后,测量反射的强度,侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论,既然粒子具有波粒二象性,应该会有一个反应这特性的波动方程,能够正确地描述粒子的量子行为。于是,薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路,在牛顿力学与光学之间,有一种类比,隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是,在零波长极限,实际光学系统趋向几何光学系统;也就是说,光射线的轨道会变成明确的路径,遵守最小作用量原理。哈密顿相信,在零波长极限,波传播会变为明确的运动。可是,他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚,经典力学的哈密顿原理,广为学术界所知地,对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程,他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线,得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是,薛定谔对这结果并不满足,因为,索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程(现今称为克莱因-高登方程),可以描述电子在库仑位势的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是,相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此,他认为先前非相对论性的部分,仍旧含有足够的新结果。因此,决定暂时不发表相对论性的修正,只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文。1926年,正式发表于物理学界[2]。从此,给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了的行为,但并没有解释的意义。薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度,但却失败了。1926年,就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天,马克斯·玻恩提出概率幅的概念,成功地解释了的物理意义[3]。可是,薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法,和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给马克斯·玻恩的一封信,薛定谔清楚地表明了这看法。 含时薛定谔方程导引 第一章 薛定谔方程 §1.1.波函数及其物理意义 1. 波函数: 用波函数描述微观客体的运动状态。 例:一维自由粒子的波函数 推广 :三维自由粒子波函数 2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释 用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。 t 时刻,出现在空间(x,y,z )点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。 t 时刻,粒子出现在空间(x,y,z )点附近单位体积内的概率。 t 时刻,粒子在空间分布的概率密度 4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 标准条件:一般情况下, 有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。 对微观客体的数学描述: 脱离日常生活经验,避免借用经典语言引起的表观矛盾 §1.2. 薛定谔方程 是量子力学的基本假设之一,只能建立,不能推导,其正确性由实验检验。 1. 建立 (简单→复杂, 特殊→一般) 一维自由粒子的振幅方程 非相对论考虑 2. 一维定态薛定谔方程 2 |),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===?=ψ???N N N N V V N N V V V . 是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x 0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x 3. 三维定态薛定谔方程 4. 一般形式薛定谔方程 5. 多粒子体系的薛定谔方程 讨论: 1、薛定谔方程也称波动方程,描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。 2 、建立方程而不是推导方程,正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设,不能从其他更基本原理或方程推导出来,它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程,相当于牛顿方程。 4、自由粒子波函数必须是复数形式,否则不满足自由粒子薛定谔方程。 5、薛定谔方程是非相对论的方程。 量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。 求解问题的思路: 1. 写出具体问题中势函数U (r )的形式代入方程 2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 4. 讨论解的物理意义, 薛定谔的另一伟大科学贡献 《What is life ?》 薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖 定态薛定谔方程 一.定态薛定谔方程条件:V (r,t )=V(r), 与t 无关。用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t),代入薛定谔方程,得两个方程: 此称定态薛定谔方程 整个定态波函数形式: ),,,(),,,()],,,(2[),,,(2121212221t r r t r r V t r r m t r r t i i i i ψ+ψ?-=ψ??∑)t (Ef t )t (f i =?? Et i ce )t (f -=)r (E )r ()r (V )r (m ?=?+??-222Et i e )r ( -?=ψ 薛定谔方程应用举例II---原子系统 氢原子的定态薛定谔方程 ??? ? [键入作者姓名] [键入文档标题] ——利用分步快速傅里叶变换对光纤中光信号的传输方程进行数值求解 1、非线性薛定谔方程 非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ,NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的,应用在量子力学系统中。