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高中数学 第二章 数列习题课(1)导学案新人教A版必修5

高中数学 第二章 数列习题课(1)导学案新人教A版必修5
高中数学 第二章 数列习题课(1)导学案新人教A版必修5

【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 数列习题课(1)

检测试题 新人教A 版必修5 课时目标

1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式,并能综合运用这些知识解决一些问题.

2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质,并能综合运用这些性质解决相关问题.

要点回顾

1.若S n 是数列{a n }的前n 项和,则S n =a 1+a 2+…+a n ,a n =?????

S 1, n =1,S n -S n -1, n ≥2. 2.若数列{a n }为等差数列,则有:

(1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d ;

(2)前n 项和:S n =na 1+n n -1 d 2=n a 1+a n 2

. 3.等差数列的常用性质

(1)若{a n }为等差数列,且m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .

(2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,则

S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k 成等差数列.

一、选择题

1.在等差数列{a n }中,a 1+3a 8+a 15=120,则2a 9-a 10的值为( )

A .24

B .22

C .20

D .-8

答案 A

2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 7+a 11=6,则S 13等于( )

A .24

B .25

C .26

D .27

答案 C

解析 ∵a 3+a 7+a 11=6,∴a 7=2,

∴S 13=13 a 1+a 13 2

=13a 7=26. 3.设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( )

A .0

B .37

C .100

D .-37

答案 C

解析 设数列{a n },{b n }的公差分别为d ,d ′,

则a 2+b 2=(a 1+d )+(b 1+d ′)

=(a 1+b 1)+(d +d ′)

=100.

又∵a 1+b 1=100,∴d +d ′=0.

∴a 37+b 37=(a 1+36d )+(b 1+36d ′)

=(a 1+b 1)+36(d +d ′)=100.

4.设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13等于( )

A .120

B .105

C .90

D .75

答案 B

解析 ∵a 1+a 2+a 3=3a 2=15,∴a 2=5.

∵a 1=5-d ,a 3=5+d ,d >0,

∴a 1a 2a 3=(5-d )·5·(5+d )=80,

∴d =3,a 1=2.

∴a 11+a 12+a 13=3a 12=3(a 1+11d )

=3a 1+33d =3×2+33×3=105.

5.若{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1>0,d <0,S 4=S 8,则S n >0成立的最大自然数n 为( )

A .11

B .12

C .13

D .14

答案 A

解析 S 4=S 8?a 5+a 6+a 7+a 8=0?a 6+a 7=0,又a 1>0,d <0,S 12= a 1+a 12 ·122

=0,n <12时,

S n >0.

6.在等差数列{a n }中,a 1=-2 008,其前n 项和为S n ,若S 2 0082 008-S 2 0062 006

=2,则S 2 012等于( )

A .-2 012

B .2 012

C .6 033

D .6 036

答案 D

解析 S n n =a 1+ n -1 d 2

, ∴S 2 0082 008-S 2 0062 006=a 1+2 008-12d -a 1-2 006-12

d =d =2.

∴S 2 012=2 012×(-2 008)+2 012×2 0112

×2 =2 012×3=6 036.

二、填空题

7.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n +1,则a 6+a 7+…+a 10的值为________.

答案 80

解析 a 6+a 7+…+a 10=S 10-S 5=111-31=80.

8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S p =S q (p ,q ∈N *且p ≠q ),则S p +q =________.

答案 0

解析 设S n =an 2+bn ,由S p =S q .

知ap 2+bp =aq 2+bq ,∴p +q =-b a

.

∴S p +q =a (p +q )2+b (p +q ) =a (-b a )2+b (-b a

) =b 2a -b 2a

=0. 9.等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______.

答案 5或6

解析 d <0,|a 3|=|a 9|,∴a 3>0,a 9<0且a 3+a 9=0,

∴a 6=0,∴a 1>a 2>…>a 5>0,a 6=0,0>a 7>a 8>….

∴当n =5或6时,S n 取到最大值.

10.已知数列{a n }中,a 1=20,a n +1=a n +2n -1,n ∈N *,则数列{a n }的通项公式a n =

________.

答案 n 2-2n +21

解析 ∵a n +1-a n =2n -1,

∴a 2-a 1=1,a 3-a 2=3,…,

a n -a n -1=2n -3,n ≥2.

∴a n -a 1=1+3+5+…+(2n -3).

