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1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是
2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为
2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与
抛物线y= - 2x 2
相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2
32
++-=+-kx x k y k k 是二次函数,
则k 的值是______
4.已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线2
1y x =-上,下列说法中正确的是( )
A .若12y y =,则12x x =
B .若12x x =-,则12y y =-
C .若120x x <<,则12y y >
D .若120x x <<,则12y y >
5. 抛物线
c bx x y ++=2
图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为
322--=x x y ,则b 、c 的值为
A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(2
2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52
-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245
(5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时,
它是二次函数.
9.抛物线2
)13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增
大
10.抛物线42
++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2
)3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为
12.若二次函数k ax y +=2
,当X 取X1和X2(21x x ≠)
时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为
13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4
时函数值Y =
★14.若函数k h x y ---=2
)(的顶点在第二象限则,
h 0 ,k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式? 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的
形式,则n m ?=_____。
★17.
已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点
的顶点到x 轴的距离是3,
那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14
19.二次函数y=x 2
-(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( )
(A )12 (B )11 (C )10 (D )9
20.若0
-+=bx x y 的图象的顶点在( )(A )第一象限(B )第二象限 (C )第三象限(D )第四象限
22.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为
23.二次函数432
--=x x y 关于Y 轴的对称图象的
解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式
为 关于顶点旋转180度的图象的解析式为 24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个,交点坐标为_______。
25.已知二次函数222
--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点,则a 的取值范围是 26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。
27.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1,那么此抛物线的对
称轴是直线_________,它必定经过________和____
28.若二次函数3622+-=x x y 当X 取两个不同的值
X1和X2时,函数值相等,则X1+X2=
29.若抛物线22y x x a =++的顶点在x 轴的下方,则a
的取值范围是( )
A.1a > B.1a <
C.1a ≥ D.1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2
+m-4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= -
2
1
+2上,求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。
32.y= ax 2
+bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析式
32.抛物线562
-+-=x x y 与x 轴交点为A ,B ,(A 在B 左侧)顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ,使△ABM 的面积是△ABC 的面积的2倍。求M 点坐标(得分点的把握) (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得
△QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ,使四边形PBAC 是等腰
梯形,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由
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36.二次函数c bx ax y +-= 图象如下,则a,b,c 取值范围是
37已知y=ax 2
+bx+c 的图象如下, 则:a____0 b___0 c___0
a+b+c____0,
a-b+c__0。2a+b____0 b 2
-4ac___0 4a+2b+c 0 38.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. 有下列结论: ①2
40b ac -<; ②0ab >; ③0a b c -+=; ④40a b +=;
⑤当2y =时,x 等于0.
⑥02=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑦22
=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑧0102
=-++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑨42
-=++c bx ax 有两个不相等的实数根 其中正确的是( )
39.已知二次函数c bx ax y ++=2
下列结论:① 0>abc ;② c a b +<;024>++c b a ;④ b c 32<;⑤ )(b am m b a +>+,(1≠m 的实
数)其中正确的结论有( )。 A. 2个 B. 3个 C. 4个D. 5个
40.小明从右边的二次函数c bx ax y ++=2
图象中,观察得出了下面的五条信息:①0a <,②0c =,③函数的最小值为3-,④当0x <时,0y >,⑤当1202x x <<<时,12y y >.你认为其中正确的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
41.已知二次函数c bx ax y ++=2
,其中a b c ,,满足0a b c ++=和930a b c -+=,则该二次函数图象
的对称轴是直线 .
42.直已知y=ax 2
+bx+c 中a<0,b>0,c<0 ,△<0数的图象过 象限。 43.若),41
(),,45(),,413(321y C y B y A --
2
45y x x =+-的图象上的三点,则1y ,2y ,3y 大小关系是( )
A .
123
y y y << B .
213
y y y <<
时,抛物线总与x轴有两个交点;②当m取何值时,
抛物线与x轴两交点之间的距离最短。
53.如果抛物线y=
2
1
x2-mx+5m2与x轴有交点,则
m______
54.右图是二次函数
y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的
图像,?观察图像
写出y2≥y1时,x的取值范围_______.