由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态,所以不能运用牛顿力学公式来表示。通常在量子力学中,研究系统的状态一般通过波函数(x ,t)来表示。而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。 一般情况下,光脉冲信号在光纤中传输时,同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。通过Maxwell 方程,考虑到光纤的色散和非线性效应,可以推导出光信号在光纤中的传输方程,即非线性薛定谔方程。NLSE 是非线性偏微分方程,一般很难直接求出解析解,于是通过数值方法进行求解。具体分为两大类:(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ,SSFD);(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ,SSFT)。一般情况,在达到相同精度,由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换,所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程,即非线性薛定谔方程进行数值求解。并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。 非线性薛定谔方程的基本形式为: 22||t xx iu u u u =+ 其中u 是未知的复值函数. 目前,采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的,这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕方程最快的方法,部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(Fast Fourier Transform Algorithm)。基于MATLAB 科学计算软件以及MATLAB 强大的符号计算功能,完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。 一般情况下,光脉冲沿光纤传播时受到色散和非线性效应的共同作用,假设当传输距离 很小的时候,两者相互独立作用,那么,根据这种思想可建立如下分步傅立叶数值算法的数 学模型: 把待求解的非线性薛定谔方程写成以下形式: ??()U D N U z ?=+? (I ) (II ) §16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 (一)一维运动自由粒子的薛定谔方程 波函数随时间和空间而变化的基本方程,是薛定谔于1926年提出的,称为薛定谔波动方程,简称波动方程或薛定谔方程,它成为量子力学的基本方程. 将(16.2.14)式分别对t 和x 求导,然后从这两式消去E 、p 、和ψ,便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程: ψ-=?ψ?)/iE (t 即ψ=?ψ?E t i (16.3.1) ψ=?ψ ?22)/ip (x 2 ψ=ψ ?-2222p ????? ?????<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v 方程(16.3.3)中不含有能量E 和动量p ,表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程. 请同学们自己试一试,如果上述波函数不用复数表式(16.2.14),改用类似于(16.2.1)式的余弦函数或正弦函数表式,就不会得到合乎要求的薛定谔方程(16.3.3)式?. 这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得,也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的,它是在物质波假设的基础上,参照经典波动方程而建立起来的.薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用,它推导出来的结果,都与相关实验结果符合得很好,这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明. (二)一维运动自由粒子的定态薛定谔方程?? 上述薛定谔方程(16.3.3)是偏微分方程,从此方程可解出波函数ψ(x ,t ).在量子力学中最重要的解,是可把波函数ψ(x,t )分离成空间部分u (x )和时间部分f (t )两函数的乘积的特解,即 〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ(x,t )=u (x )f (t )(16.3.4) 将此式代入(16.3.3)式得: 22 2dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -= 两边除以ψ=uf 得: 22 2dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -= 此式左边是时间t 的函数,右边是坐标x 的函数.已知t 与x 是互相独立的自变量,左右两边相等,必须是两边都等于同一常量E ,即 ? 郭敦仁《量子力学初步》16—17页,人民教育出版社1978年版. ? 郭敦仁《量子力学初步》21—22页,人民教育出版社1978年版. ? 周世勋编《量子力学》32—33页,上海科学技术出版社1961年版. 非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解 摘要:光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一,从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程,都试图对其进行更好的阐释,其次对于非线性动力学系统中,非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征,对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质,所以本文主要从孤子解的传输入手,并且简单介绍了怪波解的解形式。 薛定谔方程又称薛定谔波动方程,是量子力学的一个基本方程,同时又是量子力学的基本假设之一,由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的,它在量子力学中的地位非常重要,相当于牛顿定律对于经典力学一样。 随着人们对世界的不断探索,非线性现象逐渐走进人们的视野,这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述,显然线性方程已经不能满足人们的需求。 1973年,Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程,最简单的形式是: 其中为常数。