∴a n =20+ n -1 2n -2 2

=n 2-2n +21. 三、解答题

11.甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m ,以后每分钟比前1分钟多走1 m ,乙每分钟走5 m.

(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ,乙继续每分钟走5 m ,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

解 (1)设n 分钟后第1次相遇,依题意,

有2n +n n -1 2

+5n =70, 整理得n 2+13n -140=0.

解之得n =7,n =-20(舍去).

第1次相遇是在开始运动后7分钟.

(2)设n 分钟后第2次相遇,依题意,有

2n +n n -1 2

+5n =3×70, 整理得n 2+13n -420=0.

解之得n =15,n =-28(舍去).

第2次相遇是在开始运动后15分钟.

12.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ;

(2)若数列{b n }是等差数列,且b n =S n

n +c ,求非零常数c .

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,且d >0.

∵a 3+a 4=a 2+a 5=22,又a 3·a 4=117,

又公差d >0,∴a 3

∴?????

a 1+2d =9a 1+3d =13,∴????? a 1=1d =4,∴a n =4n -3. (2)由(1)知,S n =n ·1+n n -1 2·4=2n 2-n , ∴

b n =S n

n +c =2n 2-n n +c

. ∴b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c

. ∵{b n }是等差数列,∴2b 2=b 1+b 3,

∴2c 2+c =0,∴c =-12

(c =0舍去). 能力提升

13.在等差数列{a n }中,a 10<0,a 11>0,且|a 10|

A .S 1,S 2,…,S 10都小于零,S 11,S 12,…都大于零

B .S 1,S 2,…,S 5都小于零,S 6,S 7,…都大于零

C .S 1,S 2,…,S 20都小于零,S 21,S 22,…都大于零

D .S 1,S 2,…,S 19都小于零,S 20,S 21,…都大于零

答案 D

解析 ∵S 19=19 a 1+a 19 2

=19a 10<0, S 20=20 a 1+a 20 2

. 而a 1+a 20=a 10+a 11,∵a 10<0,a 11>0且|a 10|

∴a 10+a 11>0,

∴S 20=20 a 1+a 20 2

=10(a 10+a 11)>0. 又∵d =a 11-a 10>0.

∴S n >0 (n ≥20).

14.把自然数1,2,3,4,…按下列方式排成一个数阵.

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

……………………………

根据以上排列规律,数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________.

答案 n 22-n 2

+3 解析 该数阵的第1行有1个数,第2行有2个数,…,第n 行有n 个数,则第n -1 (n ≥3)

行的最后一个数为 n -1 1+n -1 2=n 22-n 2,则第n 行从左至右的第3个数为n 22-n 2

+3.

1.等差数列是最基本、最常见的数列,等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质,推导通项公式、前n 项和公式的出发点.

2.通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量:a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构,以便灵活运用.

3.另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征,在分析解决数列的综合题中有重要的意义.

北师大版高中数学必修五教学案

数列 1.1数列的概念 预习课本P3~6,思考并完成以下问题 (1)什么是数列?数列的项指什么? (2)数列的一般表示形式是什么? (3)按项数的多少,数列可分为哪两类? (4)数列的通项公式是什么?数列的通项公式与函数解析式有什么关系? [新知初探] 1.数列的概念 (1)定义:按一定次序排列的一列数叫作数列. (2)项:数列中的每一个数叫作这个数列的项. (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a n…,简记为数列{a n}.数列的第1项a1,也称首项;a n是数列的第n项,也叫数列的通项. [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词:“一定次序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按照“一定次序”排列的,即确定的数在确定的位置. (2)项a n与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在数列中的位次. (3){a n}与a n是不同概念:{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,…;而a n表示数列{a n}中的第n 项. 2.数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列,项数无限的数列叫作无穷数列.

3.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n ),那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式. [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N +或它的有限子集{1,2,3,…,n }为定义域的函数解析式. (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式. 4.数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种:列表法、图像法、解析法. [小试身手] 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同.( ) (2)数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列.( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.已知数列{a n }的通项公式为a n =1-(-1)n +1 2,则该数列的前4项依次为( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1 C.12,0,1 2 ,0 D .2,0,2,0 解析:选B 把n =1,2,3,4分别代入a n =1-(-1)n + 12中,依次得到0,1,0,1. 3.已知数列{a n }中,a n =2n +1,那么a 2n =( ) A .2n +1 B .4n -1 C .4n +1 D .4n 解析:选C ∵a n =2n +1,∴a 2n =2(2n )+1=4n +1. 4.数列1,3,6,10,x,21,…中,x 的值是( ) A .12 B .13 C .15 D .16 解析:选C ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4, ∴? ???? x -10=5,21-x =6,∴x =15. [典例] (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3;(3)0,1,2,3,4,…; (4)1,-1,1,-1,1,-1,…;(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合,不是数列;

