放缩法技巧全总结
2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:
35112
<∑=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222n n n n n ,所以35321121121513121112=+
k 奇巧积累:(1)??? ??+--=-<
=1211212144
4412
2
2n n n n
n
(2))
1(1)1(1)1()1(212
11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r r
r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-++?+
?++<+n n n n (5)
n
n n
n
2
1121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)
2
1
2121
21222)1212(21
-++
=
-++=
--+ (11) )2(1 21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(111 2 3 --+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 1112111111 +--<-++? ??? ??+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-? >-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 解析:(1)因为 ??? ??+--=+->-12112121)12)(12(1) 12(12 n n n n n ,所以 ) 1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2))111(41)1211(4141361161412 22n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n ++= -+>12)1(21 ,所以容易经过裂项得到 n n 13 12 11)11(2+ ++ + <-+ 再证 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的，所以 )112(213 12 11-+<+ ++ + n n 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析:一方面:因为??? ??+--=-=-<121121 2144 4 11 1 222 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + n k 另一方面:1 111)1(143132111914112+= +-=+++?+?+>++++n n n n n n 当3≥n 时,) 12)(1(61 ++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时, 21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++ ,所以综上有 3 5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥.证 明:1k a b +>. 解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则 b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 1 11 ln ln ,因为)ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=, 于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑ =++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只 要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 11])1[()1(])1([,即等价于 m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T . 解析:)21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++= 所以 123)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3422 111111+?-??=+?-?=-+=-+-=-+-=++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??= +12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2 31211217131311231321 T T T T 例7.已知11=x ,???∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21 1 1 4 1 224 544 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+ ?+ 证明: n n n n n n x x n n 222141 141 ) 12)(12(1 1 4 2 4 24 4 1 22= ?=> -= +-= +,因为 12++ 1(21 2 221 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+ 二、函数放缩 例8.求证：)(6 65333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ 因为??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+ ++n n n n 311212 1 9181716151413121313 1 21 6533323279189936365111n n n n n =??? ? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n n 例9.求证:(1))2() 1(212ln 33ln 22ln ,22 ≥+--<+++≥n n n n n n α αααααα 解析:构造函数 x x x f ln )(=,得到22ln ln n n n n ≤α α ,再进行裂项)1(1111ln 2 22 +-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案 解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析: 1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4 ) 1(1ln 54 ln 4 3ln 32ln >∈-<++ ++ +n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--=--= x x x x f ,令 0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2 11 ln -≤ +n n n ,所以)1*,(4 )1(1ln 54ln 43ln 32 ln >∈-<+++++ n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2 n n n a a a n n +==+++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21)1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到 n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1++++ <+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路： ?+++ ≤+n n n a n n a )21 11(2 1?++++ ≤+n n n a n n a ln )2 1 11ln(ln 2 1 n n n n a 2 1 1ln 2 +++ ≤。于是 n n n n n a a 2 1 1ln ln 2 1++≤ -+， . 221122 11)21 (111ln ln )211()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+ -≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n 注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩： ?-+-+ ≤+)1(1 ))1(11(1n n a n n a n n ? +-+≤++)1)() 1(11(11n n a n n a .)1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证：函数 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ 解析:(I)0)()(')('2 >-= x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212 111 2 1211 1x x f x x x x f x x x x f x x f +?+< ?++< )()()()(212 122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ 两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3) ) ()()() (21211 121211 1n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ )()()()(212122212122n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ 所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令 2 )1(1n x n += ,有 < ??? ? ??