因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用,如超导,光孤子在光纤中传播,光波导,等离子体中的Langnui波等,所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情,至今还在生机勃勃的向前发展着。 1 分步傅里叶法计算演化过程 对于处理非线性性薛定谔方程,常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法,为了简单起见,只考虑二阶色散和自相位调制,不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。上述方程中做 2 β为二阶色散,γ表示Kerr效应系数,g和α分别代表光纤中的增益和损耗。对上述方程转化到频域,先不考虑增益和损耗。可以得到 2 k k k k k dA i A i a a dz βγ =?+F. 其中2 2 2 k i β β ?=Ω 令() exp k k A B i z β =?可以得到 () 2exp k k k k dB i a a i z dz γβ =-? F 以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解,但是速度较慢,所以我们需要做差分处理。 ()() ()()() 2 exp k k k k k B z z B z i a z a z i z z γβ +?- =-? ? F 再利用() exp k k A B i z β =?可以得到 ()()()() ()()() 2 2 exp exp exp k k k k k k k k A z z A i a z a z z i z a z i a z z i z γβ γβ ?? +?=+??? ?? ?? ?? ≈????? ?? F F 然后做傅里叶反变换就可以得到最终的结果 ()()()() 2 1exp exp - k k k k a z z a z i a z z i z γβ ?? +?=????? ?? F F (16.4.4) (16.4.5) (图16.4a )球极坐标 薛定谔方程对氢原子的应用 (一)氢原子的薛定谔方程 前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及其定态解.本节要讨论氢原子中电子的运动,这与前一节有两点不同: (1)氢原子电子作三维空间运动,因此,薛定谔方程(16.3.3)中的波函数ψ(x,t )应换成ψ(x,y,z,t ) 或ψ(r ,t ),而2 2 x ?? 应换成=??+??+??2 2 22 22 z y x ▽2.此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符. ???? ??<<的薛定谔方程 三维运动自由粒子)c (v 222222222z y x )m 2/(t i ??+??+??=?=?ψ?-=?ψ? (16.4.1) (2)氢原子的电子不是自由粒子,它受到氢核的库仑力,此力的作用可用它们的电势能E p 表示.因此,氢原子电子的薛定谔方程可表示如下 ?? ,见〔附录16D 〕. ??? ???<<的薛定谔方程氢原子电子)c (v p 2p k p 2 2E )m 2/p (E E E E )m 2/(t i +=+=ψ+ψ?-=?ψ? (16.4.2) *(二)氢原子的定态薛定谔方程 定态解是解决氢原子各种问题的基础.参照(16.3.4)至(16.3.6)式,可把(16.4.2)式中的波函数ψ(r ,t )分离为空间部分u (r )和时间部分f (t ),并参照(16.3.10)式写出氢原子的定态薛定谔方程,见〔附录16E 〕. ψ(r ,t )=u (r )f (t ), f (t )=C /iEt e - (16.4.3) ??????<<的定态薛定谔方程氢原子电子)c (v r 4e E 0u )E E )(/m 2(u 02p p 2 2 πε-==-+? 氢核的质量比电子的大得多,可认为氢核不动,电子绕核转动.其电势能可表成E p =-e 2/4πε0r .此势能E p 只与电子至氢核的距离r 有关,而与方向无关,即具有球对称性,应用球极坐标较为方便.如(图16.4a ),O 表氢核,e 表电子,r 为e 至O 的距离.θ为r 与z 轴的夹角,θ称天顶角或极角.?为r 在xOy 平面的投影与x 轴的夹角.故有 x=rsin θcos ?; y=rsin θsin ?; z=rcos θ (16.4.6) 拉氏算符 2 2 22222 z y x ??+??+??=? 改用球坐标(r,θ,?)表示如下:?? ()() 2 2 222222sin r 1sin sin r 1r r r r 1???θ+θ??θθ??θ+????=?(16.4.7) 将此▽2算符代入(16.4.4)式,便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程. ? 郭敦仁《量子力学初步》18—19,34—35页,1978年版. ? 程守洙、江之永编,王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页,1982年修订本. ? 郭敦仁《量子力学初步》35—45页,1978年版. 关于薛定谔方程 一. 定义及重要性 薛定谔方程(Schrdinger equation )是由奥地利物理 学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假定,其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程,亦是量子力学的一个基本假定,它的正确性只能靠实验来检验。 二. 表达式 三. 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场,就是粒子在其中会有势能的场,比如电场就是一个带电粒子的势场;所谓定态,就是假设波函数不随时间变化。 其中,E 是粒子本身的能量;v(x ,y ,z)是描述势场的函数,假设不随时间变化。 2 2 22222z y x ?? ????++=? 可化为d 0)(222=-+ψψ v E h m dx 薛定谔方程的解法 一. 初值解法;欧拉法,龙格库塔法 二. 边值解法;差分法,打靶法,有限元法 龙格库塔法(对欧拉法的完善) 给定初值问题 ).()()((3) ) ,() ,() ( ,,(2) )() ,( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==????? =≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法 的值及确定常数ββα βα (16.4.4) (16.4.5) (图16.4a )球极坐标 薛定谔方程对氢原子的应用 (一)氢原子的薛定谔方程 前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及 其定态解.