55.已知函数y1=x2与函数y2=-
1
2
x+3的图象大致
如图,若y1<y2,则自变量x的取值范围是().
A.-
3
2
<x<2 B.x>2或x<-
3
2
C.-2<x<
3
2
D.x<-2或x>
3
2
56.实数X,Y满足
3
3
2=
-
+
+y
x
x则X+Y的最
大值为 .
57.如图,是二次函数y=ax2+bx+c
图象的一部分,其对称轴为直线
x=1,若其与x轴一交点为A(3,
0),则由图象可知,不等式
ax2+bx+c<0的解集
物线
c
bx
x
y+
+
-
=2与x轴交与
A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。
交Y轴于C
(1)求该抛物线的解析式与
△ABC的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上
是否存在一点M,使△MBC是
以∠BCM为直角的直角三角
形,若存在,求出点P的坐标。
若没有,请说明理由
.(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与
A、B重合),过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设
E点横坐标为x.EF的长度为L,
求L关于X的函数关系式?关写
出X的取值范围?
当E点运动到什么位置时,线段
EF的值最大,并求此时E点的坐
标?
.(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点
H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶
点的四边形为平行四边形?
.(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角
形BCE的面积最大?
64.如图,抛物线24
y ax bx a
=+-经过(10)
A-,、
(04)
C,两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点(1)
D m m+
,在第一象限的抛物线上,求
点D关于直线BC对称的点的坐标;
66.如图所示,已知抛物线21
y x
=-与x轴交于A、B
两点,与y轴交于点C.
求A、B、C三点的坐标.
过A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的
面积.
67.在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作
MG⊥x轴点G,使以A、M、
G三点为顶点的三角形
与?PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,
请说明理由.
68.二次函数2
y ax bx c =++中,2b ac =,且0x =时
4y =-,则( )
A.
4
y =-最大 B.
4
y =-最小 C.
3
y =-最大 D.
3
y =-最小
69.已知二次函数2
2
)3()1(-+-=x x y ,当x =_________时,函数达到最小值。 70.若一次函数
的图像过第一、三、四
象限,
则函数( ) A.最大值 B..最大值 C.最小值 D.有最小值
71.若二次函数2
()y a x h k =-+的值恒为正值, 则 _____. A. 0,0a k <> B. 0,0a h >>
C. 0,0a k >>
D. 0,0a k <<
72.函数92
+-=x y 。当-2 73.若函数322-+=x x y ,当24-≤≤-x 函数值有最 值为 40元的苹果,物价 部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若 每箱以50元的价格调查,平均每天销售90箱,价格 每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天销售量y (箱)与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式.(3分) (2)求该批发商平均每天的销售利润w (元)与销售 价x (元/箱)之间的函数关系式.(3分) (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大 利润?最大利润是多少?(4分) 75随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木 的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉 及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润1y 与 投资量x 成正比例关系,如图12-①所示;种植花卉的 利润2y 与投资量x 成二次函数关系,如图12-②所示(注:利润与投资量的 单位:万元) (1)分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系 式; (2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树 木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润 是多少? 76.我区某工艺厂为迎接建国60周年,设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,其中工艺品的销售单价x (元 ∕ 件) 与每天销售量y (件)之间满足如图3-4-14所示关系. (1)请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量; (2)①试求出y 与x 之间的函数关系式; ②若物价部门规定,该工艺品销售 单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总 价-成本总价)。 小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围住若设绿化带的BC 边长为xm ,绿化带的面积为ym 2. 求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; 当x 为何值时,满足条件的绿化带的面积最大? =4,CD =9,∠C =60°,动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动,动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动. (1)求AD 的长; (2)设CP =x ,问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大,并求出最大值; 82.如图: 在一块底边BC 长为80㎝、BC 边上高为60㎝的三角形ABC 铁板上截出一块矩形铁板EFGH , 使矩形的一边FG 在BC 边上, 设EF 的长为x ㎝, 矩形EFGH 的面积为y 2 cm . (1) 试写出y 与x 之间的函数关系式, (2) 当x 取何值时, y 有最大值? 是多少? ( 第 83.如图3-4-29所示,矩形ABCD 中,AB=8,BC=6,P 是线段BC 上一点(P 不与B 重合),M 是DB 上一点,且BP=DM ,设BP=x ,△MBP 的面积为y ,则y 与x 之间的函数关系式为 。 84.如图,在等边三角形ABC 中,AB=2,点D 、E 分别 在线段BC 、AC 上(点D 与点B 、C 不重合),且∠ADE=600 . 设BD=x,CE=y. (1)求y 与x 的函数表达式; (2)当x 为何值时,y 有最大值,最大值是多少? C E D B A 85.已知:如图,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥, 90A ∠=,10BC CD ==,4 sin 5 C = (DM/CD=4/5) (1)求梯形ABCD 的面积; (2)点E F ,分别是BC CD ,上的动点,点E 从点B 出发向点C 运动,点F 从点C 出发向点D 运动,若两点均以每秒1个单位的速度同时出发,连接EF .求EFC △面积的最大值,并说明此时E F ,的位置. 86. 