++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21 n n ? ??? ??++++????? ??+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n ???? ? ?+++?+?????? ??++++ =?? ? ??+-??? ??+- ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ (方法二)?? ? ??+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22 2 n n n n n n n n n 所以) 2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2 1 22222222 +=??? ??+->++++++ n n n n n 又1 114ln +>>n ,所以 ). ()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++> ++++++ 例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥ ++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k = +-> . 2 021,0)(,ln 1)ln(1ln )(. 0),ln()(ln )(, ln )(k x k x k k x x k x x g x k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令 ∴函数k k x g ,2 [)(在）上单调递增，在 ]2 ,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为 )2(k g ，即总有).2 ()(k g x g ≥ 而,2ln )()2ln (ln 2 ln )2 ()2 ()2 (k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1 21 1()5 11)(3 11)(11(+>-+ +++n n 和 1 21)21 1()611)(411)(211(+< +---n n 也可以表示成为 1 2) 12(5312642+>-???????n n n 和1 212642)12(531+ 解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??1 22563412n n =+??n n 2126 74523 )12(2126 54321+?-??n n n ?12)122563412(2+>-??n n n 即.12)1 21 1()5 11)(311)(11(+>-+ +++n n 例20.证明:.13)2 311()711)(411)(11(3+>-+++ +n n 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n (加1) n n n n 3139 1067.342 3137 84512+????>--???? (加2) 相乘,可以得到: )13(1323875421131381057.2423137 845122 +?--????=-+????>??? ??--????n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 四、分类放缩 例21.求证:2 1213 12 11n n >-+ +++ 解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113 333n 2)2 11(221)212121( n n n n n n n >-+=-+++ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线x y 2= （x ≥0）上的点 列{}n B 满足n OB OA n n 1==，直线 n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n . (1)证明n a >1+n a >4，*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0，使得对0n n >?都有n n n n b b b b b b b b 112312+-++++ <2008-n . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ??> ??? ，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n += ∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ( )() 11000n n a b n n ??? -=--? ???? n a 2222 1210,2n n n n n b n b b n b =->+= 212n n n n a b n b ∴=+ 1n a 显然，对于1 101 n n > >+，有*14,n n a a n N +>>∈ (2)证明：设 *1 1,n n n b c n N b +=- ∈，则 ( ) ()() 22222 11121121 2121n c n n n n n n n ?- +??? ?++ > ++ ?()()() 2 *1 212210,,2 n n n n n c n N n ++-+=>∴> ∈+ 设*12,n n S c c c n N =++ +∈，则当() *221k n k N =->∈时， 2311111111 11 1342123421 221 2n k k k k S -??????>++ + +=++++ +++ ? ? ?-++?????? 2123111122222 22 k k k -->? +?++? =。 所以，取4009022n =-，对0n n ?>都有： 2008214017111012312=->>=???? ??-++???? ??-+???? ??-+n n n n S S b b b b b b 故有n n n n b b b b b b b b 112312+-++++ <2008-n 成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(*3 N n n n f b n ∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并 证明你的结论。 解析:首先求出x x x f 2)(2+=,∵n n n n n n f b n 12)(3 23>+== ∴n b b b b T n n 131211321++++>++++= ,∵214124131=?>+,218148 1716151=?>+++, (2121221221121) 1 11=?>++++ +---k k k k k ,故当k n 2>时,12 +>k T n , 因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当222->m n 时,必有A m m T n >=+->12 22. 故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组?? ? ??+-≤>>n nx y y x 3, 0, 0表示的平面区域为n D ,设n D 内整数坐标点的个数为n a .设 n n n n a a a S 22 1 111+ ++ = ++ , 当2≥n 时,求证:3611711112321+≥++++n a a a a n . 解析:容易得到n a n 3=,所以,要证 36 11711112321+≥++++n a a a a n 只要证12 11721312112+≥++++ =n S n n ,因为 n n n n S 2 1 221121()81716151()4131(211112++++++++++++++ =-- 12 117)1(12723211121222+=-+≥+++++ =-n n T T T n ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25. 已知1,1411 =++= +x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑11 22|2| 解析:通过迭代的方法得到1 212-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2 !sin 2 !2sin 2 !1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1 n 解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(| ||2 1k n n n n k n k n n n S S ++++++++++=- k n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2 12 12 1|2 )sin(||2 )!2sin(||2 )!1sin(|2121 n k n k n 2 1)2 11(2 1)2 12 12 1(2 12<-?=+++= 又n C C C n n n n n n >+++=+= 10)11(2 所以n S S n n k n 121||< < -+ 六、借助数列递推关系 例27.求证:1222642)12(5316 425314 2312 1-+ n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 n n n n n a na a n a n n a +=+?++= ++2)1(2) 1(21 211,从而 n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到 1 2 21)22(13 21)1(22)1(21121-+? +<-+? +<-+=++++n n n n a a n a a a n n 所以1222642)12(5316 425314 2312 1-+ n 例28. 