本节要讨论氢原子中电子的运动,这与 前一节有两点不同: (1)氢原子电子作三维空间运动,因此,薛定 谔方程(16.3.3)中的波函数ψ(x,t )应换成ψ(x,y,z,t ) 或ψ(r ,t ),而22x ??应换成=??+??+??222222z y x ▽2.此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符. ??????<<的薛定谔方程三维运动自由粒子)c (v 222222222z y x )m 2/(t i ??+??+??=?=?ψ?-=?ψ? (16.4.1) (2)氢原子的电子不是自由粒子,它受到氢核的库仑力,此力的作用可用它们的电势能E p 表示.因此,氢原子电子的薛定谔方程可表示如下??,见〔附录16D 〕. ??????<<的薛定谔方程氢原子电子)c (v p 2p k p 22E )m 2/p (E E E E )m 2/(t i +=+=ψ+ψ?-=?ψ? (16.4.2) *(二)氢原子的定态薛定谔方程 定态解是解决氢原子各种问题的基础.参照(16.3.4)至(16.3.6)式,可把(16.4.2)式中的波函数ψ(r ,t )分离为空间部分u (r )和时间部分f (t ),并参照(16.3.10)式写出氢原子的定态薛定谔方程,见〔附录16E 〕. ψ(r ,t )=u (r )f (t ), f (t )=C /iEt e - (16.4.3) ??????<<的定态薛定谔方程氢原子电子)c (v r 4e E 0u )E E )(/m 2(u 02p p 22πε-==-+? 氢核的质量比电子的大得多,可认为氢核不动,电子绕核转动.其电势能可表成E p =-e 2/4πε0r .此势能E p 只与电子至氢核的距离r 有关,而与方向无关,即具有球对称性,应用球极坐标较为方便.如(图16.4a ),O 表氢核,e 表电子,r 为e 至O 的距离.θ为r 与z 轴的夹角,θ称天顶角或极角.?为r 在xOy 平面的投影与x 轴的夹角.故有 x=rsin θcos ?; y=rsin θsin ?; z=rcos θ (16.4.6) 拉氏算符 2222222z y x ??+??+??=?改用球坐标(r,θ,?)表示如下:?? ()() 22222222sin r 1sin sin r 1r r r r 1???θ+θ??θθ ??θ+????=?(16.4.7) 将此▽2算符代入(16.4.4)式,便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程. ? 郭敦仁《量子力学初步》18—19,34—35页,1978年版. ? 程守洙、江之永编,王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页,1982年修订本. ? 郭敦仁《量子力学初步》35—45页,1978年版. ? 周世勋编《量子力学》59—72页,1961年版. 1.4185:已知一单色光照射在钠表面上,测得光电子的最大动能是1.2 eV ,而钠的红限波长是5400 ?,那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? [ ] 2.4244:在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片,其红限波长为λ0。今用单色光照射,发现有电子放出,有些放出的电子(质量为m ,电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动,那末此照射光光子的能量是: (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ [ ] 3.4383:用频率为ν 的单色光照射某种金属时,逸出光电子的最大动能为E K ;若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电子的最大动能为: (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K [ ] 4.4737: 在康普顿效应实验中,若散射光波长是入射光波长的1.2倍,则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 [ ] 5.4190:要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV [ ] 6.4197:由氢原子理论知,当大量氢原子处于n =3的激发态时,原子跃迁将发出: (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 [ ] 7.4748:已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ,当氢原子从能量为-0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV [ ] 8.4750:在气体放电管中,用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子,此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ,10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ,10.2 eV 和 3.4 eV [ ] 9.4241: 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动,则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh [ ] 10.4770:如果两种不同质量的粒子,其德布罗意波长相同,则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 [ ] 11.4428:已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为: a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a ),那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 [ ] 12.4778:设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示,那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图? 薛定谔方程(Schrodinger equation)是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假定,其正确性只能靠实验来检验。它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。 