人教版高中数学必修二全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1.棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面),②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都). ⑵棱锥:①有一个面(即底面)是,②其余各面(即侧面)是 . ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点, ②两底面是平行且相似的多边形。 2.圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱: . ⑵圆锥: . ⑶圆台:①平行于底面的截面都是圆, ②过轴的截面都是全等的等腰梯形, ③母线长都相等,每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球: . 3.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个, ②若干个, ③若干个 . (2)表面积及体积公式: 4.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5.球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题 1.下列命题正确的是() (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2.根据下列对于几何体结构特征的描述,说出几何体的名称: (1)由8个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他面都是全等的矩形。 (2)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3.五棱台的上下底面均是正五边形,边长分别是 6cm和16cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积。 4.一个气球的半径扩大a倍,它的体积扩大到原来的几倍? 强调(笔记): 【课中35分钟】边听边练边落实 5 .如图:右边长方体由左边的平面图形围成的

高中数学必修五导学案 解三角形答案

必修五解三角形测试题答案 一、选择题:共8小题,每小题5分,共计40分 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分. 9.______________14/5___________ 10._2___ 11. __________2_ 12._______ 90_______ 13. ___________ 120 14.__不用做___)),(),((321_____ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.

(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.

高中数学必修五全部学案

【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,R 是?ABC 的外接圆半径。 (1)正弦定理: = = =2R 。 (2)正弦定理的三种变形形式: ①==b A R a ,sin 2 ,c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ,=C sin 。 ③=c b a :: 。 (3)三角形中常见结论: ①A+B+C= 。②a B sin ,则有( ) A 、a b D 、a ,b 的大小无法确定 (2)在ABC ?中,A=30°,C=105°,b=8,则a 等于( ) A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 (3)已知ABC ?的三边分别为c b a ,,,且a b B A :cos :cos =,则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件,解ABC ?: (1)已知 30,7,5.3===B c b ,求C 、A 、a ; (2)已知B=30°,2=b ,c=2,求C 、A 、a ; (3)已知b=6,c=9,B=45°,求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中,C B C B A cos cos sin sin sin ++= ,试判断ABC ?的形状。

三、练习 1、在ABC ?中,若B b A a cos cos =,求证:ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中,5:3:1::=c b a ,求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中,下列等式总能成立的是( ) A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中, 120,3,5===C b a ,则B A sin :sin 的值是( ) A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中,已知 60,8==B a ,C=75°,则b 等于( ) A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中,A=60°,24,34==b a ,则角B 等于( ) A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( )

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第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点:空间直线,平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义,判定和性质。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言,图形语言和符号语言的转化。平行,垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4.了解多面体的概念和分类. 【课堂互动】 自学评价 1. 棱柱的定义: 表示法: 思考:棱柱的特点:. 【答】 2. 棱锥的定义: 表示法: 思考:棱锥的特点:. 【答】 3.棱台的定义: 表示法: 思考:棱台的特点:. 【答】

4.多面体的定义: 5.多面体的分类: ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥; 丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。 以上各命题中,真命题的个数是(A)A.0 B. 1 C. 2 D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法: ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形; ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段; ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考7页例1 ⑷画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去. 互助参考7页例1 点评:(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔: 解柱、锥、台概念性问题和画图需要:(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点: 例如:棱锥的特点是:⑴两个底面是全等的多边形;⑵多边形的对应边互相平行;⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来,若一个几何体,具有上面三条,能构成棱柱吗?或者说,上面三条能作为棱柱的定义吗? 答:不能. 点评:就棱柱来验证这三条性质,无一例外,能不能找到反例,是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图,四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到? 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到. 2.右图中的几何体是不是棱台?为什么? 答:不是,因为四条侧棱延长不交于一点.3.多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体。 答:4个面,四面体. 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1

2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1.1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1.1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1.1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测(A ) ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测(B ) ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课(1)检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课(2)新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测(A )新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测(B )新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3.3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3.3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a +b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测(A ) .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测(B ) (174)