如图,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,,. (1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求两点的坐标; 92.如图在△ABC 中,AB 与BC 垂直。AB=12.BC=24.动点P 从点A 开始沿AB 方向向B 点以2/S 的速度运动。动点Q 从B 点开始沿BC 向C 点以4/S 的速度运动,如果P 、Q 分别同时从AB 出发。 (1)如果△PBQ 的面积为S ,写出S 与运动时间t 的关系式及t 的取值范围。当t 为何值时面积S 最大,最大是多少? (2)在P 、Q 运动过程中当t 为何值时△PQB 与△ABC 相似 93.如图,在△ABC 中,∠C =45°,BC =10,高AD =8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、 AC 上,AD 交EF 于点H .(1)求证:AH AD =EF BC ;(2)设 EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其 最大值; A B E N M 学习必备 欢迎下载 1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ 4.已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线2 1y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322--=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ,当X 取X1和X2(21x x ≠) 时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4 时函数值Y = ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则, h 0 ,k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式? 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式,则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ) (A )12 (B )11 (C )10 (D )9 20.若0 B.1a < C.1a ≥ D.1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上,求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ,B ,(A 在B 左侧)顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ,使△ABM 的面积是△ABC 的面积的2倍。求M 点坐标(得分点的把握) (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 △QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ,使四边形PBAC 是等腰 梯形,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由 二次函数培优专题一(图像和性质)姓名: 一:填空题: 1.若y =(2-m )2 3 m x -是二次函数,且开口向上,则m 的值为__________. 2.抛物线y =x 2+8x -4与直线x =4的交点坐标是__________. 3.若抛物线y =(k +2)x 2+(k -2)x +(k 2+k -2)经过原点,则k =________. 4.已知点P (a ,m )和Q (b ,m )是抛物线y =2x 2+4x -3上的两个不同点,则a +b =_____. 5.函数y =mx 2+x -2m (m 是常数),图象与x 轴的交点有_____个. 二、选择题: 6.如果反比例函数y =k x 的图象如图4所示,那么二次函数y =kx 2-k 2x -1的图象大致为( ) 7.函数在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 8.二次函数y =x 2-(12-k )x +12,当x >1时,y 随着x 的增大而增大,当x <1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ).A .12 B .11 C .10 D .9 9.如果抛物线y =x 2-6x +c -2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于( ). A .8 B .14 C .8或14 D .-8或-14 10.若0 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值? (3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值; (3)点P(4,6). 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得; (2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6, 设P(t,﹣1 2 t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数 的性质求解可得; (3)由PH⊥OB知DH∥AO,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6时x的值即可得出答案. 【详解】(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0), ∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2), 将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6, 解得:a=﹣1 2 , 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 (x﹣6)(x+2)=﹣ 1 2 x2+2x+6; (2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G, 112O x y 培优训练五(二次函数1) 1、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( ) A .m =n ,k >h B .m =n ,k <h C .m >n ,k =h D .m <n ,k =h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a =0;②abc <0;③a ﹣2b +4c <0;④8a +c >0.其中正确的有( ) A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个 3、如图,二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交,其顶点坐标 为(1,12 ),下列结论:①0ac <;②0a b +=; ③244ac b a -=;④0a b c ++<.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A (-1,y 1)、B (2,y 2)、C (23+,y 3)三点,则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图,一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-,5)、B (9,2)两点,则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6.如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、 2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用(含答案) 一、解答题(共有7道小题) 1.如图,直线1y x =+与x 轴教育点A ,切经过点B(4,m)。