1定义 薛定谔方程 薛定谔方程(Schrodinger equation)又称薛定谔波动方程(Schrodinger wave equation)在量子力学中,体系的状态不能用力学量(例如x)的值来确定,而是要用力学量的函数Ψ(x,t),即波函数(又称概率幅,态函数)来确定,因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何,这个分布随时间如何变化,这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的,它是量子力学最基本的方程之一,在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程,亦是量子力学的一个基本假定,其正确性只能靠实验来确定。 2方程概述 量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理,对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。 薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子,其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当涉及相对论效应时,薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代,其中自然包含了粒子的自旋。.薛定谔提出的量子力学基本方程。建立于1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ(r,t),质量为m的微观粒子在势场V(r,t)中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,可解出波函数Ψ(r,t)。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值(期望值)。当势函数V不依赖于时间t时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ(r)称为定态波函数,满足定态薛定谔方程,这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量,Ψ(r)又称为属于本征值E的本征函数。 薛定谔方程是量子力学的基本方程,它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律,就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样,它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具,在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。 3提出历史 当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家 一. 定义及重要性 薛定谔方程(Schrdinger equation )是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假定,其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程,亦是量子力学的一个基本假定,它的正确性只能靠实验来检验。 二. 表达式 三. 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场,就是粒子在其中会有势能的场,比如电场就是一个带电粒子的势场;所谓定态,就是假设波函数不随时间变化。 其中,E 是粒子本身的能量;v(x ,y ,z)是描述势场的函数,假设不随时间变化。 可化为 薛定谔方程的解法 一. 初值解法;欧拉法,龙格库塔法 二.边值解法;差分法,打靶法,有限元法 龙格库塔法(对欧拉法的完善) 给定初值问题 有限元方法 有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用,例如用多边形(有限个直线单元)逼近圆来求得圆的周长,但作为一种方法而被提出,则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法,应用于航空器的结构强度计算,并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力,随着计算机技术的快速发展和普及,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域,成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。 有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解,然后推导求解这个域总的满足条件,从而得到问题的解。这个解不是准确解,而是近似解,因为实际问题被较简单的问题所代替。不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的函数的Rayleigh Ritz法,有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。最新薛定谔方程及其解法
清华大学大学物理习题库量子物理
大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
薛定谔方程与提出背景
薛定谔方程
固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II
? 氢原子 ? 电子自旋 ? 多电子原子
1
?原子由一个原子核和核外电子构成,属于多粒子体系。多粒 子体系的总能量等于每一个粒子的能量与粒子间相互作用能量 之和。
?氢原子包括一个原子核和电子,库仑场是各向同性的,哈密 顿量可记作(绝热近似):
H?
=
?
h2 2me
?2
+
qeU(r)
me为电子质量,qe是电子电荷。U(r)为原子核静电场中的库 仑势,记作:
U(r) = ? Zqe = ? Z h2
4πε0r a1meqer
Z为核的电荷数,a1 = 4πε0?2/(meqe2) = 0.529?,为氢原子的第
一波尔轨道半径。
2
h2 2me
?2
?
Zh 2 a1meqer
??ψ
?
(r)
=
E
?ψ
(r)
中心力场问题,采用球坐标,薛定谔方程为:
? ?? ??
h2 2me
?
????
1 r2
? ?r
r2
? ?r
?
L?2 r2
???? ?
Zh2
?
?ψ (r,?,θ ) =
a1mer ??
E ?ψ (r,?,θ )
用分离变量法求解,令:
ψ (r,θ ,φ) = R(r) ?Y (?,θ )
分别求解径向波函数R(r)和角向波函数Y(?,θ)。
3非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真
§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解
§16.2 薛定谔方程对氢原子的应用
薛定谔方程及其解法
薛定谔方程对氢原子的应用
大学物理量子力学习题附答案
薛定谔方程
薛定谔方程及其解法