高中数学必修二学案

§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、课前准备 (预习教材P2~ P4,找出疑惑之处) 引入:小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等,现实生活中,我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体,它们占据着空间的一部分,比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小,那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状,有着不同的几何特征,现在就让我们来研究它们吧! 二、基础探究 1.观察下面的图片,请将这些图片中的物体分成两类,并说明分类的标准是什么? 图1 2.【研读课本】 (1)多面体的概念:叫多面体, 叫多面体的面,叫多面体的棱, 叫多面体的顶点。 ①棱柱:两个面,其余各面都是,并且每相邻两个四 边形的公共边都,这些面围成的几何体叫作棱柱 ②棱锥:有一个面是,其余各面都是的三角形,这些面 围成的几何体叫作棱锥 ③棱台:用一个棱锥底面的平面去截棱锥,, 叫作棱台。 (2)旋转体的概念: 叫旋转体,叫旋转体的轴。

①圆柱:所围成的 几何体叫做圆柱. ②圆锥:所围成的 几何体叫做圆锥. ③圆台:的部分叫 圆台. ④球的定义 三、能力探究 例1.(1)如图,观察四个几何体,其中判断正确的是() A.(1)是棱台 B.(2)是圆台 C.(3)是棱锥 D.(4)不是棱柱 (2)下列说法错误的是() A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 (3)下列命题中正确的是() A.棱台各侧棱的延长线交于一点 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 (4)下列几个命题中, ①两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ②有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴,将矩形旋转,所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.() A.1 B.2 C.3 D.4 (5)下列说法中不正确的是() A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念 C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥,它的各个面都是直角三角形 (6)一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为______cm. 例2有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗?如果不是,请举例说明。

高中数学必修五基本不等式学案

高中数学必修五基本不等式:ab≤a+b 2(学案) 学习目标:1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点). [自主预习·探新知] 1.重要不等式 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”). 思考:如果a>0,b>0,用a,b分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样的不等式? [提示]a+b≥2ab. 2.基本不等式:ab≤a+b 2 (1)基本不等式成立的条件:a,b均为正实数; (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 思考:不等式a2+b2≥2ab与ab≤a+b 2成立的条件相同吗?如果不同各是 什么? [提示]不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;ab≤a+b 2成立的条件 是a,b均为正实数. 3.算术平均数与几何平均数 (1)设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b 2,几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考:a+b 2≥ab与? ? ? ? ? a+b 2 2 ≥ab是等价的吗? [提示]不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R. 4.用基本不等式求最值的结论 (1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当x=y=s 2时,积xy有最

小值为2xy . (2)设x ,y 为正实数,若xy =p (积p 为定值),则当x =y =p 时,和x +y 有最大值为(x +y )2 4. 5.基本不等式求最值的条件 (1)x ,y 必须是正数. (2)求积xy 的最大值时,应看和x +y 是否为定值;求和x +y 的最小值时,应看积xy 是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 思考:利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件?若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值? [提示] 三个条件是:一正,二定,三相等.求和的最小值,要确定积为定值;求积的最大值,要确定和为定值. [基础自测] 1.思考辨析 (1)对任意a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,a +b ≥2ab 均成立.( ) (2)对任意的a ,b ∈R ,若a 与b 的和为定值,则ab 有最大值.( ) (3)若xy =4,则x +y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )=x 2 +2 x 2+1 的最小值为22-1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.设x ,y 满足x +y =40,且x ,y 都是正数,则xy 的最大值为________. 400 [因为x ,y 都是正数, 且x +y =40,所以xy ≤? ???? x +y 22 =400,当且仅当x =y =20时取等号.] 3.把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ,则另一边长可表示为(8-x )m ,则面积S =x (8-x )≤? ???? x +8-x 22 =16,当且仅当x =4时取等号,故当矩形的长与宽相等,都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]