点C 在y 轴负半轴上,满足OA=OC ,抛物线 () 20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点,且与x 轴的另一交点为D 。 (1)球抛物线的解析式。 (2)在抛物线的对称轴上找一点P ,使PA+ PC 的和最小。求出点P 的坐标。 2.如图,已知二次函数2 2y ax x c = + + 的图象经过点C(0,3),与x 轴分别交于点A ,点B(3, 0).点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数 2 2y ax x c = + + 的表达式; (2)连接PO ,PC ,并把△POC 沿y 轴翻折,得到四边形POP′C .若四边形POP′C 为菱形, 请求出此时点P 的坐标; (3)当点P 运动到什么位置时,四边形ACPB 的面积最大?求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积. 3.如图,已知二次函数 2 = + + y ax bx c 的图象与x 轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y 轴相交于点C(0,-3). y x C D B A O x y P B A C O (1)求这个二次函数的表达式; (2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH ⊥x 轴于点H ,与BC 交于点M ,连接PC . ①求线段PM 的最大值; ②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时,求点P 的坐标. 4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数265=- + - y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与 y 轴交于点C ,其顶点为P ,连接PA 、AC 、CP ,过点C 作y 轴的垂线l . (1)求点P ,C 的坐标; (2)直线l 上是否存在点Q ,使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 5.如图,已知二次函数2 2y ax x c = + + 的图象经过点C(0,3),与x 轴分别交于点A ,点B(3, 0).点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数 2 2y ax x c = + + 的表达式; (2)连接PO ,PC ,并把△POC 沿y 轴翻折,得到四边形POP′C .若四边形POP′C 为菱形,请求出此时点P 的坐标; (3)当点P 运动到什么位置时,四边形ACPB 的面积最大?求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积. y x M C A O B P H y x D B A l C P O x y P B A C O 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 、B 为x 轴上两点,C 、D 为y 轴上的两点,经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线,我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”.已知点C 的坐标为(0, ),点M 是抛物线C 2: 2y mx 2mx 3m =--(m <0)的顶点. (1)求A 、B 两点的坐标; (2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ,使得△PBC 的面积最大?若存在,求出△PBC 面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)当△BDM 为直角三角形时,求m 的值. 【答案】(1)A ( ,0)、B (3,0). (2)存在.S △PBC 最大值为2716 (3)2 m 2 =-或1m =-时,△BDM 为直角三角形. 【解析】 【分析】 (1)在2 y mx 2mx 3m =--中令y=0,即可得到A 、B 两点的坐标. (2)先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式,由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值. (3)先表示出DM 2,BD 2,MB 2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m 的值. 【详解】 解:(1)令y=0,则2mx 2mx 3m 0--=, ∵m <0,∴2x 2x 30--=,解得:1x 1=-,2x 3=. ∴A ( ,0)、B (3,0). (2)存在.理由如下: ∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-(a 0≠), 二次函数专题复习 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 二次函数培优专题训练 一、实际应用专题 例题1某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 例题2 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器,进价12元∕只,售价20元∕只.为了促销,专卖店决定凡是买10只以上的,每多买一只,售价就降低0.10元(例如:某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1元,就可以按19元∕只的价格购买),但是最低价为16元∕只.(1)顾客一次至少买多少只,才能以最低价购买? (2)写出当一次购买x只时(x>10),利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式. (3)星期天,小华来到专卖店勤工俭学,上午做成了两笔生意,一是向顾客甲卖了46只,二是向顾客乙卖了50只,记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少.为了使每次卖得越多赚钱越多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元∕只至少要提高到多少?为什么? 例题3(2010?恩施州)恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式. (2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用) (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少? 九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1.在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC. (1)求点C的坐标; (2)若抛物线y=-1 4 x2+ax+4经过点C. ①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D. (1)求抛物线的解析式; (2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标; (3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值. 1.