[人力资源招聘面试]某年高数学竞赛选拔赛试题

{人力资源招聘面试}某年高数学竞赛选拔赛试题

其中正确的命题的个数是()

(A)(B)(C)(D)

8．函数对于任意的恒有意义，则实数的取值范围是()

(A)且(B)且

(C)且(D)

二、填空题

9．已知，则．

10．已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若AB=6，设PA+PB的最大值为，最小值为，则的值为．

11．已知全集U=，集合M=，集合N=，则集合= ．

12．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个．若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有个学生．

13．代数式的最小值为．

14．设5长方体的一个表面展开图的周长为，则的最小值

是．

15．定义在上的函数满足：，则

16．已知函数，若，则实数组成的集合的元素个数为 .

17．已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是 .

18．关于的不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是 .

三．解答题（解答应有必要文字说明和演算步骤）

19．圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后

所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值．20．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

21．设函数的定义域是，且对任意都有．

若对常数，，判断在上的单调性；

22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：

[1]对任意的，总有；

[2]；

[3]若，，且，则有成立，

并且称为“友谊函数”，请解答下列各题：

(1)若已知为“友谊函数”，求的值；

(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.

(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，

求证：.

参考答案

一、选择题：AACABDCB

一、填空题

9．0．得

而

10．11．

12．设甲、已、丙三个组的人数分别为．则有

，故233=

，同理

，均为整数，则或

，检验的方可．

13．数型结合得

14．长方体的展开图的周长为，由排序或观察得：

周长的最小值为．

15．716．517.(-2,2)18.

三、解答题

19．解：设，，，设圆的参数方程为，则，

点是关于点的对称点，

．，

，当=1时，有最大值|；

当时，||有最小值．

20．证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，

∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.

又

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴

由AB2=AE·AC得

故当时，平面BEF⊥平面ACD.

21．解：(1)对任意，由，存在使得且，又，

，在上是增函数．

22.解：（1）取得，又由，得

（2）显然在上满足[1]；[2].若，，且，则有

故满足条件[1]、[2]、[3]，所以为友谊函数.

(3)由[3]知任给其中，且有，不妨设

则必有：所以：

所以：.依题意必有,

下面用反证法证明：假设，则有或

(1)若，则，这与矛盾；

(2)若，则，这与矛盾；

故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.

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