高中数学 必修五数列导学案 加课后作业及答案

必修五数列导学案 §2.1 数列的概念及简单表示(一) 【学习要求】 1.理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 2.探索并掌握数列的几种简单表示法. 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 【学法指导】 1.在理解数列概念时,应区分数列与集合两个不同的概念. 2.类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法. 3.由数列的前几项,写出数列的一个通项公式是本节的难点之一,突破难点的方法:把序号标在项的旁边,观察项与序号的关系,从而写出通项公式. 【知识要点】 1.按照一定顺序排列的一列数称为 ,数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,……,排在第n 位的数称为这个数列的第 项. 2.数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 . 3.项数有限的数列叫做 数列,项数无限的数列叫做_____数列. 4.如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的 公式. 【问题探究】 探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子: (1)全体自然数按从小到大排成一列数:0,1,2,3,4,…; (2)正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数:1,12,13,14,1 5 ; (3)π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排成一列数:3,3.1,3.14,3.141,…; (4)无穷多个1排成一列数:1,1,1,1,1,…; (5)当n 分别取1,2,3,4,5,…时,(-1)n 的值排成一列数:-1,1,-1,1,-1,…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义. 探究 数列中的项与数集中的元素进行对比,数列中的项具有怎样的性质? 探究点二 数列的几种表示方法 问题 数列的一般形式是什么?回忆一下函数的表示方法,想一想除了列举法外,数列还有哪些表示方法? 探究 下面是用列举法给出的数列,请你根据题目要求补充完整. (1)数列:1,3,5,7,9,… ①用公式法表示:a n = ; ②用列表法表示: (2)数列:1,12,13,14,1 5,… ①用公式法表示:a n = . ②用列表法表示: ③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出): 探究点三 数列的通项公式 问题 什么叫做数列的通项公式?谈谈你对数列通项公式的理解? 探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察数列的特征,并进行联想、转化、归纳,同时要 数列 通项公式 -1,1,-1,1,… a n = 1,2,3,4,… a n = 1,3,5,7,… a n = 2,4,6,8,… a n = 1,2,4,8,… a n = 1,4,9,16,… a n = 1,12,13,1 4 ,… a n = 【典型例题】 例1 根据数列的通项公式,分别写出数列的前5项与第2 012项. (1)a n =cos n π2 ; (2)b n =11×2+12×3+1 3×4+…+ 1 n n +1 . 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项,要注意n =1,2,3,….如果数列的通项公式较为复杂,应考 虑运算化简后再求值. 跟踪训练1 根据下面数列的通项公式,写出它的前4项. (1)a n =2n +1;(2)b n =2 ) 1(1n -+ 例2 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)1,-3,5,-7,9,…; (2)12,2,92,8,25 2 ,…; (3)9,99,999,9 999,…; (4)0,1,0,1,…. 小结 据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳. 跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式: (1)212,414,618,81 16,…; (2)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…; (3)-12,16,-112,1 20,….

高中数学必修五北师大版 余弦定理(一)学案

1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论; 2.能够初步运用余弦定理解斜三角形. 1.余弦定理 三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________.即a 2=________________,b 2=________________,c 2=____. 2.余弦定理的推论 cos A =________________;cos B =______________;cos C =________________. 3.在△ABC 中: (1)若a 2+b 2-c 2=0,则C =________; (2)若c 2=a 2+b 2-ab ,则C =________; (3)若c 2=a 2+b 2+2ab ,则C =________. 一、选择题 1.在△ABC 中,已知a =1,b =2,C =60°,则c 等于( ) A . 3 B .3 C . 5 D .5 2.在△ABC 中,a =7,b =43,c =13,则△ABC 的最小角为( ) A .π3 B .π6 C .π4 D .π12 3.在△ABC 中,已知a =2,则b cos C +c cos B 等于( ) A .1 B . 2 C .2 D .4 4.在△ABC 中,已知b 2=ac 且c =2a ,则cos B 等于( ) A .14 B .34 C .24 D .23 5.在△ABC 中,sin 2A 2=c -b 2c (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对应边),则△ABC 的形状为( ) A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰三角形 6.在△ABC 中,已知面积S =14 (a 2+b 2-c 2),则角C 的度数为( ) A .135° B .45° C .60° D .120° 二、填空题 7.在△ABC 中,若a 2-b 2-c 2=bc ,则A =________. 8.△ABC 中,已知a =2,b =4,C =60°,则A =________. 9.三角形三边长为a ,b ,a 2+ab +b 2 (a>0,b>0),则最大角为________. 10.在△ABC 中,BC =1,B =π3 ,当△ABC 的面积等于3时,tan C =________.