【解析】 试题分析:(1)过点C作CD垂直于x轴,由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠OAB与∠CAD 互余,由∠AOB为直角,可得∠OAB与∠ABO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等,再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB,CD=OA,由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标; (2)①由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式,列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出抛物线的解析式; ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑: (i)A为直角顶点,过A作AP 1垂直于AB,且AP 1 =AB,过P 1 作P 1 M垂直于x轴, 如图所示,根据一对对顶角相等,一对直角相等,AB=AP 1 ,利用AAS可证明三角 形AP 1M与三角形ACD全等,得出AP 1 与P 1 M的长,再由P 1 为第二象限的点,得出 此时P 1 的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(ii)当B为直角顶点,过B作 BP 2垂直于BA,且BP 2 =BA,过P 2 作P 2 N垂直于y轴,如图所示,同理证明三角形 BP 2N与三角形AOB全等,得出P 2 N与BN的长,由P 2 为第三象限的点,写出P 2 的 坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(iii)当B为直角顶点,过B作BP 3 垂直 于BA,且BP 3=BA,如图所示,过P 3 作P 3 H垂直于y轴,同理可证明三角形P 3 BH 全等于三角形AOB,可得出P 3H与BH的长,由P 3 为第四象限的点,写出P 3 的坐 标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析:(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D, ∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°, 又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°, ∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°, ∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,﹣2), ∴OA=CD=1,OB=AD=2, ∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点, ∴C的坐标为(3,﹣1); (2)①∵抛物线y=﹣1 2 x2+ax+2经过点C,且C(3,﹣1), ∴把C的坐标代入得:﹣1=﹣9 2 +3a+2,解得:a= 1 2 , 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x2+ 1 2 x+2; ②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点, 二次函数培优专题 基础训练 1.已知抛物线9)2(2 ++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,则a 的值为__________. 2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ,与x 轴正半轴交于B ,C 两点,且BC =2,ABC S ?=3,则b =____________. 3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. (1)这个二次函数的解析式是y =_________; (2)当x =________时,3=y ; (3)根据图象回答,当x _______时,0>y . 4.已知二次函数的图象经过原点及点(21- ,4 1-),且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为_______________. 5.二次函数c bx ax y ++=2 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) A B C D 6.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数c bx x y ++=2 的图象过点(1,0)……求证:这个二次函数的图象关于直线2=x 对称,根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是( ) A .过点(3,0) B .顶点是(2,-2) C .在x 轴上截得的线段长度是2 D .与y 轴的交点是(0,3) 7.如图,抛物线c bx ax y ++=2 与两坐标轴的交点分别是A ,B ,E ,且△ABE 是等腰直角三角形,AE =BE ,则下列关系式不能总成立的是( ) A .0=b B . 2 c S ABE =? C .1-=ac D .0=+c a 第7题图 第8题图 8.如图,某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高为(精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)( ) A .9.2米 B .9.1米 C .9米 D .5.1米 9.如图,是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ,A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β,OA =1千米,tan α= 28 9, tan β=83,位于O 点正上方35 千米D 点处的直 升机向目标C 发射防空导弹,该导弹运行到达距地面最大高度3千米时,相应的水平距离为4千米(即图中 E 点). (1)若导弹运行为一抛物线,求抛物线的解析式; (2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标的理由. 10.如图,已知△ABC 为正三角形,D ,E 分别是边AC 、BC 上的点(不在顶点),∠BDE =60°. (1)求证:△DEC ∽△BDA ; (2)若正三角形ABC 的边长为6,并设DC =x ,BE =y ,试求出y 与x 的函数关系式,并求BE 最短时,△BDE 的面积. 11.如图,在平面直角坐标系中,OB ⊥OA 且OB =2OA ,点A 的坐标是(-1,2) . C E D B A 九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1.在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC. (1)求点C的坐标; (2)若抛物线y=-错误!x2+ax+4经过点C. ①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物 线顶点为D. (1)求抛物线的解析式; (2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标; (3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值. 1.【解析】 试题分析:(1)过点C作CD垂直于x轴,由线段AB绕点A按逆时针方向旋转9 0°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠OAB与∠CAD 互余,由∠AOB为直角,可得∠OAB与∠ABO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等,再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB,CD=OA,由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;(2)①由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式,列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出抛物线的解析式; ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑: (i)A为直角顶点,过A作AP 1垂直于AB,且AP 1 =AB,过P 1 作P 1 M垂直于x轴, 如图所示,根据一对对顶角相等,一对直角相等,AB=AP 1 ,利用AAS可证明三角 形AP 1M与三角形ACD全等,得出AP 