求证:1122642)12(5316 425314 2312 1-+ n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 1 11)12(]1)1(2[) 1(212+++++=++?++= n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到 1122 3 1 21)12(3)12(1121-+<- +? +<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=?=+n a a a n n ,求证:)11(21 11 21 -+≥+++ n a a a n 解析: n n n n n n n a a a a a n a a -=? +?=+=?+++++21 112112 所以就有21221 111 211211 21 -+=-≥--++=+++ ++n a a a a a a a a a a a n n n n n 七、分类讨论 例30.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数 4>m ，有 8 711154< +++m a a a 解析:容易得到 [] .)1(23 212---+= n n n a , 由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当3≥n 且n 为奇数时1 2222223)121121(2311 2 13 21 2121--++?=-++=+ -------+n n n n n n n n n a a ) 2 121(232 2 2 2 3123 21 2 -----+?= +? m 且m 为偶数时 = +++m a a a 11154 )11()11(11654m m a a a a a +++++- .878321)2 11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<--m m ②当4>m 且m 为奇数时<+++ m a a a 1 11 54 1 541111+++++m m a a a a （添项放缩）由①知 . 8 71111154<+++++m m a a a a 由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数2 21()2 x f x x +=+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。 解析:由 22 22 1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-= +知 1 (())((1)1)0 2 f x f +-≤ 即 1 ()12 f x -≤≤ 由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为12 - ，最大值为1 因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133233a b a b ?-≤-+≤? ? ?-≤+≤? 即a ，b 满足约束条件3 3 1 321 32 a b a b a b a b +≥-??+≤???-+≥-??-+≤??， 由线性规划得，a b -的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32.设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2 ) 1(2+< <+n S n n n 解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+= 2121)1(+=++<+ 2 1(1 1 ∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.2 )1(22)1(2 ) 1(2 +<++< <+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a a b +≤ ，若放成1)1(+<+k k k 则得 2)1(2)3)(1()1(21 +> ++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 211111 1++≤++≤ ≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数bx a x f 211)(?+= ，若5 4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 解析: )2211()()1()0(2 21141114 14 )(?->++?≠?->+- =+=n f f x x f x x x x . 2 121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?- ++-n n n n n 例34.已知b a ,为正数，且1 1 1=+ b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由111=+b a 得 b a ab +=，又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而 n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则 )(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ，因为i n n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111 111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ ， 而12 1 1 1 1 2422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ， 则)(2n f =))(22())((1 1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ?-≥)22 (n 1 2 +n ，所以)(n f ?-≥)22(n n 2，即对 每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 例35.求证),1(2 2 1321N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- 解析: 不等式左=++++n n n n n C C C C 3211 2 2 22112-++++=-n n n n n 1 22 221-?????> =2 12 -?n n ， 原结论成立. 例36.已知x x e e x f -+=)(,求证:2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 解析: 11)1()1()()(2121122121221121+>?+++=+?+ =?++x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e x f x f 经过倒序相乘,就可以得到2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 例37.已知x x x f 1)(+=,求证:n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? 解析: 2 )12(2) 12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1 =,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以22)121 12)(1(+≥-++ -++n k n k n k k 从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>???? ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? . 例38.若7>k ,求证:2 3 1121111>-++++++=nk n n n S n . 解析:)1 11()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+= 因为当0,0>>y x 时,xy y x xy y x 211,2≥+≥+,所以 4)11)((≥++y x y x ,所以y x y x +≥ +411,当且仅当y x =时取到等号. 所以1 )1(414324214142-+-= -+++-+++-+++-+> nk n k n nk n nk n nk n nk n S n 所以 23 1421)1(211)1(2>+-=+->-+-> k k k n k k S n 所以 2 31121111>-++++++= nk n n n S n 例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证:16 )1()0(2a f f ≤ ?. 解析:16 )]1()][1([)1()0(2 2 2112a x x x x a f f ≤--=?. 例40.已知函数f (x )=x 2－(－1)k ·2ln x (k ∈N*).k 是奇数, n ∈N*时, 求证: [f’(x )]n －2n － 1·f’(x n )≥2n (2n －2). 解析: 由已知得)0(22)(>+='x x x x f ， (1)当n =1时，左式=22(2)(2)0x x x x +-+=右式=0.∴不等式成立. (2)2n ≥, 左式=)22(2)22()(2)]([11n n n n n n n x x x x x f x f +?-+='?-'-- ).11(221424221------++++=n n n n n n n n n n n x C x C x C x C 令12242 14 2 11n n n n n n n n n n S C x C x C C x x ------=++ ++ 由倒序相加法得：