高中数学必修2全册导学案精编

高中数学必修二复习全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1.棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面),②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都). ⑵棱锥:①有一个面(即底面)是,②其余各面(即侧面)是 . ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点, ②两底面是平行且相似的多边形。 2.圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱: . ⑵圆锥: . ⑶圆台:①平行于底面的截面都是圆, ②过轴的截面都是全等的等腰梯形, ③母线长都相等,每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球: . 3.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个, ②若干个, ③若干个 . (2)表面积及体积公式: 4.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5.球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题 1.下列命题正确的是() (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2.根据下列对于几何体结构特征的描述,说出几何体的名称: (1)由8个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他面都是全等的矩形。 (2)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3.五棱台的上下底面均是正五边形,边长分别是6cm和16cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积。 4.一个气球的半径扩大a倍,它的体积扩大到原来的几倍? 强调(笔记): 【课中35分钟】边听边练边落实 5.如图:右边长方体由左边的平面图形围成的是()(图在教材P8 T1 (3))

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. CB 及∠B ,使边AC 绕着 顶点C 转动. 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 .能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt ?ABC 中,设BC =a ,AC =b ,AB =c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == . ( 探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是 CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , 同理可得sin sin c b C B = , 从而sin sin a b A B =sin c C =. 类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sin sin a b A B = sin c C =. 试试: (1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ) . A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = (2)已知△ABC 中,a =4,b =8,∠A =30°,则∠B 等于 . [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =, ,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于 ,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C . (3)正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; b = . ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如sin sin a A B b =;sin C = . (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它 的边和角的过程叫作解三角形. ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中, 已知45A =,60B =,42a =cm ,解三角形.

高中数学人教B版必修二学案:2.2.3 两条直线的位置关系

2.2.3两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想. [知识链接] 1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α<180°. 2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k= y2-y1 x2-x1 . 3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引] 1.两条直线相交、平行与重合的条件 (1)两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系, 可以用方程组 ?? ? ??A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下: 方程组的解位置关系 交点个 数 代数条件无解平行无交点 A1B2-A2B1=0且 B1C2-B2C1≠ 0(A2C1-A1C2≠0) 或 A1 A2= B1 B2≠ C1 C2 (A2B2C2≠0)

有唯一解 相交 有一个 交点 A 1 B 2-A 2B 1≠0 或A 1A 2 ≠B 1 B 2 (A 2B 2≠0) 有无数个解 重合 无数个 交点 A 1=λA 2, B 1=λB 2, C 1=λC 2(λ≠0)或A 1 A 2=B 1B 2 =C 1 C 2 (A 2B 2C 2≠ 0) (2)两条直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示. 位置关系 平行 重合 相交一般 相交垂直 图示 k ,b 满足 条件 k 1=k 2且b 1≠b 2 k 1=k 2且b 1=b 2 k 1≠k 2 k 1·k 2=-1 对坐标平面内的任意两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,有l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0. 如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1=-A 1B 1,l 2的斜率k 2=-A 2 B 2. 又可以得出:l 1⊥l 2?k 1k 2=-1. 要点一 直线的交点问题 例1 求经过原点,且经过直线2x +3y +8=0和x -y -1=0的交点的

新人教版高中数学必修五导学案(全册)

新人教版高中数学必修五导学案(全册) 目录 1.1.1正弦定理 (2) 1.1.2余弦定理 (4) 1.1 正弦定理和余弦定理习题课 (6) 1.2 应用举例 (8) 2.1数列的概念与简单表示法 (11) 2.2等差数列 (14) 2.3等差数列的前n项和 (17) 2.4等比数列 (20) 2.4等比数列的性质 (22) 2.5等比数列的前n项和(1) (24) 2.5等比数列的前n项和(2) (26) 3.1不等关系与不等式 (28) 3.2一元二次不等式及其解法 (30) 3.3.1二元一次不等式组与平面区域 (33) 3.3.2简单的线性规划问题(1) (36) 3.3.2简单的线性规划问题(2) (38) 3.4基本不等式: 2b a a b + ≤(学案1) (40) 3.4基本不等式: 2b a a b + ≤(学案2) (42)

1.1.1正弦定理 课前预习学案 一、 预习目标 了解正弦定理的内容及解三角形的概念 二、预习内容 1、推导正弦定理 正弦定理: 变形: 正弦定理可用于两类: (1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边与另一角; (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角,计算其他的角与边. 2、了解“解三角形”的概念 三、提出困惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 课内探究学案 课标要求: 掌握正弦定理,并能解决一些简单的三角度量问题和实际问题。 一、学习目标:掌握三角形中边长和角度之间的数量关系 在已有知识基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,掌握正弦定理. 通过对本节的学习,能够运用正弦定理等知识,解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 重点:正弦定理的证明和解三角形. 难点:正弦定理的证明. 二、学习过程 例1:在ABC ?中,已知3=b , 60=B ,1=c ,求C A a 及,

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