1 与P 1 M的长,再由P 1 为第二象限的点,得 出此时P 1 的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(ii)当B为直角顶点,过B 作BP 2垂直于BA,且BP 2 =BA,过P 2 作P 2 N垂直于y轴,如图所示,同理证明三 角形BP 2N与三角形AOB全等,得出P 2 N与BN的长,由P 2 为第三象限的点,写出 P 2的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(iii)当B为直角顶点,过B作BP 3 垂直于BA,且BP 3=BA,如图所示,过P 3 作P 3 H垂直于y轴,同理可证明三角形P 3BH全等于三角形AOB,可得出P 3 H与BH的长,由P 3 为第四象限的点,写出P 3 的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析:(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D, ∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°, 又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°, ∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°, ∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,﹣2), ∴OA=CD=1,OB=AD=2, ∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点, ∴C的坐标为(3,﹣1); (2)①∵抛物线y=﹣1 2 x2+ax+2经过点C,且C(3,﹣1), ∴把C的坐标代入得:﹣1=﹣9 2 +3a+2,解得:a= 1 2 , 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x2+ 1 2 x+2; ②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点, 则延长CA至点P 1使得P 1 A=CA,得到等腰直角三角形ABP 1 ,过点P 1 作P 1 M⊥x轴, 如图所示, 初三数学培优卷:二次函数考点分析培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点: 开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. ★★二次函数y=ax 2 +bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0) 一般式:y=ax 2 +bx+c ,三个点 顶点式:y=a (x -h )2 +k ,顶点坐标对称轴 顶点坐标(-2b a ,244ac b a -). 顶点坐标(h ,k ) ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大, a , b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴 x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=-2b a <0,即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=-2b a >0, 即对称轴在y c?c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y 轴交于正半轴;c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出. 交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况) 与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2 2 1x x h += 1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与抛物 线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ 4.(08绍兴)已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线 21y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5.(兰州10) 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322--=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(2 2 +--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ,当X 取X1和X2(21x x ≠)时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4时函数值Y = ★14.若函数k h x y ---=2)(的顶点在第二象限则, h 0 ,k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式? 16.将121222 --=x x y 变为n m x a y +-=2 )(的形式,则n m ?=_____。 ★17.已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为(2,3)求解析式?(讲解对称性书写) 的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ) (A )12 (B )11 (C )10 (D )9 20.若00,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0 ★22.已知二次函数)1(3)1(2 -++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为 23.二次函数432 --=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转180度的图象的解析式为 24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个, 2018年九年级数学上册二次函数压轴题培优专题 1.如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C (1)求点A,B,C的坐标; (2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作NM∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用含m 的代数式表示MN的长; (3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 3.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点, 其中C点的横坐标为2. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标; (3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出F点坐标;如果不存在,请说明理由. 4.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0). (1)求抛物线的表达式; (2)把﹣4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围; (3)在(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围. 九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含答案 一、二次函数 1.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1), 如图,直线y=1 4 x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1. (1)求抛物线的解析式; (2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=1 4 x2﹣x+1.(2)点P的坐标为( 28 13 ,﹣1).(3) 定点F的坐标为(2,1). 【解析】 分析:(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2,由抛物线过点(4,1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,通过解方程组可求出点A、B的坐标,作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值,根据点B的坐标可得出点B′的坐标,根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标; (3)由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标 特征,即可得出(1-1 2 - 1 2 y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0,由m的任意性可得出关 于x0、y0的方程组,解之即可求出顶点F的坐标.详解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0), 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2. ∵该抛物线经过点(4,1), ∴1=4a,解得:a=1 4 , ∴抛物线的解析式为y=1 4(x-2)2= 1 4 x2-x+1. 培优训练五(二次函数1) 1、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( ) A .m =n ,k >h B .m =n ,k <h C .m >n ,k =h D .m <n ,k =h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a =0;②abc <0;③a ﹣2b +4c <0;④8a +c >0.其中正确的有 ( ) 3、如图,二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交,其顶点坐标 为(1,12),下列结论:①0ac <;②0a b +=; ③244ac b a -=; ④0a b c ++<.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A (-1,y 1)、B (2,y 2)、C (23+,y 3)三点,则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图,一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-,5)、B (9,2)两点,则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、 91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6.如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、 二次函数 一、选择题 1. 一次函数4)2(2-+-=k x k y 的图象经过原点,则k 的值为( ). A .2 B .-2 C .2或-2 D .3 2.对于二次函数y=(x-1)2 +2的图象,下列说法正确的是( ) A 、开口向下 B 、对称轴是x=-1 C 、顶点坐标是(1,2) D 、与x 轴有两个交点 3.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2 +c 的图象大致为( ) 4.二次函数y=ax 2 +bx ﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是( ) A .﹣3 B .﹣1 C .2 D .3 5.抛物线2)3(2-+=x y 可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是() A .先向左平移3个单位,再向上平移2个单位 B .先向右平移3个单位,再向下平移2个单位 C .先向左平移3个单位,再向下平移2个单位 D .先向右平移3个单位,再向上平移2个单位[来 6.对于二次函数y=-x 2 +2x .有下列四个结论: ①它的对称轴是直线x=1; ②设y 1=-x 12 +2x 1,y 2=-x 22 +2x 2,则当x 2>x 1时,有y 2>y 1; ③它的图象与x 轴的两个交点是(0,0)和(2,0); ④当0<x <2时,y >0. 其中正确结论的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 7.如图,已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y kx m =+ 的图像相交于点A (-3,5),B (7,2),则能使12y y ≤ 成立的x 的取值范围是( ) A .25x ≤≤ B .37x x ≤-≥或 C .37x -≤≤ D .52x x ≥≤或 8.如图,已知:无论常数k 为何值,直线l :y=kx+2k+2总经过定点A ,若抛物线y=ax 2 过A ,B (1,b ),C (-1,c )三点. (1)请直线写出点A 坐标及a 的值; (2)当直线l 过点B 时,求k 的值; (3)在y 轴上一点P 到A ,C 的距离和最小,求P 点坐标; (4)在(2)的条件下,x 取 值时,ax 2 <kx+2k+2. 二、填空题 9.在二次函数y=-2(x-3)2 +1中,若y 随x 的增大而增大,则x 的取值范围是 . 10.二次函数y=ax 2 +bx+c (a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a+c >b ;③抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0);④abc >0.其中正确的结论是 (填写序号). 11.二次函数23y x =的图象如图,点O 为坐标原点,点A 在y 轴的正半轴上,点B 、C 在二次函数23y x =的图象上,四边形OBAC 为菱形,且∠OBA=120°,则菱形OBAC 的面积为 . 12.如图,平行于x 轴的直线AC 分别交函数2 1y x =(x ≥0)与223 x y =(x ≥0) 的图象于B ,C 两点,过点C 作y 轴的平行线交1y 的图象于点D ,直线DE ∥AC ,交2y 的图象于点E ,则 =AB DE . 13.已知3a <-,点 A (a,y 1 ), B ( a+1,y 2)都在 二次函数223y x x =+图像 上,那么y 1 、y 2的大小关系是 . 14.已知点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)在二次函数y=(x-错误!未找到引用源。1)2 +1的图象上,若x 1>x 2>1,则y 1 y 2 .(填“>”“=”或“<”). 三、计算题 15.已知抛物线y=ax 2 +bx +c 经过点A (-1,0),且经过直线y=x -3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C . (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标; (3)若点M 在第四象限内的抛物线上,且OM ⊥BC ,垂足为D ,求点M 的坐标. 四、解答题 16.水果批发市场有一种高档水果,如果每千克盈利(毛利润)10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克. (1)若以每千克能盈利18元的单价出售,问每天的总毛利润为多少元? (2)现市场要保证每天总毛利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元?二次函数培优专项练习
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